de thi thu dai hoc _coloigiai

Với giá trị nào của m, các tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 tại các điểm A và B vuông góc với nhau... 1 điểm Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với

Cau | (2 điểm)

Cho hàm số y = x + 3x2 + mx + 1 (1) (m là tham số)

1) Khảo sát và vẽ đỗ thị hàm số (1) khi m = 0

2) Tìm m để đường thẳng

=1 cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt:

1(0; 1), A và B Với giá trị nào của m, các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại

các điểm A và B vuông góc với nhau

Với m =0, ta có y = x9 + 33Ê + 1

Tập xác định: D = R

+ | Sự biến thiên: y'= 3x? + 6x, y=0<>x =0 hoặc x 0,25

Ta có y(0) = 1, y(~2) = 5

Y>0©xe€ (—*;~2) 2 (0; + #) vày <0 c> xe (72; 0)

Bang biến thiên:

Hàm số đồng trên các khoảng (~=; ~2) và (0; + =), nghịch

biến trên khoảng (~2; 0) 025

Yco=V(-2)“ 5, Yer = y(0)=1

4 (tt) Đồ thị: Ta có yˆ = 6x +6

y'=0œx=-1=y(1)=3

Đồ thị nhận điểm uốn

I(-1; 3) làm tâm đối xứng

Đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt

khi và chỉ khi pt sau có 3 nghiệm phân biệt

Xô + 3iể + mX + 1= c> xề + 3X2 + mx =0

0,25

> x(x? + 3x +m) =0

°

x? +3x+m=0 (2)

=»Pt (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0,

TÊN m<Š |oz2s

Giả sử A(xạ; 1), B(xạ; 1) Khi đó hệ sô góc của tiếp tuyên tại

tí |A làt kạ = y0) = 34,2 + 6x, +m

0,25

= 362 + 3xq +m) — 3xq— 2m = — 3xq— 2m, Tương tự, ta cũng cb: ky = — 3x, —2m

Các tiêp tuyên tại A và B vuông góc với nhau khi và chỉ khi

k„ kạ = —1 cs (3x; + 2m)( 3xq + 2m) = —1

€> 9xuxạ + 6m(xạ + xạ) + 4m? + 1= 0: (3)

(tt) | Theo hệ thức Viet, ta có: xạ + xạ =~3, xax; = m, thay vào

(3) ta được: 026

9+ v85

m 4m -9m+1=0<>

m

cả hai giá trị này của m thỏa mãn đk (*)

Câu II (2,0 điểm)

1) Giải phương trình: sinx - 4sin*x + cosx = 0

2) Giải phương trình:2% ~ 2% + - 2% + 2«+1 +1 =0,

- Xết sinx =

, khi đó phương trình trở thành cosx = 0 mâu thuẫn với sin2x + cos2x = 1

~ Xét sinx # 0, chia hai về của pt cho sin®x, ta duoc 05

1 4, cob

Sinfx sinfx

€ coŸ x + co x + cotx—3 =0

=0 © 1+ cof x+cotx(1+ cof x)~4 =0

©>(eotx~1)(eof x+ 2cotx +3) =0 0,25

Do phương trình cof2x + 2cotx + 3 = 0 vô nghiệm, nên chỉ có:

cotx=1ex

Bat 2*= t > 0 Khi đó phương trình trở thành

Khi 46 (2) tré thanhy* ~2y+1=0<>y=1

0,25

= 20-12 +2t41=0 (1)

Do t > 0, nên chia hai về của (1) cho E, ta được:

paty-t-torst-ys2

1

'Với y =1 phương trình t—

Suyra art ox x=log,

với L>0, cho ta nghiệm

1+ V5

t

Cau Ill (1 diém)

Tính tích phân: 1= [`Ÿ—_$%

h

x(x®+1Ƒ

, với x=1thì L= 1; x= 'Ÿ2 thì L= 2 va dt = 10x°dx

10% t(tsay 10” t(tit 102 NA” 10h (tay

Cau IV (1 điểm)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên

tạo với mặt đáy một góc bằng 30° Tỉnh diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình

chop

Gọi H là tâm của hình vuông ABCD, thi SH 1 (ABCD) va

tam giác đều nên AH = ae

Do AC =ay2 suy ra

hình chóp sẽ là giao điểm A \ B -

giữa mặt phẳng trung trực

của đoạn thẳng

SA và đường thẳng SH

05

Goi M là trung điểm của đoạn thẳng SA,

'Ta có ASAH và ASOM là 2 tam giác

'vuông có góc § chưng nên chúng

đồng dạng Suy ra SA.SM = SH.SO b

@R-s0-SASM ae,

hay bán kinh của mặt

cầu ngoại tiếp hình chóp là

= 2Ý, Vậy S„ = 4aR? = 92

Cau V (1 diém)

Giải hệ phương trình:

x+x?~2x+2=37'+1

yt yy? -2y+2=3"'41

05

Hệ phương trình xác định với mọi giá trị của x và y

Trừ từng về hai phương trình ta được: 0,25 x4 Vx? 2x42 43"! =y+ Jy? —2y+2+3"" (4

Xét hàm số f() =t+ Vt? ~2L+ 2 + 89,

Hàm số xác định với mọi tc R

Ta có:

f0=1+-—E=—+3'in3

2:2

I2

<t -21:21071, aenga„|t-1L*1—1, 2esng >0,

Do dé ham s6 ft) ludn déng bién trén R, nên từ (*) suy ra

x = y, khi đó hệ phương trình đã cho trở thành phương trình:

X+Vx? -2x+2-1=3""

0,25

0,25

alin x + vie -2x 42-1) =(x-1)In3 (**)

Dat g(x) = n(x +{XF-2x+2~ 3 ~(x-1)In3

x-1

4+

ÝX'~2x+2_ ng

Ta có g'(x) =

OO) ade axed

=“=— -In3<1-In3<0, do đó ° x?~2x+2

g(x) luôn nghịch biến

Mặt khác g(1) = 0, suy ra pt(**) có nghiệm duy nhất x = 1

| Vây hệ phương trình đã cho có nghiêm duy nhất x = y = 1

Câu VI (2 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(5, -2), B(-3, 4) và đường thẳng d có phương trình: x — 2y + 1 = 0 Tìm tọa độ điểm C trên đường thẳng d sao cho tam giác ABC vuông tại C

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng

x=1+t

a) Ching minh rằng hai đường thẳng d, và d; chéo nhau Xe b) Gọi MN là đường vuông góc chung của d, và d; (M e dị, N a

viết phương trình mặt cầu đường kính MN }

Cách 1: Giả sử điểm C cd,

khi đó C(2t~1;t), AC(2L~6 ; t+ 2) va BC (2t+2; t-4)

G6c ACB = 90° => ACBC =0

026

1 |e(2t-6)(2t+2)+(t+2)(t-4)=0

©>~2t-4=0est=1+ ý

Vậy có hai điểm C trên d thỏa mãn yêu cầu bài toán

Góc ACB = 90? suy ra điểm C nằm trên đường tròn đường

(8) | kính AB Ta có trung điểm I của đoạn thẳng AB có tọa độ (1;

1) và AB = 10

Nên: IC = 6 cs (2t—~ 2)? + ( t— 1)? = 26 Giải pt này ta sẽ

được kết quả như cách 1 "

‘Duong thang d, di qua A(1; 1; -2) va cé vector

chỉ phương ủ, = (1; -1; 2)

Đường thẳng d; đi qua B(~4; 8; 8) và có vectơ' 0/25 2a | chỉ phươngu; =(2;1; ~1)

Ta có [ủ:;uz]=(~1; 5; 3); AB =(-§, 7 ;10))

Suy ra[ Us ; Ue AB = (—1).(-§)+5.7+3.10=70 40 _ Vay hai đường thẳng dị và d, chéo nhau i Điểm Me d, =» M(1+†; 1—t;~2 +21) Điểm N c d,

=N(-4+2t; 8+t;8~t)

pp |Tâ66MN Lú; c>MNd, =0 c>6L+'<8;MN 1ú;

©>MNu; = 0< t+ 6t! = 13

Suy ra mặt cầu đường kinh MN có tam I(1; 5; 3), one

bán kính R = /35 Phương trình của nó là:

(x—1)2*(y—)? + (ø~8)2= 35

Câu VII (1 điểm)

Tínhtổhg: 9> 2i 0i "p20ng1` 120i ˆ“' 5885i” 58087

Tacó

20098 san 008i 12003” 2000 oT 025

Bằng cách khai triển (1+ x)””

ta được đẳng thức:

= Chap + Cram + Cap + + Cate + Cin