Đề thi thử đại học và cao đẳng năm 2010 - 10

Đề thi thử đại học và cao đẳng năm 2010 - 10

Trung tâm BDVH & LTĐH

QUANG MINH

Đề số 10

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010

Môn thi: TOÁN

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

I PHẦN CHUNG (7 điểm)

Câu I (2 điểm): Cho hàm số y x

x

2

+

= + (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại O

Câu II (2 điểm):

(1 2sin ) cos 3 (1 2sin )(1 sin )

-=

-2) Giải hệ phương trình: 2 33 x - + 2 3 6 5 - x - = 8 0

Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = 2 3x 2x dx

0 (cos 1)cos

p

-ò

Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc

giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 Gọi I là trung điểm của AD Hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng 0

vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Câu V (1 điểm): Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x x y z( + + =) 3yz Chứng minh:

(x y+ )3+(x z+ )3+3(x y x z y z+ )( + )( + £) 5(y z+ )3

II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)

1 Theo chương trình chuẩn

Câu VI.a (2 điểm):

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có giao điểm hai đường chéo AC và BD là điểm

I(6; 2) Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng D: x y 5 0+ - = Viết phương trình đường thẳng AB

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x-2y z- - = và mặt cầu (S) có phương trình: 4 0

x2+y2+z2-2x-4y-6 11 0z- = Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn đó

Câu VII.a (1 điểm): Gọi z z1 2, là các nghiệm phức của phương trình: z2+2z+10 0= Tính giá trị của biểu thức:

2 Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b (2 điểm):

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2+y2+4x+4y+ = và đường thẳng D có phương 6 0 trình: x my+ -2m + = Gọi I là tâm đường tròn (C) Tìm m để D cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho 3 0 diện tích tam giác IAB lớn nhất

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x-2y+2 1 0z- = và hai đường thẳng D1, D2 có phương trình D1: x 1 y z 9

+ = = + , D

2: x 1 y 3 z 1

- Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng D1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng D2 bằng khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)

Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình:

x xy y

2 2

log ( ) 1 log ( )

3 - + 81

ï í

=

============================

Hướng dẫn:

I PHẦN CHUNG

Câu I: 2) Gọi ( ; ) là toạ độ của tiếp điểm x y0 0

Tam giác OAB cân tại O nên tiếp tuyến song song với một trong hai đường thẳng y x = hoặc y= - x

Þ y x¢( )0 = ± Û 1

x0 2

(2 3)

-= ±

x00 y00

1 ( 1)

2 ( 0)

ë

· Với x

y00

1 1

ì =

-í =

î Þ D: y= - (loại) x · Với x

y00

2 0

ì =

-í =

î Þ D: y= - - (nhận) x 2

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y= - - x 2

Câu II: 1) Điều kiện: x

x

1 2sin 0

1 sin 0

2 6

6 2 2

ì

¹ - + ï

ïï

í ï

ï ¹ + ïî

1 sin 2sin 2sin

-=

- + - Û cos x - sin 2 x = 3(sin x + cos2 ) x

Û 3cos2x 1sin2x 1cosx 3sinx

æ - ö= æ + ö

2

é

= + ê

ê

ê = - + êë

Vậy PT có nghiệm: x k 2

2) Điều kiện: x 6

5

£ Đặt u x

33 2

6 5

ìï = -í

x

3

2 3 2

6 5

ìï = -í

=

Ta có hệ PT: u v

u3 v2

í

î Giải hệ này ta được uvì = -í =î 42 Þ xì - = -í - =î36 5x2 162 Û x = - 2 Thử lại, ta thấy x = - 2 là nghiệm của PT Vậy PT có nghiệm x = - 2

Câu III: I = 2 5x dx 2 2x dx

· A = 2 5x dx 2 4x x dx

cos cos cos

=

0

1 sin (sin )

p

15

1

2

4

p

Vậy I = 8

15 – 4

p

Câu IV: Gọi E là trung điểm của AB Þ BC = a 5 Ta có: SBIC SABCD SABI SCDI 3 a2

2

Trong tam giác BIC, kẻ đường cao IF, ta có: IF = SBIC a

BC

5

=

Từ giả thiết Þ SI ^ (ABCD) Þ · SFI = 600 Þ SI = IF .tan 600 3 3 a

5

=

Þ Thể tích khối chóp S.ABCD: V 1 SI S . ABCD 1 3 3 . a .3 a2 3 15 a3

Câu V: Xét điều kiện: x2+ xy xz + = 3 yz Þ ( x y + )2+ + ( x z )2= 2( y z + )2- - ( y z )2

2

æ + ö + æ + ö = - æ + - + ö

Đặt u x y v x z

y z , y z

+ + (u, v > 0) Từ (*) Þ u2+ v2 = - - 2 ( u v )2 Þ u2+ v2- uv = 1 (1)

æ + ö + æ + ö + æ + öæ + ö £

Û ( u v u + )( 2- uv v + 2) 3 + uv £ 5 Û u v + + 3 uv £ 5 (2) (do (1))

Mặt khác từ (1) ta có: uv = - - 1 ( u v )2 £ 1 (3)

và ( u v )2 1 3 uv 1 3 ( u v )2

4

+ = + £ + + Þ ( u v + )2£ 4 Þ u v 2 + £ (4)

Từ (3) và (4) ta suy ra được điều cần chứng minh (2)

II PHẦN TỰ CHỌN

1 Theo chương trình chuẩn

Câu VI.a: 1) Giả sử E(a; 5 – a) Î D Þ IE uur = ( a - 6;3 - a )

Gọi P là điểm đối xứng của E qua I Þ P(12 – a; a – 1), uuur MP = (11 - a a ; - 6)

Ta có: uuur uur MP IE = 0

Û (11 - a a )( - + - 6) ( a 6)(3 - a ) 0 = Û a

a 6 7

é =

ê = ë Đường thẳng đi qua M(1; 5) và nhận IE uur

làm VTPT

· Với a 6 = Þ IE (0; 3) uur =

Þ Phương trình AB: y 5 =

· Với a 7 = Þ IE (1; 4) uur =

Þ Phương trình AB: x - 4 y + 19 0 = 2) (S) có tâm I(1; 2; 3), bán kính R = 5

d I P ( ,( )) 3 = < R Þ (P) cắt (S) theo một đường tròn (C)

Dễ xác định tâm đường tròn (C) là J(3; 0; 2) và bán kính là r = 4

Câu VII.a: PT có các nghiệm: z1= - - 1 3 , i z2= - + 1 3 i

Þ A = z12+ z2 2 = 20

2 Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b: 1) (C) có tâm I(–2; –2), bán kính R = 2

Ta có: SIAB 1 IA IB .sin · AIB 1 R2sin · AIB 1 R2 1

Dấu "=" xảy ra Û sin · AIB = 1 Û · AIB = 900 Û DAIB vuông cân tại I

Khi đó: d I ( , ) R 1

2

m2

1

= + Û 15 m2- 8 m = 0 Û m

m

0 8 15

é = ê

= ê ë 2) Giả sử: M ( 1 ; ; 9 6 ) - + t t - + t Î D1

( , )

3

-Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P): d M P ( ,( )) 11 20 t

3

-=

Từ đó ta có: (8 14) t 2 ( 14 20) t 2 ( 4) t 2

3

= 11 20 t

3

Û 140 t2- 352 212 0 t + = Û t

t

1 53 35

é = ê

= ê ë

· Với t = 1 Þ M(0; 1; –3) · Với t = 53

35 Þ M

18 53 3 ; ;

35 35 35

Câu VII.b: Điều kiện: xy 0 >

Hệ PT Û x y xy

x xy y

4

ìï + = í

x y

x2 4

ì =

x y

x y 2 2

é = =

ê = = -ë

vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: (2; 2), (–2; –2)

=====================