Đề thi thử đại học và cao đẳng năm 2010 - 07

Đề thi thử đại học và cao đẳng năm 2010 - 07

Trung tâm BDVH & LTĐH

QUANG MINH

Đề số 7

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010

Môn thi: TOÁN

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

I PHẦN CHUNG (7 điểm)

Câu I (2 điểm): Cho hàm số y x

x

1

-= +

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Tìm trên đồ thị (C), hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN, biết M(–3; 0), N(–1; –1)

Câu II (2 điểm):

1) Giải phương trình: 4 cos4x cos2 x 1 cos 4 x cos 3 x 7

2) Giải hệ phương trình: 3 2x x = 3x+ 2 x + 1

Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = x e dxx

x

2 0

1 sin

1 cos

p

ò

Câu IV (1 điểm): Tính thể tích khối chóp S.ABC, biết SA = a, SB = b, SC = c, · ASB = 60 ,0 · BSC = 90 ,0 · CSA = 1200

Câu V (1 điểm): Cho các số dương x, y, z thoả mãn: xyz = 8 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = log22x + + 1 log22y + + 1 log22z + 1

II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)

1 Theo chương trình chuẩn

Câu VI.a (2 điểm):

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d 1 : x y 1 0 + + = và d 2: 2 x y - - = 1 0 Lập phương trình

đường thẳng d đi qua M(1; 1) và cắt d 1 , d 2 tương ứng tại A, B sao cho 2 uuur uuur r MA MB + = 0

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2 y - 2 1 0 z + = và hai điểm A(1; 7; –1), B(4; 2; 0)

Lập phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB lên mặt phẳng (P)

Câu VII.a (1 điểm): Kí hiệu x 1 , x 2 là các nghiệm phức của phương trình 2x2-2x+ = Tính giá trị các biểu thức 1 0

x12

1

và

x22

1

2 Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b (2 điểm):

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2+ y2- 2 x - 2 y - = 3 0 và điểm M(0; 2) Viết

phương trình đường thẳng d qua M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB có độ dài ngắn nhất

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3) Tìm toạ độ trực tâm của tam

giác ABC

Câu VII.b (1 điểm): Tìm các giá trị x, biết trong khai triển Newton ( x )n

x

5 lg(10 3 ) ( 2)lg3

2 - + 2 - số hạng thứ 6 bằng 21

và Cn1+ Cn3= 2 Cn2

============================

Hướng dẫn:

I PHẦN CHUNG

Câu I: 2) Phương trình đường thẳng MN: x + 2 y + = 3 0 Gọi I(a; b) Î MN Þ a + 2 b + = 3 0 (1)

Phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với MN là: y = 2( x a b - + )

Hoành độ các giao điểm A, B của (C) và d là nghiệm của phương trình: x x a b

x

1

Û 2 x2- (2 a b x - ) - 2 a b + + = 4 0 (x ¹ –1)

A, B đối xứng nhau qua MN Û I là trung điểm của AB Khi đó: I xA xB

x

2

+

4

Từ (1) và (2) ta được:

a b

a b a

2 4

ï

-í =

a

b 1 2

ì =

í = -î

Suy ra phương trình đường thẳng d: y = 2 x - 4 Þ A(2; 0), B(0; –4)

Câu II: 1) PT Û cos2 x cos 3 x 2

4 + = (*)

Ta có:

x x

cos2 1

3

4

ï

ïî Do đó (*) Û

x x

3

4

ï

x k l

x 8

3

p p

ì = ï

í =

ïî Û x = 8 p m

2) PT Û 3 (2x x - = 1) 2 x + 1 (1) Ta thấy x 1

2

= không phải là nghiệm của (1)

Với x 1

2

¹ , ta có: (1) Û x x

x

3

+

=

- Û

x

+

-Đặt f x x x x

+

x 2

2 (2 1)

-Do đó f(x) đồng biến trên các khoảng ; 1

2

-¥

è ø và

1 ; 2

+¥

è ø Þ Phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất 1 nghiệm trên

từng khoảng ; 1 , 1 ;

Ta thấy x = 1, x = - 1 là các nghiệm của f(x) = 0 Vậy PT có 2 nghiệm x = 1, x = - 1

x

2

1 sin 1 1 tan

+

Do đó: I = 2 x e dx2 x

0

1 1 tan

p

+

2 0

p

2

Đặt

x

u e

x

dv 1 1 tan2 dx

ì =

ï

î

Þ

x

du e dx

x

v tan

2

ï

í =

p

p

Câu IV: Trên AC lấy điểm D sao cho: DS ^ SC (D thuộc đoạn AC) Þ · ASD = 300

Ta có: ASD

CSD

AS SD S

0

1 .sin 30 2

2

c

2

=

-uuur uuur

Þ SD cSA aSC

c a

2 2

+

=

+

uur uur uuur

Þ SD SB cSA aSC SB c SA SB

uur uur

và SD c SA a SC caSA SC

c a

2

2

=

+

uur uur

= a c a c a c a c

ac

c a

3

2 +

Mặt khác, · SDB SD SB abc c a

SD SB ac

b

c a

cos

2

+

+

uuur uur

Þ sin · SDB 6

3

=

·

V 1 SC S 1 SC SD SB sin SDB

c a

2

2 .

6 2 +

Mà ASDB

CSDB

V = DC = 2 c Þ ASDB CSDB

2

2 .

+

Vậy: VSABC VASDB VCSDB a bc abc abc

c a

+

Câu V: Đặt a = log ,2x b = log ,2y c = log2z Þ a b c + + = log (2 xyz ) log 8 3 = 2 =

Þ P = log22 x + + 1 log22y + + 1 log22z + 1 = a2+ + 1 b2+ + 1 c2+ 1

Đặt m r = ( ;1), a n r = ( ;1), b p r = ( ;1) c

Khi đó: P = m n r r r + + p ³ m n p r r r + + = ( a b c + + )2+ + + (1 1 1)2 = 3 2

Dấu "=" xảy ra Û a b c 1 = = = Û x y z 2 = = = Vậy MinP = 3 2 khi x y z 2 = = =

II PHẦN TỰ CHỌN

1 Theo chương trình chuẩn

Câu VI.a: 1) Giả sử A(a; –a –1) Î d 1 , B(b; 2b – 1) Î d 2 MA uuur = ( a - - - 1; a 2), MB uuur = ( b - 1;2 b - 2)

MA MB

2 uuur uuur + = 0

ì - + - = í- - + - =

a

b 3 0

ì =

í =

î Þ A(0; –1), B(3; 5) Þ Phương trình d: 2 x y - - = 1 0 2) PTTS của AB:

z t

4 3

2 5

ì = + ï

= -í

ï = î

Þ Giao điểm của AB với (P) là: M(7; –3; 1)

Gọi I là hình chiếu của B trên (P) Tìm được I(3; 0; 2) Hình chiếu d của đường thẳng AB là đường thẳng MI

Þ Phương trình đường thẳng d là:

y t

3 4 3 2

ì = -ï

= í

ï = + î

Câu VII.a: PT có các nghiệm x i x i

x12 x22

1 = - 2 ; 1 = 2

2 Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b: 1) (C) có tâm I(1; 1) và bán kính R = 5 IM = 2 < 5 Þ M nằm trong đường tròn (C)

Giả sử d là đường thẳng qua M và H là hình chiếu của I trên d

Ta có: AB = 2AH = 2 IA2- IH2 = 2 5 - IH2 ³ 2 5 - IM2 = 2 3

Dấu "=" xảy ra Û H º M hay d ^ IM Vậy d là đường thẳng qua M và có VTPT MI (1; 1) uuur =

-Þ Phương trình d: x y 2 0 - + =

2) Phương trình mp(ABC): x y z 1

1 2 3 + + = Gọi H(x; y; z) là trực tâm của DABC

Ta có:

AH BC

BH AC

H ( ) P

ï

ï Î

î

uuur uuur

uuur uuur

Û

y z

x z

y z x

1

2 3

ïï- + = í

ï + + = ïî

Û

x y z

36 49 18 49 12 49

ì

= ï ïï

= í ï

ï = ïî

Þ H 36 18 12 ; ;

49 49 49

Câu VII.b: Phương trình Cn1+ Cn3= 2 Cn2 Û n n ( 2- 9 n + 14) 0 = Û n 7 =

Số hạng thứ 6 trong khai triển ( 2lg(10 3 )- x +52( 2)lg3x- )7 là C75( 2lg(10 3 )- x )2(52( 2)lg3x- )5

Ta có: C75 lg(10 3 ) ( 2)lg3.2 - x .2 x- = 21 Û 2lg(10 3 ) ( 2)lg3- x + -x = 1 Û lg(10 3 ) ( - x + - x 2) lg3 0 =

Û (10 3 ).3 - x x 2- = 1 Û 32x - 10.3x+ = 9 0 Û x = 0; x = 2

=====================