Đề thi thử đại học và cao đẳng năm 2010 - 09

Đề thi thử đại học và cao đẳng năm 2010 - 09

Trung tâm BDVH & LTĐH

QUANG MINH

Đề số 9

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010

Môn thi: TOÁN

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

I PHẦN CHUNG (7 điểm)

Câu I (2 điểm): Cho hàm số y m x m

x

2 (2 1)

1

-=

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1

2) Tìm m để đồ thị của hàm số tiếp xúc với đường thẳng y x=

Câu II (2 điểm):

1) Giải phương trình: 2- 3 cos2x+sin 2x=4cos 32 x

2) Giải hệ phương trình:

xy

x y

2

ì

ï

+ í

-î

Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = x dx

2

3 0

sin (sin cos )

p

+

ò

Câu IV (1 điểm): Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A¢B¢C¢có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, A¢M ^ (ABC), A¢M =

a 3

2 (M là trung điểm cạnh BC) Tính thể tích khối đa diện ABA¢B¢C

Câu V (1 điểm): Cho các số thực x, y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = x2+y2-4y+ +4 x2+y2 +4y+ + - 4 x 4

II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)

1 Theo chương trình chuẩn

Câu VI.a (2 điểm):

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): x2 y2 1

100 25+ = Tìm các điểm M Î (E) sao cho · F MF 0

1 2 =120 (F1, F2 là hai tiêu điểm của (E))

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(3; 1; 1), B(7; 3; 9), C(2; 2; 2) và mặt phẳng (P) có phương

trình: x y z 3 0 + = + = Tìm trên (P) điểm M sao cho MA uuur+2MB uuur uuur+3MC

nhỏ nhất

Câu VII.a (1 điểm): Gọi a 1 , a 2 , …, a 11 là các hệ số trong khai triển sau: (x+1) (10 x+2)=x11+a x1 10+a x2 9+ + a11

Tìm hệ số a5

2 Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b (2 điểm):

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): (x-3)2+ -(y 4)2 =35 và điểm A(5; 5) Tìm trên (C) hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 2) và đường thẳng d: x 1 y z 3

-= -= Tìm trên d hai

điểm A, B sao cho tam giác ABM đều

Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình:

x

xy

2010

2

=

-ç ÷

ïî

============================

Hướng dẫn:

I PHẦN CHUNG

Câu I: 2) TXĐ: D = R \ {1}

Để đồ thị tiếp xúc với đường thẳng y x= thì:

x m x

2 2 2

1

( 1)

-= ï

-î

Từ (**) ta có (m-1)2 =(x-1)2 Û x m

é =

ê = -ë

· Với x = m, thay vào (*) ta được: 0m = (thoả với mọi m) Vì x ¹ 1 nên m ¹ 1 0

· Với x = 2 – m, thay vào (*) ta được: m(2 -1)(2-m m)- 2 = -(2 m)(2- - Û m m 1) 4( -1)2= Û 0 m 1=

m = 1 Þ x = 1 (loại)

Vậy với m ¹ 1 thì đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y x=

Câu II: 1) PT Û 3cos2x 1sin2x cos6x

6

p

5

5

24 2

é

ê ê

ê = - + êë

2)

xy

x y

2

(2)

ì

í

-î

Điều kiện: x y 0+ >

x y

( + ) - -1 2 æç1- ö÷=0

+

è ø Û x y( + -1)(x2+y2+ +x y) 0= Û x y 1 0+ - =

Thay x= - vào (2) ta được: 1 y 1=x2- - Û (1 x) x2+ - = Û x x 2 0 y

x 12 ((y 0)3)

ë Vậy hệ có 2 nghiệm: (1; 0), (–2; 3)

Câu III: Đặt t x

2

p

= - Þ dt = –dx Ta có I = t dt

2

3 0

cos (sin cos )

p

+

2

3 0

cos (sin cos )

p

+

ò

2

3 0

sin (sin cos )

p

+

2

3 0

cos (sin cos )

p

+

2

2 0

1 (sin cos )

p

+

x

2 2 0

2 cos

4

p

p

0

1 tan

p

p

è ø = 1 Vậy: I =

1

2

Câu IV: Vì ABB¢A¢ là hình bình hành nên ta có: V C ABB. ' =V C AB A. ' ' Mà V C ABB A M S ABC a a2 a3

Vậy, V C ABB A V C ABB a3 a3

' ' 2 ' 2

Câu V: Ta có: P = x2+ -(2 y)2 + x2+ +(y 2)2 + - x 4

Xét a r=( ;2x -y b),r=( ,x y+2)

Ta có: a r + b r ³ +a b r r

Þ x2+ -(2 y)2 + x2+ +(y 2)2 ³ 4x2+16 2= x2+ 4 Suy ra: P ³ 2 x2+ + - Dấu "=" xảy ra Û a b4 x 4 r,r

cùng hướng hay y = 0

Mặt khác, áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: (2 3+x)2 £ +(3 1)(4+x2) Þ 2 x2 + ³4 2 3+ x

Dấu "=" xảy ra Û x 2

3

=

Do đó: P ³ 2 3 + + - x 4 x ³ 2 3 4 2 3 4+ = + Dấu "=" xảy ra Û x 2 , 0y

3

Vậy MinP = 2 3 4+ khi x 2 , 0y

3

II PHẦN TỰ CHỌN

1 Theo chương trình chuẩn

Câu VI.a: 1) Ta có: a=10,b= Þ 5 c 5 3= Gọi M(x; y) Î (E) Ta có: MF1 10 3x MF, 2 10 3x

Ta có: F F2 MF2 MF2 MF MF · F MF

1 2 = 1 + 2 -2 1 2.cos 1 2

=çè - ÷ø +çè + ÷ø - çè - ÷çøè + ÷çøè- ÷ø Û x = 0 (y= ± 5) Vậy có 2 điểm thoả YCBT: M1(0; 5), M2(0; –5)

2) Gọi I là điểm thoả: IA uur+2IB uur uur r+3IC=0 Þ I 23 13 25; ;

6 6 6

Ta có: T = MA uuur+2MB uuur uuur+3MC = (MI IA uuur uur+ ) (+2 uuur uur MI IB+ )+3(uuur uur MI IC+ ) = 6MI uuur =6 MI uuur

Do đó: T nhỏ nhất Û MI uuur

nhỏ nhất Û M là hình chiếu của I trên (P)

Ta tìm được: M 13 2 16; ;

Câu VII.a: Ta có: (x+1)10 =C x100 10+C x101 9+ + C x C109 + 1010 Þ (x+1) (10 x+2) = +(C105 +2C104 )x6+

Þ a5=C105 +2C104 =672

2 Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b: 1) (C) có tâm I(3; 4)

· Ta có: AB ACìí =îIB IC= Þ AI là đường trung trực của BC DABC vuông cân tại A nên AI cũng là phân giác của · BAC

Do đó AB và AC hợp với AI một góc 45 0

· Gọi d là đường thẳng qua A và hợp với AI một góc 45 Khi đó B, C là giao điểm của d với (C) và AB = AC 0

Vì IA (2;1) uur=

¹ (1; 1), (1; –1) nên d không cùng phương với các trục toạ độ Þ VTCP của d có hai thành phần đều khác 0 Gọi u r=(1; )a là VTCP của d Ta có:

cos ,

2

a

3 1 3

é = ê

= -ê ë

· Với a = 3, thì u (1;3) r= Þ Phương trình đường thẳng d: x t

y 5 35 t

ì = +

í = +

Ta tìm được các giao điểm của d và (C) là: 9 13 7 3 13; , 9 13 7 3 13;

· Với a = 1

3

- , thì u 1; 1

3

=ç - ÷

r Þ Phương trình đường thẳng d: x t

5 1 5 3

ì = + ï

í =

Ta tìm được các giao điểm của d và (C) là: 7 3 13 11; 13 , 7 3 13 11; 13

· Vì AB = AC nên ta có hai cặp điểm cần tìm là: 7 3 13 11; 13 , 9 13 7 3 13;

2) Gọi H là hình chiếu của M trên d Ta có: MH = d M d ( , ) = 2

Tam giác ABM đều, nhận MH làm đường cao nên: MA = MB = AB = 2MH 2 6

3

3 =

Do đó, toạ độ của A, B là nghiệm của hệ:

8

3

-= -= ïï

í

ïî

Giải hệ này ta tìm được: A 2 2; 2;3 2 ,B 2 2; 2;3 2

Câu VII.b:

x

xy

2010

2

(2)

=

-ç ÷

ïî

Điều kiện: xy 0 > Từ (2) ta có: x3+y3=xy x( 2+y2) 0> Þ x>0,y> 0

2 =2010 - Û x.2010x =2 2010y 2y

Xét hàm số: f(t) = t.2010 (t > 0) Ta có: f ¢(t) = t 2010 1t t 0

ln2010

Þ f(t) đồng biến khi t > 0 Þ f(x) = f(2y) Û x = 2y

Thay x = 2y vào (2) ta được: y y 95 0

2

é =

ë Vậy nghiệm của hệ là: 9 9;

5 10

è ø

=====================