PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Viết phương trình mặt cầu S có tâm I là giao điểm của P và ∆ sao cho Q cắt S theo một hình tròn có diện tích là 20π... Viết phương trình mặt phẳng P song song với ∆1 và ∆2 đồng thời tiếp

phương trình mặt cầu: a2+ + − >b2 c2 d 0

• (S) có tâm I a b c ( ; ; )

• (S) có bán kính: R= a2+ + −b2 c2 d

3/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng :

Cho mặt cầu S I R và mặt phẳng ( ; ) ( )P Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên ( )P

của mặt cầu và H là tiếp

điểm.

+ Nếu d <R: Mặt phẳng( )P cắt mặt cầu theo

thiết diện là đường tròn

có tâm I' và bán kính

r= R −IH

Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính

và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.

4/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng :

Cho mặt cầu S I R và đường thẳng ( ; ) ∆ Gọi H là hình chiếu của I lên ∆ Khi đó :

+ IH >R : ∆ không cắt

mặt cầu

+ IH =R : ∆ tiếp xúc với mặtcầu ∆ là tiếp tuyến của (S)

và H là tiếp điểm.

+ IH <R : ∆ cắt mặt cầutại hai điểm phân biệt

Cho điểm I cố định và một số thực dương R Tập hợp tất cả

những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là

mặt cầu tâm I, bán kính R

Kí hiệu: S I R( ; ) ⇒S I R( ; ) {= M IM/ =R}

* Lưu ý: Trong trường hợp ∆ cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính

ĐƯỜNG TRÒN TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

* Đường tròn (C) trong không gian Oxyz, được xem là giao tuyến của (S) và mặt

5/ Điều kiện tiếp xúc : Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R.

+ Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của (S)⇔ d I( ;∆ =) R

+ Mặt phẳng( )α là tiếp diện của (S) ⇔ d I( ;( )α =) R

* Lưu ý: Tìm tiếp điểm M x y z 0( 0; ;0 0)

* Thuật toán 2: Gọi phương trình ( ) : S x2 +y2 + −z2 2ax− 2by− 2cz d+ = 0

Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được , , , a b c d ( a2+ + − >b2 c2 d 0)

Bài tập 1 : Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:

Bài tập 2 : Viết phương trình mặt cầu (S) , trong các trường hợp sau:

a) (S) qua A(3;1;0 , ) (B 5;5;0) và tâm I thuộc trục Ox

Mặt cầu tâm O(0;0;0) và bán kính R=3, có phương trình (S) : x2+y2+z2 =9

a) Cách 1: Gọi I x y z là tâm mặt cầu (S) cần tìm.( ; ; )

Theo giả thiết:

Theo giả thiết: ( ,( ) ) ( ,( ) ) 1 5 1 5 3

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của (P)

và ∆ sao cho (Q) cắt (S) theo một hình tròn có diện tích là 20π

Gọi I(−t t; 2 1;− t+ ∈2) d là tâm của mặt cầu (S) và R là bán kính của (S).:

Theo giả thiết : ( ( ) ) 2 2

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương ur=(2;1;2) và P(1; 1;1− )∈d

Ta có: uurIP=(0; 1; 2− − ) ⇒u IPr,uur=(0; 4; 2− − ) Suy ra: d ;( ) , 20

Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp / 4 2

Mặt phẳng (P) đi qua O có phương trình dạng : ax by cz+ + =0 (a2+ + >b2 c2 0 *) ( )

Do (P) đi qua A, suy ra: 4 a+4b= ⇔ = −0 b a

c Theo (*), suy ra ( )P x y z: − + =0 hoặc x y z− − =0

Chú ý: Kỹ năng xác định tâm và bán kính của đường tròn trong không gian.

Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R Mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đường tròn (C).

Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng

(P).

Bước 2: Tâm I’ của đường tròn (C) là giao điểm của d và mặt phẳng (P).

Bước 3: Gọi r là bán kính của (C): 2 ( ( ) ) 2

0 2;0;00

z

z x

+ Ta có: d I P( ,( ) ) =1 Gọi r là bán kính của (C), ta có : 2 ( ( ) ) 2

Dạng 2 : SỰ TƯƠNG GIAO VÀ SỰ TIẾP XÚC

Phương pháp: * Các điều kiện tiếp xúc:

+ Đường thẳng ∆là tiếp tuyến của (S)⇔ d I( ;∆ =) R

+ Mặt phẳng ( )α là tiếp diện của (S) ⇔ d I( ;( )α =) R

* Lưu ý các dạng toán liên quan như tìm tiếp điểm, tương giao.

Bài tập 1: Cho đường thẳng ( ): 1 2

I B

R H

I

B

R H

Xét tam giác IAB, có 3 2 2 15

Bài tập 9: Cho mặt cầu 2 2 2

( ) :S x +y + −z 4x−2y−6z+ =5 0 Viết phương trình tiếp tuyến

của mặt cầu (S) qua A(0;0;5) biết:

a) Tiếp tuyến có một vectơ chỉ phương ur=(1; 2;2).

∆ x = y = z Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với ∆1 và ∆2 đồng

thời tiếp xúc với (S).

Bài tập 11: Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu ( )S x: 2+y2+ +z2 2x−4y−6z+ =5 0, biết tiếp diện:

a) qua M(1;1;1)

b) song song với mặt phẳng (P) : x+2y−2z− =1 0.

b) vuông góc với đường thẳng : 3 1 2

⇔ I = ⇔R m = ⇔ m− = ⇔  =m

* Với m= −6 suy ra mặt phẳng có phương trình : x+2y−2z− =6 0

* Với m=12 suy ra mặt phẳng có phương trình : x+2y−2z+ =12 0

c) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là urd =(2;1; 2− )

Do mặt phẳng ( )α ⊥d nên ( )α nhận urd =(2;1; 2− ) làm một vectơ pháp tuyến

Suy ra mặt phẳng ( )α có dạng : 2x y+ −2z m+ =0

Do ( )α tiếp xúc với (S) ( ,( ) ) 6 3 6 9 3

153

m m

m

* Với m= −3 suy ra mặt phẳng có phương trình : x+2y−2z− =3 0

* Với m=15 suy ra mặt phẳng có phương trình : x+2y−2z+ =15 0

Câu 18. Nếu mặt cầu ( )S đi qua bốn điểm M(2; 2; 2 , ) N(4;0; 2 , ) (P 4; 2;0) và

A 2 điểm B 4 điểm C 1 điểm D 3 điểm

Câu 21. Mặt cầu ( )S tâm I(−1; 2; 3− ) và tiếp xúc với mặt phẳng

Câu 27. Cho ba điểm (6; 2;3)A − , (0;1;6)B , (2;0; 1)C − , (4;1;0)D Khi đó mặt cầu ngoại

tiếp tứ diện ABCD có phương trình là:

A.x2+y2+ −z2 4x+2y−6z− =3 0 B.x2+y2+ +z2 4x−2y+6z− =3 0

C.x2+y2+ −z2 2x y+ − − =3z 3 0 D.x2+y2 + +z2 2x y− + − =3z 3 0

Câu 28. Cho ba điểm A(2;0;1 ,) (B 1;0;0 ,) (C 1;1;1) và mặt phẳng ( )P x y z: + + − =2 0

Phương trình mặt cầu đi qua ba điểm , ,A B C và có tâm thuộc mặt phẳng ( )P

nhất tiếp xúc với ( )P và đi qua điểm A(1; 1;1− ) là:

Câu 35. Cho mặt cầu 2 2 2

( ) :S x +y + −z 2x−4y−6z− =2 0 và mặt phẳng( ) : 4α x+3y−12z+ =10 0 Mặt phẳng tiếp xúc với ( )S và song song với ( )α cóphương trình là:

Câu 37. Cho 4 điềm A(3; 2; 2 , − − ) (B 3; 2;0 , ) (C 0; 2;1) và D(−1;1; 2) Mặt cầu tâm A và

tiếp xúc với mặt phẳng (BCD có phương trình là:)

Câu 40. Cho hai mặt phẳng ( )P , ( )Q có phương trình ( )P x: −2y z+ − =1 0 và

mặt phẳng ( )Q tại điểm M , biết rằng M thuộc mặt phẳng (Oxy và có)hoành độ x M =1, có phương trình là:

Câu 41. Cho hai điểm M(1;0; 4), N(1;1;2) và mặt cầu ( ) 2 2 2

( ) : 2P x−2y z+ − =6 0 Phương trình mặt cầu ( )S đi qua A, có tâm thuộc d

đồng thời tiếp xúc với ( )P là:

Câu 47. Cho mặt cầu ( )S x: 2+y2+ −z2 2x+4y+2z− =3 0 và mặt phẳng

tại A(3; 1;1− ) và song song với mặt phẳng ( )P là:

A.

3 4

1 6 1

Câu 48. Cho điểm A(2;5;1) và mặt phẳng ( ) : 6P x+3y−2z+24 0= , H là hình chiếu

vuông góc của A trên mặt phẳng ( )P Phương trình mặt cầu ( ) S có diện tích

784π và tiếp xúc với mặt phẳng ( )P tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt

Câu 49. Cho mặt phẳng ( )P : 2x y z+ − + =5 0 và các điểm A(0;0; 4 , ) (B 2;0;0)

Phương trình mặt cầu đi qua , , O A B và tiếp xúc với mặt phẳng ( )P là:

Câu 50. Cho mặt phẳng ( )P x: +2y−2z+ =2 0 và điểm A(2; 3;0− ) Gọi B là điểm

thuộc tia Oy sao cho mặt cầu tâm B , tiếp xúc với mặt phẳng ( )P có bán

kính bằng 2 Tọa độ điểm B là:

A.(0;1;0 ) B.(0; 4;0 − ) C.(0; 2;0) hoặc (0; 4;0 − ) D.(0; 2;0 )

Câu 51. Cho hai mặt phẳng ( ) : 2P x+3y z− + =2 0, ( ) : 2Q x y z− − + =2 0 Phương trình

mặt cầu ( )S tiếp xúc với mặt phẳng ( ) P tại điểm A(1; 1;1− ) và có tâm thuộcmặt phẳng ( )Q là:

Câu 66. Phương trình mặt cầu có tâm I(4;6; 1− ) và cắt trục Ox tại hai điểm A, B

sao cho tam giác IAB vuông là:

Câu 67. Phương trình mặt cầu có tâm I( 3;− 3;0) và cắt trục Oz tại hai điểm A,

B sao cho tam giác IAB đều là:

Câu 68. Phương trình mặt cầu có tâm I(3;6; 4− ) và cắt trục Oz tại hai điểm A, B

sao cho diện tích tam giác IAB bằng 6 5 là:

Câu 69. Mặt cầu (S) có tâm I(2;1; 1− ) và cắt trục Ox tại hai điểm A, B sao cho tam

giác IAB vuông Điểm nào sau đây thuộc mặt cầu (S):

A (2;1;1 ) B (2;1;0 ) C. (2;0;0 ) D (1;0;0 )

Câu 70. Gọi (S) là mặt cầu có tâm I(1; 3;0− ) và cắt trục Ox tại hai điểm A, B sao

cho tam giác IAB đều Điểm nào sau đây không thuộc mặt cầu (S):

Câu 72. Cho điểm I(1;7;5)và đường thẳng : 1 6

Câu 74. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 2;1) và B(0;1;1)

Mặt cầu đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc trục hoành có đường kính là:

Phương trình mặt cầu có đường kính là

đoạn thẳng vuông góc chung của đường thẳng d và trục Ox là:

Câu 80. Cho hai đường thẳng

2:4

Câu 88. Cho mặt cầu ( )S : ( ) (2 ) (2 )2

x y z Phương trình mặt cầu nào

sau đây là phương trình mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua trục Oz:

D ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Phương trình mặt cầu ( )S có dạng x2+y2+ −z2 2ax−2by−2cz d+ =0 với

Câu 13. Gọi I là tâm mặt cầu ( ) 2 2 ( )2

Gọi phương trình mặt cầu (S) : 2 2 2

(4; 2; 2) ( ) 8 4 4 24

Q ∈ S ⇔ − −a b− + = −c d (4)Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có a=1, b=2, c=1, d = −8, suy ra mặt cầu (S) có

Lần lượt thay tọa độ các điểm M, N, P, Q vào phương trình mặt cầu ( )S , ta

thấy chỉ có tọa độ điểm Q thỏa mãn.

Mặt cầu ( )S tâm I, tiếp xúc với mặt phẳng ( ) ( ( ) ) 2

 Trung điểm của đoạn thẳng AB là I(2; 4;1) , AB= 22+ + −22 ( 2)2 =2 3

 Mặt cầu đường kính AB có tâm I(2; 4;1) , bán kính 3

Lưu ý : Để làm được bài này học sinh phải nhớ được phương trình tổng

Câu 27. Cho ba điểm (6; 2;3)A − , (0;1;6)B , (2;0; 1)C − , (4;1;0)D Khi đó mặt cầu ngoại

tiếp tứ diện ABCD có phương trình là:

Lưu ý : Ở bài này máy tính Casio giúp chúng ta giải nhanh chóng hệ

phương trình bậc nhất ba ấn được tạo ra để tìm các hệ số của phương trình mặt cầu tổng quát (Ta cũng có thể dùng máy tính cầm tay thay trực tiếp

Câu 28. Cho ba điểm A(2;0;1 ,) (B 1;0;0 ,) (C 1;1;1) và mặt phẳng ( )P x y z: + + − =2 0.

Phương trình mặt cầu đi qua ba điểm , ,A B C và có tâm thuộc mặt phẳng ( )P

Lưu ý : Ở câu này nếu nhanh trí chúng ta có thể sử dụng máy tính cầm tay

thay ngay tọa độ tâm của các mặt cầu ở 4 đáp án trên vào phương trình

 Vì ( )S đi qua , A B nên ta có

nhất tiếp xúc với ( )P và đi qua điểm A(1; 1;1− ) là:

 Gọi M là hình chiếu của I(1;2;3) lên mặt phẳng (Oxz , ta có: ) M(1;0;3)

 Vì mặt phẳng ( )P tiếp xúc với mặt cầu ( ) S tại điểm M nên mặt phẳng ( )P

qua M(7; 1;5− ) và có vectơ pháp tuyến n IMr uuur= =(6; 2;3)

 Vậy phương trình mặt phẳng ( )P : 6x+2y+ −3z 55 0=

Lựa chọn đáp án C.

Lưu ý : Vì mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm M(7; 1;5− ) nên điểm M

phẳng cần tìm bằng IM cũng chính là bán kính mặt cầu Từ các nhận xét

đó để tìm ra đáp án của bài này ta có thể làm như sau:

B1: Thay tọa độ M vào các đáp án để loại ra mặt phẳng không chứa M

B2: Tính IM và d I P và kết luận ( ;( ) )

Câu 35. Cho mặt cầu ( ) :S x2 +y2+ −z2 2x−4y−6z− =2 0 và mặt phẳng

( ) : 4α x+3y−12z+ =10 0 Mặt phẳng tiếp xúc với ( )S và song song với ( )α cóphương trình là:

D ( thỏa điều kiện)

 Vậy phương trình mặt phẳng ( ) : 4β x+3y−12z+78 0= hoặc

( ) : 4β x+3y−12z−26 0=

Lựa chọn đáp án D.

Lưu ý: Nếu hình dung phác họa hình học bài toán được thì ta có thể dự

đoán được có 2 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 36. Cho mặt cầu ( ) (2 )2 2

Nên mặt cầu ( )S cắt trục Oz tại A(0;0; 3− ) và B(0;0;3)

Gọi ( )α là tiếp diện của mặt cầu ( )S tại B

 Mặt phẳng ( )α qua B(0;0;3) và có vectơ pháp tuyến n IBr uur= = −( 2;1;3)

 Vậy phương trình mặt phẳng ( ) : 2α x y− − + =3z 9 0

Lựa chọn đáp án A.

Câu 37. Cho 4 điềm A(3; 2; 2 , − − ) (B 3; 2;0 , ) (C 0; 2;1) và D(−1;1; 2) Mặt cầu tâm A và

tiếp xúc với mặt phẳng (BCD có phương trình là:)

 ar =(2; 2;1− )là vectơ chỉ phương của d.

 Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d là trung điểm của AB⇒HA=3

Câu 40. Cho hai mặt phẳng ( )P , ( )Q có phương trình ( )P x: −2y z+ − =1 0 và

mặt phẳng ( )Q tại điểm M , biết rằng M thuộc mặt phẳng (Oxy và có)hoành độ x M =1, có phương trình là:

 Vì M∈(Oxy và có hoành độ bằng 1 nên ) M(1; ;0y )

 Lại có, mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng ( )Q nên M∈( )Q ⇒M(1; 5;0− )

 Gọi I a b c là tâm của mặt cầu ( )( ; ; ) S cần tìm

Ta có ( )S tiếp xúc với mp ( )Q tại M nên IM ⊥( )Q

 Vì ( )P qua M, N nên nr⊥MNuuuur⇔n MNr uuuur = ⇔ −0 B 2C=0 1( )

 Mặt phẳng ( )P qua M(1;0; 4) và nhận rn=(A B C, , ) là vectơ pháp tuyến nên

Câu 42. Cho hai điểm A(1; 2;3 , − ) (B −1;0;1) và mặt phẳng ( )P x y z: + + + =4 0.

tiếp xúc với 2 mặt phẳng ( ) ( )P1 , P , có phương trình:2

( ) : 2P x−2y z+ − =6 0 Phương trình mặt cầu ( )S đi qua A, có tâm thuộc d

đồng thời tiếp xúc với ( )P là:

Câu 45. Cho mặt phẳng ( )P x: −2y−2z+ =10 0 và hai đường thẳng

; ∆2 đi qua điểm (2;0; 3)A − và có vectơ chỉ phương uura2 =(1;1;4)

 Giả sử I(2+t t; ;1− ∈∆t) 1 là tâm và R là bán kính của mặt cầu ( )S

 Ta có: uurAI =( ; ;4t t −t ) ⇒uur uurAI a, 2 = (5t−4; 4 5 ;0)− t ⇒ ( ) 2

d I

a

2 2 2(1 ) 10 10( ,( ))

Câu 47. Cho mặt cầu ( ) 2 2 2

: + + −2 +4 +2 − =3 0

tại A(3; 1;1− ) và song song với mặt phẳng ( )P là:

A.

3 4

1 6 1

 Mặt cầu ( )S có tâm I(1; 2; 1− − ⇒) uurIA=(2;1; 2)

 Đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu ( )S tại

721

và song song với mặt

phẳng ( )P nên đường thẳng d có vettơ chỉ phương uura d =uuur uurn( )P ,IA=(4; 6; 1− − )

 Vậy phương trình đường thẳng

3 4: 1 6 1

Câu 48. Cho điểm A(2;5;1) và mặt phẳng ( ) : 6P x+3y−2z+24 0= , H là hình chiếu

vuông góc của A trên mặt phẳng ( )P Phương trình mặt cầu ( ) S có diện tích

784π và tiếp xúc với mặt phẳng ( )P tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt

 Gọi ,I R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu.

Theo giả thiết diện tích mặt cầu bằng 784π, suy ra 2

4πR =784π ⇒ =R 14

Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng ( )P tại H nên IH ⊥( )P ⇒ ∈I d

Do đó tọa độ điểm I có dạng I(2 6 ;5 3 ;1 2+ t + t − t , với ) t≠ −1

 Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa mãn:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

14( ,( )) 14

Câu 49. Cho mặt phẳng ( )P : 2x y z+ − + =5 0 và các điểm A(0;0; 4 , ) (B 2;0;0)

Phương trình mặt cầu đi qua , , O A B và tiếp xúc với mặt phẳng ( )P là:

Câu 50. Cho mặt phẳng ( )P x: +2y−2z+ =2 0 và điểm A(2; 3;0− ) Gọi B là điểm

thuộc tia Oy sao cho mặt cầu tâm B , tiếp xúc với mặt phẳng ( )P có bán

kính bằng 2 Tọa độ điểm B là:

A.(0;1;0 ) B.(0; 4;0 − ) C.(0; 2;0) hoặc (0; 4;0 − ) D.(0; 2;0 )

Hướng dẫn giải

 Vì B thuộc tia Oy nên B(0; b;0) (với b>0)

 Bán kính của mặt cầu tâm B , tiếp xúc với ( )P là ( ,( ) ) 2 2

Câu 51. Cho hai mặt phẳng ( ) : 2P x+3y z− + =2 0, ( ) : 2Q x y z− − + =2 0 Phương trình

mặt cầu ( )S tiếp xúc với mặt phẳng ( ) P tại điểm A(1; 1;1− ) và có tâm thuộcmặt phẳng ( )Q là:

A. ( ) (2 ) (2 )2

( ) :S x+3 + +y 7 + −z 3 =56 B. ( ) (2 ) (2 )2

( ) :S x−3 + −y 7 + +z 3 =56

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng( )d đi qua M(1; 1; 2− )và có vectơ chỉ phương ur=(1; 2;1)

Gọi H là hình chiếu của I trên (d) Ta có: ( ; )  ,  5

r uuurr

Đường thẳng( )d đi qua M(−1; 3; 2)và có vectơ chỉ phương ur=(1; 2;1)

Gọi H là hình chiếu của I trên (d) Ta có : ( ; )  ,  18

r uuurr

Đường thẳng d đi qua M(1; 1; 2− )và có vectơ chỉ phương ur=(1; 2;1)

Gọi H là hình chiếu của I trên D Ta có : ( ; )  ,  5

r uuurr

Câu 59. Cho điểm I(1;0;0)và đường thẳng

1: 1 2

Đường thẳng d đi qua M(−1; 3; 2)và có vectơ chỉ phương ur=(1; 2;1)

Gọi H là hình chiếu của I trên D Ta có : ( ; )  ,  18

r uuurr

Đường thẳng d đi qua M(−1; 3; 2)và có vectơ chỉ phương ur=(1; 2;1).

Gọi H là hình chiếu của I trên D Ta có : ( ; )  ,  18

r uuurr

Đường thẳng d đi qua M(−1; 3; 2)và có vectơ chỉ phương ur=(1; 2;1)

Gọi H là hình chiếu của I trên D Ta có: ( ; )  ,  18

r uuurr

Gọi H là hình chiếu của I(3; 3; 7− ) trên Oy⇒H(0; 3;0) ⇒ =R IH = 58

Vậy phương trình mặt cầu là: ( )2 ( )2 ( )2

Gọi H là hình chiếu của I( 5;3;9) trên Ox⇒H( 5;0;0) ⇒ =R IH = 90

Vậy phương trình mặt cầu là: ( )2 ( ) (2 )2