PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  Vectơ nr r�0 là vectơ pháp tuyến VTPT nếu giá của nr vuông góc với mặtphẳng   Chú ý:  Nếu nr là một VTPT của mặt phẳng  thì knr k�0 cũng là một VTP

CHỦ ĐỀ 3 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

A TỔNG HỢP LÝ THUYẾT

I Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

 Vectơ nr r�0 là vectơ pháp tuyến (VTPT) nếu giá của nr vuông góc với mặtphẳng ( )

 Chú ý:

 Nếu nr là một VTPT của mặt phẳng ( ) thì knr

(k�0) cũng là một VTPTcủa mặt phẳng( )

 Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua vàmột VTPT của nó

 Nếu u vr r ,

có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng ( ) thì nr [ , ]u vr r làmột VTPT của ( )

II Phương trình tổng quát của mặt phẳng

 Trong không gian Oxyz, mọi mặt phẳng đều có dạng phương trình:

0

Ax By Cz D    vớiA2B2C2 �0

 Nếu mặt phẳng ( ) có phương trình Ax By Cz D   0 thì nó có mộtVTPT là n A B Cr ( ; ; )

 Nếu D thì mặt phẳng 0 ( ) đi qua gốc tọa độ O

 Nếu A0,B�0,C�0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc chứa trục Ox

 Nếu A�0,B0,C�0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc chứa trục Oy

 Nếu A�0,B�0,C0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc chứa trục Oz

 Nếu A B 0,C�0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc trùng với Oxy

 Nếu A C 0,B�0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc trùng với Oxz

 Nếu B C 0,A�0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc trùng với Oyz

IV Góc giữa hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng   :A x B y C z D1  1  1  1 0 và

uur uur

V Một số dạng bài tập về viết phương trình mặt phẳng

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp

tuyến của nó.

Phương pháp giải

Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua 1 điểm M x y z0 0; ;0 0và song song với 1 mặt phẳng   :Ax By Cz D   0cho trước.

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua 3 điểm A , B , C không thẳng hàng.

Phương pháp giải

1 Tìm tọa độ các vectơ: uuur uuurAB AC,

2 Vectơ pháp tuyến của  là : n  ��AB AC, ��

uur uuur uuur

3 Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B hoặc C)

4 Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT nuur

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng 

Phương pháp giải

1 Tìm VTCP của  là u

r

2 Vì     nên   có VTPT nuur uur u

3 Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1VTPT nuur

4 Lấy một điểm M trên 

5 Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1VTPT

Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng   qua hai điểm A , B và vuông góc với mặt phẳng  

với �  (  , �  chéo nhau).

4 Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1VTPT.

3 Lấy một điểm M trên 

4 Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1VTPT

Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng   chứa 2 song song  và �

với hai đường thẳng  và �  chéo nhau cho trước.

với hai mặt phẳng    P , Q cho trước.

1 Trên mặt phẳng   chọn 1 điểm M.

2 Do   //  nên   có phương trình Ax By Cz D�   0 ( D�� ).D

3 Sử dụng công thức khoảng cách d      ,  d M ,   k để tìm D�.

Dạng 14: Viết phương trình mặt phẳng   song song với mặt phẳng

  :Ax By Cz D   0cho trước và cách điểm M một khoảng k cho trước.

1 Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu  S

2 Nếu mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu  S tại M � S thì mặtphẳng   đi qua điểm M và có VTPT là MIuuur

3 Khi bài toán không cho tiếp điểm thì ta phải sử dụng các dữ kiện củabài toán tìm được VTPT của mặt phẳng và viết phương trình mặt phẳng códạng: Ax By Cz D   0 ( D chưa biết).

Sử dụng điều kiện tiếp xúc: d I ,   để tìm D  R

với một mặt phẳng   :Ax By Cz D   0cho trước một góc  cho trước.

4 Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1VTPT

Mặt phẳng ( )P đi qua điểm M(0;1;3) nên thay tọa độ điểm M vào phương

trình mặt phẳng phải thỏa mãn Ta được: 2.0 3.3  D 0� D9(thỏa mãn1

r uuur nên nr cùng phương với ��uuur uuurAB AC, ��.

Chọn nr (7; 3;1)  ta được phương trình mặt phẳng (ABC)là:

7(x 1) 3(y 0) 1(z 2) 0

7x3y z  5 0

Ví dụ 4 Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua

điểm O và vuông góc với đường thẳng : 1 2

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: uuurd (1; 2;1)

Mặt phẳng( ) vuông góc với đường thẳng dnên ( ) có một vectơ pháptuyến là: nuur uur u d (1; 2;1)

Đồng thời ( ) đi qua điểm O nên có phương trình là: x2y z 0

Ví dụ 5 Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa

Mặt phẳng( ) chứa A , B và vuông góc với   nên ( ) có một vectơ pháptuyến là: nuur ��uuur uurAB n, ��15;7;1.

Đường thẳng d1 đi qua điểm M1(1;1;1) vectơ chỉ phương uur1(0; 2;1)

Đường thẳng d2 đi qua điểm M2(1;0;1) vectơ chỉ phương uuur2(1; 2; 2)

Đường thẳng d1 đi qua điểm M1(1;1;1) vectơ chỉ phương uur1(0; 2;1)

Đường thẳng d2 đi qua điểm M2(1;1;1) vectơ chỉ phương uuur2(3; 2;1)

Ta có ��u uur uur1, 2�� 0;3;6, M Muuuuuur1 2 0;0;0

Do M M u uuuuuuur ur uur1 2��1, 2�� 0 nên đường thẳng d d cắt nhau.1, 2

Mặt phẳng( ) chứa đường thẳng d d cắt nhau nên 1, 2 ( ) có một vectơ pháptuyến là: nuur ��u uur uur1, 2��0;3;6 3 0;1; 2

Đường thẳng d1 đi qua điểm M1(1;1;1) vectơ chỉ phương uur1(0; 2;1)

Đường thẳng d2 đi qua điểm M24;3;1 vectơ chỉ phương uuur20; 4; 2 

Ta có ��u uur uur1, 2�� 0r, M Muuuuuur1 2 3; 2;0 

Do ��u uur uur1, 2�� 0r nên đường thẳng d d song song1, 2

Mặt phẳng( ) chứa đường thẳng d d song song nên 1, 2 ( ) có một vectơpháp tuyến là: nuur ��u M Mur uuuuuur1, 1 2��  2;3;6  2; 3; 6  .

Phương trình mặt phẳng   là: 2x3y6z 7 0

Ví dụ 11 Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng( )P đi qua

điểm A(1;0; 2) và ( )P song song với hai đường thẳng 1

Đường thẳng d1 đi qua điểm M1(1;1;1) vectơ chỉ phương uur1(0; 2;1)

Đường thẳng d2 đi qua điểm M2(1;0;1) vectơ chỉ phương uuur2(1; 2; 2)

Ví dụ 12 : Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P đi quađiểm M( ; ; ) 1 2 5 và vuông góc với hai mặt phẳng ( ) :Q x2y  3z 1 0 và

( ) : 2R x3y z  1 0

Lời giải

VTPT của ( )Q là nuurQ(1; 2; 3) , VTPT của ( )R là nuurR(2; 3;1).

Ta có ��n nuur uurQ, R�   � ( 7; 7; 7) nên mặt phẳng ( )P nhận nr (1;1;1)

là một VTPT và

( )P đi qua điểm M( ; ; ) 1 2 5 nên có phương trình là: x y z   2 0

Ví dụ 13: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P songsong với mặt phẳng ( ) :Q x2y2z 1 0 và cách ( )Q một khoảng bằng 3

D D

x y z 

Ví dụ 14 : Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P songsong với mặt phẳng ( ) :Q x2y2z 1 0 và ( )P cách điểm M( ; ; )1 2 1 mộtkhoảng bằng 3

D D

x y z 

Ví dụ 16 : Trong mặt phẳng Oxyz, cho mặt phẳng  P và đường thẳng d

lần lượt có phương trình  P x: 2y z  5 0 và : 1 1 3

2

x

d     y z Viếtphương trình mặt phẳng  Q chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng

B BÀI TẬP

Câu 1 Chọn khẳng định sai

A Nếu n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ) (P thì kn kr ( �� cũng là)một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P )

B Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm nó đi qua và

một vectơ pháp tuyến của nó

C Mọi mặt phẳng trong không gian Oxyz đều có phương trình dạng:

Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng   :Ax By Cz D    0

Tìm khẳng định sai trong các mệnh đề sau:

A A0,B�0,C�0,D� khi và chỉ khi 0   song song với trục Ox

B D0 khi và chỉ khi   đi qua gốc tọa độ

C. A�0,B0,C�0,D0 khi và chỉ khi   song song với mặt phẳng Oyz

D A0,B0,C �0,D� khi và chỉ khi 0   song song với mặt phẳng Oxy 

Câu 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A a ;0;0, B0; ;0b  , C0;0;c ,

abc� Khi đó phương trình mặt phẳng 0 ABC là:

A

x y z 1

b a c  

Câu 7. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Mặt phẳng (P) là     cóx 3z 2 0

phương trình song song với:

A

Trục Oy B Trục Oz C Mặt phẳng Oxy D Trục Ox.

Câu 8. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) có phương trình

Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;0;1),B(2;1;1)

Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:

A Mặt phẳng   đi qua điểm A và song song với mặt phẳng   ;

B Mặt phẳng   đi qua điểm A và không song song với mặt phẳng   ;

C Mặt phẳng   không đi qua điểm A và không song song với mặt phẳng

  ;

D Mặt phẳng   không đi qua điểm A và song song với mặt phẳng   ;

Câu 17. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm M2; 1;3  và các mặt

Câu 19. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz Mặt phẳng đi qua M1; 4;3 và

vuông góc với trục Oy có phương trình là:

C z  3 0 D x4y3z 0

Câu 20. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng

  : 6x3y2z  Khẳng định nào sau đây sai?6 0

;0

;4(),4

;0

;5(),6

;2

;1(),3

;1

;5

;0

;4(),4

;0

;5(),6

;2

;1(),3

;1

;5

A Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và

song song với CD

A.2x5y z  18 0 B.2x y3z60

C.2x yz40 D.x y z   9 0

Câu 24. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi (P)là mặt phẳng chứa trục Ox

và vuông góc với mặt phẳng (Q):xyz 30 Phương trình mặt phẳng (P)

Câu 28. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng   đi qua M0; 2;3  ,

song song với đường thẳng : 2 1

Câu 30. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi ( )a là mặt phẳng qua các hình

chiếu của A(5; 4;3) lên các trục tọa độ Phương trình của mặt phẳng ( )a là:

A 5x+9y- 14z= 0 B.x y- - 7= 0

C 5x+9y- 14z- 7=0 D 5- x- 9y- 14z+ = 7 0

Câu 32. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , có bao nhiêu mặt phẳng song

song với mặt phẳng ( ) :P x y z    và tiếp xúc với mặt cầu6 0

12:

)

(S x2y2 z2  ?

Câu 34. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

  : 3xm1 y4z  , 2 0   :nxm2 y2z  Với giá trị thực của ,4 0 m n

bằng bao nhiêu để   song song  

A m3;n  6 B m3;n 6 C m 3;n6 D.m 3;n  6

Câu 35. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

 P x my:  m1z  , 2 0  Q : 2x y     Giá trị số thực m để hai mặt3z 4 0phẳng    P , Q vuông góc

Câu 36. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Cho hai mặt phẳng

  :x2y2z  , 3 0   :x2y2z  Khoảng cách giữa hai mặt phẳng8 0

Câu 37. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P x: 2y z   1 0

Gọi mặt phẳng  Q là mặt phẳng đối xứng của mặt phẳng  P qua trục

tung Khi đó phương trình mặt phẳng  Q là ?

A.x2y z  1 0 B.x2y z  1 0 C.x2y z   D1 0 .x2y z   1 0

Câu 38. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 P : 2x3y   Gọi mặt phẳng 5z 4 0  Q là mặt phẳng đối xứng của mặt

phẳng  P qua mặt phẳng ( Oxz Khi đó phương trình mặt phẳng )  Q là ?

A  P : 2x3y  5z 4 0 B  P : 2x3y   5z 4 0

C  P : 2x3y  5z 4 0 D  P : 2x3y   5z 4 0

Câu 39. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, ( )a là mặt phẳng đi qua điểm A(2; 1;5- )

và vuông góc với hai mặt phẳng ( )P : 3x- 2y+ + = vàz 7 0

Câu 41. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi   là mặt phẳng qua G1;2;3 và

cắt các trục Ox Oy Oz, , lần lượt tại các điểm A B C, , (khác gốc O ) sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC Khi đó mặt phẳng   có phương trình:

A.3x6y2z 18 0 B.6x3y2z 18 0

C.2x y   3z 9 0 D.6x3y2z 9 0

Câu 42. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi   là mặt phẳng song song với

mặt phẳng   : 2x4y4z  và cách điểm 3 0 A2; 3;4  một khoảng k 3Phương trình của mặt phẳng   là:

Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,mặt phẳng ( )a đi qua điểm M(5;4;3) và

cắt các tia Ox,Oy, Oz các đoạn bằng nhau có phương trình là:

C.5x+4y+ -3z 50=0 D.x- y+ =z 0

Câu 46. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi (P)là mặt phẳng chứa trục Oy

và tạo với mặt phẳng yz1 0 góc 600 Phương trình mặt phẳng (P) là:

0

z x

z x

0

y x

y x

01

z x

z x

02

z x

z x

Câu 47. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình cầu

Câu 48. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , tam giác ABC có A1, 2, 1 , B2,1, 0,

2,3, 2

C Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC Khoảng cách từ A đến

mặt phẳng OGB bằng bao nhiêu ?

A.  : 3x z 0 B.  : 3x z 0

C.  : 3x z  2 0 D.  :x3z0

Câu 50. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi (P)là mặt phẳng song song

với mặt phẳng Oxz và cắt mặt cầu (x 1)2(y2)2z2 12theo đường tròn cóchu vi lớn nhất Phương trình của (P) là:

A.x 2y10 B.y 2 0 C.y1 0 D.y2 0

Câu 51. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;3) Gọi ( ) là mặt

phẳng chứa trục Oy và cách M một khoảng lớn nhất Phương trình của ( )là:

Câu 53. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm N1;1;1 Viết phương trình

mặt phẳng  P cắt các trục Ox Oy Oz, , lần lượt tại A B C, , (không trùng vớigốc tọa độO ) sao cho N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

A. P x y z:    3 0 B. P x y z:    1 0

C. P x y z:    1 0 D. P x: 2y z  4 0

Câu 54. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng  P đi

qua hai điểm A(1;1;1), B0;2; 2 đồng thời cắt các tia Ox Oy, lần lượt tại haiđiểm M N, (không trùng với gốc tọa độO ) sao cho OM 2ON

A. P1 : 4x2y7z 15 0; P2 :x5 y  z 10 0.

B. P1 : 6x4y7z 5 0; P2 : 3x y 5z 10 0

C. P1 : 6x4y7z 5 0; P2 : 2x  3z 5 0

D  P1 : 3x5y7z20 0;  P2 :x3y  3z 10 0

Câu 56. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A2;1;3 ; B 3;0;2 ; C 0; 2;1 

Phương trình mặt phẳng  P đi qua A B, và cách C một khoảng lớn nhất ?

Câu 58. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm G(1;4;3) Viết phương

trình mặt phẳng cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A ,,B C sao cho G là trọng tâm tứ diện OABC ?

4 16 12

1216

4  

z y x

912

3  

z y x

912

3  

z y x

Câu 59. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;3) Mặt phẳng(P)

qua M cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A B C, , sao cho thể tích khối tứ diện

thời cắt mặt cầu  S theo đường tròn có bán kính bằng r2 2

A 2x2y  3z 11 0; 2x2y 3z 23 0

B 2x2y  3z 11 0; 2x2y 3z 23 0

C 2x2y  3z 11 0; 2x2y 3z 23 0

D 2x2y  3z 11 0; 2x2y 3z 23 0

Câu 62. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho 3 điểm A1;1; 1 , B1;1;2 ,

 1;2; 2

C   và mặt phẳng  P x: 2y2z  Lập phương trình mặt phẳng1 0

  đi qua A , vuông góc với mặt phẳng  P cắt đường thẳng BC tại I sao

cho IB2IC biết tọa độ điểm I là số nguyên

Câu 66. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho  P x: 4y   ,2z 6 0

 Q x: 2y4z  Lập phương trình mặt phẳng 6 0   chứa giao tuyến của

   P , Q và cắt các trục tọa độ tại các điểm A B C, , sao cho hình chóp O ABC

là hình chóp đều

A.x y z   6 0 B.x y z   6 0 C.x y z   6 0 D x y z   3 0

C ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

A Nếu n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ) (P thì kn kr ( �� cũng là)một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P )

B Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm nó đi qua và

một vectơ pháp tuyến của nó

C Mọi mặt phẳng trong không gian Oxyz đều có phương trình dạng: