Bất đẳng thức bất phương trình

bất đẳng thức bất phương trình

Trang 1

BÀI 1 BẤT ĐẲNG THỨC

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa

- Các mệnh đề dạng “a < b” hoặc “a > b” được gọi là bất đẳng thức

+ Ta còn gặp bất đẳng thức có dấu bằng: “a ≥ b” hoặc “a≤ b” (còn gọi là bất đẳng thức không ngặt)

+ Nếu bất đẳng thức a < b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau

+ Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đúng

+ Sử dụng một BĐT đúng, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh

Trang 2

+ Biến đổi vế trái hoặc về phải

Một số BĐT đúng thường dùng:

i.A2≥ 0 ii.A2 + B2 ≥ 0 3i.A.B ≥ 0 với A, B ≥ 0 4i.A2 + B2≥ 2A.B

Chú ý:

– Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các hằng đẳng thức

– Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra Khi đó ta có thể tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Bài 1 Chứng minh rằng: với a, b cùng dấu (tức a.b > 0)

Bài 2 Cho a, b, c, d, e ∈ R Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Bài 5 Cho a, b, c, d ∈ R Chứng minh rằng a2 + b2≥ 2ab (1) Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:

Trang 3

Bài 6 Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh rằng nếu Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau:

HD: BĐT đã cho ⇔( a – bc)2 + (b – ca)2 + (c – ab)2≥ 0

Bài 3 Cho a, b, c ∈ R Chứng minh các bất đẳng thức sau: a4 +

Trang 4

Bài 1 Cho a, b, c ≥ 0 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Bài 3 Cho a, b, c > 0 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Trang 5

Bài 4 Cho a, b > 0 Chứng minh Áp dụng chứng minh các BĐT sau:

Bài 2 Cho a, b, c > 0 Chứng minh các bất đẳng thức sau: 9(a3 + b3 + c3) ≥ (a + b + c)3

HD: Áp dụng bài 3b) ta có: 9(a3 + b3 + c3) ≥ 3(a + b + c)(a2 + b2 + c2)

Trang 6

Từ đó ta được: 3(a2 + b2 + c2) ≥ (a + b + c)2 ⇒ đpcm.

Bài 3 Cho a, b > 0 Chứng minh (1) Áp dụng chứng minh các BĐT sau:

b Cho x, y, z > 0 thoả x + 2y + 4z = 12 Chứng minh:

c Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi Chứng minh rằng:

HD a Theo (1):

Cùng với các BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta được đpcm

b Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z thì a + b + c = 12 ⇒ đpcm

c Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c

Áp dụng (1) ta được:

Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta được đpcm

BÀI 3 BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Trang 7

1 Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

2 Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác

Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có:

Bài 2 Chứng minh rằng nếu: |a| + |b| = a + b thì a, b ≥ 0

Bài 3 Bài 10 – Trang 110 – SGK - Đại số 10 – Nâng cao

a Chứng minh rằng nếu x ≥ y ≥ 0 thì

b Chứng minh rằng đối với hai số tùy ý a, b ta có

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Trang 8

Bài 4 B2 – Trang 109 – SGK - Đại số 10 – Nâng cao

Chứng minh rằng nửa chu vi của một tam giác lớn hơn độ dài mỗi cạnh của tam giác đó

Bài 5 (Bài 3 – Trang 79 – SGK – Đại số 10 – Cơ bản)

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác

a) Chứng minh (b – c)2 < a2

b) Từ đó suy ra a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)

Bài 6 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh:

Trang 9

Bài 2 Chứng minh rằng:

Bài 3.

a Chứng minh rằng: |ab + bc + ca| ≤ a2 + b2 + c2

b Cho a, b, c ∈ R \ {0} Chứng minh:

c Cho a, b ∈ R, thỏa mãn a3 + b3 = 2 Chứng minh : a2 + b2 ≤ 2

Bài 4 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Trang 10

BÀI 5 ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TÌM GTLN VÀ GTNN

I TÓM TĂT LÝ THUYẾT

Tìm GTLN của một tích: A.B

+ Kiểm tra A, B > 0: A + B = const

+ Tích A.B đạt GTLN khi và chỉ khi A = B

Tìm GTNN của một tổng: A + B

+ Kiểm tra A, B > 0: A.B= const

+ Tổng A + B đạt GTNN khi và chỉ khi A = B

Sử dụng điều kiện dấu bằng xảy ra của BĐT thông dụng, BĐT Cô-si, Bu-nhi-cốp-ski,

Lưu ý: GTLN, GTNN phải đạt được khi có dấu “=” xảy ra

Trang 11

b y = x + 3 + 1/(x + 3) (x > -3)

c y = 2x +36/(2x - 4) ( x > 2)

Bài 3 Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau:

Bài 4 Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau:

Trang 12

Nếu ab + xy ≥ 0 thì bình phương 2 vế ta được: (*) ⇔ (bx – ay)2≥ 0 (đúng).

Bài 3

a Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 1 Chứng minh:

Trang 13

b Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = √3 Tìm GTNN của biểu thức:

+ Kiểm tra A, B > 0: A + B = const

+ Tích A.B đạt GTLN khi và chỉ khi A = B

Tìm GTNN của một tổng: A + B

+ Kiểm tra A, B > 0: A.B = const

+ Tổng A + B đạt GTNN khi và chỉ khi A = B

Sử dụng điều kiện dấu bằng xảy ra của BĐT thông dụng, BĐT Cô-si, Bu-nhi-cốp-ski,

Lưu ý: GTLN, GTNN phải đạt được khi có dấu “=” xảy ra

II BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1 Cho ba số a, b, c tỏa mãn điều kiện ab + bc + ca =1 Tìm GTNN của biểu thức A = a2 + b2 + c2

Bài 2 Cho 2x + 5y = 7 Tìm GTNN của M = 2x2 + 5y2 + 2006

Trang 14

Bài 3 Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 4 Cho x, y > 0 Tìm GTNN của các biểu thức sau:

Bài 5 Tìm GTLN của các biểu thức sau:

Bài 6 Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau:

b C = y – 2x + 5, với 36x2 + 16y2 = 9

III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1 Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau:

Trang 15

BÀI 7 BÀI TẬP NÂNG CAO VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

Khi gặp bài toán chứng minh bất đẳng thức, có thể nghĩ tới các hướng giải sau:

1 Dùng biến đổi tương đương, định nghĩa, tính chất BĐT

2 Dùng bất đẳng thức Cô-si cho các số không âm

3 Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki

4 Kết hợp hợp nhiều phương pháp

II PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Bài 1 Cho a, b, c ∈ R Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Bài 2 Cho a, b ≥ 0 Chứng minh bất đẳng thức: a3 + b3≥ a2b + b2a = ab(a + b) (1) Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:

Trang 16

Bài 3 Cho ba số không âm a, b, c và a + b +c ≤ 3 Chứng minh :

Bài 4 Cho x, y > 0 Chứng minh rằng:

Bài 5 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

Trang 17

Bài 2 Cho a, b, c > 0 Chứng minh (1) Áp dụng chứng minh các BĐT sau:

a Cho a, b, c > 0 thoả a + b + c ≤ 1 Tìm GTNN của biểu thức:

b Cho a, b, c > 0 thoả a + b + c = 1 Chứng minh:

Bài 3 Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z ≤ 1 Chứng minh rằng:

HD: Áp dụng BĐT (B), ta có:

Trang 18

BÀI 8 ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

*Số x0 thuộc D là một nghiệm của bpt f(x) < g(x) nếu f(x0) = g(x0) là mđề đúng

*Giải 1 bpt là tìm tất cả các nghiệm (hay tìm tập nghiệm) của bpt đó

2 Bất phương trình tương đương:

Định nghĩa:

f1(x) = g1(x)<=>f2(x) = g2(x) nếu hai bpt có cùng tập nghiệm

3 Biến đổi tương đương các bpt:

Phép biến đổi tương đương biến 1 bpt thành 1 bpt tương đương với nó

Định lý:Cho bpt f(x) < g(x) có txđ D; y=h(x) là 1 hs xđ trên D

Khi đó trên D, bpt f(x) < g(x) t đương với mỗi pt sau:

Trang 19

II PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

VẤN ĐỀ 1: Thử nghiệm,xét tính tương đương, xét dấu của nhị thức bậc nhất Bài 1 Cho bất phương trình:

Kiểm tra xem các nghiệm giá trị x sau đây có phải là nghiệm của BPT trên hay không?

a x = 0 b x = -2 c x = 3 d x = -4

Bài 2 Xét từng cặp bất phương trình sau có tương đương không ?

Bài 3 Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm :

Bài 4 Bài 2 – Trang 88 – SGK – Đại số 10 – Cơ bản

Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm

Trang 20

Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương?

Bài 1 Tìm các giá trị x thoả mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau:

Bài 2 Giải các bất phương trình sau:

BÀI 9 NHỊ THỨC BẬC NHẤT VÀ ỨNG DỤNG

Định nghĩa

Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng:

f(x) = ax + b trong đó a, b là hai số đã cho, a ≠ 0

Nghiệm của ptrinh f(x) = 0 là nghiệm của nhị thức f(x)

Phương pháp giải bất phương trình

+ Biến đổi BPT về một trong các dạng: f(x) > 0 (hoặc <, ≤, ≥ 0)

+ Lập bảng xét dấu của f(x)

+ Dựa vào bảng xét dấu để rút ra tập nghệm của BPT

Trang 21

Bài 1 Xét dấu của các biểu thức sau:

Bài 2 Xét dấu của các biểu thức sau:

Trang 22

HD: có thể xét dấu từng biểu thức trong trị tuyệt đối hoặc vẽ đồ thị

ĐS: -3 < x < 3

Bài 2 Giải các bất phương trình sau :

Bài 3 Giải các bất phương trình

Bài 4 Giải các bất phương trình sau :

Trang 23

Bài 2 Giải và biện luận các bất phương trình sau:

a (m + 1)x + m < 3m + 4 d mx + 1 > m2 + x

Bài 5 Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:

Trang 24

2 Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

Dạng: (2) (trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất)

Cách giải: Lập bảng xét dấu của Từ đó suy ra tập nghiệm của (2)

Chú ý: Không nên qui đồng và khử mẫu

3 Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ

Tương tự như giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính

Trang 25

Bài 3 Giải các bất phương trình sau :

BÀI 12 HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Trang 26

Giải hệ bpt bậc nhất một ẩn:

Muốn giải hệ bpt một ẩn, ta giải từng bpt của hệ rồi lấy giao của các tập nghiệm thu được.Chẳng hạn:

Bước 1: Giải (1) tìm tập nghiệm T1

Bước 2: Giải (2) tìm tập nghiệm T2

Bước 3: Tập nghiệm của hệ BPT là T = T1∩T2

Bài 3 Giải các hệ bất phương trình sau:

Bài 4 Tìm các nghiệm nguyên của các hệ bất phương trình sau:

Trang 27

Bài 5 Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

Bài 1 Giải hệ bất phương trình sau:

Bài 2 Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

BÀI 13 HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SÔ

Trang 28

Trong thực tế, chọn một điểm M(xo, yo) và thử vào bất phương trình: nếu tọa độ điểm M thỏa bất phương trình => Nửa mặt phẳng chứa M là miền nghiệm.

Bài 1 (Bài 1 – Trang 99 – SGK – Đại số 10 – Cơ bản)

Biểu diễn hình học tập nghiệm của các bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau

a –x + 2 + 2(y – 2) < 2(1 – x)

b 3(x – 1) + 4(y – 2) < 5x – 3

Biểu diễn hình học tập nghiệm của các hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau

Bài 3.Giải BPT bậc nhất hai ẩn số sau : (x - 3) + 2(y – 2) > 2x + 5 (1)

Bài 4 Giải hệ các BPT bậc nhất hai ẩn sau :

Bài 5 Bác Hai Thành dự định trồng hạt tiêu và hạt điều trên diện tích 8a Nếu trồng 1a hạt điều cần

20 công và thu hoạch được 40 triệu đồng Nếu trồng 1a hạt tiêu cần 30 công và thu hoạch 50 triệu đồng Bạn nên chỉ giúp Bác Hai Thành cần trồng mỗi thứ mấy a để thu hoạch tối đa.Tìm số thu hoạch tối đa đó, biết rằng dùng không quá 180 công cho việc trồng tiêu và hạt điều

Trang 29

Bài 3 Giả sử (x1; y1) và (x2; y2) là hai nghiệm của BPT :

Chứng minh rằng nếu với p > 0, q > 0, p + q = 1 thì (px1 + qx1; py1 + py2) cũng là nghiệm của BPT (1)

BÀI 14 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

Trang 30

Bài 2 Tìm m để các phương trình sau: i) có nghiệm ii) vô nghiệm

Trang 31

Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai

Bài 1 Giải các bất phương trình :

Bài 2 Giải các BPT sau:

Bài 3 Giải bất phương trình :

Bài 5.

Bài 1 Giải các BPT sau :

Trang 32

x(x – 1)(x + 2)(x – 3) <0

BÀI 16 TÌM ĐIỀU KIỆN THAM SỐ CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Để tìm điều kiện tham số của BPT bậc hai, sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai

Trang 33

Bài 1 Cho hàm số f(x) = (a + 1)x2 – 2(a – 1)x + 3a – 3

Tìm các giá trị của a để:

Bài 2 Tìm m để BPT : (m2 -1)x2 + 2( m + 1)x + 3 > 0 có tập nghiệm là R

Bài 3 Tìm k để với mọi x ta có:

Bài 4 Tìm m để hệ phương trình : (m2 + 3 + 4)x2 + 2(m – 1)x + 7m – 9 = 0 có hai nghiệm trái dấu

Bài 5 Tìm m để hai nghiệm của PT : (m -1)x2 – ( m – 5)x + m – 1 = 0 là nghiệm của BPT x2 – x – 6 < 0

Trang 34

Bài 1 Giải và biện luận bất phương trình :

(m – 1)x2 – mx + 2 < 0

Bài 3

Bài 4

Bài 1 Giải và biện luận các bất phương trình sau: x2 – mx + m + 3 > 0

Bài 2 Giải và biện luận các bất phương trình sau:

Bài 3 Giải và biện luận các bất phương trình sau: mx2 – 2x + 4 > 0

BÀI 18 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Trang 35

Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ

Bài 1 Giải các phương trình sau:

Bài 2 Giải các BPT có dấu giá trị tuyệt đối sau:

Trang 36

Bài 2 Giải các BPT sau:

Bài 3 Giải các BPT sau

BÀI 19 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta thường dùng phép nâng luỹ thừa

Trang 37

Bài 1 Giải các BPT vô tỉ sau:

Bài 2 Giải các BPT vô tỉ sau :

Trang 38

Bài 5 Giải các phương trình sau: (đặt ẩn phụ)

Bài 6 Giải các BPT vô tỉ sau :

Trang 39

Bài 3 Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

Bài 6 Tìm m để hệ bất phương trình sau là vô nghiệm:

Bài 1 Giải các hệ bất phương trình sau:

Bài 2 Giải các hệ bất phương trình sau

Bài 3 Giải các hệ bất phương trình sau

Định dạng
Số trang	40
Dung lượng	762 KB