TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN GIẢI TÍCH 1
- Mã học phần : 001002
- Số tín chỉ : 4 Hệ : Đại học + Cao đẳng
- Ngày thi : 10/07/2014 Ca 1, Chiều
Bài 1: (2,0 điểm)
Cho k là số thực khác 0 Chứng minh
2 2
0
1 cos lim
2
x
kx k x
Hãy sử dụng kết quả đó
để tính giới hạn :
0
1 cos cos 2 cos 3 lim
1 cos
x
x
Bài 2: (2,0 điểm)
Tìm công thức Maclaurin của hàm số f x 1sinx
x
đến số hạng chứa
3
x với phần
dư peano
Bài 3: (2,0 điểm)
Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng :
1
0sin 2
x
x
Bài 4: (2,0 điểm)
Áp dụng phương pháp Lagrange, hãy tìm cực trị của hàm số : f x y ; 3x5y1 thoả mãn điều kiện x2 y2 1 0
Bài 5: (2,0 điểm)
Trong không gian Oxyz, cho đường cong L xác định bởi phương trình tham số :
1
ln 1 ; arctan
t
Viết phương trình tiếp tuyến và phương trình pháp diện của L tại gốc toạ độ
0; 0; 0
- HẾT -
Trang 2HƯỚNG DẪN MỘT SỐ CÂU TRONG ĐỀ Câu 1: (2,0 điểm)
- Để chứng minh biểu thức
2 2
0
1 cos lim
2
x
kx k x
Ta dùng công thức vô cùng bé tương đương
sau :
2
1 cos
2
x x
, từ đó mở rộng ra, ta được các công thức cần ghi nhớ :
a)
2
1 cos
2
x x
2
2 4
2
x
2 9
1 cos 2
2
x x
Suy ra :
2 2
1 cos
2
k x kx
, thay vào biểu thức cần tính giới hạn ta sẽ được kết quả
- Tính
0
1 cos cos 2 cos 3
lim
1 cos
x
x
Ta cần nhớ công thức nhân sau :
1 2
cos cosx y cos x y cos x y
Ngoài ra cần nhớ thêm cung liên kết : “cos đối, sin bù, phụ chéo” : cos x cosx
Áp dụng vào bài toán trên, ta xét biểu thức 1 cos cos 2 cos 3
1 cos
x
, ta có :
2
2
1 cos cos 5 cos 1 cos cos 5 cos
1 1 cos 6 1 1 cos 4 1 1 cos
1 cos
x
Từ đó, ta suy ra :
2
2
2
2
1 1 cos 6 1 1 cos 4 1 1 cos
1 lim1 cos 6 1 lim1 cos 4 1 lim1 cos
36
1 lim 2 1lim2 1lim 1 cos 1 36 1 4 1
x
Câu 2: (2,0 điểm)
Dựa vào công thức khai triển Maclaurin của hàm sin x và 1
1 x , khai triển 2 hàm này sau đó
nhân lại, rút gọn