Giải tích 1

Giải tích có thể đề cập đến:Giải tích toán học, còn gọi đơn giản là giải tích; Giải tích hàm; Giải tích phức; Giải tích số;Giải tích thực; Hình học giải tích

Chuong 1

TAP HOP CAC SO THUC

Để khảo sát hàm số thực theo một biến số thực, nghĩa là để khảo sát các ánh xạ f:D->iI, trong đó D là một tập con không rỗng của L], ta cần nắm vững các tính chất căn bản của tập í] các số thực

Do đó, trong phần 1, chúng ta giới thiệu tập 'l thông qua một hệ thống các tiên đề Từ các tiên đề, ta chứng minh

được các tính chất thường dùng trên tập số thực để từ đó xây dựng được hai cặp hàm sơ cấp cơ bản : hàm lũy thừa / căn

thức và hàm mũ / lôgarít Một số khái niệm khác liên quan đến khoảng, lân cận, các hàm sơ cấp cơ bản cũng được giới thiệu một cách có hệ thống trong phần 2 nhằm cung cấp các công cụ cần thiết trong việc khảo sát các hàm số trong suốt phần còn lại của giáo trình

1 TẬP ñ CÁC SỐ THỰC

Tập các số thực, trên đó có trang bị hai phép toán, phép cộng và phép nhân, và một quan hệ thứ tự, ký hiệu

(ñ „+ 5S), thỏa các tiên đề sau, trong đó a, b, c là các số thực bất kỳ,

1.1 Tiên đề cho các phép toán

1) các phép toán đều có tính giao hoán :

a+b=b+a;a-b=b-a

1i) các phép toán đều có tính kết hợp :

a+(b+c)=(a+b)+e; a-(b-c)=(a-b)-c 11) phép cộng có phần tử trung hòa, ký hiệu 0 và phép nhân có phần tử trung hòa, ký hiệu 1 :

a+O=a;a-l=a

iv) mọi số thực x đều có số đối, ký hiệu -x, và mọi số thực x z0 đều có số nghịch đảo, ký hiệu x'Ì :

x +(-x) =0; x x t=.

v) phép nhân có tính phân bố đối với phép cộng :

a(b+c)=ab+ac

1.2 Tiên đề cho quan hệ thứ tự

vi) quan hệ thứ tự có tính phản xg : a Sa

vii) quan hệ thứ tự có tính phản đối xứng : nếu a<b và b<a thì a=b

viii) quan hệ thứ tự có tính öếc cầu (ruyền) : nếu a <Sb và b<c thì a<c

1x) quan hệ thứ tự có tính foàn phần : hoặc a <b, hoặc b<a

x) quan hệ thứ tự bên đối uới phép cộng : nếu a <b thì a+e<b+ec

xi) quan hệ thứ tự bền đối uới phép nhân các số dương : nếu a<b và 0<ec thì ae < be 7

Từ các tính chất nêu trên người ta suy ra mọi tính chất còn lại về phép toán cũng như quan hệ thứ tự trên tập các

số thực Ta liệt kê một số tính chất thường dùng sau

xi) a:0=0; (-1):a=-a;

xiii) néu ab = 0 thi a=0 hay b=0;

xiv) Phép trừ : phương trình x+a =b có nghiém duy nhat x =b+ (-a) =b-a;

xv) Phép chia : phương trình a-x =b, với a #0, có nghiệm duy nhất x =b: a l= be

a

Ngoài ra, do các phép toán đều có tính kết hợp, ta có thể định nghĩa £ổng cũng như fích một số hữu hạn các số thực

1.3 Định nghĩa Với dãy các số thực a, a›, , a n› : Tổng n số hạng đầu của dãy này, ao + ai +aa + +a„, được viết tắt bằng ký hiệu }È như sau

n

(đọc là “tổng các ai từ k=1 đến k=n”)

Trong cách viết này, chỉ số k của ai được gọi là chí số câmn, việc lựa chọn ký tự cho chỉ số câm không làm ảnh

hưởng đến giá trị của tổng Chẳng hạn

nhưng ký hiệu Y~_z a, khéng duge xdc định

Tuong tu, ta viét

ya =l+qt+q?+ +q", véi quy ude q? =1 va qh =q;

xntl _ x= x |x =x"-x

k=1 k=1

0

0!=1 và x' =l, với mọi xe],

va v6imoi nell, k=0,1, ,n, ta định nghĩa

¡0 2 (ay+by)= 3 ,ak+ 2 Bx; [ [ex - Pe) =| [Pax | Pe

v) co =C, =1,vdimoinell va ckick =C* với moi nell va k =1,2, ,n

Chứng minh Chú ý rằng tổng cũng như tích hữu hạn được định nghĩa bằng quy nạp trên n Do vậy, một cách tự nhiên

là ta chứng minh các tính chất trên bằng quy nạp Chẳng hạn, với đẳng thức ii), khi n =1, ta có

nghĩa là đẳng thức iii) đúng khi n =1

Giả sử đẳng thức iii) đúng với một nec[i, nghĩa là

Khi đó, ta có

n+l aia > aia kT3¡i3n.1

Chứng minh các đẳng thức còn lại được coi như bài tập

1.5 Dinh ly Voi a,be 0 va nell, tacd

1) Công thức khai triển nhị thức Newton

(a+b)} =a+b= Cÿa?b†”9 + Cjalpl-1 = S” G*akpl-k

= Can?! -0i9 + chan? TH! + + Cn la (nln

+ Cnan+!-nụn +C0an-9p0+1 +Ghan-1p1rl +

n

=a" +an-lb+, +aZ2bn=2 + apn-1

-|a"'b +a'=3b2 + +abn-! + b” |

=gt_p",

Bằng cách viết a —-b = a + (—b) va a’ +b" =a" —- (-b)" khi n là số nguyên lẻ, ta được

1.6 Hé qua Voi a,be ll va nell, tacd

ath fap

2 Tổng quát, với các số thực 81, 8a, an € 1) sao cho a¡,as, ,a„ > 0, ta có

a, tagt ta, > ofa, aya, —

n

1) Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz : Với các số thực ai, 8a, an, by, bg, ., b, ei, ta cd

2

(a,b, t+agby+ +a,b,) < la? +a5 + + a? )(b; + bộ +o +b?

1i) Bất đẳng thức Bernoulli : Với a > -1, ta có

(l+a)" >lina, vol moi nel)

và bất đẳng thức Cauchy cho trường hợp n +1 số thực được chứng minh

11) Dùng quy nạp trên n Khi n =2, ta có

(a,b, + aby)” = = ab? + a2b2 + 2aibiasbs

< a7bƒ + a2b2 +a{ “bá + a7bộ

< (aj +a3)(by th]

Giả sử bất đẳng thức

(a,b, +aabs + +anb i) < <(aj +as + +a 2| + bộ +, +b?

đúng với mọi a¡, aa, , a., bị, bạ, b,c:l Khi đó, với a¡, a›, , a n? Anil? bị, bạ,

tịa Tai + bị A241]! (a gba 41 + b3 ana) oF

tịa aÐa,¡ + bạa A241] + an boy

<(aj +a} + ta 7 | br + b3 + + bp) +

tÍaƒ + a8 + +a 2]b2„¡ ‡

2 2 21-29 +(bŸ + bổ + + bà ]aa,¡ +42 `"

„b Nn? baa € ll, ta cd

12

13

= as +as + +a2 tai || + bộ + + bổ thấu]

1i) Cũng dùng quy nạp trên n Bất đẳng thức đúng khi n =1 do

(L+a)F =1+a>1+1-a

Giả sử bất đẳng thức

(1 + a)" >lina đúng với một nec L]Ì Ta suy ra

(1+a)°** =(1+a)(1+a)" >(1+a)(1+na)

=1+(n+1)a + na” >1+(n+1)a

Vậy, do phép chứng minh quy nạp, bất đẳng thức Bernoulli đúng với mọi số nguyên ne 'Ì 7 Với tập các số hữu tỷ, ta đã biết rằng không tôn tại xei[l sao cho x” =2 Mét cach truc gidc, tén tai cdc “15 héng” giữa các số hữu tỷ Cụ thể, với

A=lxelI|(x>0)^|x” <2}|

B={xe LỊ I(x > 0) a(x? > 2},

ta có cả hai đều là những tập con không rỗng của 0 théa

Vxe A,ycB,x<y nhưng không tồn tại ae] giữa A và B Điều này có nghĩa là có một “lỗ hổng” giữa A và B

Ngược lại với iI, ta có tiên đề sau, gọi là tiên đề đầy đủ, cho tập Ll các số thực như sau

14 1.8 Tiên đề đầy đủ Cho A uà B là hai tập con không rỗng của ïÌ sao cho

Vxe A,ye Bx<y

Khi đó, tồn tai số thực œ sao cho

Vxe A,ye B,x<œ<y

Với tiên đề đầy đủ này, người ta có thể biểu diễn tập các số thực bằng một đường thẳng, gọi là đường thẳng thực : Mỗi điểm biểu diễn một số thực và ngược lại, mỗi số thực được biểu diễn bằng một điểm trên đường thẳng thực

Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng rằng œ2 =2 Nếu œˆ< 2, ton tai e >0 sao cho (a +e) <2.Nhu vay a+eeA

và ta nhận được diéu vé ly do Vxe A,x <a

° a z _ ` 2 oR ` ^ Z `

Ngược lại, nếu œ2 >2, ta có thể chọn e>0 sao cho œ—-e>0 và (a -e) >2 Điều này vô lý vì Vye B,œ < y

Tổng quát,

15 1.9 Định lý Cho xe), x>0 uà ne'Ì Tồn tại duy nhất số thực yell, y >0, sao cho y" =x va ta ky hiéu y =x

Ching minh Dat

A={aet|(a>0)a(a™ <x]|

B=lae n|(a >0) ^[a" >xÌ)

Chúng là những tập con không rỗng của 'Ì thỏa

Vxe A,yce B,x<y

Do tiên đề day du, tôn tại (duy nhất) yeil, y >0, sao cho

Vace A,be B,a<y<b

Nếu y” <x, thì bằng cách chọn e >0 sao cho (y+e)” <x, ta được y+ec A Điều này vô lý vì Vae A,a< y

Ngược lại, nếu y” >x, thì bằng cách chọn e>0 sao cho y-£>0 và (y-e)} >x, ta nhận được điều vô lý do

Vbe B,y<b

Nhận xét : Định lý 1.9 cho thấy hai hàm số

f : (0, +00) — (0, +20]

xX b> x?

g: (0, +00] > (0, +00]

x> Ñx

với nc[i, là cặp hàm ngược của nhau,

Vx,y >0,x = Ñy © y=xP,

Bây giờ, xét các tập con của [Ì,

Vxe A,yce B,x<y

Do tiên đề đây đủ, tôn tại số thực, ký hiệu là e, sao cho

Vxe A,ycB,xé<e<y,

và điều này có nghĩa là, với mọi ne i],

Chú ý rằng số e là duy nhất do khoảng cách giữa e và a„ luôn nhỏ hơn

¬-.¬=

ne}

16

mà đại lượng này sẽ có thể nhỏ tùy ý khi n đủ lớn Do đó, ta gọi e là giới hạn của dãy số (an) khi n tăng ra vô cùng, ký

hiệu e= lim 8n (xem chương 2)

n—>œ

Ta được định nghĩa cho số Néper

Vace A,be B,a<b

Do tiên đề đây đủ, tôn tại (duy nhất) œeLl sao cho

f :(0,+e) > 0 xt> log, x

được hoàn toàn xác định

Như vậy, do định nghĩa, hai hàm số

f:i) 5 (0, +00]

xL> aŠ

g: (0, +ee] > 0]

xt> log, x cũng là một cặp hàm ngược,

Vxe'l,y>0,log, y =x© a” =y

|x + y| = max {x + y,—-(x + y)} < Ix| + y|

11) Bằng cách viết x = (x — y) + y, do ii), ta suy ra |x < bx — y| + M và do đó Ix| — y| < |x — yl Tương tự, ta cũng có

vl~k|<lr~s|=†-«~v|=IH|-x~s|=-3l

Tóm lại, ta được

|-l|<|x-i -(~||)<|x- vị

và do đó

Ix|~ls|<|k - l:

2.3 Khoảng trong 'Ì và lân cận của một điểm

Các tập con sau của ¡l, gọi là các Shoảởng, đóng một vai trò quan trọng trong phép tính vi tích phân Với a,be i1,

20

21 (—=, +ee] ¬

Chú ý

1) Dễ thấy rằng ( a, a) (a, (a,a |= la,a = và la, a|={ } Ngoài ra, néu b <a, thi (a,b) b) (a, (a,b | = | a,b )=[a,b| = © 1i) Chín loại khoảng của 'Ì nêu trên có thể đặc trưng bằng một tính chất chung như sau : Cho I là một tập con của [| Ta cé

I la mét bhoảng của LÌ nếu uà chỉ nếu Va,be I,(a,b) cI

iii) Cac Rhodng mé cha 0 gém

(a,b), (a, +0), (_—=,a) và (—=, +)

Các bhoảng đóng của 'Ì gồm

|a,b |, | a, +), (—=,a | và (ce, +)

Ehi I là một khoảng mở của JU , ta cd

Vxe Ldœ > 0,(x— œ,x + Œ) cl, trong đó (x —O,x+ œ) được gọi là khoảng mở tâm a, bán kính œ >0 Dễ thấy rằng tính chất này không đúng cho khoảng đóng la, bị vì với x=a, không có khoảng (x —0,X+ on) nào có thể chứa trong |a,b]

2.4 Biểu diễn tham số cho khoảng (a,b)

Xét khoảng (a,b), a<b Ta có

là biểu diễn tham số của khoảng (a.b)

Điều này có nghĩa là mọi phần tử xe (a,b) đều có thể viết dưới dạng x = la + (1 — u)b , VỚI |LG (0,1)

Tương tự, mọi phần tử xe | a,b | đều có thể viết dưới dạng x = la + (1 — u)b, We | 0,1 |

2.5 Bất phương trình Ix — al <e€é,ael,e>dO

2 “

Bất phương trình dạng này xuất hiện nhiều trong phép tính vi tích phân Dễ dàng tìm thấy rằng : x thỏa bất phương trình |x — al <e néu va chi néu xe (a —eat e) Giá trị bx — al còn được gọi là khoảng cách giữa x và a

2.6 Lân cận của một điểm trong 0

Trong phép tính vi tích phân, người ta thường phát biểu rằng một tính chất nào đó là “đúng trên một lân cận của điểm ae LÌ ” Phát biểu này được phát biểu lại một cách chính xác như sau : “tồn tại œ >0 sao cho tính chất đó đúng trên hoảng nở (a —O,at œ) 7,

Chẳng hạn, ta nói hàm số x E› Ìnx = log„x xác định trên một lân cận của a= 10” do nó được hoàn toàn xác định

trên khoảng mở la -10^,a +10); ham sé x vx không xác định trên một lân cận của a=0 do với bất ky a> 0,

hàm số này không xác định trên khoảng mở (—c1, 0.) ; Hàm số x L> In|x| xác định trên một lân cận của a=0 nhưng không xác định tại a = 0; chẳng hạn nó xác định trên (-1,1) \ {0}; ham sé xb = xác định trên một lân cận của a = 2

nhưng không xác định tại a = 2.

Bai tap

1 Chứng minh các đẳng thức sau

a) C? =C" =1, với mọi nell;

b) CK +C8 1 =Cx nit? Voimoi nell, k=1, ,n;

a) với mọi neL], a" -1>n(a-1)

b) v6i moi nell, a-12n(al/" -1),

23