Iđêan nguyên tố liên kết (2018)

Ph¥nt½ch nguy¶n sì công l mët èi t÷ñng quan trång trong ¤i sè.. HideyukiMatsumura ¢ nghi¶n cùu v xu§t b£n cuèn s¡ch Commutative ringtheory, trong â ÷a ra c¡c l½ thuy¸t v· i¶an nguy¶n tè

KHOA TON

PH„M NGÅC DI›P

I–AN NGUY–N TÈ LI–N K˜T

KHÂA LUŠN TÈT NGHI›P „I HÅC

H  Nëi  N«m 2018

KHOA TON

PH„M NGÅC DI›P

I–AN NGUY–N TÈ LI–N K˜T

KHÂA LUŠN TÈT NGHI›P „I HÅC

Chuy¶n ng nh: ¤i sè

NG×ÍI H×ÎNG DˆN KHOA HÅC:

ThS É V‹N KI–N

H  Nëi  N«m 2018

°c bi»t, em xin b y tä sü k½nh trång v  láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi th¦ygi¡o - Th¤c s¾ é V«n Ki¶n, ng÷íi ¢ trüc ti¸p h÷îng d¨n, ch¿ b£otªn t¼nh gióp ï º em câ thº ho n th nh khâa luªn n y.

Do thíi gian, n«ng lüc v  i·u ki»n b£n th¥n cán h¤n ch¸ n¶n b£nkhâa luªn khæng thº tr¡nh khäi nhúng sai sât V¼ vªy, em r§t mong nhªn

÷ñc nhúng þ ki¸n gâp þ quþ b¡u cõa c¡c th¦y cæ v  c¡c b¤n

H  Nëi, th¡ng 5 n«m 2018

T¡c gi£

Ph¤m Ngåc Di»p

Líi cam oan

Khâa luªn tèt nghi»p "I¶an nguy¶n tè li¶n k¸t" ÷ñc ho n

th nh do sü cè g­ng, né lüc t¼m hiºu v  nghi¶n cùu còng vîi sü gióp ïtªn t¼nh cõa th¦y gi¡o - Th¤c S¾ é V«n Ki¶n

Trong qu¡ tr¼nh thüc hi»n em ¢ tham kh£o mët sè t i li»u nh÷ ¢vi¸t trong ph¦n t i li»u tham kh£o V¼ vªy, em xin cam oan k¸t qu£trong khâa luªn n y l  trung thüc v  khæng tròng vîi k¸t qu£ cõa t¡cgi£ n o kh¡c

H  Nëi, th¡ng 5 n«m 2018

T¡c gi£

Ph¤m Ngåc Di»p

Mð ¦u 1

1.1 V nh 4

1.2 V nh con 6

1.3 I¶an 7

1.4 V nh th÷ìng 10

1.5 çng c§u v nh v  c¡c ành l½ çng c§u v nh 10

1.6 V nh Noether 13

1.7 Mæun 13

1.8 Mæun con 15

1.9 Mæun th÷ìng 16

1.10 çng c§u mæun v  c¡c ành l½ çng c§u mæun 17

1.11 àa ph÷ìng hâa cõa v nh v  mæun 20

MÐ †U

1 Lþ do chån · t i

Cho R l  mët v nh, M l  R-mæun Mët v§n · °t ra trong ¤i

sè giao ho¡n l  khi n o mët i¶an nguy¶n tè trong v nh R l  mët i¶annguy¶n tè li¶n k¸t cõa mæun M Tø â Shiro Goto - mët nh  To¡nhåc ng÷íi Nhªt ¢ nghi¶n cùu v  ÷a ra c¡c k¸t qu£ v· tªp chùa t§tc£ i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t vîi mët mæun Ngo i ra æng cán nghi¶ncùu v· ành l½ låc Bourbaki v  h» qu£ cõa nâ l  tªp c¡c i¶an nguy¶n tècõa mët mæun húu h¤n sinh tr¶n v nh Noether l  tªp húu h¤n Ph¥nt½ch nguy¶n sì công l  mët èi t÷ñng quan trång trong ¤i sè HideyukiMatsumura ¢ nghi¶n cùu v  xu§t b£n cuèn s¡ch Commutative ringtheory, trong â ÷a ra c¡c l½ thuy¸t v· i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t v  ph¥nt½ch nguy¶n sì T i li»u n y ÷a ra ành l½ quan trång v· t½nh ch§t cõac¡c mæun con cõa mët mæun húu h¤n sinh tr¶n v nh Noether, â l måi mæun con thüc sü ·u câ ph¥n t½ch nguy¶n sì v  mæun con b§tkh£ quy th¼ nguy¶n sì

Nhúng v§n · tr¶n câ vai trá quan trång trong ¤i sè v  ÷ñc nhi·u

nh  to¡n håc quan t¥m Möc ½ch cõa khâa luªn n y l  h» thèng l¤imët sè ki¸n thùc cì b£n trong ¤i sè giao ho¡n câ li¶n quan ¸n v§n ·nghi¶n cùu, sau â tr¼nh b y l¤i chi ti¸t c¡c ành l½ tr¶n B¶n c¤nh âcông s³ ÷a ra h» thèng c¡c ành ngh¾a, bê ·, nhªn x²t º ÷a ¸n c¡ck¸t qu£ n¶u tr¶n

3 èi t÷ñng nghi¶n cùu

· t i nghi¶n cùu v· v nh, v nh Noether, i¶an, mæun, àa ph÷ìnghâa cõa v nh v  mæun, i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t v  c¡c t½nh ch§t cõa

nâ, sü ph¥n t½ch nguy¶n sì

4 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

Nghi¶n cùu gi¡o tr¼nh, s¡ch tham kh£o v  c¡c t i li»u li¶n quan

¸n nëi dung nghi¶n cùu

5 C§u tróc khâa luªn

Luªn v«n gçm 3 ch÷ìng

• Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc chu©n bà

Ch÷ìng 1 tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì sð cõa ¤i sè â l :

v nh, v nh con, v nh th÷ìng, v nh Noether, i¶an, çng c§u v nh,mæun, mæun con, mæun th÷ìng, àa ph÷ìng hâa cõa mæun,d¢y khîp C¡c ki¸n thùc n y phöc vö cho vi»c chùng minh c¡cm»nh · v  ành lþ cõa c¡c ch÷ìng sau

• Ch÷ìng 2: I¶an nguy¶n tè li¶n k¸t

Ch÷ìng 2 ÷a ra ành ngh¾a v· i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t còngc¡c m»nh ·, ành l½ li¶n quan v· tªp c¡i i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t.Ngo i ra trong nëi dung ch÷ìng n y cán giîi thi»u v  chùng minh

ành l½ låc Bourbaki tø â ÷a ra k¸t luªn v· t½nh húu h¤n cõa tªpc¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa mæun tr¶n v nh Noether

• Ch÷ìng 3: Ph¥n t½ch nguy¶n sì

Nëi dung ch÷ìng 3 tr¼nh b y v· sü ph¥n t½ch nguy¶n sì Ph¦n

¦u cõa gçm câ ành ngh¾a mæun nguy¶n sì, ph¥n t½ch nguy¶n

sì v  ph¥n t½ch b§t kh£ quy Mët ành l½ quan trång v· ph¥n t½chnguy¶n sì s³ ÷ñc ÷a ra trong ph¦n cuèi cõa ch÷ìng

KI˜N THÙC CHU‰N BÀ

Nëi dung ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì sð cõa ¤i sègiao ho¡n, phöc vö cho vi»c x¥y düng kh¡i ni»m v  chùng minh c¡c t½nhch§t cõa c¡c ch÷ìng sau Ph¦n ¦u ti¶n cõa ch÷ìng gçm mët sè ki¸nthùc v· v nh v  i¶an Ph¦n thù hai cõa ch÷ìng bao gçm c¡c kh¡i ni»mv· mæun, mæun con, mæun th÷ìng, mët sè t½nh ch§t cõa mæun.Mët sè kh¡i ni»n v· àa ph÷ìng hâa cõa mæun, d¢y khîp s³ ÷ñc n¶u

ð ph¦n cuèi cõa ch÷ìng

1.1 V nh

ành ngh¾a 1.1 Cho R l  mët tªp hñp kh¡c réng Khi â R còng vîihai ph²p to¡n cëng v  nh¥n, k½ hi»u l  (+) v  (.) ÷ñc gåi l  mët v nhn¸u nâ thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau:

(i) R còng vîi ph²p cëng l  mët nhâm Abel;

(ii) R còng vîi ph²p nh¥n l  mët nûa nhâm;

(iii) Ph²p nh¥n ph¥n phèi èi vîi ph²p cëng, tùc l  vîi måi x, y, z ∈ R

th¼ (x + y)z = xz + yz v  z(x + y) = zx + zy.

V nh R ÷ñc gåi l  v nh câ ìn và n¸u R l  mët và nhâm nh¥n

V nh R ÷ñc gåi l  mët v nh giao ho¡n n¸u ph²p nh¥n câ t½nh ch§tgiao ho¡n

V nh R ÷ñc gåi l  v nh giao ho¡n câ ìn và n¸u R l  mët và nhâmnh¥n giao ho¡n

V½ dö 1.2 Z, Q, R, Z[x] ·u l  c¡c v nh

Chó þ 1.3 Trong to n bë luªn v«n n y ph¦n tû khæng cõa v nh luæn

÷ñc kþ hi»u l  0 Ph¦n tû ìn và cõa v nh (n¸u câ) luæn ÷ñc kþ hi»u

l  1

M»nh · sau ÷a ra mët sè t½nh ch§t cì b£n trong v nh

M»nh · 1.4 Cho R l  mët v nh Khi â

1 0x = x0 = 0 vîi måi x ∈ R;

2 (−x)y = x(−y) = −(xy) vîi måi x, y ∈ R;

3 (−x)(−y) = xy vîi måi x, y ∈ R;

4 x(y − z) = xy − xz; (x − y)z = xz − yz vîi måi x, y, z ∈ R;

5 (−x)2n = x2n; (−x)2n+1 = −x2n+1 vîi måi x ∈ R, n ∈ N∗

ành ngh¾a 1.5 (×îc cõa khæng) Cho R l  mët v nh Ta gåi ph¦n

tû 0 6= a ∈ R l  ÷îc cõa 0 n¸u tçn t¤i 0 6= b ∈ R thäa m¢n quan h»

ab = 0

ành ngh¾a 1.6 (Mi·n nguy¶n) Mët v nh câ nhi·u hìn 1 ph¦n tû,giao ho¡n, câ ìn và, khæng câ ÷îc cõa 0 ÷ñc gåi l  mi·n nguy¶n

V½ dö 1.7 V nh c¡c sè nguy¶n Z l  mët mi·n nguy¶n.

ành ngh¾a 1.8 (Tr÷íng) V nh R giao ho¡n câ ìn và, câ nhi·u hìnmët ph¦n tû ÷ñc gåi l  tr÷íng n¸u vîi måi 0 6= x ∈ R ·u tçn t¤i ph¦n

(i) A l  mët v nh con cõa X

(ii) Vîi måi x, y ∈ A th¼ x + y ∈ A, xy ∈ A, −x ∈ A

(iii) Vîi måi x, y ∈ A th¼ x − y ∈ A, xy ∈ A

1.3 I¶an

ành ngh¾a 1.13 Mët v nh con I cõa mët v nh R l  i¶an tr¡i (i¶anph£i) cõa v nh R n¸u thäa m¢n i·u ki»n xa ∈ I (ax ∈ I) vîi måi

a ∈ I, x ∈ R Mët v nh con I cõa v nh R gåi l  mët i¶an cõa R n¸u

v  ch¿ n¸u I vøa l  i¶an tr¡i vøa l  i¶an ph£i cõa R

ành lþ 1.14 Mët bë phªn I cõa mët v nh R l  mët i¶an cõa R n¸utho£ m¢n c¡c i·u ki»n sau

(i) I 6= ∅;

(ii) a − b ∈ I vîi måi a, b ∈ I;

(iii) ax ∈ I v  xa ∈ I vîi måi x ∈ R, a ∈ I

V½ dö 1.15

(i) Bë phªn {0} v  bë phªn R l  hai i¶an cõa v nh R

(ii) Bë phªn mZ l  mët i¶an cõa v nh Z

M»nh · 1.16 Giao cõa mët hå tòy þ kh¡c réng c¡c i¶an cõa v nh

Khi â X + Y, XY l  c¡c i¶an cõa R, gåi l  têng, t½ch cõa hai i¶an.

X :R Y = {x ∈ R | xY ⊆ X}

công l  i¶an cõa R v  gåi l  i¶an chia, trong â xY = {xb | b ∈ Y }

ành ngh¾a 1.19 Cho S l  mët bë phªn cõa v nh R Theo ànhl½ 1.12, giao A cõa t§t c£ c¡c i¶an cõa R chùa S l  mët i¶an cõa

v nh R chùa S, i¶an n y gåi l  i¶an sinh ra bði S, k½ hi»u l  hSi.N¸u S = {a1, a2, · · · , an} th¼ A gåi l  i¶an sinh ra bði c¡c ph¦n tû

a1, a2, · · · , an, k½ hi»u A = ha1, a2, · · · , ani I¶an sinh bði mët ph¦n tûgåi l  i¶an ch½nh

Nhªn x²t 1.20 X + Y l  i¶an nhä nh§t chùa X ∪ Y Nâi c¡ch kh¡c

X + Y = hX ∪ Y i

M»nh · 1.21 Gi£ sû R l  mët v nh giao ho¡n câ ìn và v  a1, a2, · · · ,

an ∈ R Khi â i¶an sinh bði S = {a1, a2, · · · , an} câ d¤ng

«c bi»t hai = aR vîi måi a ∈ R

ành ngh¾a 1.22 Mët i¶an thüc sü P cõa v nh R ÷ñc gåi l  i¶annguy¶n tè n¸u xy ∈ P th¼ suy ra x ∈ P ho°c y ∈ P

Mët i¶an thüc sü M cõa v nh R ÷ñc gåi l  i¶an tèi ¤i n¸u ch¿

câ hai i¶an cõa R chùa M l  M v  R

Tªp t§t c£ c¡c i¶an nguy¶n tè cõa R k½ hi»u l  Spec R

Tªp t§t c£ c¡c i¶an nguy¶n tè cõa R chùa I k½ hi»u l  Var(I).

Var(I) = {P | P ∈ Spec R, P ⊇ I}

Bê · 1.23 (Bê · Zorn) Cho X l  tªp s­p thù tü câ t½nh ch§t "måitªp con s­p thù tü to n ph¦n ·u câ ch°n tr¶n thuëc X" Khi â X câph¦n tû cüc ¤i

Nhªn x²t 1.24 Måi v nh câ ìn và ·u câ i¶an cüc ¤i v  do â luæntçn t¤i i¶an nguy¶n tè

ành ngh¾a 1.25 Cho I l  mët i¶an cõa v nh R Khi â

√

I = {x ∈ R | ∃n ∈ N∗ : xn ∈ I}

l  mët i¶an cõa I v  ÷ñc gåi l  c«n cõa I

Tªp √I l  giao cõa t§t c£ c¡c i¶an nguy¶n tè cõa v nh R chùa I tùc

N¸u P l  i¶an nguy¶n tè th¼ √P = P

ành ngh¾a 1.26 Mët i¶an thüc sü I cõa v nh R ÷ñc gåi l  i¶annguy¶n sì n¸u vîi måi a, b ∈ R, ab ∈ I , a /∈ I th¼ b ∈√I

Nhªn x²t 1.27 N¸u P l  i¶an nguy¶n tè th¼ P l  i¶an nguy¶n sì

ành ngh¾a 1.28 Cho I l  mët i¶an cõa v nh R Khi â I ÷ñc gåi

l  Q-nguy¶n sì n¸u I l  i¶an nguy¶n sì v  √I = Q

ành ngh¾a 1.29 Cho R l  mët v nh °t 0 :R x l  tªp gçm t§t c£c¡c ph¦n tû a ∈ R tho£ m¢n ax = 0 Khi â 0 :R x l  mët i¶an cõa R

v  ÷ñc gåi l  linh ho¡n tû cõa x trong R, k½ hi»u annR(x) ho°c ann(x).Tùc l 

annR(x) = 0 :R x = {a ∈ R | ax = 0}

°c bi»t annR1 = 0, annR0 = R

Kh¡i ni»m i¶an cho ta mët èi t÷ñng quan trång trong v nh l 

v nh th÷ìng

1.4 V nh th÷ìng

ành ngh¾a 1.30 Cho I l  mët i¶an cõa v nh R D¹ th§y r¬ng quanh» hai ngæi v tr¶n R cho bði a v b ⇔ a − b ∈ I vîi måi a, b ∈ R l  mëtquan h» t÷ìng ÷ìng °t tªp th÷ìng R/I = {x + I | x ∈ R} Tr¶n R/I

ta trang bà hai ph²p to¡n

(x + I) + (y + I) = (x + y) + I vîi måi x + I, y + I ∈ R/I

(x + I)(y + I) = xy + I vîi måi x + I, y + I ∈ R/I

Khi â R/I còng vîi hai ph²p to¡n n y lªp th nh mët v nh v  ÷ñc gåi

l  v nh th÷ìng cõa v nh R theo i¶an I

1.5 çng c§u v nh v  c¡c ành l½ çng c§u v nh

ành ngh¾a 1.31 Cho X, Y l  hai v nh Mët ¡nh x¤ f : X −→ Y ÷ñcgåi l  çng c§u v nh n¸u vîi måi a, b ∈ X

(i) f(a + b) = f(a) + f(b);

(ii) f(ab) = f(a)f(b);

ành ngh¾a 1.32 Cho çng c§u v nh f : X −→ Y Ta nâi f l  ìn c§u(to n c§u hay ¯ng c§u) n¸u ¡nh x¤ f l  ìn ¡nh (to n ¡nh hay song

¡nh, t÷ìng ùng) Trong tr÷íng hñp f l  ¯ng c§u th¼ ta nâi hai v nh X

v  Y l  ¯ng c§u vîi nhau, kþ hi»u X ∼= Y

V½ dö 1.33

(1) Cho A l  mët v nh con cõa v nh R nh x¤

A −→ R

a 7−→ a

l  mët ìn c§u v  gåi l  ìn c§u ch½nh t­c

(2) Cho I l  mët i¶an cõa v nh R nh x¤

ϕ : R −→ R/I

x 7−→ x + I

l  mët çng c§u tø v nh R ¸n v nh th÷ìng R/I çng c§u n ycán l  mët to n c§u, gåi l  to n c§u ch½nh t­c Hìn núa, Ker ϕ = I.M»nh · 1.34 Cho çng c§u v nh f : A −→ B Khi â

1 f(0) = 0;

2 f(−a) = −f(a) vîi måi a ∈ A;

3 f(a − b) = f(a) − f(b) vîi måi a, b ∈ A

M»nh · 1.35 N¸u f : X −→ Y , g : Y −→ Z l  hai çng c§u v nhth¼ t½ch (¡nh x¤ hñp th nh) g ◦ f : X −→ Z công l  mët çng c§u v nh

C¡c m»nh · d÷îi ¥y l  mët trong c¡c t½nh ch§t quan trång cõa

çng c§u v nh

M»nh · 1.36 Cho f : X −→ Y l  mët çng c§u v nh Khi â

(i) H¤t nh¥n Ker f := f−1(0) l  mët i¶an cõa R;

(ii) ƒnh Im f = f(X) l  mët v nh con cõa Y

ành lþ 1.37 Cho çng c§u v nh f : X −→ Y v  ρ : X −→ X/ Ker f

l  to n c§u ch½nh t­c Khi â

(i) Tçn t¤i duy nh§t çng c§u ¯f : X/ Ker f −→ Y sao cho biºu ç saugiao ho¡n

(ii) çng c§u ¯f l  mët ìn c§u v  Im ¯f = f (X)

H» qu£ 1.38 Vîi måi çng c§u v nh f : X −→ Y ta câ

f (X) ∼= X/ Ker f

°c tr÷ng cõa i¶an nguy¶n tè v  tèi ¤i ÷ñc cho bði m»nh · sau

m  vi»c chùng minh l  sì c§p

M»nh · 1.39 Cho I l  mët i¶an cõa v nh R Khi â

1 I l  i¶an nguy¶n tè khi v  ch¿ khi R/I l  mët mi·n nguy¶n

2 I l  i¶an tèi ¤i khi v  ch¿ khi R/I l  mët tr÷íng

H» qu£ l  måi i¶an tèi ¤i ·u l  i¶an nguy¶n tè

1.6 V nh Noether

ành ngh¾a 1.40 V nh R giao ho¡n câ ìn và l  mët v nh Noethern¸u måi i¶an cõa nâ ·u húu h¤n sinh

V½ dö 1.41

(i) V nh sè nguy¶n Z l  v nh Noether v¼ måi i¶an cõa v nh sè nguy¶n

Z câ d¤ng nZ ·u húu h¤n sinh

(ii) Tr÷íng sè Q, R, C ·u l  v nh Noether v¼ i¶an {0} l  i¶an duynh§t cõa nâ v  húu h¤n sinh

ành lþ 1.42 Cho R l  v nh giao ho¡n câ ìn và Khi â c¡c kh¯ng

ành sau t÷ìng ÷ìng

(i) R l  v nh Noether

(ii) Méi tªp kh¡c réng c¡c i¶an cõa R luæn tçn t¤i ph¦n tû cüc ¤i.(iii) Vîi I1 ⊆ I2 ⊆ ⊆ Ik+q ⊆ l  mët d¢y t«ng c¡c i¶an cõa Rluæn tçn t¤i n º In = In+1 = tùc måi d¢y t«ng c¡c i¶an cõa R

(ii) Méi mæun tü nâ luæn l  mët Z-mæun.

(iii) Nhâm Abel (M,+) ·u ÷ñc coi l  Z-mæun vîi ph²p to¡n nh¥nngo i nh÷ sau:

(ii) (−a)x = −ax = a(−x);

ành ngh¾a 1.46 (×îc cõa khæng) Cho M l  R-mæun

Ph¦n tû 0 6= a ∈ R gåi l  ÷îc cõa khæng trong M n¸u tçn t¤i

0 6= x ∈ M sao cho ax = 0

Ng÷ñc l¤i th¼ , tùc l  a khæng l  ÷îc cõa 0 n¸u ax = 0 th¼ x = 0.Tªp c¡c ph¦n tû trong R l  ÷îc cõa 0 trong M k½ hi»u l  ZDR(M )

Tªp c¡c ph¦n tû trong R khæng l  ÷îc cõa 0 trong M k½ hi»u l 

N ZDRM Ta câ NZDRM = R \ ZDRM

1.8 Mæun con

ành ngh¾a 1.47 Cho M l  Rmæun Tªp con N cõa M ÷ñc gåi l 

R-mæun con cõa M n¸u

(i) N 6= ∅;

(ii) x − y ∈ N vîi måi x, y ∈ N;

(iii) ax ∈ N vîi måi x ∈ N, a ∈ R

V½ dö 1.48 Cho M l  R-mæun

(i) M luæn chùa 2 mæun con t¦m th÷íng l  (0) v  M

(ii) Rx l  mët mæun con cõa M, v  ÷ñc gåi l  mæun con xyclic sinhbði x

(iii) Måi nhâm con cõa nhâm Abel M ·u l  mët Z-mæun con cõa M.(iv) Måi i¶an cõa v nh R câ ìn và 1 6= 0 ·u l  mæun con cõa R

ành lþ 1.49 Cho M l  R-mæun Tªp N ⊆ M l  mët R-mæun concõa M khi v  ch¿ khi nâ thäa m¢n hai i·u ki»n sau:

(i) 0M ∈ N;

(ii) ax + by ∈ N vîi måi x, y ∈ N, a, b ∈ R

ành ngh¾a 1.50 Cho N l  Rmæun con cõa M Tªp th÷ìng M/N

câ c§u tróc Rmæun vîi hai ph²p to¡n:

• Vîi måi x + N, y + N ∈ M/N : (x + N) + (y + N) = (x + y) + N;

• Vîi måi x + N ∈ M/N, a ∈ R : a(x + N) = ax + N

Ta gåi â l  mæun th÷ìng cõa mæun M tr¶n mæun con N

Nhªn x²t 1.51 N¸u P l  mët R-mæun con cõa M, P chùa N th¼P/N l  mët R-mæun th÷ìng v  công l  l  R-mæun con cõa M/N.V½ dö 1.52

(i) V nh th÷ìng cõa mët v nh R công l  mët R-mæun th÷ìng cõa R.(ii) Tr÷íng c¡c sè húu t¿ Q l  mët Z-mæun v  Z l  mët Z-mæun concõa Q, khi â ta nhªn ÷ñc Z-mæun th÷ìng Q/Z, l  mët mæunch¿ bao gçm c¡c ph¦n l´ cõa c¡c sè húu t¿

1.10 çng c§u mæun v  c¡c ành l½ çng c§u mæun

ành ngh¾a 1.53 Cho M, M0 l  hai R-mæun Mët ¡nh x¤

f : M −→ M0 l  mët çng c§u R-mæun (hay ¡nh x¤ tuy¸n t½nh) n¸u(i) f(x + y) = f(x) + f(y) vîi måi x, y ∈ M;

(ii) f(ax) = af(x) vîi måi a ∈ R v  måi x ∈ M

çng c§u Rmæun ÷ñc gåi l  ìn c§u, to n c§u hay ¯ng c§u n¸u

¡nh x¤ f t÷ìng ùng l  ìn ¡nh, to n ¡nh hay song ¡nh

nh x¤ f ÷ñc gåi l  çng c§u khæng n¸u f(M) = {0M 0}

Nhªn x²t 1.54 Cho mët çng c§u R-mæun f : M −→ M0

(i) f l  çng c§u 0 ⇔ Ker f = M

(ii) f l  to n c§u ⇔ Im f = M0

V½ dö 1.55

(1) Cho N l  R-mæun con cõa M th¼ ta câ mæun th÷ìng M/N Khi

â quy t­c ρ : M −→ M/N cho bði ρ(x) = ¯x l  mët çng c§u

R-mæun Hìn núa ρ cán l  mët to n c§u, ÷ñc gåi l  to n c§uchi¸u ch½nh t­c To n c§u n y câ Ker ρ = N

(2) Vîi méi N l  R-mæun con cõa M, ¡nh x¤ nhóng ι : N −→ M bi¸nméi ph¥n tû cõa N th nh ch½nh nâ l  mët ìn c§u, gåi l  ìn c§uch½nh t­c hay ph²p nhóng ch½nh t­c tø N v o M

M»nh · 1.56 nh x¤ f : M −→ M0 l  çng c§u c¡c R-mæun khi v ch¿ khi f(ax + by) = af(x) + bf(y) vîi måi a, b ∈ R, x, y ∈ M

Chùng minh Vîi måi a, b ∈ R, x, y ∈ M.

⇒] Gi£ sû f l  çng c§u Khi â

f (ax + by) = f (ax) + f (by) = af (x) + bf (y)

⇐] Gi£ sû f(ax + by) = af(x) + bf(y) Ta kiºm tra 2 i·u ki»n:

ành lþ 1.58 Cho f : M −→ M0 l  mët çng c§u c¡c Rmæun Khi

â

(i) N¸u N0 l  mët mæun con cõa M0 th¼ f−1(N0) l  mët mæun concõa M Ker f l  mët mæun con cõa M

(ii) N¸u N l  mët mæun con cõa M th¼ f(N) l  mët mæun con cõa

M0 Im f l  mët mæun con cõa M0

(iii) f l  ìn c§u khi v  ch¿ khi Ker f = 0

ành lþ 1.59 Cho f : M −→ N l  mët çng c§u c¡c R-mæun v 

p : M −→ M/ Ker f l  to n c§u ch½nh t­c Khi â tçn t¤i duy nh§t ìn

c§u ¯f : M/ Ker f −→ N sao cho biºu ç sau giao ho¡n

H» qu£ 1.60 Cho f : M −→ N l  mët çng c§u c¡c R-mæun Khi â

ta câ M/ Ker f ∼= Im f N¸u f l  to n c§u th¼ M/ Ker f ∼= N

H» qu£ 1.61 (ành l½ ¯ng c§u Noether thù nh§t) Cho P l mët mæun con cõa mæun N, N l  mët mæun con cõa mæun M Khi

â ta câ ¯ng c§u M/N ∼= (M/P )/(N/P )

H» qu£ 1.62 (ành l½ ¯ng c§u Noether thù hai)

N¸u M, N l  hai mæun con cõa còng mët mæun th¼

(M + N )/N ∼= M/(M ∩ N )

Chùng minh X²t çng c§u

f :M −→ (M + N )/N

x 7−→ f (x) = ¯x = x + N

Vîi méi ¯z = z + N ∈ (M + N)/N vîi z ∈ M + N, ta câ z = x + y vîi

x ∈ M, y ∈ N Khi â

¯

z = z + N = (x + y) + N = x + N = ¯x

do â f(x) = ¯z Vªy f l  to n c§u

L¤i câ Ker f = {x ∈ M | ¯x = 0} = {x ∈ M | x ∈ N} = M ∩ N pdöng H» qu£ 1.60 ta câ (M + N)/N ∼= M/(M ∩ N )

1.11 àa ph÷ìng hâa cõa v nh v  mæun

Cho M l  R-mæun S l  tªp nh¥n âng (tùc l  S chùa 1, S khæng chùa 0,

S−1R =

nr

s | r ∈ R, s ∈ So

Khi â S−1R còng vîi hai ph²p to¡n (+) v  (.) nh÷ sau, vîi måir

l  mët S−1R-mæun v  ÷ñc gåi l  àa ph÷ìng hâa cõa mæun M theotªp nh¥n âng S

v  °c bi»t S−1R công l  mët R-mæun

(ii) Trong v nh S−1R th¼ r

s =

r0

s0 ⇔ ∃u ∈ S : u(rs0− r0s) = 0(iii) Trong v nh S−1M th¼ m

s =

m0

s0 ⇔ ∃u ∈ S : u(ms0 − m0s) = 0