Về iđêan nguyên tố liên kết của một lũy thừa iđêan

Mục lụcLời cam đoan Lời cảm ơn 1 Phân tích nguyên sơ và tập iđêan nguyên tố liên kết 4 1.1 Vành và môđun Noether.. Lý do chọn đề tài Iđêan nguyên tố liên kết và phân tích nguyên sơ là mộ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Hùng Quý

HÀ NỘI, 06-2017

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan bản luận án này là kết quả nghiên cứu của cá nhântôi Các số liệu và tài liệu được trích dẫn trong luận án là trung thực.Kết quả nghiên cứu này không trùng với bất cứ công trình nào đãđược công bố trước đó Tôi chịu trách nhiệm với lời cam đoan củamình

Hà Nội, tháng 06 năm 2017

Tác giả luận án

Nguyễn Thị Ánh Ngọc

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo phản biện đã đọc vàđóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn Tôi cũng xin chânthành cảm ơn ban lãnh đạo phòng Sau Đại Học, các quý thầy côtrong khoa Toán, các bạn học viên lớp cao học Toán K25, nhữngngười đã tận tình giảng dạy, tạo điều kiện và giúp đỡ, động viên tôitrong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.

Qua đây, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thân tronggia đình, bạn bè đã luôn động viên khích lệ tôi trong suốt quá trìnhhoàn thành khóa học

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng do kiến thức còn nhiều hạn chế nênluận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận đượcnhững ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô và bạn bè để luận vănđược hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 06 năm 2017

Tác giả luận ánNguyễn Thị Ánh Ngọc

Mục lục

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

1 Phân tích nguyên sơ và tập iđêan nguyên tố liên kết 4

1.1 Vành và môđun Noether 4

1.2 Iđêan nguyên tố liên kết 7

1.3 Phân tích nguyên sơ 10

1.4 Phân tích nguyên sơ của iđêan đơn thức 12

1.4.1 Phân tích nguyên sơ của các iđêan đơn thức 12 1.4.2 Đồ thị hữu hạn và iđêan cạnh 14

1.5 Vành phân bậc 17

2 Tính ổn định của tập iđêan nguyên tố liên kết 23 2.1 Iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa một iđêan 23

2.2 Trường hợp iđêan cạnh 27

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Iđêan nguyên tố liên kết và phân tích nguyên sơ là một trong những

kỹ thuật cơ bản nhất của Đại số giao hoán Định lý phân tích nguyên

sơ của Emmy Noether khẳng định rằng mọi iđêan trong vành giaohoán Noether đều phân tích được thành giao của hữu hạn iđêannguyên sơ và do đó nó có hữu hạn iđêan nguyên tố liên kết Việcnghiên cứu tập iđêan nguyên tố liên kết của các iđêan và môđun vẫnđang là một vấn đề thời sự hiện nay Năm 1979, Markus Brodmann

đã chứng minh một kết quả kinh điển khẳng định rằng "tập iđêannguyên tố liên kết của các lũy thừa của một iđêan là ổn định" Kếtquả này dẫn tới cảm hứng cho rất nhiều nghiên cứu tiếp theo về tínhchất của lũy thừa của một iđêan trong vành Noether như độ sâu củaR/In hay chỉ số chính quy của In trong vành phân bậc Định lý củaBrodmann còn được phát triển tiếp trong nghiên cứu của Swanson

về tính tuyến tính của phân tích nguyên sơ hay được làm rõ trongcác trường hợp đặc biệt như iđêan đơn thức, iđêan cạnh của một đồthị Chính vì những ý nghĩa nói trên của Định lý Brodmann, tác giảbản luận văn này đặt mục tiêu trình bày lại chi tiết về kết quả này

và một vài kết quả liên quan

Vì vậy, đề tài nghiên cứu của luận văn được chọn là "Về iđêannguyên tố liên kết của lũy thừa một iđêan"

2 Định hướng nghiên cứu

Trên cơ sở các tài liệu có sẵn trong phần tài liệu tham khảo, tácgiả sẽ hệ thống lại lý thuyết cơ bản về phân tích nguyên sơ, iđêan

nguyên tố liên kết của một iđêan Trên cơ sở đó tác giả trình bày lạiĐịnh lý Brodmann và làm rõ hơn về tập ổn định trong trường hợpiđêan cạnh.

3 Phương pháp nghiên cứu

Đọc và dịch các tài liệu liên quan, phân tích, so sánh, tổng hợp vànghiên cứu lý thuyết

4 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồmcác chương sau:

Chương 1 Phân tích nguyên sơ và tập iđêan nguyên tố liênkết, trình bày về Định lý phân tích nguyên sơ và iđêan nguyên tốliên kết Phân tích nguyên sơ và iđêan nguyên tố liên kết của mộtiđêan cũng được mô tả rõ ràng trong trường hợp iđêan cạnh

Chương 2 Tính ổn định của tập iđêan nguyên tố liên kết,chứng minh lại Định lý Brodmann và làm rõ hơn về tập ổn địnhtrong trường hợp iđêan cạnh

là dừng, nghĩa là Mk = Mk+1 với mọi k đủ lớn.

iii Mỗi môđun con của M đều hữu hạn sinh

Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn ⊂ · · · là mộtdãy tăng các môđun con của môđun M , theo điều kiện (i) thì tập{Mn}n≥0 có một phần tử cực đại chẳng hạn Mt, khi đó Mk = Mk+1với mọi k ≥ t

(ii) ⇒ (iii) Giả sử ngược lại tồn tại trong M một môđun con N

không hữu hạn sinh Khi đó trong N tồn tại một dãy vô hạn các phần

tử x1, x2, , xn, sao cho nếu Mn =

m

X

i=1

Rxi với mọi j Ta sẽ nhậnđược một dãy tăng vô hạn, không dừng M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn ⊂ · · ·các môđun con của M , mâu thuẫn với (ii)

(iii) ⇒ (i) Giả sử S là một tập khác rỗng các môđun của M màkhông có phần tử cực đại trong S Vì S là một tập khác rỗng, nên

ta chọn được một môđun con M0 ∈ S Khi đó nếu M0 không phải

là một phần tử cực đại trong S, thì sẽ tồn tại M1 ∈ S thực sự chứa

M0 Như vậy nếu trong S không có phần tử cực đại, thì sẽ tồn tạimột dãy tăng vô hạn M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn ⊂ · · · , không dừngcác môđun con của M Ta có N = [

i≥0

Mi là một môđun con của

M , nên N là một môđun con hữu hạn sinh Giả sử x1, x2, , xm làmột hệ sinh của N Vì dãy các môđun là tăng, nên tồn tại k để

i Mỗi trường, vành chính đều là một vành Noether

ii Một không gian vectơ là Noether khi và chỉ khi nó có chiều hữuhạn

Mệnh đề dưới đây cho ta thấy lớp các môđun Noether là đóngkín với phép lấy môđun con, môđun thương và mở rộng

Mệnh đề 1.1.4 Cho dãy khớp ngắn các R-môđun:

0 −→ N −→ M −→ P −→ 0

Khi đó M là môđun Noether nếu và chỉ nếu N và P đều là cácmôđun Noether.

Chứng minh Từ dãy khớp ngắn đã cho, ta luôn có thể coi N là mộtmôđun con của M và P = M/N , theo nghĩa sai khác một đẳng cấu.Trước tiên, giả sử M là môđun Noether, khi đó mỗi dãy tăng trong

N cũng là một dãy tăng trong M , do đó nó phải dừng, vậy N làNoether Ta thấy rằng mỗi dãy tăng trong P đều là ảnh của mộtdãy tăng trong M qua toàn cấu chính tắc Vì mọi dãy tăng trong

M đều dừng, nên mọi dãy tăng trong P phải dừng Vậy P cũng làNoether

Ngược lại, giả sử N và P là những môđun Noether Cho M1 làmột môđun con của M Từ một kết quả đã biết: Nếu M1 và N làhai môđun con của cùng một môđun M thì ta có: (M1 + N )/N ∼=

M1/(M1 ∩ N ) là một môđun con của P = M/N Vì P là Noether,nên M1/M1∩ N hữu hạn sinh Mặt khác, M1∩ N cũng hữu hạn sinh

do N là Noether Từ đó suy ra M1 là một môđun hữu hạn sinh Vậy

Ngược lại ta có kết quả sau

Mệnh đề 1.1.7 Cho M là một R-môđun Noether Khi đó R/Ann(M )cũng là một vành Noether

Chứng minh Vì M là R-môđun Noether nên nó hữu hạn sinh Giả

sử M sinh bởi x1, , xt Xét ánh xạ đồng cấu

Hệ quả 1.1.10 Vành đa thức nhiều biến K[x1, x2, , xn] có hệ sốtrên một trường luôn là vành Noether.

Chú ý 1.1.11 Ta cũng có thể chứng minh rằng R là vành Noetherthì lũy thừa hình thức R[[x]] cũng là Noether

1.2 Iđêan nguyên tố liên kết

Ta luôn giả sử rằng R là vành Noether giao hoán có đơn vị

Định nghĩa 1.2.1 Phần tử r ∈ R được gọi là ước của 0M trong Mnếu tồn tại 0 6= m ∈ M sao cho rm = 0

Ta kí hiệu zdR(M ) là tập hợp tất cả các ước của 0 trong M

Định nghĩa 1.2.2 Một iđêan nguyên tố p ∈ Spec(R) được gọi

là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại x thuộc M sao cho

p = 0 :M x, tương đương với việc tồn tại một đồng cấu nhúngR/p −→ M Ta kí hiệu AssRM là tập các iđêan nguyên tố liên kếtcủa M

Một iđêan nguyên tố liên kết của M là nhỏ nhất theo nghĩa bao hàmđược gọi là iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu của M Tập các iđêannguyên tố liên kết tối tiểu của M được kí hiệu là minAssRM Iđêannguyên tố liên kết không phải là tối tiểu được gọi là iđêan nguyên

là một dãy khớp nhắn các R-môđun Khi đó:

AssR(M0) ⊆ AssR(M ) ⊆ AssR(M0) ∪ AssR(M00)

Mệnh đề 1.2.6 Cho R là vành Noether, M là R-môđun hữu hạnsinh Khi đó tồn tại một xích tăng các môđun con:

0 ⊆ M1 ⊆ M2 ⊆ · · · ⊆ Mt = M

sao cho Mi/Mi−1 ∼= R/p với p ∈ Spec(R), với ∀i = 1, t.

Hệ quả 1.2.7 Cho R là vành Noether và M là R-môđun hữu hạnsinh Khi đó, AssRM là hữu hạn

Mệnh đề 1.2.8 Cho R là vành Noether và M là R-môđun hữu hạnsinh Khi đó

pAnnRM = \

R-Supp(M ) = {p ∈ Spec(R)|Mp 6= 0}

Mệnh đề 1.2.10 Cho R là Noether và M là một R-môđun Khi

đó AssRM ⊆ SuppRM , và các phần tử tối tiểu của hai tập hợp làtrùng nhau

Mệnh đề sau cho ta tập iđêan nguyên tố liên kết của một môđunsau khi địa phương hóa

Mệnh đề 1.2.11 Giả sử R là một vành Noether và M là một môđun Xét S là một tập đóng nhân Khi đó

R-AssRsMs = {pRS|p ∈ AssRM ; p ∩ S = ∅}

Hệ quả 1.2.12 Cho M là một R-môđun và p là một iđêan nguyên

tố của R Ta có p ∈ AssRM khi và chỉ khi pRp ∈ AssRpMp

1.3 Phân tích nguyên sơ

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử R là một vành Noether, M là R-môđunhữu hạn sinh và N ⊂ M là một R-môđun con Ta nói rằng N làmôđun con nguyên sơ của M nếu thỏa mãn điều kiện: Với mọi a ∈ R

và x ∈ M , nếu x 6= N và ax ∈ N thì anM ⊂ N với n nào đó

Định nghĩa có thể được phát biểu như sau: Nếu a ∈ R là ước của 0trên M/N thì a ∈pAnn(M/N)

Hay đồng cấu nhân a : M/N −→ M/N hoặc là đơn cấu hoặc là lũylinh

Định lý 1.3.2 Giả sử R là vành Noether và M là R-môđun hữuhạn Khi đó môđun con N ⊂ M là nguyên sơ khi và chỉ khi AssR(M/N )chỉ có một phần tử Khi đó, nếu AssR(M/N ) = p và AnnR(M/N ) =

I thì I là nguyên sơ và √

I = p

Định nghĩa 1.3.3 Nếu Ass(M/N ) = p ta nói rằng N ⊂ M là mộtmôđun con p-nguyên sơ của M

Mệnh đề 1.3.4 Nếu N và N0 là hai môđun con p-nguyên sơ của

M thì khi đó N ∩ N0 cũng là một môđun con p-nguyên sơ của M Định nghĩa 1.3.5 Một môđun con N của M được gọi là môđuncon bất khả quy nếu nó không là giao của hai môđun con chứa nóthực sự

Mệnh đề 1.3.6 Cho R là một vành Noether và M là một R-môđunhữu hạn sinh Khi đó mọi môđun con bất khả quy N của M đều lànguyên sơ

Định lý 1.3.7 Cho R là vành Noether và M là R-môđun hữu hạnsinh Khi đó mọi môđun con của M đều phân tích được thành giaohữu hạn của các môđun con bất khả quy

Chứng minh Xét tập hợp P tất cả các môđun con N của M không

là giao hữu hạn của những môđun con bất khả quy và giả sử P 6= ∅

Do M là một R-môđun Noether nên tồn tại trong P một phần tửcực đại N Khi đó N phải là môđun khả quy, tức là tồn tại haimôđun con N1 ⊃ N, N2 ⊃ N sao cho N = N1 ∩ N2 Vì N1, N2 6∈ Pnên chúng là giao hữu hạn những môđun con bất khả quy, do đó

N cũng được biểu diễn thành giao hữu hạn các môđun con bất khảquy Điều này mâu thuẫn với giả thiết N ∈ P và định lý được chứngminh

Từ Định lý 1.3.7 và Mệnh đề 1.3.6, ta có mọi môđun con của mộtmôđun Noether M đều có thể phân tích thành giao của các môđunnguyên sơ

Định nghĩa 1.3.8 Một môđun con N của M được gọi là có phântích nguyên sơ nếu nó được viết thành giao của các môđun connguyên sơ, tức là N = N1 ∩ N2 ∩ · · · ∩ Nr với Ni là các môđun connguyên sơ Một phân tích nguyên sơ được gọi là phân tích nguyên

sơ rút gọn nếu ta không thể bỏ bất kì một môđun nguyên sơ nàotrong phân tích đó, tức là N 6= N1 ∩ · · · ∩ Ni−1∩ Ni+1∩ · · · ∩ Nr vớimọi i = 1, , r Hơn nữa, các thành phần nguyên sơ đều ứng với cáciđêan nguyên tố phân biệt

Định lý 1.3.9 Giả sử R là vành Noether và M là R-môđun hữuhạn

i Mọi môđun con N của M đều có một phân tích nguyên sơ rútgọn

ii Nếu N = N1 ∩ N2 ∩ · · · ∩ Nr với Ass(M/Ni) = pi là một phântích nguyên sơ rút gọn của N thì Ass(M/N ) = {p1, , pr}.iii Nếu p là một iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu của M/N thìthành phần p-nguyên sơ xuất hiện trong phân tích nguyên sơ rútgọn của N là hạt nhân của đồng cấu chính tắc ϕp : M −→ Mp

Do đó, thành phần nguyên sơ của N tương ứng với các iđêannguyên tố liên kết tối tiểu là xác định duy nhất

Định nghĩa 1.3.10 Cho R là vành Noether, M là một R-môđunhữu hạn sinh và N là một môđun con của M Các thành phần nguyên

sơ xuất hiện trong phân tích nguyên sơ của N trong M tương ứngvới các iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu và các iđêan nguyên tố liênkết nhúng được gọi là các thành phần nguyên sơ tối tiểu và thànhphần nguyên sơ nhúng của N Trong trường hợp N = 0 thì ta nói đó

là các thành phần nguyên sơ tối tiểu, thành phần nguyên sơ nhúngcủa M

Theo Định lý phân tích nguyên sơ, ta thấy các thành phần nguyên

sơ tối tiểu là duy nhất Tuy nhiên, các thành phần nguyên sơ nhúng

là không duy nhất

Ví dụ 1.3.11 Xét K là một trường và R = K[x, y] là một vành đathức Khi đó, iđêan I = (x2, xy) có các phân tích nguyên sơ rút gọnsau:

(x2, xy) = (x) ∩ (x2, y) = (x) ∩ (x2, xy, y2)

Ta có Ass(R/I) = {(x), (x, y)} và (x) là thành phần tối tiểu còn(x2, y) và (x2, xy, y2) là các thành phần nhúng của I

1.4 Phân tích nguyên sơ của iđêan đơn thức

Xác định phân tích nguyên sơ của một iđêan trong một vành đathức là phức tạp và chúng ta cần sử dụng đến các chương trình máytính Tuy nhiên, trong trường hợp iđêan đơn thức, phân tích nguyên

sơ là đơn giản hơn nhiều

1.4.1 Phân tích nguyên sơ của các iđêan đơn thức

Định nghĩa 1.4.1 Iđêan I trong vành đa thức R được gọi là iđêanđơn thức nếu I có một hệ sinh gồm toàn các đơn thức

Chúng ta biết rằng, R là vành Noether theo Định lý cơ sở củaHilbert 1.1.9, nên mỗi iđêan đơn thức I đều hữu hạn sinh Hơn nữa,

I có một hệ sinh chỉ gồm các đơn thức Nếu xuất phát từ một hệsinh gồm các đơn thức bất kì của I và chỉ giữ lại các đơn thức không

bị chia hết bởi các đơn thức khác trong hệ đó thì chúng ta có duynhất một hệ sinh tối tiểu của I Tức là, I chỉ có một hệ duy nhấtgồm các đơn thức sao cho không có hai đơn thức nào chia hết chonhau Kí hiệu hệ sinh đó của I là G(I) Cấu trúc của các iđêan đơnthức và nguyên tố rất đơn giản, chúng chỉ sinh bởi tập các biến

Bổ đề 1.4.2 Cho I là một iđêan đơn thức khác không Khi đó, I

là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi I sinh bởi các biến

Bổ đề 1.4.3 Cho I là một iđêan đơn thức khác không Khi đó, I làiđêan bất khả quy khi và chỉ khi nó sinh bởi lũy thừa của các biến.Mệnh đề 1.4.4 Cho m1, , mr, u,v là các đơn thức của R Giả sử

u và v là hai đa thức không có chung biến Khi đó

(m1, , mr, uv) = (m1, , mr, u) ∩ (m1, , mr, v)

Thuật toán phân tích nguyên sơ của các iđêan đơn thức Choiđêan đơn thức I của vành đa thức R Để tìm phân tích nguyên sơcủa I, chúng ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Phân tích I thành giao của các iđêan sinh bởi lũy thừa cácbiến bằng cách áp dụng liên tiếp Mệnh đề 1.4.4

Bước 2: Loại đi các iđêan chứa các iđêan khác trong giao

Bước 3: Nhóm các iđêan có cùng căn lại

Ví dụ 1.4.5 Cho ideal đơn thức I = (x3y5, y4z, x2z2) của vành đathức R = K[x, y, z] Theo mệnh đề 1.4.4 ta có phân tích sau:

Đối với iđêan đơn thức, chúng ta có đặc trưng của các iđêannguyên tố liên kết như sau:

Mệnh đề 1.4.6 Cho iđêan đơn thức I và iđêan nguyên tố p của R.Khi đó p ∈ AssR(R/I) khi và chỉ khi tồn tại một đơn thức m ∈ Rsao cho p = I : m

1.4.2 Đồ thị hữu hạn và iđêan cạnh

Định nghĩa 1.4.7 Một đồ thị hữu hạn, đơn và vô hướng G là mộtcặp có thứ tự hai tập hợp G = (V, E ), trong đó tập V hữu hạn còntập E bao gồm một số tập có hai phần tử của V

Nhận xét 1.4.8 Các phần tử của V gọi là đỉnh, các phần tử của

E gọi là cạnh Nếu e = {a, b} là một cạnh của G thì a và b gọi là cácđỉnh đầu mút của cạnh e hay các đỉnh liên thuộc với e

Người ta thường biểu diễn đồ thị của G trên mặt phẳng như sau:Các đỉnh của đồ thị được biểu diễn bởi các điểm trên mặt phẳng,còn các cạnh của đồ thị được biểu diễn bằng một đường cong nốihai điểm liên thuộc

Ví dụ 1.4.9 Cho đồ thị vòng C5 = (V, E ) với V = {x1, x2, x3, x4, x5}và

E = {{x1, x2}, {x2, x3}, {x3, x4}, {x4, x5}, {x5, x1}}

có chu trình của đồ thị C5 như sau:

Tiếp theo, chúng ta định nghĩa iđêan cạnh liên kết với một đồthị