20 2 Môđun Lasker yếu và đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan 23 2.1 Tính Lasker yếu của đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan 24 2.2 Tính hữu hạn của đối đồng điều địa phươ
Dãy phổ Grothendieck
Định nghĩa 1.1.1 ([52]) Dãy phổ là dãy được kí hiệu bởi (Er, dr) r≥1 của các
R-môđun song phân bậc vi phân sao cho Er+1=H • (Er, dr) ={Er p,q } p,q∈ Z với mọi số nguyên không âmr≥1,trong đód p,q r :E r p,q →E r p+r,q+1−r là các đồng cấu song cấp (r,1−r) và E r+1 p,q = Kerd p,q r /Imd p−r,q+r−1 r Định nghĩa 1.1.2 ([52]) Dãy phổ(E r , d r ) r≥1 được gọi là hội tụ về mộtR-môđun phân bậc H n , kí hiệu là E 2 p,q ⇒ p H n nếu có một lọc bị chặnΦ nào đó của H n sao cho
E ∞ p,q ∼= Φ p H n /Φ p+1 H n với mọi n thỏa mãn n = p+q Cho 0 ≤ n = p+q, có một cái lọc Φ của H n sao cho 0 = Φ n+1 H n ⊆ Φ n H n ⊆ ⊆ Φ 1 H n ⊆ Φ 0 H n = H n và cho ta đẳng cấu
E ∞ i,n−i ∼= Φ i H n /Φ i+1 H n ,0≤i≤n. Định nghĩa 1.1.3 ([36]) Cho B là phạm trù aben đủ nội xạ và choF :B → Ab là một hàm tử cộng tính, hiệp biến Một vật B được gọi là F−không tuần hoàn phải nếu (R p F)B = 0 với mọi p≥1.
Ví dụ 1.1.4 Nếu F = Hom R (A,−) thì mọi R-môđun nội xạ E đều là F-không tuần hoàn phải vì Ext i R (A, E) = 0 với mọi i≥1.
Dưới đây là Định lý về dãy phổ của Grothendieck mà chúng ta sẽ thường sử dụng để chứng minh các kết quả liên quan đến các R-môđun đối đồng điều địa phương ở các chương sau. Định lý 1.1.5 ([52, 10.47])
Cho A → B G → C F là các hàm tử hiệp biến cộng tính trên các phạm trù aben đủ nội xạ A,B,C Giả sử F là hàm tử khớp trái và GE là F-không tuần hoàn phải với mọi vật nội xạ E trong A Khi đó, với mỗi vật A trong A, ta có một dãy phổ góc phần tư thứ nhất thỏa
Tập các iđêan nguyên tố liên kết và gắn kết
Định nghĩa 1.2.1 ([33]) Cho M là R-môđun, ta kí hiệu Ass R (M) = {p ∈ Spec(R)|(0 : R x) =p, với x là một phần tử nào đó khác không thuộc M} và gọi là tập các iđêan liên kết của M.
Hay nói cách khác, một iđêan nguyên tố pcủa R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếup= Ann R (x), với x là phần tử khác không nào đó thuộc M.
Mệnh đề 1.2.2 ([33]) ChoM làR-môđun hữu hạn sinh và alà iđêan của vành
(iii) Ass R (M/Γa(M)) = Ass R (M)\V(a). Để định nghĩa iđêan nguyên tố gắn kết của một R-môđun, trước tiên ta nói về phân tích thứ cấp được giới thiệu bởi Macdonald trong [36] Một R-môđun
M 6= 0 được gọi là thứ cấp nếu cho bất kỳx∈R, phép nhân bởi xtrênM là một toàn cấu hoặc lũy linh Khi đó p = p
Ann R (M) là một iđêan nguyên tố và M được gọi là R-môđun p-thứ cấp Một phân tích thứ cấp của M là một sự phân tích M thành tổng hữu hạn của các R-môđun con thứ cấp Nếu tồn tại một sự phân tích thứ cấp đối với M thì ta nói M là phân tích được Một sự phân tích thứ cấp của M thỏa mãn M =M 1 + .+M k , với M i là p i -thứ cấp, được gọi là phân tích tối tiểu nếu các iđêan nguyên tố pi là phân biệt và không có số hạng
Mi nào là bỏ đi được Mọi phân tích thứ cấp của M đều có thể chuyển thành một phân tích thứ cấp tối tiểu Tập Att R (M) = {p 1 , ,p k } được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết củaM Macdonal đã chứng minh rằng các môđun Artin và môđun nội xạ là biểu diễn được.
Trong [71], Z¨oschinger đã đưa ra định nghĩa tổng quát về tập các iđêan gắn kết là: Một iđêan nguyên tố p của vành R được gọi là iđêan nguyên tố gắn kết củaR-môđun M nếup= Ann R (M/T) với T là R-môđun con của M.Định nghĩa này cũng đúng trong trường hợp M là biểu diễn được trong định nghĩa củaMacdonald.
Đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan
Định nghĩa 1.3.1 ([58]) Cho a là một iđêan của vành R và một R-môđun M. Khi đó hàm tử Γ a từ phạm trù các R-môđun vào chính nó được xác định bởi Γ a (M) ={m ∈M |a n m = 0 với n 1} Khi đó Γ a (M) được gọi là một R-môđun con a-xoắn của M.
Nhận xét 1.3.2 ([58]) Cho M là một R-môđun Ta ký hiệu Γ a (M) ={x∈M |a n x= 0 với n1}
Với mỗi đồng cấu f : M → N, ta có f(Γ a (M)) ⊆Γ a (N) và do đó f cảm sinh đồng cấu Γ a (f) : Γ a (M)→Γ a (N) là thu hẹp của f trên Γa(M).
Nếu f :M →N và g :N →P là các đồng cấu thì Γ a (g◦f) = Γ a (g)◦Γ a (f) và Γ a (1 M ) = 1 Γ a (M ) Hơn nữa, nếuf, g :M →N là các đồng cấu R-môđun và r∈R thì Γ a (f +g) = Γ a (f) + Γ a (g) và Γ a (rf) = rΓ a (f) Như vậy, Γ a (−) là một hàm tử hiệp biến, tuyến tính từ phạm trù các R-môđun vào chính nó Ta gọi Γ a (−) là hàm tử a-xoắn. Định nghĩa 1.3.3 ([58]) Với mỗi i∈N, hàm tử dẫn xuất phải thứ i của Γ a (−) được ký hiệu là H a i (−) và được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương theo iđêan a.
Với mỗiR-môđunM,ta gọiH a i (M)làR-môđun đối đồng điều địa phương thứ icủaM theo iđêana NếuΓa(M) = 0thì M được gọi là một R-môđun a-xoắn-tự do Nếu M = Γ a (M) thì M được gọi là R-môđun a-xoắn.
Từ định nghĩa trên, ta có một số tính chất cơ bản của môđun đối đồng điều địa phương.
Nhận xét 1.3.4 ([58]) (i) Các R-môđun đối đồng điều địa phương H a i (M) có thể được tính như sau: Đầu tiên, ta chọn một phép giải nội xạ (I • , d • ) của M
0→M →I 0 →I 1 → , vớiI i là cácR-môđun nội xạ Sau đó, áp dụng hàm tửΓ a (−)vào đối phức(I • , d • ) ã ã ã →0→I 0 →I 1 →I 2 → ã ã ã ta được đối phức (Γ a (I • ),Γ a (d • )) ã ã ã →0→Γ a (I 0 )→Γ a (I 1 )→Γ a (I 2 )→ ã ã ã. Tiếp theo, ta lấy đối đồng điều thứ i của đối phức trên
(ii) Vì hàm tử Γ a (−) là hàm tử hiệp biến và tuyến tính nên H a i (−) cũng là một hàm tử hiệp biến và tuyến tính với mọi i≥0.
(iii) Do Γ a (−) là hàm tử khớp trái nên Γ a (−) tương đương tự nhiên với hàm tử
H a 0 (−) Khi đó, ta có thể đồng nhất hai hàm tử này với nhau.
(iv) Cho một dãy khớp ngắn các R-môđun
Với mỗi số tự nhiên i,ta có một đồng cấu nốiH a i (N)→H a i+1 (L)và các đồng cấu nối này tạo thành một dãy khớp dài
Ta thấy rằng H a i (M) là các R-môđun a-xoắn với mọi i ≥0 Hơn nữa, nếu M là một R-môđun nội xạ thì H a i (M) = 0 với mọi i >0. Định nghĩa 1.3.5 ([58]) Cho M là một R-môđun và I, J là các iđêan của vành
R R-môđun con (I, J)-xoắn Γ I,J (M) của M được xác định bởi Γ I,J (M) ={x∈M |I n x⊆J x với n 1}.
Khi đó, Γ I,J là hàm tử hiệp biến, tuyến tính và khớp trái từ phạm trù các
R-môđun vào chính nó Với mỗi i ≥ 0, hàm tử dẫn xuất phải thứ i của Γ I,J , kí hiệu H I,J i , được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo cặp iđêan (I, J).Chú ý rằng, nếuJ = 0 thìH I,J i trùng với hàm tử đối đồng điều địa phương
NếuM = Γ I,J (M)thìM được gọi là(I, J)-xoắn NếuΓ I,J (M) = 0 thì ta nóiM là (I, J)-xoắn-tự do Các điều kiện tương đương của R-môđun (I, J)-xoắn được cho trong Bổ đề dưới đây.
Bổ đề 1.3.6 ([58, 1.7]) Cho M là một R-môđun Các điều sau đây là tương đương
Các tính chất cơ bản dưới đây củaR-môđunH I,J i (M)sẽ thường được sử dụng trong luận án.
Bổ đề 1.3.7 ([58, 1.13]) Cho M là một R-môđun.
(i) Nếu M là (I, J)-xoắn thì H I,J i (M) = 0 với mọi i >0.
(iii) M/Γ I,J (M) là (I, J)-xoắn-tự do.
R-môđun H I,J i (M) có thể được tính thông qua giới hạn thuận của các R- môđun đối đồng điều địa phương theo một iđêan mà ta sẽ thấy trong Định lí sau. Định lý 1.3.8 ([58, 3.2]) Cho M là một R-môđun Khi đó
Bổ đề 1.3.9 Cho M là một R-môđun Ta có các điều sau:
(i) ([15, 2.1])Giả sử (R,m) là vành địa phương và M là một R-môđun hữu hạn sinh với dim(M) =d Khi đó H I,J d (M) là Artin.
(ii) ([15, 2.3]) Giả sử (R,m) là vành địa phương, M là một R-môđun hữu hạn sinh với t= dim(M/J M) Khi đó H I,J t (M)/J H I,J t (M) là Artin.
Đối đồng điều địa phương suy rộng theo một cặp iđêan
cặp iđêan Định nghĩa 1.4.1 ([69]) Cho I là một iđêan của R và M, N là các R-môđun. Khi đó
Ext i R (M/I n M, N) được gọi là môđun đối đồng điều địa phương suy rộng thứ i của M, N theo iđêan I.
Mệnh đề 1.4.2 ([69]) Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh, N là một R- môđun bất kỳ Khi đó Γ I (Hom(M, N)) =H I 0 (M, N) = Hom(M,Γ I (N)).
Mệnh đề 1.4.3 ([69])ChoM là mộtR-môđun hữu hạn sinh,N là một R-môđun
I-xoắn Khi đó H I i (M, N)∼= Ext i R (M, N) với mọi i≥0.
Dưới đây, chúng ta sẽ tổng hợp lại một số kết quả liên quan đến tính triệt tiêu và không triệt tiêu của R-môđun H I i (M, N).
Mệnh đề 1.4.4 Cho M, N là các R-môđun hữu hạn sinh với pd(M)pd(M) + ara(I), trong đó ara(I) là hạng số học của I và được tính bằng số phần tử sinh nhỏ nhất của một iđêan có căn bằng căn I.
(iv) ([57, 2.3])Nếu(R,m)là một vành địa phương vàt= depth(N)thìH m t (M, N)60 và H m i (M, N) = 0 với mọi i < t.
Dưới đây là các kết quả liên quan đến tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo một iđêan.
Mệnh đề 1.4.5 Cho M, N là các R-môđun hữu hạn sinh và pd(M) < ∞ Khi đó
(i) ([18, 2.2]) Nếu (R,m) là vành địa phương thì H m i (M, N) là Artin với mọi i≥0.
(ii) ([35, 2.9]) Nếu dim(N) 0 đủ lớn sao cho I n f(x) ⊆ J f(x) với mọi x∈M.
Với mỗi R-môđun M, ta có Γ I,J (M,−) là hàm tử hiệp biến, khớp trái, tuyến tính từ phạm trù các R-môđun vào chính nó.
Ta kí hiệu H I,J i (M,−) là hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử Γ I,J (M,−) và gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương suy rộng thứ i theo cặp iđêan (I, J). Trong [66], Zamani đã đưa ra định nghĩa môđun đối đồng điều địa phương suy rộng H I,J i (M, N) như sau
H I,J i (M, N) = H i (Hom R (M,Γ I,J (E • ))) với E • là một phép giải nội xạ củaR-môđun N.Ta thấy Định nghĩa 1.4.6 trùng với Định nghĩa của Zamani khi M là một R-môđun hữu hạn sinh.
Mệnh đề 1.4.7 ([40]) Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và N là một
Mệnh đề 1.4.8 ([40]) Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và N là một
R-môđun tùy ý Cho I, I 0 , J, J 0 là các iđêan của R Khi đó
(vi) Nếu J 0 ⊆ J thì Γ I+J 0 ,J (M, N) = Γ I,J (M, N) Hơn nữa, Γ I+J,J (M, N) Γ I,J (M, N) và H I+J,J i (M, N) = H I,J i (M, N) với mọi i.
Ta đã biết rằng H I i (M, N)∼= Ext i R (M, N) khi N là R-môđun I-xoắn Mệnh đề tiếp theo là một kết quả tương tự trong trường hợp N là R-môđun (I, J)-xoắn.
Mệnh đề 1.4.9 ([40]) ChoN là một R-môđun(I, J)-xoắn Khi đóH I,J i (M, N)∼ Ext i R (M, N) với mọi i≥0.
Mệnh đề 1.4.10 ([40]) Nếu N là một R-môđun J-xoắn thì H I,J i (M, N) ∼H I i (M, N) với mọi i≥0.
Môđun Lasker yếu và đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan
Chương 2 nghiên cứu mối liên hệ giữa các đối đồng điều địa phương và một số tính chất của các đối đồng điều địa phương như: Tính Lasker yếu, tính đối Lasker yếu, tính hữu hạn, tính đối hữu hạn và tính hữu hạn yếu Nội dung của chương này là những kết quả của tác giả và nhóm nghiên cứu đã được đăng trong các bài báo [46, 47, 62] Chúng tôi giới thiệu về các R-môđun (I, J)-đối Lasker yếu và các tính chất liên quan với cácR-môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan Hơn nữa, chúng tôi nghiên cứu về các tính chất của các
R-môđun đối đồng điều địa phương có giá chứa trong Max(R) và mối quan hệ về tính Artin yếu của các R-môđun H I,J i (M) và H I i (M) Năm 2014, Abbasi và các cộng sự trong [2] giới thiệu về một lớp Serre mới của các R-môđun chứa lớp các R-môđun Lasker yếu và lớp các R-môđun I-minimax Từ đây, tác giả định nghĩa M là một R-môđun I-Lasker yếu nếu bất kỳ môđun con N của M khi đó tập hợp Ass R (Γ I (M/N)) là hữu hạn và đưa ra một số tính chất của các môđun
I-Lasker yếu Chúng tôi cũng đưa ra định nghĩa về R-môđun (I, J)-đối Lasker yếu.
Tính Lasker yếu của đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan 24
theo một cặp iđêan Định nghĩa 2.1.1 ([19]) Một R-môđun M được gọi làLasker yếu nếu tập các iđêan nguyên tố liên kết của bất kỳ môđun thương nào của M đều hữu hạn.
(i) Cho 0→L→M →N → 0 là một dãy khớp ngắn các R-môđun Khi đó M là Lasker yếu nếu và chỉ nếu L và N đều là Lasker yếu Do đó R-môđun thương cũng như tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun Lasker yếu cũng là Lasker yếu.
(ii) Cho M và N là các R-môđun Nếu M là Lasker yếu và N hữu hạn sinh thì Ext i R (N, M) và Tor R i (N, M) đều là Lasker yếu với mọi i≥0. Định nghĩa 2.1.3 [2, 2.1] Một R-môđun M được gọi là J-Lasker yếu nếu tập iđêan nguyên tố liên kết của các R-môđun con Γ J (M/N) của bất kỳ R-môđun thươngM/N đều là hữu hạn Nói cách khác nếu cho bất kỳR-môđun conN của
M thì tập Ass R (Γ J (M/N)) là hữu hạn.
Bổ đề 2.1.4 [2] Các điều khẳng định sau đây là đúng
(i) Lớp của các R-môđun J-Lasker yếu là đóng với việc lấy R-môđun con, thương và mở rộng, nói cách khác nó là một phạm trù con Serre của phạm trù các môđun Đặc biệt, bất kỳ tổng hữu hạn của các R-môđun J-Lasker yếu là J-Lasker yếu.
(ii) Cho M và N là các R-môđun Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh và N là
J-Lasker yếu thì Ext i R (M, N) và Tor R i (M, N) là các J-Lasker yếu với mọi i≥0.
(iii) Nếu M là một R-môđun J-Lasker yếu thì Γ J (M) là Lasker yếu. Định nghĩa 2.1.5 Một R-môđun M được gọi là (I, J)-đối Lasker yếu nếuSupp R (M)⊆W(I, J) và Ext i R (R/I, M) là một J-Lasker yếu với mọi i≥0.
Mệnh đề 2.1.6 Trong dãy khớp ngắn 0 → L → M → N → 0, nếu có hai
R-môđun trong dãy khớp là (I, J)-đối Lasker yếu thì R-môđun còn lại cũng là (I, J)-đối Lasker yếu.
Chứng minh Từ dãy khớp ngắn 0 → L → M → N → 0 cảm sinh ra dãy khớp dài sau ã ã ã →Ext i R (R/I, L)→Ext i R (R/I, M)→Ext i R (R/I, N)→ ã ã ã.
Lưu ý rằngSupp R (M) = Supp R (L)∪Supp R (N).Từ [2, 2.2], ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 2.1.7 Cho M là một R-môđun và t là một số nguyên không âm sao cho H I,J i (M) là (I, J)-đối Lasker yếu với mọi i≤ t Khi đó Ext i R (R/I, M) là
Chứng minh Chứng minh quy nạp theo t Khi t = 0, vì H I,J 0 (M) là (I, J)-đối Lasker yếu nên Hom R (R/I, H I,J 0 (M)) là J-Lasker yếu Kết luận hoàn toàn đúng từ đẳng cấu
Cho t >0, từ dãy khớp ngắn
0→Γ I,J (M)→M →M/Γ I,J (M)→0 cảm sinh ra dãy khớp dài ã ã ã Ext i R (R/I, Γ I,J (M )) → Ext i R (R/I, M ) → Ext i R (R/I, M/Γ I,J (M)) ã ã ã
Vì Γ I,J (M) là một R-môđun (I, J)-đối Lasker yếu nên Ext i R (R/I,Γ I,J (M)) là
J-Lasker yếu với mọi i≥0 Việc chứng minh sẽ hoàn toàn đầy đủ bằng cách chỉ ra Ext i R (R/I, M/Γ I,J (M)) là J-Lasker yếu với mọi i ≤ t Lưu ý rằng H I,J i (M) ∼H I,J i (M/Γ I,J (M)) với mọi i >0 Cho M =M/Γ I,J (M) và E là bao nội xạ của M và L=E/M Từ dãy khớp ngắn
0→M →E →L→0 tồn tại một đẳng cấu H I,J i (L) ∼=H I,J i+1 (M) và Ext i R (R/I, L) ∼= Ext i+1 R (R/I, M) vơi mọi i ≥0 Theo giả thiết, H I,J i (L) là (I, J)-đối Lasker yếu với mọi i ≤t−1 Từ giả thiết quy nạp ta suy ra Ext i R (R/I, L) là J-Lasker yếu với mọi i ≤ t−1 Do đó cho ta kết quả Ext i R (R/I, M) là J-Lasker yếu với mọi i≤t.
Hệ quả 2.1.8 Cho M là một R-môđun sao cho H I,J i (M) là (I, J)-đối Lasker yếu với mọi i≥0 Khi đó Ext i R (R/I, M) là J-Lasker yếu với mọi i≥0. Định lý 2.1.9 Cho M là một R-môđun và n là số nguyên không âm sao cho
H I,J i (M) là (I, J)-đối Lasker yếu với mọi i < n Khi đó
(i) NếuExt n R (R/I, M)làJ-Lasker yếu thìHom R (R/I, H I,J n (M))làJ-Lasker yếu.
(ii) Nếu Ext n+1 R (R/I, M) là J-Lasker yếu thì Ext 1 R (R/I, H I,J n (M)) là J-Lasker yếu.
(iii) Giả sử rằng Ext n+1 R (R/I, M) và Ext n+2 R (R/I, M) là J-Lasker yếu Khi đó Hom R (R/I, H I,J n+1 (M)) là J-Lasker yếu nếu và chỉ nếu Ext 2 R (R/I, H I,J n (M)) là J-Lasker yếu.
Chứng minh Cho F = Hom R (R/I,−) và G = Γ I,J (−) là các hàm tử từ phạm trù các R-môđun vào chính nó Khi đó F G(M) = Hom R (R/I, M) Nếu E là một
R-môđun nội xạ thì R i F(G(E)) = 0 với mọii >0.Theo [52, 10.47] ta có dãy phổ
Theo giả thiết, E 2 p,q là J-Lasker yếu với mọi p ≥ 0, q < n Cho t là số nguyên không âm, khi đó tồn tại lọc Φ các môđun con của H t = Ext t R (R/I, M)
(i) Vì H n = Ext n R (R/I, M)là J-Lasker yếu nên E ∞ i,n−i là J-Lasker yếu với mọi
Vì E n n,1 là thương con của E 2 n,1 nên theo giả thiết E n n,1 là J-Lasker yếu Từ đây suy ra E n 0,n là J-Lasker yếu Bằng cách giải thích tương tự, ta có thể kết luận
E n−1 0,n , E n−2 0,n , , E 2 0,n là các R-môđun J-Lasker yếu Trong trường hợp đặc biệt,Hom R (R/I, H I,J n (M)) =E 2 0,n là J-Lasker yếu.
(ii) Ta xét đồng cấu dãy phổ sau
0→E r 1,n →E r 1+r,n−r+1 với mọi r ≥2 Ta thấy rằng E n+2 1,n =E n+3 1,n = .=E ∞ 1,n và E ∞ 1,n là thương con của Ext n+1 R (R/I, M) Theo giả thiết,E n+2 1,n và E r r+1,n−r+1 là các J-Lasker yếu với mọi r≥2 Mặt khác, do E r+1 1,n = Ker(E r 1,n →E r r+1,n−r+1 ) nên E r 1,n là J-Lasker yếu với mọi r≥2.
(iii) Ta xét các đồng cấu dãy phổ sau
−→r E r r+2,n−r+1 với mọi r ≥ 3 Lưu ý rằng E n+2 2,n = E n+3 2,n = = E ∞ 2,n ∼= Φ 2 H n+2 /Φ 3 H n+2 Hơn nữa, theo giả thiết H n+2 = Ext n+2 R (R/I, M) và Er r+2,n−r+1 là J-Lasker yếu với mọi r ≥3 Suy ra E 3 2,n là J-Lasker yếu Khi đó E 2 2,n là J-Lasker yếu nếu và chỉ nếu Kerd 2,n 2 là J-Lasker yếu Vì E 3 2,n = Kerd 2,n 2 /Imd 0,n+1 2 nên Kerd 2,n 2 là J-Lasker yếu nếu và chỉ nếu Imd 0,n+1 2 là J- Lasker yếu nếu và chỉ nếu E 2 0,n+1 là J-Lasker yếu Ta có điều phải chứng minh.
Chúng ta sẽ tìm các điều kiện sao cho R-môđun H I,J i (M) là (I, J)-đối Lasker yếu với mọi i≥0. Định lý 2.1.10 Cho M là một R-môđun sao choExt i R (R/I, M)là J-Lasker yếu với mọi i≥0.Nếu n là số nguyên không âm sao choH I,J i (M) là(I, J)-đối Lasker yếu với mọi i6=n thì H I,J n (M) là (I, J)-đối Lasker yếu.
Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theon.Khin= 0vàM =M/Γ I,J (M).
Do H I,J i (M)∼= H I,J i (M) với mọi i > 0 và Γ I,J (M) = 0 nên từ giả thiết ta suy ra
H I,J i (M)là (I, J)-đối Lasker yếu với mọi i≥0 Theo Hệ quả 2.1.8, Ext i R (R/I, M) là J- Lasker yếu với mọi i≥0 Từ dãy khớp ã ã ãExt i R (R/I,Γ I,J (M))→Ext i R (R/I, M)→Ext i R (R/I, M)ã ã ã theo giả thiết ta có Ext i R (R/I, H I,J 0 (M)) là J-Lasker yếu với mọi i ≥ 0 Do đó
Bây giờ với n > 0 và điều khẳng định là đúng với mọi i < n Cho E là bao nội xạ của M và L=E/M Từ dãy khớp ngắn
0→M →E →L→0 cho ta các đẳng cấu
H I,J i (L)∼=H I,J i+1 (M) và Ext i R (R/I, L)∼= Ext i+1 R (R/I, M) với mọi i ≥ 0 Theo giả thiết, H I,J i (L) là (I, J)-đối Lasker yếu với mọi i 6=n−1 và Ext i R (R/I, L) là J-Lasker yếu với mọi i ≥ 0 Từ giả thiết quy nạp ta suy ra
H I,J n−1 (L) là (I, J)-đối Lasker yếu Do đó H I,J n (M) là (I, J)-đối Lasker yếu Ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.1.11 Cho M là một R-môđun J-Lasker yếu và n là một số nguyên không âm sao cho H I,J i (M) là (I, J)- đối Lasker yếu với mọi i < n Giả sử rằng
N làR-môđun con J- Lasker yếu của H I,J n (M)sao cho Ext 1 R (R/I, N) là J-Lasker yếu Khi đó Hom R (R/I, H I,J n (M)/N) là J-Lasker yếu.
Chứng minh Từ dãy khớp ngắn
0→N →H I,J n (M)→H I,J n (M)/N →0 cảm sinh ra dãy khớp
Theo giả thiết và Định lý 2.1.9, ta suy ra Hom R (R/I, H I,J n (M)/N) là J-Lasker yếu và ta có điều phải chứng minh.
Tính hữu hạn của đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan 28
theo một cặp iđêan Định nghĩa 2.2.1 ([27]) Một R-môđun M được gọi là I-đối hữu hạn nếu Supp R (M)⊆V(I) và Ext i R (R/I, M) là hữu hạn sinh với mọi i≥0. Định nghĩa 2.2.2 [21] Một R-môđun M được gọi là I-đối hữu hạn yếu nếuSupp R (M)⊆V(I) và Ext i R (R/I, M) là Lasker yếu với mọi i≥0.
Ta thấy rằng các R-môđun I-đối hữu hạn đều là cácR-môđunI-đối hữu hạn yếu. Định nghĩa 2.2.3 ([60]) Một R-môđun M được gọi là (I, J)-đối hữu hạn nếu Supp R (M)⊆W(I, J) và Ext i R (R/I, M) hữu hạn sinh với mọi i≥0. Định nghĩa tiếp theo là một sự tổng quát hóa của các khái niệm R-môđun (I, J)-đối hữu hạn và R-môđun I-đối hữu hạn yếu. Định nghĩa 2.2.4 Một R-môđun M được gọi là (I, J)-đối hữu hạn yếu nếu Supp R (M)⊆W(I, J) và Ext i R (R/I, M) là Lasker yếu với mọi i≥0.
Từ Định nghĩa 2.2.4, ta có nhận xét sau.
Nhận xét 2.2.5 (i) Mỗi R-môđun (I, J)-đối hữu hạn đều là (I, J)-đối hữu hạn yếu.
(ii) Nếu Supp R (M) ⊆ W(I, J) và M là Lasker yếu thì M là (I, J)-đối hữu hạn yếu.
(iii) Cho 0→L→M →N →0là một dãy khớp ngắn cácR-môđun và các đồng cấu Nếu hai trong baR-môđun là (I, J)-đối hữu hạn yếu thìR-môđun còn lại cũng là (I, J)-đối hữu hạn yếu.
Chứng minh (i) Giả sử M là R-môđun (I, J)-đối hữu hạn Khi đó Supp R (M)⊆
W(I, J) và Ext i R (R/I, M) hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 Do đó Ext i R (R/I, M) là Lasker yếu với mọi i≥0.
(ii) Theo Bổ đề 2.1.2(ii), Ext i R (R/I, M) là Lasker yếu với mọi i≥0.
(iii) Từ dãy khớp ngắn, ta có
Supp R (M) = Supp R (L)∪Supp R (N) và một dãy khớp dài ã ã ã →Ext i R (R/I, L)→Ext i R (R/I, M)→Ext i R (R/I, N)→ ã ã ã.
Theo Định nghĩa 2.2.4 ta có được điều phải chứng minh.
Chú ý rằng các R-môđun hữu hạn sinh hay R-môđun có giá hữu hạn đều là các môđun Lasker yếu Lớp các R-môđun (I, J)-đối Lasker yếu là lớn hơn lớp các R-môđun (I, J)- đối hữu hạn.
Hệ quả 2.2.6 Cho M là R-môđun hữu hạn sinh và t là số nguyên không âm. Nếu H I,J i (M) là hữu hạn sinh hoặc Supp R (H I,J i (M)) là tập hữu hạn với mọi i < t thì Ass R (Hom R (R/I, H I,J t (M))) là hữu hạn. Định lý 2.2.7 Cho M là một R-môđun và d là số nguyên không âm sao cho
H I,J i (M) là (I, J)-đối hữu hạn yếu với mọi i≤d Khi đó Ext i R (R/I, M) là Lasker yếu với mọi i≤d.
Chứng minh Ta sẽ chứng minh quy nạp theo d Khi d= 0, dãy khớp ngắn
Vì M/Γ I,J (M) là một R-môđun (I, J)-xoắn-tự do nên nó cũng là I-xoắn-tự do và do đó Hom R (R/I, M/Γ I,J (M)) = 0 Suy ra
Như vậy Hom R (R/I, M) là R-môđun Lasker yếu.
Giả sử d > 0, ta có H I,J i (M) ∼= H I,J i (M/Γ I,J (M)) với mọi i > 0 theo Bổ đề 1.3.7(iv) ĐặtM =M/Γ I,J (M) và E(M)là bao nội xạ của M Từ dãy khớp ngắn
0→M →E(M)→E(M)/M →0 ta được các đẳng cấu
H I,J i (E(M)/M)∼=H I,J i+1 (M) với i ≥ 0 Từ giả thiết suy ra H I,J i (E(M)/M) là (I, J)-đối hữu hạn yếu với mọi i ≤ d−1 Theo giả thiết quy nạp, Ext i R (R/I, E(M)/M) là Lasker yếu với mọi i ≤ d−1 và do đó Ext i R (R/I, M) cũng là Lasker yếu với mọi i ≤ d Dãy khớp ngắn
0→Γ I,J (M)→M →M →0 cảm sinh dãy khớp dài ã ã ã →Ext i R (R/I,Γ I,J (M))→Ext i R (R/I, M)→Ext i R (R/I, M)→ ã ã ã
Do Γ I,J (M) là (I, J)-đối hữu hạn yếu nên Ext i R (R/I,Γ I,J (M)) là Lasker yếu với mọi i ≥ 0 Cuối cùng, từ dãy khớp dài suy ra Ext i R (R/I, M) là Lasker yếu với mọi i≤d. Định lý 2.2.8 Cho M là một R-môđun sao cho Ext i R (R/I, M) là Lasker yếu với mọi i và t là một số nguyên không âm Nếu H I,J i (M) là (I, J)-đối hữu hạn yếu với mọi i6=t thì H I,J t (M) cũng là (I, J)-đối hữu hạn yếu.
Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo t Khi t = 0, đặt M = M/Γ I,J (M), dãy khớp ngắn
0→Γ I,J (M)→M →M →0 cảm sinh một dãy khớp dài ã ã ã →Ext i R (R/I,Γ I,J (M))→Ext i R (R/I, M)→Ext i R (R/I, M)→ ã ã ã
Ta có H I,J i (M) ∼= H I,J i (M) với mọi i > 0 và H I,J 0 (M) = 0 Từ giả thiết, ta có
H I,J i (M) là (I, J)-đối hữu hạn yếu với mọi i ≥ 0 Áp dụng Định lý 2.2.7 ta suy ra rằng Ext i R (R/I, M) là Lasker yếu với mọi i ≥ 0 Do đó, từ dãy khớp dài và giả thiết cho ta Ext i R (R/I,Γ I,J (M))là Lasker yếu Như vậy H I,J 0 (M)là (I, J)-đối hữu hạn yếu.
0→M →E(M)→E(M)/M →0 cho cảm sinh các đẳng cấu
H I,J i (E(M)/M)∼=H I,J i+1 (M) với mọi i≥0 Khi đó H I,J i (E(M)/M) là (I, J)-đối hữu hạn yếu với mọi i6=t−1. Lưu ý rằng Ext i R (R/I,Γ I,J (M)) là Lasker yếu và do đó Ext i R (R/I, E(M)/M) là Lasker yếu với mọi i ≥ 0 Theo giả thiết quy nạp, H I,J t−1 (E(M)/M) là (I, J)-đối hữu hạn yếu Như vậy H I,J t (M) là (I, J)-đối hữu hạn yếu.
Kết hợp Bổ đề 2.1.2(ii) với Định lý 2.2.8, ta được hệ quả sau.
Hệ quả 2.2.9 Cho M là một R-môđun Lasker yếu và t là số nguyên không âm Nếu H I,J i (M) là (I, J)-đối hữu hạn yếu với mọi i 6= t thì H I,J t (M) cũng là (I, J)-đối hữu hạn yếu.
Hệ quả 2.2.10 Cho I là iđêan chính của R và M là một R-môđun Lasker yếu. Khi đó H I,J i (M) là (I, J)-đối hữu hạn yếu với mọi i≥0.
Chứng minh Từ [58, 4.11] suy ra rằng H I,J i (M) = 0 với mọi i > 1 Mặt khác,
H I,J 0 (M)là mộtR-môđun Lasker yếu vì H I,J 0 (M)là một môđun con của M.Điều này cho thấy H I,J i (M) là (I, J)-đối hữu hạn yếu với mọi i6= 1 Từ Định lý 2.2.8, ta có điều phải chứng minh.
Tính Artin và Artin yếu của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan
Tính chất Artin của các môđun đóng vai trò quan trọng khi nghiên cứu về cấu trúc của vành giao hoán và được giới thiệu bởi các tác giả Artin, Noether và Hilbert từ những năm 1890 Hiện nay, tính chất Artin của các R-môđun là một trong những chủ đề được nhiều nhà khoa học quan tâm khi nghiên cứu về các môđun đối đồng điều địa phương trong lý thuyết vành giao hoán như:Matsumura [34] năm 1986; Chu và Tang [14] năm 2007; Payrovi và Parsa [48] năm 2012; Tang [59] năm 2012; Gu [23] năm 2013 Tác giả và nhóm nghiên cứu gồm T.T.Nam, N.M.Trí, N.T.Nam đã chứng minh một số kết quả về tính Artin của các môđun đối đồng điều địa phương trong các bài báo [62], [46] năm 2019.Một số kết quả về tính Artin và Artin yếu của của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan cũng đã được thể hiện trong [45, 47, 62] Chương 3,tác giả cụ thể hóa các kết quả đạt được về tính Artin của các môđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo một cặp iđêan Đặc biệt, trong chương này chúng tôi tập trung nghiên cứu về tính Artin yếu của đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan
Tính Artin yếu của đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan 34
theo một cặp iđêan Định lý sau sẽ cho ta một số kết quả liên quan về tính Artin của các R-môđun đối đồng điều địa phương Như chúng ta đã biết, nếu M là hữu hạn sinh với dimM =d thì môđun H I,J d (M) là Artin Trong phần này, chúng tôi mở rộng kết quả này trong trường hợp khi M là Lasker yếu. Định lý 3.1.1 Cho (R,m) là vành địa phương và M là một R-môđun Lasker yếu sao cho dimM =d 1 và H I,J i (N) ∼= H I,J i (M) với mọi i > 2, với N là R-môđun con hữu hạn sinh của M
Nếu dimM >1 thì dimM = dimN = d Vì H I,J d (N) là Artin nên H I,J d (M) là Artin.
(ii) Bây giờ ta giả sử rằng dimM ≤1 Nếu d= 1 thì có một dãy khớp ngắn ã ã ã →H I,J 1 (N)→H I,J 1 (M)→H I,J 1 (M/N)→0.
VìH I,J 1 (N)là Artin vàSupp R (M/N)là hữu hạn nên Supp R (H I,J 1 (M))là hữu hạn. Nếu dimM = 0 thì từ dãy khớp ngắn
0→H I,J 0 (N)→H I,J 0 (M)→H I,J 0 (M/N)→0 cho ta kết quả Supp R (H I,J 0 (M)) là hữu hạn.
(iii) Ta xét dãy khớp dài ã ã ã →H I,J d−1 (N)→H I,J d−1 (M)→ α H I,J d−1 (M/N)→H I,J d (N)→ ã ã ã
Vì N là hữu hạn sinh và dimN ≤ d nên ta áp dụng [43, 2.13] suy ra rằng
Supp R (H I,J d−1 (N)/J H I,J d−1 (N)) là hữu hạn Bằng cách áp dụng hàm tử R/J ⊗ R − lên dãy khớp ã ã ã →H I,J d−1 (N)→H I,J d−1 (M)→Imα→0 cho ta được một dãy khớp
Trong đó Supp R (H I,J d−1 (M/N)) là hữu hạn và Supp R (Imα) cũng vậy.
Do đó Supp R (H I,J d−1 (M)/J H I,J d−1 (M)) là hữu hạn.
Chúng ta bắt đầu bằng cách nhắc lại định nghĩa vềR-môđun Artin yếu trong bài báo [26] Một R-môđun M được gọi là Artin yếu nếu bao nội xạ của nó là
E R (M), có thể viết phân tích ra như sau E R (M) = Ln i=1E R (R/m i ) à 0 ( m i ;M ) , với m 1 , ,m n là iđêan tối đại của R Tất cả các R-môđun Artin đều là R-môđun Artin yếu Phạm trù các R-môđun Artin yếu là phạm trù con Serre của phạm trù cácR-môđun Chúng ta biết rằng M là Artin yếu nếu và chỉ nếuM là Lasker yếu và Supp R (M) chứa các iđêan tối đại ([26, 2.3]).
Mệnh đề 3.1.2 Nếu M là một R-môđun Artin yếu thì H I,J i (M) là Artin yếu với mọi i≥0.
Chứng minh Theo giả thiết, ta có dimM = 0 do đó H I,J i (M) = 0 với mọi i >0.
Từ [26, 2.3 (c)] ta suy ra rằng H I,J 0 (M) là Artin yếu và ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 3.1.3 ChoM là một R−môđun hữu hạn sinh và t là số nguyên không âm Nếu H I,J i (R/p) là R-môđun Artin yếu với mọi p ∈ Supp R (M) và i < t thì
H I,J i (M) là Artin yếu với mọi i < t.
Chứng minh Vì M là hữu hạn sinh, khi đó tồn tại lọc của các R-môđun con của M
0 =M 0 ⊆M 1 ⊆ .⊆M n =M sao cho M j /M j−1 ∼=R/p j với một số p j ∈Supp R (M) Dãy khớp ngắn
0→M j−1 →M j →R/p j →0 cảm sinh ra dãy khớp dài ã ã ã →H I,J i (M j−1 )→H I,J i (M j )→H I,J i (R/p j )→ ã ã ã. Bằng cách quy nạp trênj,ta kết luận rằngH I,J i (M)là Artin yếu với mọii < t.
Một R-môđun M được gọi là I-xoắn-tự do nếu Γ I (M) = 0.
Bổ đề 3.1.4 Cho I là iđêan của R và M là R-môđun Lasker yếu Khi đó M là
R-môđun I-xoắn-tự do nếu và chỉ nếu có một phần tử x∈I là M-chính quy.
Chứng minh Cách chứng minh tương tự với [13, 2.1.1(ii)] và lưu ý rằng tập Ass R (M) là hữu hạn.
Chúng ta biết rằng nếu (R,m) là vành địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh, khi đó H m i (M) là Artin với mọi i≥0(xem [13]) Lưu ý rằng, nếu M là
R-môđun bất kỳ thì H m i (M) là Artin yếu với mọi i≥0.
Mệnh đề 3.1.5 Nếu(R,m)là vành địa phương và√I+J =mthìH I,J i (M)/J H I,J i (M) là Artin yếu với mọi i≥0.
Chứng minh Từ [58, 1.4] ta suy ra rằng H I,J i (M)∼=H m i ,J (M) với mọi i≥0 Lưu ý rằng Supp R (H m i ,J (M)/J H m i ,J (M)) ⊆ {m} và theo [26, 2.3 (b)] ta có điều phải chứng minh.
Hajikarimi đã chứng minh rằng [26, 2.11] nếu M là R-môđun Lasker yếu có chiều hữu hạn d, khi đó H I d (M) là Artin yếu Chu và Wang trình bày trong [15, 2.1] rằng trong vành địa phương và M là hữu hạn sinh với dimM = d, khi đó
R-môđun H I,J d (M) là Artin Ta đưa ra kết quả mở rộng trong trường hợp M làLasker yếu. Định lý 3.1.6 Nếu M là một R-môđun Lasker yếu sao cho dimM =d 0. Dãy khớp ngắn
0→Γ J (M)→M →M/Γ J (M)→0 cảm sinh ra dãy khớp
Theo [58, 2.5], ta có H I,J d (Γ J (M)) ∼=H I d (Γ J (M)) Hơn nữa, Γ J (M) là Lasker yếu với dim Γ J (M)≤d, do đó H I d (Γ J (M)) là Artin yếu theo [26, 2.11].
ChoM =M/Γ J (M),ta cần phải chứng minhH I,J d (M)/J H I,J d (M)là Artin yếu. Theo Bổ đề 3.1.4, tồn tại một phần tử x∈J làM-chính quy Từ dãy khớp ngắn
0→M → x M →M /xM →0 cảm sinh ra dãy khớp dài ã ã ã →H I,J d−1 (M /xM)→ f H I,J d (M)→ x H I,J d (M)→0.
Vì M /xM là Lasker yếu với dim(M /xM)≤d−1 nên ta kết luận rằng
H I,J d−1 (M /xM)/J H I,J d−1 (M /xM) là Artin yếu theo giả thiết quy nạp Dãy khớp ngắn
0→Imf →H I,J d (M)→ x H I,J d (M)→0 cho chúng ta dãy khớp dài ã ã ãImf /JImf →H I,J d (M)/J H I,J d (M)→ x H I,J d (M)/J H I,J d (M)→0.
Vì x ∈ J nên ta suy ra rằng H I,J d (M)/J H I,J d (M) là một ảnh đồng cấu của Imf /JImf.NhưngImf /JImflà Artin yếu theo [26, 2.3 (c)] Do đóH I,J d (M)/J H I,J d (M) là Artin yếu.
Từ chứng minh của Định lý 3.1.6 (i), ta biết rằng nếudim(M/Γ J (M))0. Điều này suy ra Φ 1 H n = Φ 2 H n = .= Φ n+1 H n = 0 với mọi n < t Theo giả thiết, E 2 0,n = Γ a (H I,J n (M)) là Artin yếu với mọi n < t.
Ta xét đồng cấu của các dãy phổ
0 =E r −r,n+r−1 →E r 0,n →E r r,n−r+1 = 0 với mọi r ≥2 Ta suy ra rằng
0→Φ 1 H n →H a n (M)→E ∞ 0,n →0 ta được H a n (M)∼= Γa(H I,J n (M)) với mọi n < t Ta có điều phải chứng minh. (ii) Theo [52, 10.47] tồn tại dãy phổ Grothendieck
Cho n < t, có một đẳng cấu
E ∞ i,n−i ∼= Φ i H n /Φ i+1 H n với mọi i≤n và H n = Ext n R (R/a, M) Theo giả thiết E 2 i,n−i là Artin yếu với mọi i≤n Vì E ∞ i,n−i là thương con của E 2 i,n−i nên ta có E ∞ i,n−i là Artin yếu.
E ∞ n−1,1 ∼= Φ n−1 H n /Φ n H n ∼= Φ n−1 H n /E ∞ n,0 Khi đó Φ n−1 H n là Artin yếu Bằng cách quy nạp giảm dần, ta kết luận rằng Φ n−2 H n , ,Φ 0 H n là Artin yếu và ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 3.1.9 Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và t là một số nguyên không âm Nếu H I,J i (R/p) là một Artin yếu với mọi p ∈ Supp R (M), i < t thì
H I,J i (M) là Artin yếu với mọi i < t.
Chứng minh Vì M là hữu hạn sinh nên tồn tại một lọc của các R-môđun con của M
0 =M 0 ⊆M 1 ⊆ .⊆M n =M sao cho M j /M j−1 ∼=R/p j với một số p j ∈Supp R (M) Dãy khớp ngắn
0→M j−1 →M j →R/p j →0 cảm sinh ra dãy khớp dài ã ã ã →H I,J i (M j−1 )→H I,J i (M j )→H I,J i (R/p j )→ ã ã ã.Bằng cách quy nạp trênj,ta kết luận rằngH I,J i (M)là Artin yếu với mọii < t.
Tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan
Trong [50, 2.10], nhóm tác giả đã chứng minh rằng nếu (R,m) là vành địa phương và M là hữu hạn sinh sao cho Supp R (H I,J i (M))⊆ {m} với mọi i < t thì
H I,J i (M)∼=H m i (M)với mọi i < t.Từ đây, chúng tôi đưa ra kết quả tổng quát hơn bởi định lý sau Định lý 3.2.1 Cho (R,m)là vành địa phương vàt là một số nguyên dương Nếu
M là một R-môđun sao cho Supp R (H I,J i (M))⊆ {m} với mọi i≤t thì H I,J i (M)∼H m i ,J (M)∼=H m i (M) với mọi i≤t.
Chứng minh Trước tiên, ta chứng minh rằngH I,J i (M)∼=H m i ,J (M) với mọi i≤t. ChoF(−) := Γ m ,J (−)và G(−) := Γ I,J (−)là các hàm tử từ phạm trù cácR-môđun vào chính nó Với mỗi R-môđun M, ta có
Do đó F G(−) = Γ m ,J (−) Cho E là R-môđun nội xạ Vì Γ I,J (E) là môđun nội xạ nên R i F(G(E)) = R i F(Γ I,J (E)) = 0 với mọi i > 0 Theo [52, 10.47] tồn tại dãy phổ Grothendieck
Vì Supp R (H I,J q (M)) ⊆ {m} ⊆ W(m, J) nên H I,J q (M) là R-môđun (m, J)-xoắn với mọi 0≤q ≤t Từ [58, 1.13] ta suy ra
Cho 0≤n≤t, tồn tại lọc Φ của H n =H m n ,J (M)
Trong trường hợp r≥2, từ các đồng cấu của dãy phổ
0 =E r −r,n+r−1 →E r 0,n →E r r,n−r+1 = 0 ta có E 2 0,n =E 3 0,n = .=E ∞ 0,n Do H I,J n (M) là R-môđun (m, J)-xoắn nên
Tiếp theo để chứng minh H I,J i (M) ∼= H m i (M) với mọi i ≤ t, ta đặt F(−) :Γm(−) và G(−) := Γ I,J (−) Khi đó, vì m∈ W˜(I, J) nên F G(M) = Γm(Γ I,J (M)) Γm(M).
Do đó F G(−) = Γ m (−) Khi đó R i F(G(E)) =H m i (Γ I,J (E)) = 0 với mọi i >0. Theo [52, 10.47] tồn tại dãy phổ Grothendieck
Vì Supp R (H I,J q (M)) ⊆ {m} ⊆ W(m,0) nên theo [58, 1.7] H I,J q (M, N) là R- môđun (m,0)- xoắn với 0≤q≤t Theo [58, 1.13]
E 2 p,q =H m p (H I,J q (M)) = 0 với p >0,0≤q ≤t Cho0≤n=p+q ≤t, tồn tại lọcΦcủaH n =H m n (M) sao cho
0 = Φ n+1 H n ⊆Φ n H n ⊆ .⊆Φ 1 H n ⊆Φ 0 H n =H m n (M) và E ∞ i,n−i ∼= Φ i H n /Φ i+1 H n ,0≤i≤ n Chúng ta có được E 2 p,q =H m p (H I,J q (M)) = 0, vớip > 0,0≤q ≤t Khi đóE ∞ 0,n ∼= Φ 0 H n /Φ 1 H n vàE ∞ i,n−i ∼= Φ i H n /Φ i+1 H n = 0,0< i ≤n Do đó Φ 1 H n = Φ 2 H n = = Φ n+1 H n = 0 và E ∞ 0,n ∼= Φ 0 H n =H m n (M) Khi r≥2, từ các đồng cấu dãy phổ
0 =E r −r,n+r−1 →E r 0,n →E r r,n−r+1 = 0 ta nhận được kết quả E 2 0,n =E 3 0,n = .=E ∞ 0,n
Vì H I,J n (M) là R-môđun (m,0)-xoắn nên ta có
Từ Định lý 3.2.1 chúng ta suy ra được kết quả sau về tính Artin củaH I,J i (M).
Hệ quả 3.2.2 Cho (R,m) là vành địa phương và t là số nguyên dương Nếu M là một R-môđun hữu hạn sinh sao cho Supp R (H I,J i (M))⊆ {m} với mọi i≤ t thì
H I,J i (M) là một R-môđun Artin với mọi i≤t.
Chứng minh Theo [13, 7.1.3] ta có H m i (M) là R-môđun Artin với mọi i Do đó từ kết quả của Định lý 3.2.1 ta có điều phải chứng minh. Định lý 3.2.3 Cho M là một R-môđun và t là số nguyên dương Khi đó
(i) dimH I,J i (M)≤k với mọi i < t nếu và chỉ nếu dimH a i (M)≤k với mọi i < t và a∈W˜(I, J).
(ii) Nếu M là một R-môđun hữu hạn sinh và Supp R (H I,J i (M)) ⊆ Max(R) với mọi i < t thì H a i (M) là Artin với mọi i < t và a∈W˜(I, J).
(iii) Giả sử rằng (R,m) là một vành địa phương và M là một R-môđun hữu hạn sinh Khi đó H I,J i (M) là Artin với mọi i < t nếu và chỉ nếu H a i (M) là Artin với mọi i < t và a∈W˜(I, J).
Chứng minh (i) (⇒) Cho a ∈ W˜(I, J) và n < t Theo [52, 10.47] tồn tại dãy phổ
Khi đó tồn tại lọc Φ của H n =H a n (M)
E ∞ i,n−i ∼= Φ i H n /Φ i+1 H n với mọi i ≤ n Vì E ∞ i,n−i là thương con của E 2 i,n−i nên theo giả thiết ta có dimE ∞ i,n−i ≤ k với mọi i ≤ n Do đó dim Φ i H n ≤ k với mọi i ≤ n Đặc biệt, dimH a n (M) = dim Φ 0 H n ≤k.
VìdimH a i (M)≤k với mọi i < tvà a∈W˜(I, J)nêndimH I,J i (M)≤k với mọii < t. (ii) Từ kết quả của (i) ta suy ra rằng Supp R (H a i (M))⊆Max(R) với mọii < t.
Do đó H a i (M) là Artin với mọi i < t theo [59, 2.2].
(iii) (⇒) Được suy ra từ kết quả của (ii).
(⇐) Lưu ý rằng Supp R (H a i (M))⊆ {m} với mọi i < t và a∈W˜(I, J) Theo (i), ta có Supp R (H I,J i (M))⊆ {m} với mọi i < t Do đó, theo Định lý 3.2.1 ta có được điều phải chứng minh.
Theo [9, 2.9], hệ quả dưới đây đã được chứng minh trong trường hợpdimH I i (M)≤
1 với mọi i < t Bây giờ chúng tôi mở rộng kết quả này cho trường hợp dimH I,J i (M) ≤ 1 với mọi i < t Áp dụng Định lý 3.2.3(i) sẽ cho chúng ta hệ quả
Hệ quả 3.2.4 Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và t là số nguyên không âm sao cho dimH I,J i (M)≤1 với mọi i < t Khi đó
(i) R-môđun H a i (M) là a-đối hữu hạn với mọi i < t và với mọi a∈W˜(I, J);
(ii) R-môđun Hom(R/a, H a t (M)) là hữu hạn sinh với mọi a∈W˜(I, J) Đặc biệt, tập Ass R (H a t (M)) là hữu hạn với mọi a∈W˜(I, J).
Chứng minh Việc chứng minh này được suy ra từ việc áp dụng Định lý 3.2.3(i) và [9, 2.9].
Trong [40, 3.1], các tác giả đã chứng minh nếu (R,m) là vành địa phương và
M, N là các R-môđun hữu hạn sinh với dimN = d và pdM = p thì H I,J p+d (M, N) là một R-môđun Artin Khi đó, chúng tôi khái quát hóa kết quả của [40, 3.1] cho các R-môđun minimax như định lý sau.
Mệnh đề 3.2.5 Nếu (R,m) là một vành địa phương và M là một R-môđun hữu hạn sinh với pdM =p, N là một R-môđun với dimN =d thì H I,J p+d (M, N) là Artin.
Chứng minh Vì N là một R-môđun minimax nên ta có dãy khớp
0→L→N →A→0 với L là hữu hạn sinh và A là Artin Ta có một dãy khớp dài
Từ [40, 3.7], H I,J i (M, A) là R-môđun Artin với mọi i ≥ 0 Kết hợp [40, 3.2] với
[66, 2.4] chúng ta kết luận H I,J p+d (M, L) là Artin vì dimL ≤ dimN = d Do đó
Tính minimax và cominimax của đối đồng điều địa phương suy rộng theo một cặp iđêan
Chương 4 là trình bày về tính minimax, I-cominimax và (I, M)-cominimax của các đối đồng điều địa phương Khái niệm về R-môđun minimax đã được giới thiệu bởi H Z¨oschinger [70] Lớp các R-môđun minimax là một phạm trù conSerre Hơn nữa, nếu cho M là R-môđun hữu hạn sinh, N là R-môđun minimax thì với bất kỳ số nguyên i các môđun Tor R i (M, N) và Ext i R (M, N) là minimax.Những kết quả của chương này đã được tác giả công bố trong các bài báo [46, 47].
Tính minimax của đối đồng điều địa phương suy rộng
suy rộng Định nghĩa 4.1.1 ([70]) Một R-môđun M được gọi là minimax nếuM có một
R-môđun con hữu hạn sinh L sao cho M/L là Artin.
Nhận xét 4.1.2 i) Lớp cácR-môđun minimax cùng với các đồng cấu của chúng là phạm trù con Serre Trong trường hợp đặc biệt, cho M là R-môđun hữu hạn sinh và N là một R-môđun minimax Khi đó cho bất kỳ số nguyên i,các môđun Tor R i (M;N) và Ext i R (M;N) là minimax với mọi i≥0. ii) Tập các iđêan nguyên tố liên kết của bất kỳ R-môđun minimax nào cũng là hữu hạn.
Bổ đề 4.1.3 ([32, 2.1]) Cho M là một R-môđun minimax Khi đó M làI-xoắn- tự do nếu và chỉ nếu I chứa một ước khác không trên M. Định lý sau liên quan đến tính minimax của H I,J i (N) và H I,J i (M, N). Định lý 4.1.4 Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và N là R-môđun tùy ý. Cho t là một số nguyên không âm sao cho H I,J i (N) là minimax với mọi i < t. Khi đó
(i) Ext i R (R/a, N) là minimax với mọi i < t và a∈W˜(I, J).
(ii) Nếu Ext t R (R/a, N) là minimax với mọi a∈W˜(I, J) thì Hom R (R/a, H I,J t (N)) là minimax.
(iii) Trong trường hợp N là minimax Ta có Hom R (R/a, H I,J t (M, N)) cũng là minimax với mọi a∈W˜(I, J).
Chứng minh (i) Dùng phương pháp chứng minh quy nạp theo t Khi t = 0, ta có được điều phải chứng minh Cho t >0, dãy khớp ngắn
0→Γ I,J (N)→N →N →0 cho ta dãy khớp dài ã ã ãExt i R (R/a,Γ I,J (N))→Ext i R (R/a, N)→Ext i R (R/a, N)ã ã ã
Vì Γ I,J (N) là minimax nên việc chứng minh (i) sẽ hoàn thành bằng cách chứng minh rằngExt i R (R/a, N)là minimax với mọii < t.Theo [58, 1.13], ta cóH I,J i (N)∼H I,J i (N) với mọi i >0 và Γ I,J (N) = 0 Kí hiệu E =E(N) là bao nội xạ của N và
L=E/N Lưu ý rằngAss R (Γ I,J (E)) =W(I, J)∩Ass R (E) =W(I, J)∩Ass R (N) =∅, và do đó Γ I,J (E) = 0 Dãy khớp ngắn 0 → N → E → L → 0 dẫn đến đẳng cấu sau
H I,J i (L)∼=H I,J i+1 (N) và Ext i R (R/a, L)∼= Ext i+1 R (R/a, N) vơi mọi i≥0.
Từ giả thiết quy nạp ta có Ext i R (R/a, L) là minimax với mọi i < t−1 Do đóExt i R (R/a, N) là minimax với mọi i < t và việc chứng minh (i) đã hoàn thành.
(ii) Ta dùng phương pháp quy nạp theo t Khi t = 0, vì N là a-xoắn-tự do nên Hom R (R/a, N) = 0 Tác động hàm tử Hom R (R/a,−) cho dãy khớp sau
0→Γ I,J (N)→N →N →0 cho ta kết quả làHom R (R/a,Γ I,J (N))∼= HomR(R/a, N)và khi đóHom R (R/a,Γ I,J (N)) là minimax.
Giả sử rằng t >0 Theo kết quả của (i), ta có
Theo giả thiết quy nạp, ta có Hom R (R/a, H I,J t−1 (L)) là minimax Khi đó ta kết luận Hom R (R/a, H I,J t (N)) là mininax.
(iii) Chúng ta dùng quy nạp theot.Khit = 0,ta cóH I,J 0 (M, N)∼= HomR(M,Γ I,J (N)) theo [40, 2.2] VìΓ I,J (N)⊆N,Hom R (M,Γ I,J (N))là minimax nênHom R (R/a, H I,J 0 (M, N)) cũng là minimax.
Cho t >0 Từ dãy khớp ngắn
0→Γ I,J (N)→N →N →0 kéo theo dãy khớp dài ã ã ã →H I,J i (M,Γ I,J (N))→H I,J i (M, N)→H I,J i (M, N)→ ã ã ã (∗)
Theo kết quả [40, 2.6] ta suy ra H I,J i (M,Γ I,J (N))∼= Ext i R (M,Γ I,J (N)) với mọi i, khi đó H I,J i (M,Γ I,J (N)) là minimax với mọi i Theo dãy khớp (*), việc chứng minh sẽ kết thúc nếu ta chứng minh được: Hom R (R/a, H I,J t (M, N)) là minimax.
VìN là (I, J)-xoắn-tự do nên nó cũng làa-xoắn-tự do với mọia∈W˜(I, J) Theo
[32, 2.1] tồn tại một phần tử N-chính quy x∈a.
0→N → x N →N /xN →0 dẫn đến dãy khớp dài sau ã ã ãH I,J t−1 (M, N)→ f H I,J t−1 (M, N /xN)→ g H I,J t (M, N)→ x H I,J t (M, N)ã ã ã
Vì H I,J i (N) ∼= H I,J i (N) với mọi i > 0 nên theo [42, 2.5] ta suy ra H I,J i (M, N) là minimax với mọii < t Do đó H I,J i (M, N /xN) là minimax và vì vậy H I,J i (N /xN) là minimax với mọi i < t−1 Lưu ý rằng N /xN cũng là minimax Theo giả thiết quy nạp suy ra Hom R (R/a, H I,J t−1 (M, N /xN)) là minimax.
Bằng cách chẻ ra từ hai dãy khớp trên, ta được hai dãy khớp:
Tác động hàm tử Hom R (R/a,−)cho các dãy khớp này ta được các dãy khớp sau
→Hom R (R/a,Img)→Ext 1 R (R/a,Imf)ã ã ã , và dãy khớp
Vì H I,J t−1 (M, N) là môđun minimax nênImf cũng là môđun minimax Khi đó Hom R (R/a,Img) cũng là minimax Vì x ∈ a, dãy khớp cuối cho chúng ta đẳng cấu
Do đóHom R (R/a, H I,J t (M, N))là minimax và việc chứng minh (iii) là hoàn thành.
Hệ quả 4.1.5 Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh, N là R-môđun tùy ý, t là số nguyên không âm sao cho H I,J i (N) là minimax với mọi i < t.
(i) Nếu a∈W˜(I, J), Ext t R (R/a, N) là minimax và có R-môđun hữu hạn sinh K sao cho Supp R (K)⊆V(a) thì Hom R (K, H I,J t (N)) là minimax.
(ii) NếuN là minimax vàK làR-môđun con củaH I,J t (M, N)sao choExt 1 R (R/a, K) là minimax thì Hom R (R/a, H I,J t (M, N)/K) là minimax.
Chứng minh (i) Do Supp R (K)⊆V(a) nên tồn tại một chuỗi hữu hạn 0 =K 0 ⊆
K 1 ⊆ ⊆ K n = K sao cho K i /K i−1 là một ảnh đồng cấu của (R/a) m i với mọi i= 1,2, , n theo Định lý Gruson Khi đó, ta có dãy khớp ngắn
0→L 1 →(R/a) m 1 →K 1 →0 với L 1 là một R-môđun và m 1 là một số nguyên dương Từ đây, ta có dãy khớp dài
0→Hom R (K 1 , H I,J t (N))→Hom R ((R/a) m 1 , H I,J t (N))→Hom R (L 1 , H I,J t (N))ã ã ã Mặt khác từ dãy khớp ngắn
0→L 2 →(R/a) m 2 →K 2 /K 1 →0. Áp dụng hàm tửHom R (−, H I,J t (N))cho dãy khớp ngắn này, ta có được dãy khớp dài
Khi đó Hom R (K 1 , H I,J t (N))và Hom R (K 2 /K 1 , H I,J t (N)) là các minimax theo Định lý 4.1.4(ii) Áp dụng phương pháp quy nạp theon,ta đượcHom R (K n−1 , H I,J t (N)) và Hom R (K/K n−1 , H I,J t (N))là các môđun minimax Do vậyHom R (K, H I,J t (N))là minimax.
(ii) Áp dụng hàm tử Hom R (R/a,−) cho dãy khớp ngắn
Ta có được dãy khớp dài
Hom R (R/a, H I,J t (M, N )) → Hom R (R/a, H I,J t (M, N )/K) → Ext 1 R (R/a, K ) Áp dụng kết quả từ Định lý 4.1.4(iii) ta suy ra rằng Hom R (R/a, H I,J t (M, N)) là minimax Vì vậy, từ giả thiết quy nạp ta có được điều phải chứng minh.
Trong [14], khi M, N là các R-môđun hữu hạn sinh và (R,m) là vành địa phương, Chu and Tang đã trình bày rằng Supp R (H I i (M, N)) ⊆ {m} nếu và chỉ nếu H I i (M, N) là Artin Chúng tôi khái quát hóa cho H I,J i (M, N) và sự mở rộng của Định lý 3.2.1 ta có được Định lý dưới đây Định lý 4.1.6 Cho (R,m) là một vành địa phương và t là số nguyên không âm. Giả sử rằng M là một R-môđun hữu hạn sinh và N là một R-môđun tùy ý sao cho Supp R (H I,J i (M, N))⊆ {m} với mọi i≤t Khi đó
(ii) Nếu N là minimax thì H I,J i (M, N) là Artin với mọi i≤t.
Chứng minh (i) Trước tiên, ta chứng minh H I,J i (M, N) ∼= H m i ,J (M, N) với mọi i ≤ t Ta kí hiệu F(−) := Γ m ,J (−) và G(−) := Γ I,J (M,−) là các hàm tử từ phạm trù các R-môđun vào chính nó Trong đó F là hàm tử khớp trái Với mỗi
ChoElàR-môđun nội xạ VìΓ I,J (E)làR-môđun nội xạ nên ta cóR i F(G(E)) R i F(Γ I,J (M, E)) ∼= R i F(Hom R (M,Γ I,J (E))) = 0 với mọi i > 0 Theo [52, 10.47] tồn tại dãy phổ Grothendieck
Do Supp R (H I,J q (M, N))⊆ {m} ⊆W(m, J) nên áp dụng [58, 1.7] ta có H I,J q (M, N) là môđun (m, J)-xoắn với 0≤q ≤t Theo [58, 1.13], ta được
Cho 0≤n=p+q≤t, tồn tại lọc Φ của H n =H m n ,J (M, N) sao cho
Vì E 2 p,q =H m p ,J (H I,J q (M, N)) = 0 với p >0,0≤q ≤t nên ta có
Với mọi r≥2, từ các đồng cấu của dãy phổ
0 =E r −r,n+r−1 →E r 0,n →E r r,n−r+1 = 0 suy ra E 2 0,n =E 3 0,n = .=E ∞ 0,n Do H I,J n (M, N) là một R-môđun (m, J)-xoắn nên
Tiếp theo để chứng minh H I,J i (M, N) ∼= H m i (M, N) với mọi i ≤ t, ta đặt
F(−) := Γm(−) và G(−) := Γ I,J (M,−) Khi đó, vìm∈W˜(I, J) nên
Do đó F G(−) = Γ m (M,−) Cho E là R-môđun nội xạ, ta có R i F(G(E)) R i F(Γ I,J (M, E)) ∼= R i F(Γ I,J (Hom R (M, E)) = 0 với mọi i > 0 Theo [52, 10.47] tồn tại dãy phổ Grothendieck
Vì Supp R (H I,J q (M, N)) ⊆ {m} ⊆ W(m,0) nên theo [58, 1.7] H I,J q (M, N) là môđun (m,0)- xoắn với 0≤q≤t Áp dụng [58, 1.13] ta được
E 2 p,q =H m p (H I,J q (M, N)) = 0 với p > 0,0≤q ≤t Cho 0≤n =p+q≤t, tồn tại lọc Φ của H n =H m n (M, N) sao cho
Do đó E ∞ 0,n ∼= Φ 0 H n /Φ 1 H n , E ∞ i,n−i ∼= Φ i H n /Φ i+1 H n = 0,0< i≤n Khi đó Φ 1 H n Φ 2 H n = .= Φ n+1 H n = 0 và E ∞ 0,n ∼= Φ 0 H n =H m n (M, N).
Với r≥2, từ các đồng cấu của dãy phổ
0 =E r −r,n+r−1 →E r 0,n →E r r,n−r+1 = 0 ta nhận được kết quả E 2 0,n =E 3 0,n = .=E ∞ 0,n
(ii) Kết hợp [20, 2.2] và (i), chúng ta thấy rằng H m n (M, N) là Artin nên
H I,J i (M, N) là Artin với mọi i≤t khi N là R-môđun hữu hạn sinh.
Giả sử rằng N là một R-môđun minimax Khi đó tồn tại dãy khớp ngắn
0→L→N →A→0, với L là hữu hạn sinh và A là Artin Từ đây, ta có dãy khớp dài
Theo [14, 2.4], ta có Supp R (H m i (M, N)) ⊆ {m} nếu và chỉ nếu H m i (M, N) là Artin Áp dụng [40, 3.7], cho ta H I,J i (M, A) là Artin và do đó H m i (M, A) là Artin Suy ra Supp R (H m i (M, A)) ⊆ {m} Vì H I,J i (M, A) ∼= H m i (M, A) nên ta có Supp R (H I,J i (M, A))⊆ {m} và vì vậy Supp R (H I,J i (M, L))⊆ {m} với mọi i ≤ t Do
H I,J i (M, L)∼=H m i (M, L) nênSupp R (H m i (M, L))⊆ {m}và do đóH m i (M, L)là Artin.
Từ đây ta suy ra H I,J i (M, L) là Artin với mọi i ≤ t Áp dụng vào dãy khớp dài trên ta được H I,J i (M, N) là Artin với mọi i≤t. Định lý 4.1.7 Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và t là số nguyên không âm Khi đó
(i) Supp R (H I,J i (M, N)) ⊆ Max(R) nếu và chỉ nếu Supp R (H a i (M, N)) ⊆ Max(R) với mọi i≤t và a∈W˜(I, J).
(ii) Giả sử rằng (R,m) là vành địa phương và N là hữu hạn sinh Khi đó
H I,J i (M, N) là Artin nếu và chỉ nếu H a i (M, N) là Artin với mọi i ≤ t và a∈W˜(I, J).
Chứng minh (i) (⇒) Cho a ∈ W˜(I, J) và n ≤ t Ta đặt F(−) := Γ a (−) và G(−) := Γ I,J (M,−) là các hàm tử từ phạm trù các R-môđun vào chính nó Cho
R-môđun N,ta cóF G(M, N) = Γ a (Γ I,J (M, N)) = Γ a (M, N).DoG(E)làF- không tuần hoàn phải nên theo [52, 10.47] tồn tại dãy phổ Grothendieck
Khi đó tồn tại lọc Φ của H n =H a n (M, N)
E ∞ i,n−i ∼= Φ i H n /Φ i+1 H n với mọii≤n.Theo giả thiết ta cóSupp R (H I,J i (M, N))⊆Max(R)với mọii≤tnên Supp R (E 2 i,n−i )⊆Max(R) VìE ∞ i,n−i là thương con củaE 2 i,n−i do đóSupp R (E ∞ i,n−i )⊆ Max(R) Do vậy Supp R (E ∞ i,n−i ) ⊆ Max(R) với mọi i ≤ n Do đó Supp R (Φ i H n ) ⊆ Max(R) với mọi i≤n Hơn nữa, Supp R (H a n (M, N)) = Supp R (Φ 0 H n )⊆Max(R). (⇐) Theo [66, 2.2] ta có
Từ giả thiết trên cho ta Supp R (H I,J i (M, N))⊆Max(R) với mọi i≤t.
(ii) (⇒).Ta cóH I,J i (M, N)∼=H m i (M, N) VìH I,J i (M, N)là Artin nên H m i (M, N) là Artin và do đó Supp R (H m i (M, N)) ⊆ {m} Khi đó Supp R (H I,J i (M, N)) ⊆ {m}.
Từ (i) ta suy ra Supp R (H a i (M, N))⊆ {m} và khi đó H a i (M, N)) là Artin theo [14, 2.4] với mọi i≤t và a∈W˜(I, J).
(⇐) Kết quả được suy ra theo (i) và Định lý 4.1.6(i) Thật vậy, H a i (M, N)) là Artin với mọi i ≤ t và a ∈ W˜(I, J) Khi đó Supp R (H a i (M, N)) ⊆ {m} với mọi i ≤ t và a ∈ W˜(I, J) Theo [66, 2.2] ta có Supp R (H I,J i (M, N)) ⊆ {m} với mọi i≤ t Theo Định lý 4.1.6(i), ta có H I,J i (M, N)∼= H m i (M, N) với mọi i ≤t Do đó Supp R (H m i (M, N))⊆ {m} hayH m i (M, N))là Artin với mọi i≤t theo [14, Định lý 2.4] Vậy H I,J i (M, N) là Artin với mọi i≤t.
Chúng ta sẽ trình bày kết quả về tính Artin của H I,J i (N) và H I i (M, N).
Mệnh đề 4.1.8 Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh, N là R-môđun tùy ý và t là số nguyên không âm Giả sử rằng H I,J i (N) là Artin với mọi i≤t Khi đó
H I i (M, N) cũng là R-môđun Artin với mọi i≤t.
Chứng minh Đặt F(−) := Γ I (M,−) và G(−) := Γ I,J (−) là các hàm tử khớp trái từ phạm trù các R-môđun vào chính nó Khi đó tồn tại dãy phổ Grothendieck
Cho j ≤t, khi đó tồn tại lọc Φ của H j =H I j (M, N) sao cho
Từ giả thiết, ta áp dụng [38, 2.6] có được E 2 p,q là Artin với mọi q≤t và với mọi p ≥ 0 Vì E ∞ i,j−i là thương con của E 2 i,j−i nên E ∞ i,j−i là Artin với mọi j −i ≤ t.Quá trình chứng minh tương tự ta được Φ i H j là Artin với mọi 0≤ i≤ j, và có điều phải chứng minh.
Tính cominimax của đối đồng điều địa phương suy rộng
suy rộng Định nghĩa 4.2.1([5]) Một môđunKđược gọi làI-cominimax nếuSupp R (K)⊆
V(I) và Ext i R (R/I;K) là minimax với mọi i≥0.
Nhận xét 4.2.2 Tất cả các R-môđun hữu hạn sinh và minimax có giá nằm trong V(I) là các R-môđun I-cominimax. Định nghĩa 4.2.3 ChoM, K là cácR-môđun K được gọi là(I, M)-cominimax nếu Supp R (K)⊆V(I) và Ext i R (M/IM, K) là minimax với mọi i≥0.
Mệnh đề 4.2.4 Nếu M là một R-môđun hữu hạn sinh thì một R-môđun I- cominimax cũng là R-môđun (I, M)-cominimax.
Chứng minh Giả sử rằng K là một R-môđun I-cominimax Theo giả thiết, Supp R (K) ⊆ V(I) và Ext i R (R/I, K) là minimax với mọi i ≥ 0 Cho M = M/IM, khi đó M là hữu hạn sinh và Supp R (M) ⊆ V(I) Chúng ta sẽ chứng minh Ext i R (M/IM, K) là minimax bằng cách quy nạp theo i Theo Định lý Gruson ([63, 4.1]), M luôn có dãy các môđun con
0 = M 0 ⊆M 1 ⊆ ã ã ã ⊆M k =M thỏa mãn M j /M j−1 ảnh đồng cấu của (R/I) m với m là một số nguyên dương. Khi đó, ta xét dãy khớp ngắn
0→M j−1 →M j →M j /M j−1 →0 trong đó 1 ≤j ≤k Ta có một đẳng cấu Hom((R/I) m , K) ∼= Hom(R/I, K) m Vì
K là R-môđun I-cominimax nên theo Nhận xét 4.1.2 ta có Hom((R/I) m , K) là minimax Xét dãy khớp
Từ dãy khớp này dẫn đếnHom(M j , K)là minimax với mọij và khi đóHom(M , K) cũng là minimax Ta kết luận mệnh đề đúng với i= 0.
Ta dãy khớp dài ã ã ã →Ext i−1 R (M j−1 , K)→Ext i R ((R/I) m , K)→Ext i R (Mj, K)→ .
Vì Ext i R ((R/I) m , K) ∼= Ext i R (R/I, K) m nên ta có Ext i R (M 1 , K) là minimax Mặt khác, theo giả thiết quy nạp Ext i−1 R (M j−1 , K) là minimax với mọi j ≤ k Bằng cách giải thích tương tự như trên, ta có kết quảExt i R (M k , K)là minimax với mọi i≥0 Vậy, ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề 4.2.5 Cho dãy khớp ngắn 0→A →B →C →0 của các R-môđun Nếu hai trong các R-môđun trên là các R-môđun (I, M)-cominimax thì R-môđun còn lại cũng là R-môđun (I, M)-cominimax.
Chứng minh Ta luôn có
Từ dãy khớp ngắn 0→A→B →C →0 ta dẫn đến dãy khớp dài ã ã ã →Ext i R (M/IM, A)→Ext i R (M/IM, B)→Ext i R (M/IM, C)→ .
Theo Nhận xét 4.1.2 và giả thiết ta có được điều phải chứng minh.
Hệ quả 4.2.6 Cho đồng cầu f : A → B của các R-môđun (I, M)-cominimax. Nếu một trong cácR-môđunKerf,Imf vàCokerf làR-môđun(I, M)-cominimax thì hai môđun còn lại cũng là R-môđun (I, M)-cominimax.
Như chúng ta đã biết trong vành địa phương (R,m) nếu T là R-môđun hữu hạn sinh với Supp R T ⊆ {m} thì T là một R-môđun Artin Tác giả nghiên cứu tính chất này trong trường hợp T là minimax.
Bổ đề 4.2.7 Nếu (R,m)là một vành địa phương vàT là mộtR-môđun minimax sao cho Supp R T ⊆ {m} thì T là R-môđun Artin.
Chứng minh Giả sử rằngK là một R-môđun hữu hạn sinh củaT sao choT /K là Artin Theo giả thiết ta cóSupp R K ⊆Supp R T ⊆ {m} Do đó,T cũng làR-môđun Artin.
Mệnh đề 4.2.8 Nếu (R,m) là một vành địa phương và N là một R-môđun (m, M)-cominimax thì Hom R (M, N) là Artin.
Chứng minh Theo giả thiết ta có Hom R (M/mM, N) là minimax Hơn nữa, ta có một đẳng cấu Hom R (M/mM, N)∼= HomR(R/m,Hom R (M, N)) Áp dụng Bổ đề 4.2.7 ta có được Hom R (R/m,Hom R (M, N)) là R -môđun Artin Do quan hệ bao hàm Supp R (Hom R (M, N)) ⊆ Supp R N ⊆ {m} nên Hom R (M, N) là m-xoắn Theo
[37, Định lý 1.3], ta kết luận rằng Hom R (M, N) là R-môđun Artin. Định lý 4.2.9 NếuN là mộtR-môđun(I, M)-cominimax thìAss R (Hom R (M, N)) là hữu hạn.
Chứng minh Từ đẳng cấu Hom R (M/IM, N) ∼= HomR(R/I,Hom R (M, N)) và kết hợp với giả thiết ta có Hom R (R/I,Hom R (M, N)) là R-môđun minimax Theo Nhận xét 4.1.2, Ass R (Hom R (R/I, Hom R (M, N))) là hữu hạn Hơn nữa, ta có kết quả Ass R (Hom R (R/I,Hom R (M, N))) = V(I)∩Ass R (Hom R (M, N)) Do Supp R N ⊆
V(I) và Supp R (Hom R (M, N))⊆Supp R N nên Ass R (Hom R (M, N)) là hữu hạn. Định lý 4.2.10 Cho t là một số nguyên không âm,M là mộtR-môđun hữu hạn sinh và N là R-môđun sao cho H I i (N) là R-môđun (I, M)-cominimax với mọi số nguyên i < t Khi đó
(i) Ext i R (M/IM, N) là minimax với mọi i < t;
(ii) Giả sử rằng M là R-môđun xạ ảnh và Ext t R (M/IM, N) là minimax Khi đó Hom R (R/I, H I t (M, N)) là minimax.
Chứng minh (i) ChoF = Hom R (M/IM,−)vàG= Γ I (−)là các hàm tử từ phạm trù các R -môđun vào chính nó Khi đó ta có F G(N) = Hom R (M/IM,Γ I (N))∼ Hom R (M/IM, N) Nếu E là R-môđun nội xạ thì theo ([13, Mệnh đề 2.1.4]) ta có G(E) = Γ I (E) là nội xạ Do đó R i F(G(E)) = 0 Áp dụng [52, Định lý 10.47] có sự tồn tại của dãy phổ
E 2 p,q = Ext p R (M/IM, H I q (N))⇒ p Ext p+q R (M/IM, N) Cho n < t, tồn tại lọc Φ các R-môđun con của H n = Ext p+q R (M/IM, N) như sau
E ∞ i,n−i ∼= Φ i H n /Φ i+1 H n với mọi 0≤i≤n (n =p+q) Theo giả thiết,E 2 p,q là minimax với mọi số nguyên p≥0, q 0 và đặt N =N/Γ I (N) Khi đó N là R-môđun I-xoắn-tự do Theo [13, Mệnh đề 2.1.7] ta có H I i (N)∼=H I i (N) với mọi i > 0 Giả thiết nói lên rằng H I i (N) là R-môđun (I, M)-cominimax với mọi i < t Từ dãy khớp ngắn
0→Γ I (N)→N →N →0 cho dãy khớp dài ã ã ã →Ext i R (M/IM,Γ I (N))→Ext i R (M/IM, N)→Ext i R (M/IM, N)→ .
Do Γ I (N) là R-môđun (I, M)-cominimax và Ext i R (M/IM, N) là minimax, nên theo dãy khớp dài trên Ext i R (M/IM, N) là minimax Đặt E = E(N) là bao nội xạ của N Khi đó, dãy khớp ngắn 0 → N → E → E/N → 0 cho ta
H I i (E/N) ∼= H I i+1 (N) với mọi i ≥ 0 và Ext t−1 R (M/IM, E/N) ∼= Ext t R (M/IM, N).
Từ đẳng cấu này cho ta kết luận rằng H I i (E/N) là R -môđun (I, M)-cominimax với mọi i < t−1 và Ext t−1 R (M/IM, E/N) là minimax Theo giả thiết quy nạp Hom R (R/I, H I t−1 (M, E/N)) là minimax Hơn nữa, dãy khớp ngắn trên cho ta đẳng cấu H I i (M, E/N) ∼= H I i+1 (M, N) với mọi i ≥ 0 Do đó, ta có kết quả là Hom R (R/I, H I t (M, N)) là minimax Mặt khác, từ dãy khớp ngắn 0 → Γ I (N) →
N →N →0 cho chúng ta dãy khớp dài ã ã ã →H I i (M,Γ I (N))→H I i (M, N)→H I i (M, N)→ . Áp dụng [64, Bổ đề 1.1] ta có kết quả H I i (M,Γ I (N)) ∼= Ext i R (M,Γ I (N) với mọi i ≥ 0 Do M là R-môđun xạ ảnh nên H I i (M,Γ I (N)) = 0 với mọi i > 0 Suy ra
Hệ quả 4.2.11 Cho t là một số nguyên không âm, M là một R-môđun xạ ảnh hữu hạn sinh và N là R-môđun minimax sao cho H I i (N) là R-môđun (I, M)- cominimax với mọi số nguyên i < t Khi đó Hom R (R/I, H I t (M, N)) là minimax và Ass R (H I t (M, N)) là hữu hạn.
Chứng minh Theo Định lý 4.2.10 và Nhận xét 4.1.2, ta cóHom R (R/I, H I t (M, N)) là minimax và Ass R (Hom R (R/I, H I t (M, N))) là hữu hạn Mặt khác
Vì H I t (M, N) là I-xoắn nên Ass R (H I t (M, N))⊆V(I).
Vậy Ass R (Hom R (R/I, H I t (M, N))) = Ass R (H I t (M, N)) là hữu hạn.
Hệ quả 4.2.12 Nếu t là một số nguyên không âm và N là một R-môđun minimax sao cho H I i (N) là R-môđun I-cominimax với mọi số nguyên i < t thì Hom R (R/I, H I t (M, N)) là minimax. Định lý 4.2.13 Cho M là một R-môđun xạ ảnh hữu hạn sinh và N là R- môđun Nếu H I i (M, N)) là R-môđun I-cominimax với mọi i thì Ext i R (M/IM, N) là minimax với mọi i.
Chứng minh Bây giờ ta sẽ chứng minh quy nạp theo i Khi i= 0, ta có
Hom R (M/IM, N)∼= Hom R (R/I,Hom R (M, N))∼= Hom R (R/I, H I 0 (M, N))
Vì H I 0 (M, N) là R-môđun I-cominimax nên Hom R (R/I, H I 0 (M, N)) là minimax.
Do đó Hom R (M/IM, N) là minimax Cho i >0, ta xét dãy khớp ngắn
0→Γ I (N)→N →N →0 từ đây cho ta dãy khớp dài ã ã ã →Ext i R (M/IM,Γ I (N))→Ext i R (M/IM, N)→Ext i R (M/IM, N)→ .
Vì M là R-môđun xạ ảnh hữu hạn sinh nên ta có đẳng cấu
Ext j R (M/IM,Γ I (N))∼= Ext j R (R/I,Hom R (M,Γ I (N))) ∼= Ext j R (R/I,Γ I (M, N)) là minimax với mọi j ≥ 0 Ta cần phải chứng minh Ext j R (M/IM, N) là mini- max Ta đặt E = E(N) là bao nội xạ của N Khi đó, dãy khớp ngắn 0→ N →
E → E/N → 0 sẽ cho ta H I j (M, E/N) ∼= H I j+1 (M, N) và Ext j R (M/IM, E/N) ∼ Ext j+1 R (M/IM, N) với mọi j ≥ 0 Áp dụng giả thiết và kết quả của chứng minh trên, ta cóH I i (M, N)làR-môđunI-cominimax với mọii Do đóH I i (M, E/N)làR- môđunI-cominimax với mọii Áp dụng giả thiết quy nạp ta cóExt i−1 R (M/IM, E/N) là minimax và do đóExt i R (M/IM, N)là minimax Vì vậy ta kết luậnExt i R (M/IM, N) là minimax với mọi i.
Hệ quả 4.2.14 Nếu N là R-môđun sao cho H I i (N) là I-cominimax với mọi i thì Ext i R (R/I, N) là minimax với mọi i.
Tập iđêan nguyên tố liên kết, gắn kết của đối đồng điều địa phương suy rộng theo một cặp iđêan
Tập iđêan nguyên tố liên kết của đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan
địa phương theo một cặp iđêan
Chúng tôi nghiên cứu về tính hữu hạn của tậpAss R (Hom R (R/a, H I,J t (M))).Trong
[19, 2.1], mộtR-môđunM được gọi là Lasker yếu nếu tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của bất kỳ môđun thương của M là hữu hạn Khi đó, tập các iđêan nguyên tố liên kết của các R-môđun Lasker yếu là hữu hạn Trong [40, 2.5], tác giả đã chứng minh rằng Ass R (Hom R (R/I, H I,J t (M))) là hữu hạn khi H I,J i (M) là (I, J)-đối hữu hạn yếu với mọi i < t Từ đây, chúng tôi nghiên cứu được kết quả có tính tổng quát hơn bởi định lý dưới đây. Định lý 5.1.1 Cho M là một R-môđun và a∈W˜(I, J) Cho t là một số nguyên không âm và k = 0 hoặc k = 1 Nếu Ext t+k R (R/a, M) và Ext t+1+k−i R (R/a, H I,J i (M)) là Lasker yếu với i < t thì môđun Ext k R (R/a, H I,J t (M)) cũng là Lasker yếu Trong trường hợp đặc biệt, tập Ass R (Hom R (R/a, H I,J t (M))) là hữu hạn.
Chứng minh Cho F(−) := Hom R (R/a,−) và G(−) := Γ I,J (−) là các hàm tử từ phạm trù các R-môđun vào chính nó Vì M/Γ I,J (M) là (I, J)-xoắn tự do nên nó là a-xoắn-tự do và R/a cũng là a-xoắn Do đó Hom R (R/a, M/Γ I,J (M)) = 0.
Từ dãy khớp ngắn 0 → Γ I,J (M) → M → M/Γ I,J (M) → 0 ta tác động hàm tử Hom R (R/a,−)lên dãy khớp ngắn và đượcHom R (R/a,Γ I,J (M)) = Hom R (R/a, M).
Từ đây ta có F G(M) = Hom R (R/a, M) với mọi R-môđun M và G(E) là F-tuần hoàn phải với bất kỳ R-môđun nội xạ E Theo [52, 10.47] tồn tại dãy phổ Grothendieck
E 2 j,i = Ext j R (R/a, H I,J i (M))⇒ j Ext j+i R (R/a, M). vì E r t+1+k−i,i là thương con củaE 2 t+1+k−i,i nên theo giả thiếtE r t+1+k−i,i là Lasker yếu với mọi i < t và r ≥2 Từ đồng cấu của dãy phổ
Ta có được E t+2 k,t = E t+3 k,t = = E ∞ k,t Khi đó tồn tại một lọc của H t+k Ext t+k R (R/a, M) là
E ∞ i,t+k−i ∼= Φ i H t+k /Φ i+1 H t+k với mọi i ≤ t+k Vì Ext t+k R (R/a, M) là Lasker yếu nên E ∞ i,t+k−i cũng là Lasker yếu với mọi i ≤ t+k Đặc biệt, E t+2 k,t = E ∞ k,t là Lasker yếu Để chứng minh Er k,t là Lasker yếu với mọi 2≤r ≤t+ 2, ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp giảm dần theo r Giả sử rằng E r+1 k,t là Lasker yếu và chúng ta xét các đồng cấu dãy phổ
Lưu ý rằng Kerd k,t r =E r+1 k,t là Lasker yếu và Imd k,t r làR-môđun con củaR-môđun Lasker yếu E r k+r,t−r+1 Do đó E r k,t là Lasker yếu với mọi 2≤r ≤t+ 2 Từ chứng minh trên, ta kết luận E 2 k,t = Ext k R (R/a, H I,J t (M)) là Lasker yếu Đặc biệt khi k = 0, Ass R (Hom R (R/a, H I,J t (M))) là một tập hữu hạn.
Hệ quả 5.1.2 Cho M là một R-môđun Lasker yếu và t là một số nguyên không âm Nếu H I,J i (M) là Lasker yếu với mọi i < t thì Ass R (Hom R (R/a, H I,J t (M))) là hữu hạn với bất kỳ a∈W˜(I, J).
Chứng minh Điều này được suy ra từ giả thiết rằng Ext j R (R/a, H I,J i (M)) là Lasker yếu với mọi i < t, j ≥ 0 Từ Định lý 5.1.1 chúng ta suy ra được điều phải chứng minh.
Chúng ta nhắc lại rằng R-môđun K được gọi là (I, J)- đối hữu hạn yếu nếu Supp R (K)⊆W(I, J) và Ext i R (R/I, K) là Lasker yếu với mọi i≥0.
Hệ quả 5.1.3 Cho M là một R-môđun Lasker yếu và t là một số nguyên không âm sao cho H I,J i (M) là (I, J)- đối hữu hạn yếu với mọi i < t Khi đó Hom R (R/I, H I,J t (M)) cũng là Lasker yếu Hơn nữa, Ass R (Hom R (R/I, H I,J t (M))) là hữu hạn.
Mệnh đề 5.1.4 Cho M là một R-môđun Lasker yếu, a∈ W˜(I, J), t là một số nguyên không âm sao cho H I,J i (M) là (I, J)-đối hữu hạn yếu với mọi i < t và Ass R (Ext 2 R (R/a, H I,J t (M))) là hữu hạn Khi đó Ass R (Hom R (R/a, H I,J t+1 (M))) là hữu hạn.
Chứng minh Từ dãy phổ Grothendieck
Ta xét các đồng cấu dãy phổ
0,t+1 r→ E r r,t−r+2 với mọir ≥2 Lưu ý rằngKer(d 0,t+1 t+2 ) =E t+3 0,t+1 =E t+4 0,t+1 = .=E ∞ 0,t+1 và E ∞ 0,t+1 là đẳng cấu với R-môđun thương của Ext t+1 R (R/a, M) Vì M là Lasker yếu nên ta có Ker(d 0,t+1 t+2 ) là Lasker yếu Theo giả thiết, E 2 t+2,0 là Lasker yếu và do đó E t+2 t+2,0 cũng là Lasker yếu bởi vì E t+2 t+2,0 là thương con của E 2 t+2,0 Điều này dẫn đến
E t+2 0,t+1 là Lasker yếu Ta dùng phương pháp quy nạp giảm dần để chứng minh rằng E r 0,t+1 là Lasker yếu với mọi 3≤r≤t+ 1 Trước tiên, từ các đồng cấu
0,t+1 t+1→ E t+1 t+1,1 và giả thiết ta kết luận rằngE t+1 0,t+1 là Lasker yếu Bằng cách giải thích tương tự ta có E r 0,t+1 là Lasker yếu với mọi 3≤r ≤t+ 1 Hơn nữa, E 3 0,t+1 = Ker(d 0,t+1 2 )và Im(d 0,t+1 2 )⊆ E 2 2,t có hữu hạn các iđêan nguyên tố liên kết Do vậy, từ đồng cấu dãy phổ
2→ E 2 2,t ta có Ass R (E 2 0,t+1 ) = Ass R (Hom R (R/a, H I,J t+1 (M))) là hữu hạn.
Mệnh đề 5.1.5 ChoM là một R-môđun vàa∈W˜(I, J).Cho tlà một số nguyên không âm Nếu Ext j R (R/a, H I,J i (M)) là Lasker yếu với mọi số nguyên i≥0, j ≥0 với i+j ≤t thì Ext n R (R/a, M) là Lasker yếu với mọi n≤t.
Chứng minh Ta dùng dãy phổ Grothendieck trong phần chứng minh của Định lý 5.1.1
Khi đó tồn tại lọc Φ của H n = Ext n R (R/a, M)
E ∞ i,n−i ∼= Φ i H n /Φ i+1 H n với mọi i ≤ n ≤ t Vì E ∞ i,n−i là thương con của E 2 i,n−i , theo giả thiết ta suy ra rằng E ∞ i,n−i là Lasker yếu với mọi i≤n Lưu ý rằng E ∞ n,0 ∼= Φ n H n là Lasker yếu. Để chứng minh rằng Φ k H n là Lasker yếu với mọi số nguyên không âm k ≤ n chúng ta dùng phương pháp quy nạp giảm dần theo k Giả sử rằng Φ k H n là Lasker yếu, từ dãy khớp
0→Φ k H n →Φ k−1 H n →E ∞ k−1,n−k+1 →0 cho ta kết quả Φ k−1 H n là Lasker yếu và do đó ta có thể kết luận rằng Φ 0 H n Ext n R (R/a, M) là Lasker yếu. Định lý tiếp theo cho chúng ta một kết quả liên quan đến tính hữu hạn của tập Ass R (Hom R (R/I, H I,J t (M))). Định lý 5.1.6 Nếu cho M là một R-môđun Lasker yếu và t là số nguyên không âm thỏa H I,J i (M)là (I, J)-đối hữu hạn yếu với mọi i < t thì Hom R (R/I, H I,J t (M)) cũng là Lasker yếu Hơn nữa, ta có tập Ass R (Hom R (R/I, H I,J t (M))) là hữu hạn.
Chứng minh Xét các hàm tử F = Hom R (R/I,−) và G= Γ I,J (−) là các hàm tử từ phạm trù các R-môđun vào chính nó Khi đó ta có
Nếu E là R-môđun nội xạ thì G(E) là F-tuần hoàn phải Theo Định lý 1.1.5 ta có dãy phổ Grothendieck
Theo giả thiết E 2 p,q là Lasker yếu với mọi p≥0 và 0≤q < t Do đó E ∞ p,q cũng là Lasker yếu bởiE ∞ p,q là thương con của E 2 p,q Khi đó tồn tại lọc Φlà cácR-môđun con của H t = Ext t R (R/I, M)
E ∞ i,t−i ∼= Φ i H t /Φ i+1 H t với mọi i≤t Từ dãy khớp ngắn
0→Φ 1 H t →H t →E ∞ 0,t →0 suy ra E ∞ 0,t là Lasker yếu vì H t = Ext t R (R/I, M) là Lasker yếu.
Xét các đồng cấu của dãy phổ
Vì E k −k,t+k−1 = 0 với mọi k ≥ 2 nên Kerd 0,t k = E k+1 0,t và E k k,t+1−k = 0 với mọi k ≥t+ 2 Suy ra E t+2 0,t = E t+3 0,t = = E ∞ 0,t và do đó E t+2 0,t là Lasker yếu Từ các đồng cấu dãy phổ
−→E k+1 k+1,t−k cho ta kết quả E k+1 0,t là Lasker yếu với mọi 1≤k≤t.
Ta có E 2 0,t = Hom R (R/I, H I,J t (M)) là Lasker yếu.
Từ Định lý 5.1.6, ta có một Hệ quả sau.
Hệ quả 5.1.7 Cho M là một R-môđun Lasker yếu và t một số nguyên không âm Nếu H I,J i (M) là Lasker yếu với mọi i < t thì Hom R (R/I, H I,J t (M)/N) cũng là Lasker yếu với N là R-môđun con Lasker yếu của H I,J t (M) Hơn nữa, tập Ass R (Hom R (R/I, H I,J t (M)/N)) là hữu hạn.
Chứng minh Dãy khớp ngắn
0→N →H I,J t (M)→H I,J t (M)/N →0 cảm sinh dãy khớp dài ã ã ã →Hom R (R/I, H I,J t (M))→Hom R (R/I, H I,J t (M)/N)→Ext 1 R (R/I, N)→ ã ã ã
Theo Bổ đề 2.1.2(ii) ta có Ext 1 R (R/I, N) là một R-môđun Lasker yếu Từ Định lý 5.1.6 ta suy ra Hom R (R/I, H I,J t (M)) cũng là Lasker yếu.
Ta kết luận Hom R (R/I, H I,J t (M)/N) là Lasker yếu.
Mệnh đề 5.1.8 Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và t là số nguyên không âm Nếu N là Lasker yếu và H I,J i (M, N) là Lasker yếu với mọi i < t thì Hom R (R/a, H I,J t (M, N)) là Lasker yếu với mọi a∈W˜(I, J).
Chứng minh Chúng ta chứng minh quy nạp theo t Khi t= 0, ta có
Vì Γ I,J (N)⊆N nên ta có Hom R (R/a, H I,J 0 (M, N)) là Lasker yếu theo giả thiết. Cho t >0 và N =N/Γ I,J (N), ta có dãy khớp ngắn
0→Γ I,J (N)→N →N →0 cảm sinh ra dãy khớp dài ã ã ã →H I,J t (M,Γ I,J (N))→ f H I,J t (M, N)→ g H I,J t (M, N)→ ã ã ã
Dãy khớp dài này cho chúng ta dãy khớp
Bằng cách tác động hàm tử Hom R (R/a,−) cho các dãy khớp trên ta thu được các dãy khớp
0 → Hom R (R/a, Imf ) → Hom R (R/a, H I,J t (M, N )) → Hom R (R/a, Img) → ã ã ã và
0 → Hom R (R/a, Img) → Hom R (R/a, H I,J t (M, N)) → Hom R (R/a, Imh) → ã ã ã
Từ [40, 2.6] suy ra rằng H I,J i (M,Γ I,J (N))∼= Ext i R (M,Γ I,J (N)) với mọi i≥ 0 Vì