sự hội tụ của dãy các tập hợp iđêan nguyên tố liên kết

Sự ổn định tiệm cận của tập các iđêan nguyên tố liên kết Ass là một kếtquả khá nổi tiếng được nhà toán học M.Brodmann đưa ra lần đầu tiên trong [4] vào năm 1979.. Nếu I là một iđêan của

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của

Tiến sĩ Trần Tuấn Nam Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Thầy, người

đã từng bước hướng dẫn tôi phương pháp nghiên cứu đề tài cùng những

kinh nghiệm thực hiện đề tài, cung cấp nhiều tài liệu và truyền đạt những

kiến thức quí báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Chân thành cảm ơn quý Thầy - Cô trong tổ Đại Số, khoa Toán - Tin trường

Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã giúp tôi nâng cao trình độ

chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học

Chân thành cảm ơn quý Thầy - Cô phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại

học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện luận văn này

Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu cùng các đồng nghiệp trường THPT

CưMgar đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học

Sau cùng chân thành cảm ơn các bạn cùng lớp với những trao đổi góp ý

và động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Tp Hồ Chí Minh, năm 2011

Tống Văn Thành

i

Lời Cảm Ơn i

1.1 Địa phương hóa 3

1.2 Iđêan nguyên tố liên kết và giá 4

1.3 Iđêan nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ 6

1.4 Môđun đối đồng điều địa phương 8

1.5 Biến đổi iđêan 11

1.6 Số chiều, chiều cao và hạng số học 13

1.7 Vành và môđun phân bậc 14

1.8 Vành Rees và grI(R) 20

2 Sự hội tụ của dãy các tập hợp iđêan nguyên tố liên kết 22

2.1 Sự ổn định tiệm cận của tập các iđêan nguyên tố liên kết 22

ii

2.2 Sự hội tụ của dãy các môđun phân bậc trên vành phân bậc

tiêu chuẩn dương 34

2.3 Áp dụng đối với dãy (Ass(N/InN ))n và (Ass(InN/In+1N ))n 46

N : Tập hợp các số nguyên dương

N0 : Tập hợp các số nguyên không âm

Z : Tập hợp các số nguyên

Spec(R) : Tập hợp các iđêan nguyên tố của vành R

Ass(M ) : Tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của M

Supp(M ) : Giá của môđun M

E(M ) : Bao nội xạ của môđun M

HIi(M ) : Môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M theo I

DI(M ) : Biến đổi iđêan của môđun M tương ứng với iđêan I

ht(P ) : Chiều cao của iđêan nguyên tố P

ara(I) : Hạng số học của iđêan I

∗Spec(R) : Tập hợp các iđêan nguyên tố phân bậc của R

gr(R) : Vành phân bậc liên kết của R

R(I) : Vành Rees của I

P roj(R) : Tập hợp các iđêan nguyên tố phân bậc của R mà không chứa

iđêan irrelevant

reg(M ) : Chỉ số chính quy Castelnuovo của M

iv

Sự ổn định tiệm cận của tập các iđêan nguyên tố liên kết Ass là một kết

quả khá nổi tiếng được nhà toán học M.Brodmann đưa ra lần đầu tiên

trong [4] vào năm 1979 Nếu I là một iđêan của một vành Noether giao

hoán A, thì tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết Ass(A/In) của lũy thừa

thứ n của I là không đổi với mọi n đủ lớn Giả sử dãy (Ass(A/In))n∈N có

các giá trị cuối không đổi, kí hiệu là Ass∗(I), nhà toán học S.M cAdam và

P.Eakin đã đưa ra một số trường hợp mà bảo đảm rằng một iđêan nguyên

tố P của A là nằm trong Ass∗(I) Một câu hỏi được đặt ra: "Cho một iđêan

nguyên tố P của A, P ∈ Ass∗(I), có thể xác định được một số nguyên nP

thỏa mãn tính chất rằng P ∈ Ass(A/In) với mọi n > nP hay không?"

Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi trình bày một số kết quả về sự

hội tụ của dãy các tập hợp iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần

phân bậc của các môđun phân bậc hữu hạn sinh trên một vành Noether

giao hoán phân bậc tiêu chuẩn dương, những kết quả này sau đó được áp

dụng để trả lời cho câu hỏi ở trên

1

Cụ thể luận văn chia làm 2 chương:

Chương 1 Kiến thức cơ bản

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm và tính chất

về địa phương hóa, iđêan nguyên tố liên kết và giá, iđêan nguyên sơ và sự

phân tích nguyên sơ, môđun đối đồng điều địa phương, biến đổi iđêan, số

chiều, chiều cao và hạng số học, vành và môđun phân bậc, vành Rees và

grI(R) mà chúng tôi sẽ sử dụng trong chương 2

Chương 2 Sự hội tụ của dãy các tập hợp iđêan nguyên tố liên kết

Trong chương này, chúng tôi đi chỉ ra rằng với n lớn thì Ass(A/In) là

không đổi, đưa ra một số trường hợp để một iđêan nguyên tố P của A

là nằm trong Ass∗(I) và đưa ra một kết quả khá thú vị liên quan đến

Ass∗(I) − Bss∗(I) đó là một iđêan nguyên tố trong Ass∗(I) − Bss∗(I)

phải là ước nguyên tố của không Cuối cùng, chúng tôi đưa ra một số kết

quả về sự hội tụ của dãy các môđun phân bậc trên một vành Noether phân

bậc tiêu chuẩn dương Sau đó áp dụng các kết quả trên để đưa ra một số kết

quả về sự hội tụ của các dãy (Ass(N/InN ))n∈N và (Ass(InN/In+1N ))n∈N0,

trong đó N là môđun hữu hạn sinh trên vành Noether giao hoán A và I là

một iđêan của A

Tuy đã có nhiều cố gắng, nhưng do năng lực có hạn nên luận văn này chắc

chắn không tránh khỏi những thiếu xót, tôi rất mong được sự thông cảm

và góp ý sâu sắc của quý Thầy Cô để luận văn này hoàn chỉnh hơn

Kiến thức cơ bản

Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm và mệnh đề mà

chúng tôi sẽ sử dụng trong chương 2 Các kết quả trong phần này hầu hết

không chứng minh, độc giả có thể tham khảo ở một số tài liệu [1], [2], [5],

[6], [7], [9], [10]

1.1 Địa phương hóa

Cho tập con nhân S của một vành R Trên tập R × S ta định nghĩa một

quan hệ hai ngôi ∼ như sau:

Với mọi (a, s), (a0, s0) ∈ R × S

(a, s) ∼ (a0, s0) ⇔ ∃t ∈ S : (as0 − a0s)t = 0

Dễ thấy rằng ∼ là một quan hệ tương đương trên R × S

Ta kí hiệu tập thương (R × S)/ ∼ là S−1R và lớp tương đương của phần

tử (a, s) là a/s

3

Định nghĩa 1.1.1 Tập S−1R cùng với hai qui tắc sau:

là một vành Vành S−1R được gọi là vành các thương của vành R theo tập

con nhân S

Cho P là một iđêan nguyên tố của vành R Tập S = R\P là tập con

nhân của R Trong trường hợp này vành các thương S−1R kí hiệu là RP

Mệnh đề 1.1.2 Vành RP là vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất

là S−1P Vành địa phương RP được gọi là địa phương hóa của vành R theo

iđêan nguyên tố P

1.2 Iđêan nguyên tố liên kết và giá

Định nghĩa 1.2.1 Cho R là một vành và M là một R - môđun, iđêan

nguyên tố P của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại

x ∈ M, (x 6= 0) : P = ann(x)

Tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của M kí hiệu là: Ass(M) hoặc

AssR(M ) Cho I là một iđêan của R, iđêan nguyên tố liên kết của R−môđun

R/I được gọi là ước nguyên tố của I Ta nói a ∈ R là một ước của không

đối với M nếu tồn tại x ∈ M, (x 6= 0) sao cho ax = 0

Tập hợp các iđêan nguyên tố P của R sao cho MP 6= 0 được gọi là giá

của môđun M, kí hiệu là Supp(M )

Supp(M ) = {P ∈ Spec(R)|MP 6= 0}.

MP = S−1M là môđun các thương của R - môđun M theo S = R \ P

Mệnh đề 1.2.2 Cho R là một vành, M là một R - môđun, P là iđêan

nguyên tố của R Khi đó, P là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu và chỉ

nếu tồn tại một đồng cấu R - môđun nội xạ từ R/P vào M Do đó, nếu

N là môđun con của M thì Ass(N ) ⊆ Ass(M )

Mệnh đề 1.2.3 Cho I là một iđêan bất kì của R Đặt

V (I) = {P ∈ Spec(R)|I ⊂ P }

(i) Nếu M là R - môđun hữu hạn sinh thì Supp(M ) = V (ann(M ))

(ii) Nếu R là vành Noether và I là iđêan của R thì Supp(R/I) = V (I)

Mệnh đề 1.2.4 Cho R là vành Noether, M là R - môđun khác 0

(i) Phần tử tối đại của F = {ann(x)|0 6= x ∈ M } là một iđêan nguyên

tố liên kết của M, đặc biệt Ass(M ) 6= ∅

(ii) Tập các ước của không đối với M là hợp tất cả các iđêan nguyên

tố liên kết của M

Mệnh đề 1.2.5 Cho R là vành và M, N, P là các R - môđun Nếu dãy

sau đây là khớp 0 → M → N → P → 0 thì ta có các kết quả sau:

(i) Ass(N ) ⊂ Ass(M ) ∪ Ass(P )

(ii) Supp(N ) = Supp(M ) ∪ Supp(P )

Mệnh đề 1.2.6 Cho R là một vành Noether, M là một R - môđun hữu

Mệnh đề 1.2.7 Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên một vành Noether

R và P là một iđêan của R Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:

(i) P ∈ Supp(M )

(ii) P ⊇ P0 với P0 ∈ Ass(M )

(iii) P ⊇ ann(M )

Mệnh đề 1.2.8 Cho R là vành Noether, M là một R - môđun hữu hạn

sinh Khi đó ta có các kết quả sau:

(i) Ass(M ) là tập hữu hạn

(ii) Ass(M ) ⊂ Supp(M )

(iii) Tập hợp các phần tử tối tiểu của Ass(M ) và Supp(M ) giống

nhau

1.3 Iđêan nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ

Định nghĩa 1.3.1 Một iđêan thực sự Q của vành R được gọi là iđêan

nguyên sơ nếu với mọi x, y ∈ R sao cho xy ∈ Q thì hoặc x ∈ Q hoặc

yn ∈ Q với n ≥ 1 Một cách tương đương ta có thể nói iđêan Q của một

vành R là nguyên sơ khi và chỉ khi R/Q 6= 0 và mọi ước của không trong

vành thương R/Q đều là lũy linh

Nếu Q là iđêan nguyên sơ và P =√

Q thì ta gọi Q là P - nguyên sơ

Mệnh đề 1.3.2 Cho Q và I là hai iđêan của vành R, I ⊂ Q Khi đó Q

nguyên sơ khi và chỉ khi Q/I nguyên sơ trong vành thương R/I

Mệnh đề 1.3.3 Nếu Q là một iđêan nguyên sơ của vành R thì P =√

Q

là một iđêan nguyên tố, đó là iđêan nguyên tố nhỏ nhất trong số tất cả các

iđêan nguyên tố của R mà chứa Q

Mệnh đề 1.3.4 Cho R là vành Noether, M và Q là hai iđêan của R,

trong đó M tối đại Khi đó các khẳng định sau là tương đương

(i) Q là M - nguyên sơ

(ii) √

Q = M

(iii) Tồn tại n ≥ 1 sao cho Mn ⊂ Q ⊂ M

Mệnh đề 1.3.5 Nếu Q1, , Qn là các iđêan P - nguyên sơ thì iđêan

Q = Q1 ∩ ∩ Qn

cũng là P - nguyên sơ

Mệnh đề 1.3.6 Giả sử Q là iđêan P - nguyên sơ của vành R, với x ∈ R

Khi đó ta có:

(i) Nếu x /∈ Q thì (Q : hxi) cũng là iđêan P - nguyên sơ

(ii) Nếu x ∈ Q thì (Q : hxi) = R

Định nghĩa 1.3.7 Một iđêan I của vành R được gọi là có sự phân tích

nguyên sơ nếu có hữu hạn iđêan Q1, , Qn của R sao cho:

(i) Q1, , Qn là các iđêan nguyên sơ

(ii) I = Q1 ∩ ∩ Qn

Mệnh đề 1.3.8 (Lasker - Noether) Trong một vành Noether mọi iđêan

đều có sự phân tích nguyên sơ

1.4 Môđun đối đồng điều địa phương

Trong phần này, vành R được xem là vành Noether giao hoán và I là một

iđêan của R Chúng tôi chỉ nêu một số tính chất và kết quả của môđun

đối đồng điều địa phương, các chứng minh độc giả có thể tham khảo trong

là tập các phần tử của M bị linh hóa bởi một lũy thừa nào đó của iđêan I

của R Chú ý rằng ΓI(M ) là môđun con của M

Với mỗi đồng cấu R - môđun f : M → N ta có f (ΓIM ) ⊆ ΓIN do đó

tồn tại đồng cấu

ΓI(f ) : ΓI(M ) → ΓI(N )

là thu hẹp của f trên ΓI(M )

Nếu g : M → N và h : N → L là các đồng cấu R - môđun và r ∈ R

Khi đó

ΓI(h ◦ f ) = ΓI(h) ◦ ΓI(f ), ΓI(f + g) = ΓI(f ) + ΓI(g)

ΓI(rf ) = rΓI(f ) và ΓI(IdM) = IdΓI(M )

Do đó ΓI trở thành hàm tử hiệp biến, R tuyến tính từ phạm trù các R

-môđun vào chính nó ΓI còn được gọi là hàm tử I - xoắn

Ta nói M là I - không xoắn nếu ΓI(M ) = 0, M là I - xoắn nếu ΓI(M ) = M

Định nghĩa 1.4.3 Với mỗi i ∈ N0, hàm tử dẫn xuất phải thứ i của ΓI

được kí hiệu là HIi và được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i

-Môđun đối đồng điều thứ i của phức trên:

HIi(M ) = ker(ΓI(di))/Im(ΓI(di−1))

Vì ΓI là hiệp biến và R - tuyến tính, nên mỗi hàm tử đối đồng điều địa

phương HIi(i ∈ N0) cũng hiệp biến và R - tuyến tính ΓI là hàm tử khớptrái nên tương đương tự nhiên với HI0 và ta đồng nhất hai hàm tử này

Mệnh đề 1.4.4 Dãy khớp ngắn các R - môđun và R - đồng cấu

(ii) Giả sử M là hữu hạn sinh, khi đó M là I - không xoắn khi và chỉ

khi I chứa một phần tử không là ước của không đối với M

Hệ quả 1.4.8

(i) Cho M là R - môđun I - xoắn, khi đó HIi(M ) = 0 với mọi i > 0

(ii) Với mỗi R - môđun N, ta có HIi(ΓI(N )) = 0 với mọi i > 0

(iii) Với mỗi R - môđun N, toàn cấu tự nhiên π : N → N/ΓI(N ) cảm

Ass(M ) = Ass(ΓI(M )) ∪ Ass(M/ΓI(M ))

Mệnh đề 1.4.10 Với mỗi R - môđun M , môđun M = M/ΓI(M ) là

I−không xoắn Nếu M là R - môđun hữu hạn sinh thì I chứa một phần

tử không là ước của không đối với M Hơn nữa, với i > 0 môđun đối đồng

điều địa phương HIi(M ) và HIi(M ) là đẳng cấu

1.5 Biến đổi iđêan

Định nghĩa 1.5.1 Cho hàm tử hiệp biến, R - tuyến tính

DI := lim

−−→

n∈N

HomR(In, •)

từ phạm trù các R - môđun M(R) vào chính nó Gọi DI là hàm tử I - biến

đổi, hay biến đổi iđêan theo iđêan I Với mỗi R - môđun M, ta gọi

DI(M ) = lim

−−→

n∈N

HomR(In, M )

là biến đổi iđêan của M tương ứng với I, hay còn gọi là I - biến đổi của M

Với mỗi i ∈ N0, RiDI kí hiệu là hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử

DI, khi đó ta có sự tương đương tự nhiên của các hàm tử

ψI = (ψIi)i∈N0 : (RiDI)i∈N0

lim

-(ii) Với i ∈ N và M là R - môđun Với mỗi n ∈ N đồng cấu nối

βn,Mi : ExtiR(In, M ) - Exti+1R (R/In, M )

là đẳng cấu và chuyển qua giới hạn thuận ta có R - đẳng cấu

-ta có các kết quả sau:

Hệ quả 1.5.3 Cho M là một R - môđun, cho π : M → M/ΓI(M ) là toàn

cấu chính tắc Khi đó, ta có các kết quả sau:

(i) DI(ΓI(M )) = 0

(ii) DI(π) : DI(M ) → DI(M/ΓI(M )) là đẳng cấu

(iii) DI(ηM) = ηDI(M ) : DI(M ) → DI(DI(M )) là đẳng cấu

(iv) ΓI(DI(M )) = 0 = HI1(DI(M ))

(v) HIi(ηM) : HIi(M ) → HIi(DI(M )) là đẳng cấu với mọi i > 1

1.6 Số chiều, chiều cao và hạng số học

Một dãy các môđun con của môđun M là dãy (Mi)0≤i≤n các môđun con

của M thỏa M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mn = 0, chiều dài của dãy là n

Định nghĩa 1.6.1 Số chiều của một vành R, là chiều dài lớn nhất n của

dãy P0 ⊂ P1 ⊂ ⊂ Pn các iđêan nguyên tố của R, kí hiệu là dimR

Nếu có một dãy các iđêan nguyên tố như trên có độ dài vô hạn thì ta kí

hiệu dimR = ∞

Định nghĩa 1.6.2 Cho R là một vành khác không và P là một iđêan

nguyên tố của R Chiều cao của một iđêan nguyên tố P là chiều dài lớn

nhất n của dãy các iđêan nguyên tố P0 ⊂ P1 ⊂ ⊂ Pn = P , kí hiệu: htP

Ta thấy, nếu htP = 0 thì P là iđêan nguyên tố tối tiểu của vành R

Nếu I là iđêan của R, ta định nghĩa chiều cao của I là chiều cao nhỏ nhất

của các iđêan nguyên tố chứa I.

htI = inf{htP |P ∈ V (I)}

Số chiều của vành R cũng có thể được định nghĩa là supremum của chiều

cao của tất cả các iđêan nguyên tố của R

dimR = sup{htP |P ∈ Spec(R)}

Số chiều của R - môđun M , kí hiệu dimM = dim(R/annM ) nếu M 6= 0

và dimM = −1 nếu M = 0

Định nghĩa 1.6.3 Hạng số học của I được kí hiệu là ara(I)

ara(I) = min{n ∈ N0 : ∃b1, b2, , bn ∈ R với √(Rb1 + + Rbn) = √

Hệ quả 1.6.5 Với mỗi R - môđun M , ta có:

HIi(M ) = 0 với mọi i > ara(I)

1.7 Vành và môđun phân bậc

Định nghĩa 1.7.1 Vành phân bậc là một vành R với sự phân tích thành

tổng trực tiếp R = L

i∈ZRi, trong đó Ri là các nhóm con cộng sao cho

RiRj ⊂ Ri+j với mọi i, j ∈ Z, do đó R0 là một vành con của R và mỗi Ri

là một R0 - môđun Cho R là một vành phân bậc, đặt R+ = L

i>0Ri thì

R+ là một iđêan của R

Cho R là vành phân bậc, một R - môđun phân bậc là một R - môđun M

với sự phân tích M = Li∈ZMi, sao cho RiMj ⊂ Mi+j với mọi i, j ∈ Z

Do đó mỗi Mi là một R0 - môđun, Mi được gọi là thành phần thuần nhất

(hay phân bậc) thứ i của M

Phần tử x ∈ Mi được gọi là phần tử thuần nhất bậc i, bậc của x kí hiệu

là degx Một phần tử bất kì x ∈ M được biểu diễn duy nhất x = P

ixi,với xi ∈ Mi Phần tử xi được gọi là thành phần thuần nhất của x có bậc

là i

Định nghĩa 1.7.2 Cho M, N là các R - môđun phân bậc, một đồng cấu

của R - môđun phân bậc là một đồng cấu R - môđun ϕ : M → N sao cho

ϕ(Mi) ⊂ Ni, với mọi i ∈ Z và được gọi là đồng cấu thuần nhất

Cho M là một R - môđun phân bậc, một môđun con N của M được

gọi là môđun con phân bậc (hay thuần nhất) nếu N được sinh bởi các

phần tử thuần nhất của M thuộc vào N Nói cách khác, N là môđun con

phân bậc nếu N là môđun phân bậc và Ni = N ∩ Mi, ∀i ∈ Z Hơn nữa,M/N =L

i∈ZMi/Ni cũng là một R - môđun phân bậc Một R - đại số A

là phân bậc nếu thỏa điều kiện AiAj ⊂ Ai+j

Cho I là một iđêan tùy ý của R, thì iđêan phân bậc I∗ là kí hiệu của

iđêan sinh bởi tất cả các phần tử thuần nhất a ∈ I Rõ ràng, I∗ là iđêan

phân bậc lớn nhất chứa trong I Hơn nữa R/I∗ cũng là vành phân bậc

Vành phân bậc R mà là R0 - đại số được sinh bởi R1 được gọi là R0−đại

số tiêu chuẩn Nói chung, nếu R là một R0 - đại số phân bậc sinh bởi các

phần tử có bậc dương thì ta nói R là một R0 - đại số phân bậc dương

Mệnh đề 1.7.3 Cho R là một R0 - đại số phân bậc dương và x1, , xn là

các phần tử thuần nhất có bậc dương Khi đó, các khẳng định sau là tương

đương:

(i) x1, , xn sinh iđêan m = L∞

i=1Ri.(ii) x1, , , xn sinh R là một R0 - đại số

Đặc biệt, R là vành Noether nếu và chỉ nếu R0 là vành Noether và R là

một R0 - đại số hữu hạn sinh

Định lí 1.7.4 Cho R là vành phân bậc Khi đó, các khẳng định sau là

1 Với mỗi iđêan nguyên tố P , thì iđêan P∗ cũng là iđêan nguyên tố

2 Cho M là R - môđun phân bậc

(i) Nếu P ∈ SuppM thì P∗ ∈ SuppM

(ii) Nếu P ∈ AssM thì P là phân bậc Hơn nữa, P là linh hóa tử của

một phần tử thuần nhất.

Cho P là một iđêan nguyên tố của R và cho S là tập hợp các phần

tử thuần nhất của R không thuộc vào P , thì S là tập đóng nhân, ta đặt

M(P ) = MS với bất kì R - môđun phân bậc M Với x/a ∈ M(P ), x thuần

nhất, đặt

degx/a = degx − dega

Trên M(P ) ta định nghĩa:

(M(P ))i = {x/a ∈ M(P ) : x thuần nhất , degx/a = i}

Dễ thấy rằng, R(P ) là vành phân bậc và M(P ) là một R(P ) - môđun phân

bậc, với iđêan nguyên tố phân bậc P của R thì R(P ) và M(P ) được gọi

là địa phương hóa thuần nhất của R và M tương ứng theo P Hơn nữa,

iđêan P∗R(P ) là một iđêan nguyên tố phân bậc trong R(P ) và vành thương

R(P )/P∗R(P ) có tính chất là mỗi phần tử thuần nhất khác không là khả

nghịch

Bổ đề 1.7.6 Cho R là một vành phân bậc và I là một iđêan sinh bởi các

phần tử có bậc dương Cho P1, , Pn là các iđêan nguyên tố sao cho

khác, Rn là các nhóm con cộng sao cho

R = R0 ⊇ R1 ⊇ ⊇ Rn ⊇

với RmRn ⊆ Rm+n, ta gọi R là một vành có lọc Một môđun có lọc

M = M0 ⊇ M1 ⊇ ⊇ Mn ⊇

trên vành có lọc R được định nghĩa tương tự Trong trường hợp này, mỗi

Mn là một môđun con và chúng thỏa điều kiện RmMn ⊆ Mm+n

Nếu I là một iđêan của vành R và M là một R - môđun, đặt tương ứng

I - lọc adic của R và của M bởi Rn = In và Mn = InM , (lấy I0 = R sao

cho M0 = M )

Định nghĩa 1.7.8 Nếu {Rn} là một lọc của R, vành phân bậc liên kết

của R được định nghĩa:

Vì thế tích của mỗi phần tử của grm(R) và mỗi phần tử của grn(R) sẽ

thuộc vào grm+n(R) Nếu a ∈ Rm+1 và b ∈ Rn, thì ab ∈ Rm+n+1 Vậy phép

nhân được định nghĩa tốt

Nếu M là một môđun có lọc trên một vành có lọc R, ta đĩnh nghĩa

môđun phân bậc liên kết của M là:

Vì vậy gr(M ) là một môđun phân bậc trên một vành phân bậc gr(M )

Định nghĩa 1.7.9 Cho M là một R - môđun có lọc với lọc {Mn} và I là

một iđêan của R Ta nói rằng {Mn} là một I - lọc nếu IMn ⊆ Mn+1 với

mọi n Một I - lọc với IMn = Mn+1 với mọi n đủ lớn được gọi là I - ổn

định Chú ý rằng I - lọc adic là I - ổn định

Mệnh đề 1.7.10 Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên một vành

Noether R, giả sử {Mn} là một I - lọc của M Khi đó các điều kiện sau là

Mệnh đề 1.7.11 Nếu {Mn} là một lọc của R - môđun M và N là một

môđun con của M Khi đó ta có lọc cảm sinh trên N và M/N , xác định

tương ứng bởi

Nn = N ∩ Mn và (M/N )n = (Mn+ N )/N

Bổ đề 1.7.12 (Bổ đề Artin - Rees) Cho M là một môđun hữu hạn sinh

trên vành Noether R, giả sử M có một I - lọc ổn định {Mn}, trong đó I là

iđêan của R Cho N là một môđun con của M Khi đó lọc {Nn = N ∩ Mn}

cảm sinh bởi M trên N cũng là I - ổn định

Nếu I = (a1, , ar) thì R+(R, I) có thể được viết R+(R, I) = R[a1t, , art],

do đó R+(R, I) là vành Noether nếu R là vành Noether

R+(R, I) có quan hệ với grI(R) := R/I ⊕ I/I2 ⊕ , vành phân bậc liên

kết của R đối với I như sau:

Sự hội tụ của dãy các tập hợp iđêan nguyên tố liên kết

2.1 Sự ổn định tiệm cận của tập các iđêan nguyên tố liên kết

Cho I là một iđêan của vành N oether R Với n ∈ N, đặt A(n) = Ass(R/In),tập hợp các ước nguyên tố của In [12] Trong phần này, ta đi chỉ ra rằng

với n lớn thì A(n) là không đổi Để làm được điều này, ta đi xét một tập

con của A(n), xác định bởi B(n) = {P |P là ước nguyên tố của In−1/In},

ta chỉ ra rằng dãy B(n) là không đổi với n lớn và sau đó liên hệ với A(n)

Giả sử dãy A(n) và B(n) có các giá trị cuối không đổi, kí hiệu các giá trị

cuối không đổi tương ứng của hai dãy là Ass∗(I) và Bss∗(I), cũng trong

phần này ta đưa ra một số trường hợp mà đảm bảo rằng một iđêan nguyên

tố là nằm trong Ass∗(I) trước khi chuyển sang kết quả khá thú vị liên quan

đến Ass∗(I) − Bss∗(I) đó là một iđêan nguyên tố trong Ass∗(I) − Bss∗(I)

phải là ước nguyên tố của không

22

(i) Giả sử (0 : R1) được sinh bởi các phần tử thuần nhất a1, , as Đặt

t = 1 + max{deg ai} Nếu x ∈ (0 : R1) ∩ Rn, với n ≥ t, thì

Số t được tìm thấy ở đây sẽ được sử dụng trong các phần sau, lưu ý rằng

bất kì số nào lớn hơn t cũng thỏa mãn (i) và (ii)

Bổ đề 2.1.3 Cho T =L

n≥0Rn là một vành N oether phân bậc, I là mộtiđêan phân bậc và c là một phần tử thuần nhất Cho S là một tập con đóng

nhân của R0 Nếu (I : c) ∩ S = ∅, thì tồn tại một phần tử thuần nhất d

sao cho (I : dc) là nguyên tố và (I : dc) ∩ S = ∅.

Chứng minh

Trong số tất cả các phần tử thuần nhất d0 mà (I : cd0) ∩ S = ∅ chọn d sao

cho (I : cd) là tối đại Ta chỉ ra rằng (I : cd) là nguyên tố

Thật vậy, lấy các phần tử thuần nhất x, y /∈ (I : cd), ta chỉ ra rằng

xy /∈ (I : cd) Giả sử ngược lại xy ∈ (I : cd), khi đó (I : cdx) chứa y, suy

ra (I : cdx) ⊃ (I : cd), do đó (I : cdx) ∩ S 6= ∅, chọn s ∈ (I : cdx) ∩ S

Mặt khác, (I : cds) chứa x, nên suy ra (I : cds) ⊃ (I : cd) Do đó, ta có

thể chọn s0 ∈ (I : cds), suy ra ss0 ∈ (I : cd) ∩ S, mâu thuẫn Ta được điều

Mệnh đề 2.1.4 Cho T =L

n≥0Rn là một vành N oether tiêu chuẩn Khi

đó, tồn tại m sao cho AssR0(Rm+l) = AssR0(Rm), với l ≥ 0

Chứng minh Đầu tiên, ta chứng minh rằng C = S AssR0(Rn) là hữuhạn, thật vậy, theo bổ đề 2.1.3, ta có nếu P ∈ C thì tồn tại P∗ ∈ AssT(T ),

với P∗ ∩ R0 = P , do đó C hữu hạn

Giả sử, P ∈ AssR0(Rn) với n ≥ t và với t như trong mệnh đề 2.1.2 (i) Khi

đó, với c ∈ Rn, ta có P = (0 : c) và do n ≥ t, P = (0 : cR1) để cR1 ⊆ Rn+1,

P ∈ AssR0(Rn+1) Suy ra AssR0(Rn) ⊆ AssR0(Rn+1) với n lớn và do C là

hữu hạn nên ta được điều cần chứng minh 2

Hệ quả 2.1.5 Dãy (Ass(In/In+1))n∈N0 có các giá trị cuối không đổi

Chứng minh Áp dụng mệnh đề 2.1.4, đối với vành P

n≥0In/In+1 ta có

Hệ quả 2.1.6 Dãy (Ass(R/In))n∈N có các giá trị cuối không đổi.

Đặt bA(n) = Ass(R/ bIn), tập các ước nguyên tố của bao đóng nguyên

của In [12] Ta sẽ chỉ ra rằng, dãy bA(n) có các giá trị cuối không đổi, với

ht(I) ≥ 1 Trong trường hợp này, ta sẽ sử dụng vành Rees của I