TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN PHÂN BẬC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMBÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC SINH VIÊN NĂM HỌC: 2017 - 2018 TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN PHÂN BẬC Sinh viên thực hiện: DƯƠNG LAN PHƯƠNG Ngư

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC SINH VIÊN

NĂM HỌC: 2017 - 2018

TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT

CỦA MÔĐUN PHÂN BẬC

Sinh viên thực hiện: DƯƠNG LAN PHƯƠNG

Người hướng dẫn:

TS NGUYỄN VĂN HOÀNG

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC SINH VIÊN

NĂM HỌC: 2017 - 2018

TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT

CỦA MÔĐUN PHÂN BẬC

Xác nhận

người hướng dẫn

Sinh viên thực hiện

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018

Mở đầu 1

1.1 Iđêan nguyên tố, iđêan tối đại và iđêan nguyên sơ 2

1.2 Vành Noether 4

1.3 Iđêan nguyên tố liên kết 5

1.4 Phân tích nguyên sơ 8

1.5 Vành và môđun phân bậc 9

2 Iđêan nguyên tố liên kết của môđun phân bậc 12 2.1 Iđêan nguyên tố liên kết của môđun phân bậc 12

2.2 Phân tích nguyên sơ của môđun phân bậc 16

Trong một vài thập niên gần đây, lý thuyết vành và môđun đã có bướcphát triển rực rỡ Đã có những hướng phát triển lý thuyết vành và môđunmang lại những ứng dụng khác nhau Nhìn nhận một vành và môđun dướidạng tổng trực tiếp của các nhóm đã mở ra cho ta hướng nghiên cứu kháthú vị dẫn đến lý thuyết vành và môđun phân bậc Do đó, với mong muốntìm hiểu thêm và hiểu sâu hơn các định nghĩa, cách chứng minh các định lýcùng những tính chất liên quan đến lý thuyết vành và môđun phân bậc, cụthể hơn là về tập iđêan nguyên tố liên kết, phân tích nguyên sơ của môđunphân bậc, tôi đã lựa chọn thực hiện đề tài này "Tập iđêan nguyên tố liên kếtcủa môđun phân bậc".

Dựa trên những kiến thức về các iđêan, iđêan nguyên tố liên kết, phântích nguyên sơ, các kiến thức cơ bản về vành và môđun, tôi mong muốn giớithiệu cho người đọc biết về phân tích nguyên sơ của môđun phân bậc, iđêannguyên tố liên kết của môđun phân bậc

Nội dung đề tài được chia thành 2 chương:

Chương 1: Kiến thức cơ sở Chương này tôi trình bày về các kiến thức

cơ sở như định nghĩa và các tính chất về iđêan nguyên tố, iđêan tối đại, iđêannguyên sơ, vành noether Đặt biệt trong chương này là iđêan nguyên tố liênkết, phân tích nguyên sơ, vành phân bậc và môđun phân bậc Đây là nhữngcông cụ mạnh nhất hỗ trợ cho những nghiên cứu được trình bày ở chương 2.Chương 2: Iđêan nguyên tố liên kết của môđun phân bậc Chươngnày nghiên cứu về phân tích nguyên sơ và iđêan nguyên tố liên kết của môđunphân bậc bao gồm: định nghĩa về iđêan phân bậc với ví dụ liên quan; từ đóđưa ra định lí về iđêan nguyên tố liên kết của một môđun phân bậc Các

bổ đề và định lí về môđun con phân bậc, môđun con nguyên sơ; từ đó đếnđịnh lí về phân tích nguyên sơ của môđun phân bậc Các kết quả chính củachương là: Định lí 2.1.3 và định lí 2.2.5

1

Kiến thức cơ sở

Định nghĩa 1.1.1 Cho p là một iđêan của vành giao hoánA có đơn vị Khiđó

i) p được gọi là iđêan nguyên tố nếu thỏa mãn p 6= A và nếu x, y ∈ A

sao cho xy ∈ p thì x ∈ p hoặc y ∈ p

ii) p được gọi là iđêan tối đại nếu thỏa mãn p 6= A và không tồn tạiiđêan q sao cho p ( q ( A (hay các iđêan của A chứa p chỉ có thể là A vàp)

Tập các iđêan nguyên tố của A được kí hiệu là Spec(A) Tập các iđêantối đại của A được kí hiệu là M ax(A)

Ví dụ 1.1.2

(i) Trong vành các số nguyên Z, iđêan nZ là nguyên tố nếu và chỉ nếu

n là số nguyên tố Thật vậy, nếu n = rs(1 < r, s < n) thì ta có rs ∈ nZ

nhưng r /∈ nZ và s /∈ nZ, khi đó theo định nghĩa nZ không phải là iđêan

nguyên tố Ngược lại, nếu n = p là số nguyên tố và giả sử ab ∈ nZ Suy ra

ab chia hết cho p, vì plà số nguyên tố nên hoặc a chia hết cho p, hoặc b chiahết cho p Điều này tương đương với hoặc a ∈ pZ hoặc b ∈ pZ Vậy pZ là

iđêan nguyên tố

(ii) Iđêan {0} là iđêan nguyên tố của vành Z

(iii) Vành Z6 có hai iđêan tối đại, đó là2Z6 = {¯0, ¯2, ¯4} và 3Z6 = {¯0, ¯3}

Định nghĩa 1.1.3 Giả sử I, J là các iđêan của vành R

(i) Giao của I và J là một iđêan của R, kí hiệu là I ∩ J, xác định bởi

I ∩ J = {x ∈ R | x ∈ I, x ∈ J }

2

(ii) Tổng của I và J, kí hiệu là I + J, là một iđêan của R sinh bởi I ∪ J.

Như vậy (I : J ) = {x ∈ R | xJ ⊆ I} Ta có (I : J ) là một iđêan của R

Khi I = 0 ta có (0 : J ) = {x ∈ R | xJ = 0} được gọi là linh hóa tử của

J, kí hiệu AnnRJ

Nếu J = (x) thì ta viết AnnR(x) thay vì AnnR((x))

Mệnh đề 1.1.5 Trong vành giao hoán A mọi iđêan tối đại đều là iđêannguyên tố

Chứng minh Giả sử A là vành giao hoán và p là iđêan tối đại của A Tachứng minh p là iđêan nguyên tố Thật vậy, vì p là iđêan tối đại của A nên

p 6= A Giả sử có x, y ∈ A sao cho xy ∈ p và x /∈ p, khi đó (x) * p Suy ra

b ∈ p sao cho 1 = ax + b , suy ra y = 1y = (ax + b)y = axy + by ∈ p Vậy

p là iđêan nguyên tố

Định nghĩa 1.1.6 Cho A là vành giao hoán có đơn vị, và p là một iđêancủa vành A Iđêan p được gọi là iđêan nguyên sơ nếu và p 6= A và nếu có

x, y ∈ A mà xy ∈ p và x /∈ p thì ∃n ∈ N sao cho yn ∈ p

Ví dụ, trong vành số nguyên Z, iđêan mZ là nguyên sơ nếu và chỉ nếu

m = pk (trong đó p là số nguyên tố và m ∈ N∗) hoặc m = 0

Định lý 1.1.7 Cho A là vành giao hoán có đơn vị, p là iđêan của vành A.Khi đó

(i) p là iđêan nguyên tố trong Akhi và chỉ khi vành thương A/p là miềnnguyên

(ii) p là iđêan tối đại trong A khi và chỉ khi vành thương A/p là mộttrường

Từ định lý 1.1.5, suy ra nếu p là iđêan tối đại thì p là iđêan nguyên tố;nếu p là iđêan nguyên tố thì p là iđêan nguyên sơ

1.2 Vành Noether

Định nghĩa 1.2.1 Vành R được gọi là vành Noether nếu và chỉ nếu mọidãy tăng các iđêan đều dừng Tức là nếu I0 ⊆ I1 ⊆ ⊆ In ⊆ là dãy tăngcác iđêan của R thì tồn tại n0 ∈ N sao cho In = In0

Bổ đề 1.2.2 (Bổ đề Zorn) Cho X là tập khác ∅ được sắp thứ tự bởi ≤ Nếunhư mọi tập con khác ∅ của X được sắp thứ tự toàn phần bởi ≤ đều có cậntrên trong X thì X chứa ít nhất một phần tử tối đại

Mệnh đề 1.2.3 Cho R là vành Khi đó các mệnh đề sau là tương đương(i) R là vành Noether;

(ii) Mọi tập khác rỗng các iđêan của R đều có phần tử tối đại;

(iii) Trong R mọi iđêan đều hữu hạn sinh

Chứng minh (i ⇒ ii) Gọi Σ là tập khác rỗng những iđêan của R Giả sử

(αi)i ∈ I là một dãy tăng các iđêan của R thuộc Σ, tức là I1 ⊆ I2 ⊆ ⊆

sao cho In = In+1 = Điều đó chứng tỏ In là phần tử chặn trên củadãy(αi)i ∈ I sắp thứ tự tuyến tính trong (αi)i ∈ I Khi đó áp dụng bổ đềZorn trong Σ tồn tại phần tử cực đại

(ii⇒ iii) Gọi I là một iđêan bất kì của R Chọn bất kì x1 ∈ I nếu

(x1) = I thì I là hữu hạn sinh, nếu (x1) 6= I thì đặt I1 = (x1), và chọn

x2 ∈ I \I1 Nếu(x1, x2) = I thìI là hữu hạn sinh Ngược lại đặtI2 = (x1, x2)

và chọn x3 ∈ I \ I2 Cứ tiếp tục quá trình trên Ta khẳng định quátrình trên phải dừng Vì giả sử ngược lại ta có dãy trên không dừng Tức

là I1 ⊆ I2 ⊆ ⊆ In ⊆ In+1 ⊆ và Ii 6= Ij với mọi i 6= j Đặt

Σ = I1, I2, , In, là tập vô hạn thì theo (ii) tồn tại phần tử đại J ∈ Σ

Vì J ∈ Σ nên tồn tại n là số tự nhiên để J = Jn Vì Im ⊂ In và Im 6= In vớimọi m > n Vì J là cực đại nên Im ⊂ J Điều này mâu thuẫn Vậy trong R

mọi iđêan đều hữu hạn sinh

(iii⇒ i) Giả sử I0 ⊆ I1 ⊆ I2 ⊆ ⊆ In ⊆ In+1 là dãy tăng tùy ý cáciđêan trongR Đặt J =

In = In+1 = Vậy R là vành Noether

Mệnh đề 1.2.4 Cho R, R0 là hai vành, f : R −→ R0 là toàn cấu vành Khi

Vì vậy R/I là Noether

Từ mệnh đề trên ta thấy vành thương của vành Noether là vành Noether.Tuy nhiên vành con của vành Noether lại chưa chắc là vành Noether Chẳnghạn như vành các chuỗi lũy thừa hình thức vô hạn biến Z[[X1, , Xn, ]]

là vành Noether nhưng vành con của nó là Z[X1, X2, , Xn, ] lại khôngphải vành Noether

Ta đặt A là kí hiệu của một vành và M là một A-môđun

Định nghĩa 1.3.1 Một iđêan nguyên tố p của A được gọi là iđêan nguyên

tố liên kết của M nếu tồn tại x ∈ M, x 6= 0 sao cho p = (0 : x), trong đó

(0 : x) = {a ∈ A | ax = 0} = Ann(x)

Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M kí hiệu là AssA(M ) hay đơngiản hơn ta kí hiệu là Ass(M )

Các phần tử tối tiểu của Ass(M ) được gọi là nguyên tố tối tiểu của M

và các phần tử còn lại được gọi là nguyên tố nhúng của M

Bổ đề 1.3.2 Phần tử tối đại bất kỳ của tập {(0 : y) | y ∈ M, y 6= 0} là mộtiđêan nguyên tố

Chứng minh Giả sử(0 : x)là một phần tử tối đại của{(0 : y) : y ∈ M, y 6= 0}.Khi đó (0 : x) 6= A vì x 6= 0 Hơn nữa, nếu a, b ∈ A sao cho ab ∈ (0 : x)

và a /∈ (0 : x) thì ax 6= 0 và b ∈ (0 : ax) Chú ý rằng (0 : ax) ⊇ (0 : x) Vì

(0 : x) là tối đại nên (0 : ax) = (0 : x) Do đó b ∈ (0 : x) Vậy (0 : x) là mộtiđêan nguyên tố

Định nghĩa 1.3.3 Một phần tử a ∈ A được gọi là một ước của không của

sao cho ax = 0

Tập tất cả các ước của không của M được kí hiệu là Z(M )

Bổ đề 1.3.4 Cho bất kì một môđun con N của M, khi đó ta có

Ass (N ) ⊆ Ass (M ) ⊆ Ass (N ) ∪ Ass (M/N )

Hay tổng quát hơn, nếu 0 = M0 ⊆ M1 ⊆ ⊆ Mn = M là một chuỗi cácmôđun con của M thì Ass(M ) ⊆ Sn

i=1Ass(Mi/Mi−1).Chứng minh Bao hàm Ass(N ) ⊆ Ass(M ) là hiển nhiên Gọi x ∈ M saocho (0 : x) ∈ Ass(M ) Nếu (0 : x) /∈ Ass(N ) thì ta chỉ ra rằng (0 : x) =(0 : ¯x) ∈ Ass(M/N ), trong đó x¯ là kí hiệu ảnh của x trong M/N Để thấy

rõ điều này, chú ý rằng (0 : x) ⊆ (0 : ¯x) và nếu a ∈ A sao cho a¯x = 0 6= ax

thì ax ∈ N và a /∈ (0 : x), và vì (0 : x) là nguyên tố nên chúng ta có b ∈ (0 :ax) ⇔ ba ∈ (0 : x) ⇔ b ∈ (0 : x) Do đó (0 : x) = (0 : ax) ∈ Ass(N ), điềunày là mâu thuẫn Vậy Ass(M ) ⊆ Ass(N ) ∪ Ass(M/N ) Khẳng định cuốicùng được quy nạp theo n

Hệ quả 1.3.5 Cho M1, M2, , Mh là các A-môđun sao cho M =Lh

i=1Mi.Khi đó

Ass(M ) = ∪hi=1Ass(Mi)

Chứng minh Sử dụng chứng minh quy nạp theo h, lưu ý trường hợp h = 2

là kết quả của khẳng định đầu tiên của bổ đề 1.3.4

Định nghĩa 1.3.6 Ta nói tập con S của vành giao hoán R là tập con nhânđóng nếu

(i) 1 ∈ S;

(ii) Với bất kì s1, s2 ∈ S thì s1.s2 ∈ S

Định nghĩa 1.3.7 Cho S là một tập con nhân đóng của vành A Khi đó,địa phương hóa của A với tương ứng tới S, kí hiệu S−1A hoặc AS, là mộtvành

và phép cộng, phép trừ được xác định bởi dạng thông thường của phân số.

Bổ đề 1.3.8 Giả sử A là vành Noether và S là một tập con nhân đóng của

Ngược lại, nếu p0 ∈ Asss−1 A(S−1M ) thì p0 = S−1p với một p ∈ Spec(A)

với p∩ S = ∅ và p0 = (0 : xs) với một x ∈ M Ta viết p = (a1, a2, , an)

thế thì ai

1.xs = 0 trong S−1M với 1 ≤ i ≤ n Do đó ∃t ∈ S sao cho

taix = 0 với 1 ≤ i ≤ n Suy ra p ⊆ (0 : tx) Hơn nữa, nếu a ∈ (0 : tx) thì

trong Mp Thế thì a ∈ Ann(M ) ⇒ ax = 0 ⇒ a ∈ p Do đó, p ⊇ Ann(M ).Giả sử M là hữu hạn sinh và p ∈ SpecA chứa Ann(M ) Ta viết M =

Ax1+ + Axn Nếu Mp = 0 thì ta có thể tìm a ∈ A \p sao cho axi = 0 với

thuẫn

Định lý 1.3.11 Giả sử A là vành Noether và M là hữu hạn sinh Khi đótồn tại một chuỗi 0 = M0 ⊆ M1 ⊆ ⊆ Mn = M của các môđun con của

M sao cho Mi/Mi−1 ' (A/pi), với một số pi ∈ Spec(A) (1 ≤ i ≤ n)

Ngoài ra, cho bất kỳ chuỗi như vậy, ta có Ass(M ) ⊆ {p1, ,pn} ⊆Supp(M ) Hơn thế, các phần tử tối tiểu của ba bộ là trùng nhau

Chứng minh Trường hợp của M = 0 là tầm thường Nếu M 6= 0 thì tồntại p1 ∈ Spec(A) sao cho A/p1 là đẳng cấu với một môđun con M1 của M

Nếu M1 6= M, ta áp dụng cùng lập luận cho M/M1 để tìm p2 ∈ Spec(A) vàmột môđun con M2 của M sao cho M2 ⊇ M1 và A/p2 ' M2/M1 Vì M làNoether nên M không có dãy tăng nghiêm ngặt vô hạn các môđun con, vàkhi đó quá trình trên phải chấm dứt Điều này cho ta khẳng định đầu tiên.Ngoài ra, Ass(Mi/Mi−1) = Ass(A/pi) = {pi} và vậy nên, ta thấy rằng

Ass(M ) ⊆ {p1, ,pn} Thêm nữa, ta có (Mi/Mi−1)pi ' (Api/pi), Api 6= 0

Vì thế, (Mi)pi 6= 0 Do đó {p1, ,pn} ⊆ Supp(M )

Cuối cùng, nếu p ∈ Supp(M ) thì Mp 6= ∅ và vậy nên AssAp(Mp) 6= 0

Từ 1.3.8 chỉ ra rằng tồn tại q ∈ Ass(M ) với q∩ (A \ p) = ∅ tức là q ⊆ p.Điều này kéo đến khẳng định cuối cùng

Ta tiếp tục đặt A là kí hiệu của một vành và M là một A-môđun.Định nghĩa 1.4.1 Cho Q là một môđun con của M Ta nói Q là nguyên

sơ nếu Q 6= M và với bất kì a ∈ A, x ∈ M nếu ax ∈ Q và x /∈ Q thì ta suy

Ta nói Q là bất khả quy nếu Q 6= M và với bất kì môđun con N1 và N2

của M, nếu Q = N1 ∩ N2, thì suy ra Q = N1 hoặc Q = N2

Rõ ràng một môđun con Q của M là nguyên sơ nếu và chỉ nếu với mỗiước của 0 của M/Q là lũy linh cho M/Q (tức là một phần tử a ∈ M đượcgọi là lũy linh của M nếu amM = 0 với một số n ≥ 1; nói cách khác, a làlũy linh của M nếu và chỉ nếu a ∈ pAnn(M ))

Nếu Q là một môđun con nguyên sơ của M và p = pAnn(M/Q) thì

ta nói Q là p-nguyên sơ

Ví dụ 1.4.2 Cho môđun con bất kì Q của M, ta thấy:

(i) Nếu A là vành Noether và M là hữu hạn sinh thì Q là nguyên sơ

(ii) Nếu A là vành Noether và M là hữu hạn sinh thì Q là p-nguyên sơ

Bổ đề 1.4.3 Giả sử A là vành Noether, M là hữu hạn sinh và Q1, Q2, , Qr

là p-nguyên sơ môđun của M trong đó r là số nguyên dương Khi đó Q1 ∩

Q2 ∩ ∩ Qr cũng là p-nguyên sơ

Chứng minh Rõ ràng Q1 ∩ Q2∩ ∩ Qr 6= M Hơn nữa có một đồng cấu tựnhiên M/(Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qr) → M/Q1L

L

M/Qr Do đó tacó

Khi đó suy ra Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qr là p-nguyên sơ

Bổ đề 1.4.4 Giả sửA là vành Noether,M là hữu hạn sinh, Qlà một môđuncon p-nguyên sơ của M Khi đó, ảnh ngược của Qp trong ánh xạ tự nhiên

M → Mp (cho bởi x 7→ x1) là Q

Chứng minh Giả sử x ∈ M thỏa mãn x1 ∈ Qp Khi đó tx ∈ Q với một số

t ∈ A \p Nếu x /∈ Q thì x¯, ảnh của x trong M/Q là khác không và khi đó

Chú ý: Cho bất kỳ p ∈ Spec(A) và một môđun con Q0 của Mp, ảnhngược củaQ0 trong ánh xạ tự nhiên M → Mp thường được kí hiệu là Q0∩M.Khi đó từ bồ đề trên có thể phát biểu rằng nếu Q là một p-môđun nguyên

với 1 ≤ i ≤ h và p1, ,ph phân biệt, trong đó pi = pAnn(M/Qi)

(iii) Nếu Qi và p cho như ii), thì p1, ,ph là duy nhất (cụ thể là

{p1, ,ph} = Ass(M/N )) Hơn nữa, nếu pi là tối tiểu trong {p1, ,ph}

thì môđun con nguyên sơ tương ứng Qi cũng là xác định duy nhất (cụ thể là

Qi = Npi ∩ M)

Định nghĩa 1.4.6 Một phân tích N = Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qh như (i) ở trên,được gọi là một phân tích nguyên sơ của N Nếu Q1∩ Q2∩ ∩ Qh thỏa mãnđiều kiện ở (ii) thì nó được gọi là một phân tích nguyên sơ thu gọn của N

Ta xét G là vị nhóm cộng (chẳng hạn G =Z, hoặc G = N).

Định nghĩa 1.5.1 Cho R là vành giao hoán có đơn vị Ta nói R là vànhphân bậc nếu R có thể phân tích được dưới dạng R = L

d∈GRd (như cácnhóm abel cộng) và thỏa mãn tính chất RiRj ⊆ Ri+j với mọi i, j ∈ G

Phần tử x ∈ Rd được gọi là phần tử thuần nhất bậc d của R

i∈GMi là R-môđun phân bậc Ta xét tập hợp

được gọi là M dịch chuyển bởi d

Nếu M là môđun phân bậc trên R với G =Z là tập các bậc của nó, khi

đó:

i) Phần tử x ∈ M được gọi là phần tử thuần nhất nếu và chỉ nếu tồntại d ∈ Z để x ∈ Md Trong trường hợp x ∈ Md, ta nói x là phần tử thuầnnhất bậc d, kí hiệu là deg(x) = d

ii) Quy ước phần tử 0 là phần tử thuần nhất bất kỳ, vì 0 ∈ Md với mọi

d

iii) Từ định nghĩa trên ta có thể suy ra rằng mọi phần tử x ∈ M đều

có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng x = P

d∈Zxd trong đó xd làthuần nhất bậc dvà chỉ có hữu hạn xd khác 0 Trong biểu diễnx = P

d∈Zxd,thì xd được gọi là thành phần thuần nhất bậc d của phần tử x

ta có các phần tử thuần nhất của x cũng thuộc N

Chứng minh (⇒) Giả sử N là môđun con thuần nhất của M, khi đó N =

(⇐) Giả sử với mọi x ∈ N đều có tính chất là mọi thành phần thuầnnhất của x đều thuộc N Ta sẽ chứng minh N thuần nhất, tức là N =

L

j∈G(N ∩ Mj) Thật vậy, ta có L

j∈G(N ∩ Mj) ⊆ N Ngược lại, lấy x ∈ N

i∈Gxi với xi ∈ Mi với mọi i ∈ G và chỉ có hữu hạn

xi 6= 0 Theo trên thì mọi thành phần xj ∈ N, do đó xj ∈ N ∩ Mj với mọi

trong đó R0 = R và Rn = 0 với mọi n > 0

2 Một R-môđun M luôn là R-môđun phân bậc với phân bậc tầm thường