Bài 24 bảng nguyên hàm cơ bản

Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K... ; Trong hai khẳng định trên: AA. III Hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai

1

BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN  Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt 

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Định nghĩa

Cho hàm số f x xác định trên ( ) K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F x được ( )

gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên ( ) K nếu F'( )x = f x( ) với mọi x KÎ

2 Định lý

1) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên ( ) K thì với mỗi hằng số C , hàm số

( ) ( )

G x = F x + cũng là một nguyên hàm của C f x trên ( ) K

2) Nếu F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K thì mọi nguyên hàm của f x( )

trên K đều có dạng F x( )+C , với C là một hằng số

Do đó F x( )+C C, Î là họ tất cả các nguyên hàm của f x trên ( ) K Ký hiệu

f x dx=F x +C

3 Tính chất của nguyên hàm

 Tính chất 1: ( òf x dx( ) )¢ = f x( ) và òf '( )x dx= f x( )+C

 Tính chất 2: òkf x dx( ) =k f x dxò ( ) với k là hằng số khác 0

 Tính chất 3: éf x( )±g x( )ùdx= f x dx( ) ± g x dx( )

4 Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số f x liên tục trên ( ) K đều có nguyên hàm trên K

5 Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp (u=u x( ) )

dx= +x C

1

1

1 1

x dxa xa C a

a

+

= + ¹

-+

1 1

u dua ua C a

a

+

= + ¹ -+

1

ln

e dx=e +C

e du=e +C

( 0, 1) ln

x

a

ln

u

a

sinxdx= -cosx C+

ò òsinudu= -cosu C+

cosxdx=sinx C+

ò òcosudu=sinu C+

2

2 tan

cos x dx= x C+

cos u du= u C+

2

1

cot sin x dx= - x C+

sin u du= - u C+

B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Hàm số f x( ) có nguyên hàm trên K nếu:

A f x xác định trên K ( ) B f x có giá trị lớn nhất trên K ( )

C f x( ) có giá trị nhỏ nhất trên K D f x( ) liên tục trên K

Câu 2 Mệnh đề nào sau đây sai?

A Nếu F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên ( )a b; và C là hằng số thì

B Mọi hàm số liên tục trên ( )a b đều có nguyên hàm trên ; ( )a b ;

C F x là một nguyên hàm của ( ) f x trên ( ) ( )a b; ÛF/( )x = f x( ), x" Î( )a b;

D ( òf x dx( ) )/ = f x( )

Câu 3 Xét hai khẳng định sau:

(I) Mọi hàm số f x liên tục trên đoạn ( ) [ ]a b đều có đạo hàm trên đoạn đó ;

(II) Mọi hàm số f x liên tục trên đoạn ( ) [ ]a b đều có nguyên hàm trên đoạn đó ;

Trong hai khẳng định trên:

A Chỉ có (I) đúng B Chỉ có (II) đúng C Cả hai đều đúng D Cả hai đều sai

Câu 4 Hàm số F x được gọi là nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên đoạn ( ) [ ]a b nếu: ;

A Với mọi xÎ( )a b; , ta có /( ) ( )

B Với mọi xÎ( )a b; , ta có /( ) ( )

C Với mọi xÎ[ ]a b; , ta có F/( )x = f x( )

D Với mọi xÎ( )a b; , ta có /( ) ( )

F x = f x , ngoài ra /( ) ( )

F a+ = f a và /( ) ( )

F b- = f b

Câu 5 Trong các câu sau đây, nói về nguyên hàm của một hàm số f xác định trên khoảng

D, câu nào là sai?

(I) F là nguyên hàm của f trên D nếu và chỉ nếu " Îx D F: '( )x = f x( )

(II) Nếu f liên tục trên D thì f có nguyên hàm trên D

(III) Hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số

3

Câu 6 Giả sử F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên khoảng ( )a b Giả sử ; G x ( )

cũng là một nguyên hàm của f x( ) trên khoảng ( )a b; Khi đó:

A F x( )=G x( ) trên khoảng ( )a b;

B G x( )= F x( )-C trên khoảng ( )a b , với C là hằng số ;

C F x( )=G x( )+C với mọi x thuộc giao của hai miền xác định, C là hằng số

D Cả ba câu trên đều sai

Câu 7 Xét hai câu sau:

(I) ò (f x( ) ( )+g x )dx=òf x dx( ) +òg x dx( ) =F x( )+G x( )+C, trong đó F x( ) và G x( )

tương ứng là nguyên hàm của f x( ) ( ), g x

(II) Mỗi nguyên hàm của a f x ( ) là tích của a với một nguyên hàm của f x( )

Trong hai câu trên:

A Chỉ có (I) đúng B Chỉ có (II) đúng

C Cả hai câu đều đúng D Cả hai câu đều sai

Câu 8 Các khẳng định nào sau đây là sai?

A òf x dx( ) =F x( )+CÞòf t dt( ) =F t( )+C

B éëòf x dx( ) ù =û/ f x( )

C òf x dx( ) =F x( )+CÞòf u dx( ) =F u( )+C

D òkf x dx( ) =k f x dxò ( ) ( k là hằng số)

Câu 9 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A ( ) 2

F x =x là một nguyên hàm của f x( )=2x

B F x( )=x là một nguyên hàm của f x( )=2 x

C Nếu F x( ) và G x( ) đều là nguyên hàm của hàm số f x( ) thì F x( )-G x( )=C (hằng số)

D éf1( )x + f2( )x ùdx= f1( )x dx+ f2( )x dx

Câu 10 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x thì mọi nguyên hàm của ( ) f x đều có ( )

dạng F x( )+C ( C là hằng số)

B ( )

'

log

C F x( )= +1 tanx là một nguyên hàm của hàm số f x( )= +1 tan2x

4

Câu 11 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A ò0dx C= ( C là hằng số) B 1dx ln x C

ò ( C là hằng số)

C.

1

1

x

a

a

a

+

+

ò ( C là hằng số) D òdx= +x C ( C là hằng số)

Câu 12 Hàm số f x( ) cos1

x

= có nguyên hàm trên:

A ( )0;p B ;

2 2

p p

æ ö

ç- ÷÷

è ø C ( p p;2 ) D ;

2 2

p p

é ù

- ú

ê ú

ë û

Câu 13 Hàm số F x( )=5x3+4x2-7x+120+C là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

A f x( )=15x2+8x- 7 B f x( )=5x2+4x+ 7

C ( )

5 4 7

4 3 2

Câu 14 Nếu f x dx( ) 1 lnx C

x

ò thì f x( ) là:

x

= - + +

1

ln

x

1

x

f x

x

-=

Câu 15 Hàm số F x( )=3x4 +sinx+ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? 3

A. f x( )=12x3+cosx+3x B. f x( )=12x3-cosx

C. f x( )=12x3+cosx D. f x( )=12x3-cosx+3x

Câu 16 Nếu òf x dx( ) =sin 2 cosx x thì f x( ) là:

A. ( ) 1(3cos3 cos )

2

2

C. ( ) 1(3cos3 cos )

2

2

Câu 17 Nếu ( )

3

3

x

x

ò thì f x( ) bằng:

A. ( )

4

3

x

x

4

12

x

x

f x =x +e

5

Câu 18 Họ nguyên hàm của hàm số f x( ) x 1

x

= + là:

A. ( )

2

ln 2

x

1 1

x

= - +

C. ( )

2

ln 2

x

2

ln 2

x

Sở GD–ĐT Phú Yên

Câu 19 Nếu F x( )là một nguyên hàm của hàm số f x( ) 11

x

=

- và F( )2 = thì 1 F( )3 bằng:

A. ln 2 1+ B. ln3

1

2

Câu 20 Cho hàm số F x( )=ax3+bx2+cx+ là một nguyên hàm của hàm số 1 f x( ) thỏa

mãn f( )1 =2,f ( )2 =3,f ( )3 = Hàm số 4 F x( ) là:

1 2

1 2

1 2

1 2

Câu 21 Cho F x( ) là một nguyên hàm của ( ) 3x

f x =e thỏa mãn F( )0 = Mệnh đề nào 1 sau đây là đúng?

1 3

x

x

x

Chuyên Đại học Vinh – Lần 1

Câu 22 Nguyên hàm của hàm số f x( )=x3+3x+ là hàm số nào trong các hàm số sau? 2

A ( )

4 3 2

2

4 2

4 2

3 2 3

x

C ( )

4 2

2

4 2

Câu 23 Họ nguyên hàm của hàm số: 2 1

3

x

= - + là:

1

2 3

x

3 2

3 ln

3 2

x

C. ( )

3

2

3 ln

3 2

x

3 2

3 ln

3 2

x

6

Câu 24 Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) (= x+1)(x+2)

A. ( )

3

2

2 2

3 3

x

3 2

3 2

3 2

x

3 2

2 2

3 3

x

Câu 25 Nguyên hàm F x( ) của hàm số ( ) 2

5 2

f x

- là hàm số nào?

A F x( ) ln 5 2x 2ln x 3 C

x

= - + - + B F x( ) ln 5 2x 2ln x 3 C

x

C F x( ) ln 5 2x 2ln x 3 C

x

= - - - + + D F x( ) ln 5 2x 2ln x 3 C

x

Câu 26 Hàm số ( ) 3 2 1

3

x

= - + + có nguyên hàm là:

A ( )

3

3

x

4 3

3 ln

4 3

C ( ) 2

2

1

x

= - - + D F x( )=x4-x3+3x+ln x +C

Câu 27 Hàm số ( ) 2

2

1 1

x x

= - + - có một nguyên hàm là:

2

x

2

x

C. f x( ) x3 x 1 x

x

x

= - - -

Câu 28 Biết hàm số f x( ) (= 6x+1)2có một nguyên hàm là ( ) 3 2

F x =ax +bx +cx d+ thoả mãn điều kiện F( )-1 =20 Tính tổng a b c d+ + +

A. 36 B. 44 C. 46 D. 54

Câu 29 Cho hàm số f x có đạo hàm ( ) '( ) 1

1

x

=

- và f ( )0 = Tính 1 f ( )5

A. f( )5 =2 ln 2 B. f( )5 =ln 4 1+ C. f( )5 = -2 ln 2 1+ D. f( )5 = -2 ln 2

Chuyên Chu Văn An – Lần 2

Câu 30 Giả sử F x là nguyên hàm của hàm số ( ) f x( )=4x- Đồ thị của hàm số 1 F x ( )

và f x cắt nhau tại một điểm trên trục tung Tọa độ các điểm chung của hai đồ thị ( )

hàm số trên là:

7

A. (0; 1- ) B. 5;9

2

è ø C. (0; 1- và ) 5

;9 2

è ø D. 5;8

2

è ø

Câu 31 Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) x x

f x =e -e-

f x dx=e +e- +C

f x dx= -e +e- +C

f x dx=e -e- +C

f x dx= -e -e- +C

Câu 32 Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2 3x 2x

f x = -

2 ln 2 ln 9

x

ç ÷

-è ø

9 ln 2 ln 9

x

ç ÷

-è ø

3 ln 2 ln 9

x

ç ÷

-è ø

9 ln 2 ln 9

x

ç ÷

+

è ø

Câu 33 Họ nguyên hàm của hàm số ( ) x(3 x)

f x =e +e- là:

A. ( ) 3 x

F x = e + + x C B. ( ) 3 x xln x

F x = e +e e + C

x

e

F x = e - +x C

Câu 34 Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 4x 2

f x = e -

2

x

C ( ) 2 1x

f x dx=e - +C

2

x

Câu 35 Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=sin 2x

A. sin 2ò xdx=cos 2x C+ B. sin 2ò xdx= -cos 2x C+

C. sin 2 1cos 2

2

2

Câu 36 Hàm số ( ) ln 2 2

sin

x

f x e

x

= ç + ÷

có họ nguyên hàm là:

1

ln 2 cos

x

x

1

ln 2 cos

x

x

C ( ) xln 2 cot

F x =e - x C+ D ( ) xln 2 cot

F x =e + x C+

Câu 37 Hàm số ( ) 3x 2 3x x

f x = - có nguyên hàm bằng:

8

A

ln 3 ln 6- +C B 3 ln 3 1 2 ln 2( + )+C

C 3 3 2

ln 3 ln 6

C

+ + D 3 6

ln 3 ln 3.ln 2

C

+ +

Câu 38 Tìm một nguyên hàm F x của hàm số ( ) ( ) 4 2x 2x 3

f x = +

A. ( )

4 1

2

ln 2

x

F x

+

= B. ( ) 24x 3.ln 2

F x = + C. ( )

4 3

2

ln 2

x

F x

+

= D. ( ) 24 1x ln 2

F x = +

Chuyên Thái Bình – Lần 3

Câu 39 Một nguyên hàm F x của hàm số ( ) ( ) ( x x)2

f x = e- +e thỏa mãn điều kiện

( )0 1

F = là:

F x = - e- + e + x+

2 1

2

Câu 40 Hàm số ( ) 7 x tan

F x = e - x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

1 7

cos

x

x

f x = e + x-

cos

x

f x e

x

= ç - ÷

1 7

cos

x

x

Câu 41 Tính òsinx(2 cos+ x dx) bằng:

A. 2cos 1cos 2

4

4

C. 2cos 1cos 2

4

2

Câu 42 Tính sin 12

cos

x

ò bằng:

A. -cosx+tanx C+ B. cosx+tanx C+ C. cosx-tanx C+ D. cos 1

cos

x

Câu 43 Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=cos 3x là hàm số nào?

A. cos 3 1sin 3

3

ò B. cos 3ò xdx=sin 3x C+

C. cos 3ò xdx=3sin 3x C+ D. cos 3 1sin 3

3

9

Chuyên Chu Văn An – Lần 2

Câu 44 Cho hàm số f x( )=3x+sinx+2 cosx Tìm nguyên hàm F x của hàm số ( ) f x ( )

thỏa mãn F( )0 = 1

A. x2+cosx+2sinx-2 B. x2+cosx+2sinx

C. x2-cosx+2sinx D. x2-cosx+2sinx+2

Câu 45 Cho hàm số ( ) 2

1 sin

x

= = Nếu F x là nguyên hàm của hàm số ( ) f x và đồ ( )

thị y=F x( ) đi qua điểm ;0

6

è ø thì F x là: ( )

3

3

C. F x( )= - 3 cot + x D. F x( )= 3 cot - x

Câu 46 Một nguyên hàm F x của hàm số ( ) ( ) 2sin 5 3

5

f x = x+ x+ thỏa mãn đồ thị của hai hàm số F x và ( ) f x cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung là: ( )

F x = x+ x x+ x+ B. ( ) 10 cos 5 1 3 1

5 2

x

= + + +

Câu 47 Biết ( ) ( )

2

2

2

x

f x dx= +C g x dx= x +C

ò ò (C C là hằng số) Tìm họ nguyên 1, 2 hàm của hàm số h x( )= f x( ) ( )+g x

A.

2

3

2x B. 3x C+ C.

3

2

x C

+ D.

2

3 2

x C

+

Sở GD–ĐT Phú Yên

Câu 48 Giá trị m để hàm số F x( )=mx3+(3m+2)x2-4x+ là một nguyên hàm của hàm 3

số f x( )=3x2+10x- là: 4

Câu 49 Tìm số thực m để hàm số F x( )=mx3+(3m+2)x2-4x+ là một nguyên hàm của 3

hàm số f x( )=3x2+10x- 4

A. m= - 1 B. m= 0 C. m= 1 D. m= 2

10

Câu 50 Cho f x( ) sin x

p

= + Tìm m để nguyên hàm F x của hàm số ( ) f x thỏa mãn ( ) ( )0 1

F = và

ç ÷ =

ç ÷

è ø

4

4 3

3

C ĐÁP ÁN

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 11 12 13 14 15  16  17  18  19 20

D  C  B  D  A  B  C  C  B  B  C  B  A  D  C  A  D  C  A  D 

21  22  23  24  25  26  27  28 29 30 31 32 33 34 35  36  37  38  39 40

C  A  C  B  D  B  D  C  C  C  A  B  A  D  C  C  A  A  C  C 

41  42  43  44  45  46  47  48 49 50

A  A  A  D  D  C  D  B  C  A