Bài 24 bảng nguyên hàm cơ bảnđa

III Hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số.. Hướng dẫn giải: Vì hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số.. Các khẳng định

BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN 

ĐÁP ÁN 

Câu 1 Hàm số f x có nguyên hàm trên ( ) K nếu:

A f x xác định trên K ( ) B f x có giá trị lớn nhất trên K ( )

C f x có giá trị nhỏ nhất trên K ( ) D f x liên tục trên K ( )

Hướng dẫn giải:

Để hàm số f x có nguyên hàm trên K khi và chỉ khi ( ) f x liên tục trên K ( )

Câu 2 Mệnh đề nào sau đây sai?

A Nếu F x là một nguyên hàm của ( ) f x trên ( ) ( )a b và C là hằng số thì ; òf x dx( ) =F x( )+C

B Mọi hàm số liên tục trên ( )a b đều có nguyên hàm trên ; ( )a b ;

C F x là một nguyên hàm của ( ) f x trên ( ) ( )a b; ÛF/( )x = f x( ), x" Î( )a b;

D ( òf x dx( ) )/ = f x( )

đều có đạo hàm bằng f x ” ( )

Câu 3 Xét hai khẳng định sau:

(I) Mọi hàm số f x liên tục trên đoạn ( ) [ ]a b đều có đạo hàm trên đoạn đó ;

(II) Mọi hàm số f x liên tục trên đoạn ( ) [ ]a b đều có nguyên hàm trên đoạn đó ;

Trong hai khẳng định trên:

Hướng dẫn giải:

Vì hàm số có đạo hàm tại x thì liên tục tại 0 x , nhưng nếu hàm số liên tục tại 0 x thì 0

chưa chắc đã có đạo hàm tại x Chẳng hạn xét hàm số 0 f x( )= x tại điểm x= 0

Câu 4 Hàm số F x( ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f x( ) trên đoạn [ ]a b; nếu:

F x = f x

f x =F x

F x = f x

D. Với mọi xÎ( )a b; , ta có /( ) ( )

F a+ = f a và /( ) ( )

F b- = f b

Hướng dẫn giải:

Với mọi xÎ( )a b; , ta có F/( )x = f x( ), ngoài ra /( ) ( )

F a+ = f a và /( ) ( )

F b- = f b

Câu 5 Trong các câu sau đây, nói về nguyên hàm của một hàm số f xác định trên khoảng D

, câu nào là sai?

(I) F là nguyên hàm của f trên D nếu và chỉ nếu " Îx D F: '( )x = f x( )

(II) Nếu f liên tục trên D thì f có nguyên hàm trên D

(III) Hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số

Câu 6 Giả sử F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên khoảng ( ) ( )a b Giả sử ; G x cũng ( )

là một nguyên hàm của f x( ) trên khoảng ( )a b; Khi đó:

A F x( )=G x( ) trên khoảng ( )a b ;

B G x( )=F x( )-C trên khoảng ( )a b , với C là hằng số ;

C F x( )=G x( )+C với mọi x thuộc giao của hai miền xác định, C là hằng số

D Cả ba câu trên đều sai

Hướng dẫn giải:

Vì hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số

Câu 7 Xét hai câu sau:

(I) ò (f x( ) ( )+g x )dx=òf x dx( ) +òg x dx( ) =F x( )+G x( )+C, trong đó F x và ( ) G x ( )

tương ứng là nguyên hàm của f x( ) ( ), g x

(II) Mỗi nguyên hàm của a f x ( ) là tích của a với một nguyên hàm của f x( )

Trong hai câu trên:

Câu 8 Các khẳng định nào sau đây là sai?

A òf x dx( ) =F x( )+CÞòf t dt( ) =F t( )+C

B éëòf x dx( ) ù =û/ f x( )

C.òf x dx( ) =F x( )+CÞòf u dx( ) =F u( )+C

D òkf x dx( ) =k f x dxò ( ) ( k là hằng số)

Câu 9 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

F x =x là một nguyên hàm của f x( )=2x

B F x( )= là một nguyên hàm của x f x( )=2 x

C Nếu F x và ( ) G x đều là nguyên hàm của hàm số ( ) f x thì ( ) F x( )-G x( )=C (hằng số)

D éf1( )x + f2( )x ùdx= f1( )x dx+ f2( )x dx

Hướng dẫn giải:

Vì ( )x / = ¹1 2 xÞF/( )x ¹ f x( )ÞF x( )= không phải là nguyên hàm của hàm x

số f x( )=2 x

Câu 10 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

( )

F x +C ( C là hằng số)

B ( )

/

log

u x

C F x( )= +1 tanx là một nguyên hàm của hàm số f x( )= +1 tan2x

D F x( )= -5 cosx là một nguyên hàm của hàm số f x( )=sinx

( )

( )

/

ln

d u x

u x

Câu 11 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

C

1

1

x

a

a

a

+

+

Câu 12 Hàm số f x( ) cos1

x

2 2

p p

2 2

p p

Hướng dẫn giải:

Ta thấy hàm số f x( ) cos1

x

2 2

p p

trên khoảng này

Câu 13 Hàm số F x( )=5x3+4x2-7x+120+C là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

A f x( )=15x2+8x- 7 B f x( )=5x2+4x+ 7

f x = + - D f x( )=5x2+4x- 7

Câu 14 Nếu f x dx( ) 1 lnx C

x

x

1

ln

x

1

x

f x

x

'

Câu 15 Hàm số F x( )=3x4+sinx+ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? 3

C. f x( )=12x3+cosx D f x( )=12x3-cosx+3x

Hướng dẫn giải: f x( )=(3x4+sinx+3 ' 12) = x3+cosx

Câu 16 Nếu òf x dx( ) =sin 2 cosx x thì f x là: ( )

2

2

2

2

2

ò

Câu 17 Nếu ( )

3

3

x x

f x dx= +e +C

4

3

x x

f x = +e B ( ) 3 2 x

f x = x +e C ( )

4

12

x x

f x = +e D. ( ) 2 x

f x =x +e

/

2

Câu 18 Họ nguyên hàm của hàm số f x( ) x 1

x

2

ln 2

x

1 1

x

C. ( )

2

ln 2

x

2

ln 2

x

F x = + x

Sở GD–ĐT Phú Yên

Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm

Câu 19 Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x( ) 11

x

=

- và F( )2 = thì 1 F( )3 bằng:

1

2

thay x= ta có đáp án 3

Câu 20 Cho hàm số F x( )=ax3+bx2+cx+ là một nguyên hàm của hàm số 1 f x thỏa mãn ( )

( )1 2, ( )2 3, ( )3 4

1 2

1 2

1 2

1 2

Hướng dẫn giải:

Ta có f x( )=F'( )x =3ax2+2bx c+ và

( ) ( ) ( )

0

1

2

a

a b c

ì =

ï

1 2

Câu 21 Cho F x là một nguyên hàm của ( ) ( ) 3x

f x =e thỏa mãn F( )0 = Mệnh đề nào sau 1 đây là đúng?

1 3

x

F x = e + B ( ) 3x

F x =e C. ( ) 1 3 2

x

x

F x = - e +

Chuyên Đại học Vinh – Lần 1

F x =òe dx= e +C F = ÛC=

Câu 22 Nguyên hàm của hàm số f x( )=x3+3x+ là hàm số nào trong các hàm số sau? 2

A ( )

2

4 2

3

x

F x = + x + x C+

2

F x = + + x C+ D F x( )=3x2+3x C+

Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm

Câu 23 Họ nguyên hàm của hàm số: 2 1

3

x

1

x

3 2

3 ln

x

F x = + x + x C+

C. ( )

3

2

3 ln

x

3 2

3 ln

x

F x = - x + x C+

Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm

Câu 24 Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) (= x+1)(x+2)

3

2

2 2

x

3 2

3 2

x

F x = + x + x C+

3 2

2 2

x

F x = - x + x C+

Câu 25 Nguyên hàm F x( ) của hàm số ( ) 2

5 2

f x

x x x

x

x

x

x

Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm

Câu 26 Hàm số f x( ) x3 x2 3 1

x

3

3

x

F x =x - + x+ x +C B ( )

F x = - + x+ x +C

2

1

x

x

Câu 27 Hàm số ( ) 2

2

x x

2

x

2

x

x

x

x

Câu 28 Biết hàm số f x( ) (= 6x+1)2có một nguyên hàm là ( ) 3 2

F x =ax +bx +cx d+ thoả mãn điều kiện F( )-1 =20 Tính tổng a b c d+ + +

Hướng dẫn giải:

(6x+1)2dx= (36x2+12x+1)dx=12x3+6x2+ +x C

Thay ( 1) 20F - = Þd =27Þ + + + =a b c d 46

Câu 29 Cho hàm số f x có đạo hàm ( ) '( ) 1

1

f x

x

=

- và f( )0 = Tính 1 f( )5

A f( )5 =2 ln 2 B f( )5 =ln 4 1+ C. f( )5 = -2ln 2 1+ D f( )5 = -2ln 2

Chuyên Chu Văn An – Lần 2

Câu 30 Giả sử F x( ) là nguyên hàm của hàm số f x( )=4x- Đồ thị của hàm số 1 F x( ) và

( )

f x cắt nhau tại một điểm trên trục tung Tọa độ các điểm chung của hai đồ thị hàm

số trên là:

2

2

2

Hướng dẫn giải: Ta có F x( ) (=ò 4x-1)dx=2x2- +x C

Giả sử M(0;m)ÎOy là giao điểm của đồ thị hai hàm số F x và ( ) f x ( )

2

1

C

=

î

Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số F x và ( ) f x là nghiệm của phương trình: ( )

2

9 2

é = Þ = -ê

ê ë Vậy tọa độ các điểm cần tìm là (0; 1- và ) 5

;9 2

Câu 31 Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) x x

f x =e -e-

A. ( ) x x

f x dx=e +e- +C

f x dx= -e +e- +C

f x dx=e -e- +C

f x dx= -e -e- +C

e -e- dx=e +e- +C

Câu 32 Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2 3x 2x

f x = -

x

ç ÷

-è ø

x

ç ÷

-è ø

x

ç ÷

-è ø

x

ç ÷

+

è ø

x x

Câu 33 Họ nguyên hàm của hàm số ( ) x(3 x)

A. ( ) 3 x

F x = e + +x C B ( ) 3 x xln x

F x = e +e e + C

x

e

F x = e - +x C

F x =òe +e- dx=ò e + dx= e + +x C

Câu 34 Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 4x 2

f x = e -

2

x

f x dx= e - +C

2

x

f x dx= e - +C

f x dx=e - +C

2

x

f x dx= e - +C

2

e - dx= e -dx= e - +C

Câu 35 Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=sin 2x

2

xdx= - x C+

2

xdx= x C+

Câu 36 Hàm số ( ) ln 2 2

sin

x

f x e

x

có họ nguyên hàm là:

1

ln 2

cos

x

x

1

ln 2 cos

x

x

F x =e + x C+

sin

x

Câu 37 Hàm số ( ) 3x 2 3x x

A 3 6

ln 3 ln 6

x x

C

C

x x x

C

ln 3 ln 3.ln 2

C

ln 3 ln 6

x x

x x

f x dx= + dx= + +C

Câu 38 Tìm một nguyên hàm F x của hàm số ( ) ( ) 4 2x 2x 3

f x = +

A. ( )

4 1

2

ln 2

x

F x

+

4 3

2

ln 2

x

F x

+

F x = +

Chuyên Thái Bình – Lần 3

4 1

ln 2

x

+

Câu 39 Một nguyên hàm F x của hàm số ( ) ( ) ( x x)2

f x = e- +e thỏa mãn điều kiện F( )0 = 1 là:

F x = - e- + e + x- B ( ) 2 2x 2 2x 2 1

F x = - e- + e + x+

C ( ) 1 2 1 2

F x = - e- + e + x+ D ( ) 1 2 1 2

2

F x = - e- + e + x

F x = - e- + e + x C F+ = ÛC=

Câu 40 Hàm số ( ) 7 x tan

1 7

cos

x

x

C. ( ) 7 2

cos

x

f x e

x

1 7

cos

x

x

1

x

Câu 41 Tính òsinx(2 cos+ x dx) bằng:

4

4

x- x C+

4

2

x+ x C+

Hướng dẫn giải:

Câu 42 Tính sin 12

cos

x

A. cos- x+tanx C+ B cosx+tanx C+ C cosx-tanx C+ D cos 1

cos

x

cos

x

Câu 43 Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=cos3x là hàm số nào?

3

xdx= x C+

3

xdx= - x C+

Chuyên Chu Văn An – Lần 2

Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm

Câu 44 Cho hàm số f x( )=3x+sinx+2cosx Tìm nguyên hàm F x của hàm số ( ) f x thỏa ( )

mãn F( )0 = 1

Hướng dẫn giải:

2 2

Câu 45 Cho hàm số ( ) 2

1 sin

y f x

x

= = Nếu F x là nguyên hàm của hàm số ( ) f x và đồ thị ( )

( )

6

è ø thì F x là: ( )

3

3

F x = - + x

1

cot sin

x

ç ÷

Vậy F x( )= -cotx+ 3

Câu 46 Một nguyên hàm F x của hàm số ( ) ( ) 2sin 5 3

5

hàm số F x và ( ) f x cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung là: ( )

5 2

x

F x = - x+ x x+ x+ D ( ) 2cos5 2 3

F x = - x+ x x+ x

F x = - x+ x x+ x+

2

2

2

x

f x dx= +C g x dx=x +C

ò ò (C C là hằng số) Tìm họ nguyên hàm 1, 2 của hàm số h x( )= f x( ) ( )+g x

A

2

3

3

2

x C

2

3 2

x C

Sở GD–ĐT Phú Yên

Hướng dẫn giải:

2

3

h x dx= éëf x +g x ùûdx= f x dx+ g x dx= +C +x +C = +C

Câu 48 Giá trị m để hàm số F x( )=mx3+(3m+2)x2-4x+ là một nguyên hàm của hàm số 3

( ) 3 2 10 4

Hướng dẫn giải: ò(3x2+10x-4)dx=x3+5x2-4x C+ , nên m= 1

Câu 49 Tìm số thực m để hàm số F x( )=mx3+(3m+2)x2-4x+ là một nguyên hàm của 3

hàm số f x( )=3x2+10x- 4

Hướng dẫn giải: Ta có òf x dx( ) =ò (3x2+10x-4)dx=x3+5x2-4x C+

Yêu cầu bài toán

1

1

3 3

m

m m

C C

ì =

ì

=

= ï

Câu 50 Cho f x( ) 4m sin2x

p

( )0 1

Fæ öp p

ç ÷ =

ç ÷

A 3

4

4 3

3

Vì F( )0 = nên 1 C= 1

Fæ öp p

ç ÷ =

ç ÷

4

m= -