nguyen ham co ban

Tim nguyén hàm bằng đỉnh nghĩa và các tính chất... A/ Tìm nguyên hàm cúa các hàm số... MỘT SÓ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đôi biên sô... Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần

CHUONG II: NGUYEN HAM Bang nguyén ham cac ham so don gian

u là hàm số theo biến x, *Trường hợp đặc biệt z = ax + b,a # 0

tức là ø = (x)

*Nguyên hàm của các hàm số đơn gián

fkdv=kx+C,kla hằng số [kdu=ku+C

ƒ==Inlx|+C [Ƒ4z=Pnla|+C Ỉ dx =—In|ax+b|+C

adv =2Vx+C ~=du =2xlu +C đụ =—.2Jax+b+C

*Nguyên hàm cúa hàm số mũ

a

fea =-e *+C Je “4u =-e +C

Xv a*

a =—+C,0<a¥l

Ud, =—+C a

Ja lu Ina

mx+n

fara = 4 +C,m#0

*Nguyên hàm của hàm số lượng giác

Joos x.dx =sinx+C Joos u.du=sinu+C [Eos(ax+ð)œ = | sin(ax+b) +C

a

jsín x.dx =-cosx+C jsín u.du=—cosu+C fsin(ax + b)dx =— 1 eos(ax+b)+C

a

COs” u

—,1—ar= | tan(ax+b)+C cos“ (ax +b) a

j 5 dx =tanx+C

cos* x

Ỉ 5 đv=—cotx+C

sin“ x

Ỉ 5 du =-cotu+C

sin* (ax +b) a

Một số ví dụ trong trường hợp đặc biệt

feos xd =7-sin bx-+C Joos2x.dx = sin 2x+C,(k =2)

fsin kate =—Lcoske+C foin 2x.dx = — 0s 2x+C

1 (œw+b)#*!

j(x+b)#.&= +C

a œ+l

241

7 +t€=i@x+lÿ +C

1

2x+1).dx=—

J(ex+I.de 2° 241

Ỉ (a+b) Ị &= ÌInlax+b|+C a Ỉ Ị dv=ÌInläx~I|+C 3x-1 3

———— đu =—.2Nax+b +C

du =—.2V3x+54+C ==V3x+54+C

fer? ar - 1, ax+b +C

a

+ = sen +C

mx+n

fam™*"du=+ 4 +C,m#0

m ina

1 52x41

2 h4=¿ +C

2_ In§

[Eos(ax+ð)œ = đ nay +b)+C

a

Joos(2x+1)dx = 2sinOx+ +C€

jsintax +b)dx = — 1 cos(ax + b)+C

a

jsin3x=Dax = ~3eos(3x= N+C

—,1 a= | tan(ax+b)+C

cos*(ax +b) a

1

OR = † tan(2x+1)+€

cos*(2x+1) 2

— 1 ae =-F cot(ar+b)+C

sin* (3x+1)

*Chú ý: Những công thức trên có thé chứng minh bằng cách lấy đạo hàm vé trái hoặc tính bằng phương

pháp đôi biên sô đặt = ax+b => du =.?.dx > dx =.?.du

Ví dụ: Chứng minh Joos(ax +b)dx = 1 sin(ax+b)+C,a#0

a

Giai: Dat u = ax+b=> du =(ax+b)'dx =adx => dx = |

a

Suy ra [cos(ax+)đv = leosu.L4u =! jcosu.du =! sinu+C= | Sin(ax-+b)+C

I Tim nguyén hàm bằng đỉnh nghĩa và các tính chất

A/ Tìm nguyên hàm cúa các hàm số

Bài 1: Sử dụng bảng nguyên hàm và tính chất

3x x2

In3 2

x

Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số

3 2

a fx) =x?— 3x + + DS F(x) = SE + Inf

x

4

c f(x) = —- DS F(x) = In|x]+—+C

d f(xy = GO =D" DS F(x) = 2% -2x414¢

2 33 4x4

£ fx)= ĐS F@&)= 2Vx-3Ÿx2+C€

Ke %x

g fe = =D? DS F(x) = x-4Vx +In|x|+C

x

h f(x) = 2 DS F(x) = x3 -x3 +€

x

i) f(x) =x +3x2 -4 kq: F@)=Š—+ -4x+C

x

* HD: nếu gặp hằng đẳng thức thì khai triển hằng đẳng thức, vi du: (a+b)? =a" +2ab+b2

Bài 3 : Tìm

a) |(x—2)(x+ 4)dx

b) [(x? -3)(x4 Dd

€)j3(x— 3)2 dx

open

3 62

øị” = lx

dx

3 2

2x7 —5x*-1

gj ae

x

2

wit? ay

2

for dx

x

Bài 4 Tìm

3 Lt

a) [(x4 +x 2-5)dx

b)J@& 3~2x 2+4x+l)d

©)|NxQx~2x)(x+1)d

đ)j2x+10 =-

Bài 5:

a)j(2.3Ý +4*)ä:

b)[(2.a* +5Š)dy

e)[@GeŸ +5sin x— Ty

x

4)je*¿+-Š 5

cos” x

e) [2*.3* de

)dw

P)[2*.32*.5* de

g)jeX(2-e*)

x

e

h) [ax

Tim

kg: Fx) = 539 4x? 81+ C

kq:F@)=1x3+}y2—Š y2~3x+€C

kq: F(x) =x 39,2 +27x+C

kq: F@)=2x2~5x+C

kq: F@)=2x3~Š x2 —In|x|+C 3” 2

kq: F@)=x2—-5x+l+C

x

12 kq: FQ@)=5% +4x+4In|x|+

kq: F(x) =x48In|x|-8 4

x

4 7 1

kq: FQ@)=2x# +2x2—5x+C€

kg: F(x)=-1 +2427 +4

2x“ X

3

kg: F(x) =2-42x-1+C

x

kq: F@)=x2—In|x|~x+€

2.3% 4%

kq: #7G)= na F(x) = ——+—+C n4

kq: F@)= 42 4¢

In5

kq: Ƒ(x)= 3eŸ —5cosx— In|x|+

kq: F(x)=2eŸ +tanx+C

6x kq: F@)=Tate

ok kq: + U0)= o0 F =) 46 kq: 2e* —x+C

e

kq: ——_——-+C

4 tn 2)2*

Bài 6 Tính nguyên hàm của các hàm số

a)jsin? a kq: F(x) =2 (x=sinx)+C

b)[(2x+sin? Sax

c) feos” sa kq: F(x) = 2(x+tsin x)+C d) (2x? +cos2 sae

HD: sin2x= 1T C02 4.2 _ 1+cos2x

e) [(1+ tan? x)dx kq: F(x)=tanx+C

4)[d+cot2 x)dx kq: F(x) =-cotx+C

e) ftan? xdx kq: F(x)=tanx-—x+C

7) [cot xát kq: (x)=—cotx—x+Œ

HD:1+ tan? x= 5 ;I+cot2 x= 2

cos* x sin“ x

g) (tan x cot x) dx kq: F(x) = tanx—cotx—4x+€Œ h)|(2tan x + cot x)? de kq: F(x) =4tanx—cotx—x+C

HD: (a+b)? =a +2ab+b2

1

nN) \—3 5 kq: F(x) =tanx—cotx+C sin* x.cos~x

Sin“ x.cos“x

HD: sin2 x+ cos2x =l;cos2x= cos2x sin? x

Bài 7: Tìm hàm số f(x) biết rằng

a) f (x) =2x4+1; f(I)=5

b)/'0)=2~x':/@)=3

kq: f(x)=x2 4x43

x3

kq: f@)=2x-=-+l

2

4)/()=44WX—x:/(4)=0 kq: c8

e) f(x) = 4x9 —3x2 425 f(-N=3 kq: f(x) = x4 -3 42x43

3 g)f (x) =(x+D(x-1) +1; £(0) =1 kq: f(x) = yt

h) f(x) = 3(x+.2)7; f(0) =8 kq: f(x) = (+2)

Bài 8: Tìm hàm số f(x) biết rằng

2/16)=ax+-:/CD=2./00=4

b)ƒ')= By,

II MỘT SÓ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

1.Phương pháp đôi biên sô

Tính I= | flu] (ax bang cach dat t = u(x)

O Dat t= u(x) > dt =u'(x)dx

Oo I= | flux) (ae = | f (Odt

BAI TAP

Tìm nguyên hàm của các ham SỐ sau:

1.|6x-D& 2 Saco 2 3 |j5-2xđv 4 i

5 JQ@x? +1)’ xdx 6 JOP +5)*x7dx 7 Ja? + Lexa 8 i

x +5

13 sin’ xcosxdx 14 sinx dx 15 Joot grax 16 j2e

7 [2S 18 há 19 |@gxdk 20 la

30 [xjx-láy - 31 [ de 32 fx vx? + 1dr

e+]

2 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I Juco (x)dx = u(x).v(x) - Jy@)2G)4 Hay

lo =uv—- frau ( voi du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)

^ ^ ¬ Z ^ Ậ

1 |x.sin xả 2 |xcos.xdx 3 JQ? +5)sin xdx 4 [(x” +2x+3)cosxdx

9 [xinxdy 10 fin? xd H1 rs 12 ede

13 f ~ dye 14, |xig?xde 15 |sin Vx ae 16 JinG? + Dae

cos x

17 Je*.cos.xdx 18 Jxe° 19 Jxnd+x?)4 20 J>?'xea

21 |xlgx& 22 Jaxind + xd 23 fra v 24 |x? cos2xdx