Bai 5 cực trị cơ bản

 Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.. Giá trị cực đại giá trị cực tiểu còn gọi là cực đại cực tiểu và được gọi chung là cực trị của hàm số... Tìm tập xác định c

1

CỰC TRỊ CƠ BẢN Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Định nghĩa: y f x( )xác định và liên tục trên khoảng ( ; )a b (có thể a là ; b là )

và điểm x0 ( ; ) a b

 Nếu tồn tại số h  0 sao cho f x    f x  0 với mọi x  ( x0 h x ; 0  h ) và x  x0

thì ta nói hàm số f x( ) đạt cực đại tại x0

 Nếu tồn tại số h  0 sao cho f x    f x  0 với mọi x  ( x0 h x ; 0 h ) và x  x0 thì

ta nói hàm số f x( ) đạt cực tiểu tại x0

2 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y f x( ) liên tục trên

K  x  h x  h và có đạo hàm trên K hoặc trên K \{ } x0 , với h  0

 Nếu f '   x  0 trên khoảng ( x0 h x ; 0) và f '( )x 0 trên ( ; x x0 0 h ) thì x0 là một

điểm cực đại của hàm số f x( )

 Nếu f    x  0 trên khoảng ( x0 h x ; 0) và f x( )0 trên ( ; x x0 0 h ) thì x0 là một

điểm cực tiểu của hàm số f x( )

Minh họa bằng bảng biến thiến

( )

( )

f x

CD

f

( )

f x

CT

f

*Chú ý

 Nếu hàm sốy f x( ) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại

(điểm cực tiểu) của hàm số; f x ( )0 được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của

hàm số, kí hiệu là fCD( fCT), còn điểm M x ( ; ( ))0 f x0 được gọi là điểm cực đại (điểm

cực tiểu) của đồ thị hàm số

 Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị

cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số

2

B KỸ NĂNG CƠ BẢN

1 Quy tắc 1

Bước 1 Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2 Tính f    x Tìm các điểm tại đó f    x bằng 0 hoặcf    x không xác định

Bước 3 Lập bảng biến thiên

Bước 4 Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

2 Quy tắc 2

Bước 1 Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2 Tính f    x Giải phương trình f    x và ký hiệuxi  i  1, 2, 3, là các

nghiệm của nó

Bước 3 Tính f    x và f    xi

Bước 4 Dựa vào dấu của f    xi suy ra tính chất cực trị của điểm xi

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Phát biểu nào sau đây là đúng?

A Nếu f '   x đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x0 và f x   liên tục tại x0 thì hàm

số y  f x   đạt cực đại tại điểm x0

B Hàm số y  f x   đạt cực trị tại x0 khi và chỉ khi x0 là nghiệm của đạo hàm

C Nếu f '   x0  0 và f ''   x0  0 thì x0 không phải là cực trị của hàm số y  f x   đã cho

D Nếu f '   x0  0 và f ''   x0  0 thì hàm số đạt cực đại tại

Câu 2 Cho khoảng  a b ;  chứa điểm x0, hàm số f x   có đạo hàm trong khoảng  a b ;  (có

thể từ điểm x0) Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A Nếu f x   không có đạo hàm tại x0 thì f x   không đạt cực trị tại x0

B Nếu f '   x  0 thì f x   đạt cực trị tại điểm x0

C Nếu f '   x  0 và f ''   x  0 thì f x   không đạt cực trị tại điểm x0

D Nếu f '   x  0 và f ''   x  0 thì f x   đạt cực trị tại điểm x0

Câu 3 Phát biểu nào dưới đây là sai?

A Nếu tồn tại số h sao cho f x    f x  0 với mọi x   x0 h x ; 0 h  và x  x0, ta nói rằng

hàm số f x   đạt cực đại tại điểm x0

3

B Giả sử y  f x   liên tục trên khoảng K   x0 h x ; 0 h  và có đạo hàm trên K hoặc trên

 0

\

K x , với h  0 Khi đó nếu f '   x  0 trên  x0 h x ; 0 và f '   x  0 trên khoảng

 x x0; 0 h  thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f x  

C x  a là hoành độ điểm cực tiểu khi và chỉ khi y a '    0; " y   a  0

D Nếu M x  0; f x  0  là điểm cực trị của đồ thị hàm số thì y0  f x  0 được gọi là giá trị cực

trị của hàm số

Câu 4 Cho hàm số f x   xác định và liên tục trên khoảng  a b ;  Tìm mệnh đề sai?

A Nếu f x   đồng biến trên khoảng  a b ;  thì hàm số không có cực trị trên khoảng  a b ; 

B Nếu f x   nghịch biến trên khoảng  a b ;  thì hàm số không có cực trị trên khoảng  a b ; 

C Nếu f x   đạt cực trị tại điểm x0  a b ;  thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm

 

 0; 0 

M x f x song song hoặc trùng với trục hoành

D Nếu f x   đạt cực đại tại x0  a b ;  thì f x   đồng biến trên  a x ; 0 và nghịch biến trên

 x b0; 

Câu 5 Cho khoảng  a b ;  chứa m Hàm số y  f x   xác định và liên tục trên khoảng  a b ;  Có

các phát biểu sau đây:

  1 m là điểm cực trị của hàm số khi f '   m  0

  2 f x    f m   ,   x  a b ;  thì x  m là điểm cực tiểu của hàm số

  3 f x    f m   ,   x  a b ;  \   m thì x  m là điểm cực đại của hàm số

  4 f x    M ,   x  a b ;  thì M được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng  a b ; 

Số phát biểu đúng là:

Câu 6 Một hàm số f x( ) có đạo hàm là f x  ( )  x x (  1) (2 x  2) (3 x  3) 5 Hỏi hàm số này có

bao nhiêu cực trị ?

Câu 7 Hàm số nào sau đây không có cực trị:

A y  x3 3 x B 2

x y x



x

   D y  x4 2 x2

4

Câu 8 Hàm số nào sau đây có cực đại?

A 2 2

2

x

y

x





2

x y x





2

x y x





2

x y x

 





Câu 9 Cho

2

3 2

y x

 



 Các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

A y có một cực trị B ytăng trên  C y không có cực trị D y có hai cực trị

Câu 10 Hàm số

2 2

1 1

y x

 



 có mấy điểm cực trị?

Câu 11 Đồ thị hàm số y  9  x2 có mấy điểm cực trị ?

Câu 12 Điểm cực đại của hàm số

2

x y

x



  là:

Câu 13 Tìm yCT của hàm số y  x  2 x2 1

2

CT

2

CT

Câu 14 Tìm yCD của hàm số y 3 x2( x  5)

A yCD  0 B yCD   3 34 C yCD 3 34 D yCD  43

Câu 15 Hàm số 44

1

x y x



 có tổng yCD yCT là:

A 0 B 2 274 C 427 D  2 274

Câu 16 Gọi m n, lần lượt là giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số

2

2

y x



 Khi đó giá trị của biểu thức 2

2

m  n bằng:

5

Câu 17 Tìm yCD của hàm số y  sin2x  cos , x x  (0; ) 

A yCD  1 B yCD  1 C 5

4

CD

4

CD

y  

Câu 18 Điểm cực trị của hàm số ysin 2xx là:

6

3

x   k k

x  k x   k k D CD  

3

x  k k

Câu 19 Giá trị cực đại của hàm số yx2 cosx trên khoảng  0;   là:

A 5 3

6



6



6



6



 .

Câu 20 Cho hàm số ysinx 3 cosx Khẳng định nào sau đây sai:

A 5

6

x  là một nghiệm của phương trình

B Trên khoảng  0;   hàm số có duy nhất một cực trị

C Hàm số đạt cực tiểu tại 5

6

x 

D yy''0, x 

Câu 21 Cho hàm số

2

3

y

x



 Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm

số có phương trình là:

A 5x2y130 B y3x13 C y6x13 D 2x4y1 0

Câu 22 Tìm a b, để hàm số

2 2

2 x ax 5

y



 đạt cực đại tại điểm 1

2

x  và yCD  6

1

a

b

  









1

a b

 





 



1

a b

  





 



4

a b

  









Câu 23 Hàm số

y

x m



 đạt cực đại tại x  2 khi giá trị thực m bằng:

6

Câu 24 Tìm m để hàm số

2

1

y

x m



 đạt cực đại tại điểm x  0

2

2

m  

Câu 25 Biết hàm số yasinx b cosxx, (0x2 ) đạt cực trị tại ,

3

x x Khi đó

a b  ?

A 3 1  B 3 1

Câu 26 Với giá trị nào của m thì hàm số ysin 3x m sinx đạt cực đại tại điểm

3

x ?

Câu 27 Hàm số y  sin 3 x m  cos x đạt cực đại tại

6

x   khi m bằng:

Câu 28 Biết hàm số y  a sin x b  cos x  2 x  0  x  2   đạt cực trị tại ;

6

x   x   Khi đó tổng a b  bằng:

3  C 2 3 6  D 3 4 

Câu 29 Để hàm số

1

y x



 có cực đại và cực tiểu thì các giá trị của m là:

Câu 30 Hàm số

1 1

y

x



 có cực đại và cực tiểu thì điều kiện của m là:

7

D ĐÁP ÁN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

A D C D B B B A C C B B B A A B C C C C

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

C A B B A B B C D D