BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM CƠ BẢN Tên hàm Nguyên hàm của các hàm sơ cấp cơ bản hàm mở rộng tương ứng Nguyên hàm của các Hàm hằng òkdx=kx C+ k là hằng số ……….
Trang 1BẢNG ĐẠO HÀM CƠ BẢN
C ' 0 ; x '1
' 1
x x
'
2
x ' 1
2 x
u ' u 1.u'
2
u ' u '
2 u
ex ' ex
a x ' a ln a x
eu ' e uu '
a u ' u a ln a ' u
ln x' 1
x
a '
1 log x
x ln a
' ' u
ln u
u
' ' a
u log u
u ln a
'
'
2
2
sin cos
cos sin
1
cos
1
sin
x
x
' ' ' '
2
2
sin cos cos sin
'
cos '
sin
u u u
u
u u
u
Trang 2§ NGUYÊN HÀM
1 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ NGUYÊN HÀM
1.1 Nguyên hàm của hàm tổng bằng tổng các nguyên hàm:
( f x( )+g x dx( )) = f x dx( ) + g x dx( )
1.2 Nguyên hàm của hàm hiệu bằng hiệu các nguyên hàm:
( f x( )- g x dx( )) = f x dx( ) - g x dx( )
1.3 Nguyên hàm của hàm bội bằng bội của nguyên hàm:
( ) ( )
k f x dx=k f x dx
1.4 Nguyên hàm không phụ thuộc kí hiệu biến số, tức là:
f x dx= f u du= f t dt=
2 BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM CƠ BẢN
Tên hàm Nguyên hàm của các hàm sơ cấp cơ bản hàm mở rộng tương ứng Nguyên hàm của các Hàm hằng òkdx=kx C+ ( k là hằng số) ………
Hàm lũy
thừa
( 1) ( 1)
x
a a
a
+
+
( 1) 1
( 1)
ax b
a
a a
a
+ +
+
ò
Hàm phân
thức
1
ln
dx x C
ax b =a + + +
ò
'( ) ln ( )
( )
u x
dx u x C
ò
x
a dx C
a
e dx=e +C
a
ò
Hàm lượng
giác
sinxdx=- cosx C+
a
ò
cosxdx=sinx C+
a
ò
2
1
cos x dx= + x dx= x C+
2
1
sin x dx= + x dx=- x C+
Trang 33 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
2 3
2
x+ dx= u du
1 3
6u C
(2 1)
3.1.2 Phương pháp đổi biến số nghịch:
(Dùng cho tích phân)
3.2 Phương pháp nguyên hàm từng phần: (Dùng cho hàm tích phức tạp)
Tính òf x dx( ) bằng cách đặt thêm hai ẩn u và v để chuyển về ò ( )u dv=( ) ( )u v - ò ( )v du
ïïï
òf x dx( ) =òudv
=( ) ( )u v - ò ( )v du
= ……
Giải:
2
1
2
u x du x dx dx
x x
dv xdx v xdx
ïïï íï
ln
x xdx
ò
udv
=ò (Theo cách đặt nên có)
( ) ( )u v ( )v du
x
æ ö÷ æ ö÷
= ççç ÷÷- ççç ÷÷
x
x æ ö÷ xdx
ç ÷
= ç ÷ç ÷çè ø- ò (Rút gọn)
x æ ö æç ÷ ç Cö÷
= ççç ÷÷- ççç + ÷÷
