Hàm với biến phân bị chặn và hàm liên tục tuyệt đối

Lý do chon đe tài Các hàm đơn đi¾u đóng vai trò quan trong trong giái tích co đien.Neu đe nói ve vi¾c nghiên cúu hàm đơn đi¾u thì có le phái dùng chính ngôn ngu cna Toán hoc là "vô cùng"

1 mPackage inputenc Error: Keyboard character used is undefinedin inputencoding

‘utf8’See the inputenc package documentation for explanation.You need to provide a definition with or before using this key.m3

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i

2 dưói sn hưóng dan cna TS Tran Văn Bang

Em xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói các thay cô giáo trongnhà trưòng và các thay cô giáo khoa Toán-Trưòng Đai Hoc Sư Pham

Hà N®i 2 đã giúp đõ em trong suot quá trình hoc t¾p

Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói TS Tran Văn Bang, ngưòi

đã luôn quan tâm, đ®ng viên và t¾n tình hưóng dan em trong quá trìnhthnc hi¾n lu¾n văn này

Em xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân, ban bè đãđ®ng viên và tao đieu ki¾n đe em hoàn thành lu¾n văn này

Hà N®i, ngày 09 tháng 05 năm 2011

Tác giá

Tran Th% Hoàn

LèI CAM ĐOAN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i

2 dưói sn hưóng dan cna TS Tran Văn Bang

M®t so ket quá đã đat đưoc trong lu¾n văn là mói và chưa tùngđưoc công bo trong bat kỳ công trình khoa hoc nào cna ai khác

Hà N®i, ngày 09 tháng 05 năm 2011

Tác giá

Tran Th% Hoàn

Mnc lnc

1.1 Bien phân theo tùng điem 7

1.2 Phép hop các hàm trong BP V (I) 27

1.3 Không gian BP V (I) 31

1.4 Chí đo Banach 40

2 Hàm liên tnc tuyêt đoi 48 2.1 Không gian các hàm liên tuc tuy¾t đoi 48

2.2 Quy tac đao hàm hàm hop và phép đoi bien 73

2.3 Hàm kì d% 89

Ket lu¾n 92

Tài li¾u tham kháo 93

4

Mé ĐAU

1 Lý do chon đe tài

Các hàm đơn đi¾u đóng vai trò quan trong trong giái tích co đien.Neu đe nói ve vi¾c nghiên cúu hàm đơn đi¾u thì có le phái dùng chính

ngôn ngu cna Toán hoc là "vô cùng" Như ta đã biet: Cho khoáng

I ⊂ R T¾p hop các hàm đơn đi¾u u : I → R không là không gian

vectơ, vì nói chung, hi¾u cna hai hàm đơn đi¾u thì không đơn đi¾u V¾ym®t câu hói đ¾t ra là: Li¾u có the tìm đưoc m®t không gian véc tơ nàochúa tat cá các hàm đơn đi¾u hay không? Câu trá lòi là có, ngưòi ta đã

sú dung ngôn ngu "Bien phân" đe xây dnng m®t không gian, có tên

là "Không gian tat cá các hàm có bien phân b% ch¾n" chính là

không gian nhó nhat chúa tat cá các hàm đơn đi¾u Tuy nhiên khônggian này còn khá r®ng đe nghiên cúu moi liên h¾ giua phép tính vi tíchphân và phép tính tích phân (theo nghĩa Lebesgue) Đe khac phuc han

che đó, ngưòi ta lai đi tìm m®t không gian véc tơ nhó hơn "Không gian

tat cá các hàm liên tnc tuy¾t đoi" Các hàm trong không gian này

thóa mãn Đ%nh lý cơ bán ve phép tính vi tích phân đoi vói tích phânLebesgue Mó r®ng roi lai thu hep, moi quan h¾ giua hai không gian trênnhư the nào? và chúng có nhung tính chat đ¾c bi¾t gì? Đieu đó, đã thúc

đay em đi đen vi¾c chon đe tài "Hàm vái bien phân b% ch¾n và hàm

liên tnc tuy¾t đoi"nham muc đích tìm hieu ve hai loai hàm trên và

tìm hieu câu trá lòi cho nhung câu hói vùa nêu trên

2 Mnc đích nghiên cNu

Bưóc đau làm quen vói công vi¾c nghiên cúu khoa hoc và tìm hieu

ve các tính chat đ¾c trưng cna hai không gian: Không gian các hàm có

bien phân b% ch¾n và không gian các hàm liên tuc tuy¾t đoi

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

Ngiên cúu m®t so đ%nh nghĩa, đ%nh lý, tính chat ve: Hàm vói bien phân b% ch¾n và hàm liên tuc tuy¾t đoi

Đưa ra m®t so bài t¾p áp dung các đ%nh lý và các tính chat trêncùng vói m®t so bài t¾p và ví du phán chúng

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Hàm vói bien phân b% ch¾n và hàm liên tuc tuy¾t đoi

5 Phương pháp nghiên cNu

Sú dung các phương pháp nghiên cúu cna giái tích loi và giái tíchbien phân hi¾n đai

6 Cau trúc khóa lu¾n

Ngoài phan mó đau, ket lu¾n, danh muc tài li¾u tham kháo, khóalu¾n cna em gom 2 chương:

Chương I: Hàm vói bien phân b% ch¾n

Chương II: Hàm liên tuc tuy¾t đoi.

Chương 1

Hàm vái bien phân b% ch¾n

Cho khoáng I ⊂ R T¾p hop các hàm đơn đi¾u u : I → R không

là không gian vectơ, vì nói chung, hi¾u cna hai hàm đơn đi¾u thì khôngđơn đi¾u

Trong chương này, chúng ta se mô tá không gian véc tơ nhó nhat các

Cho khoáng I ⊂ R M®t phân hoach cna I là m®t t¾p P := {x0, x1, , x n } ó đó, x0 < x1 < < x n

Đ%nh nghĩa 1.1 Cho khoáng I ⊂ R và hàm u : I → R.

Bien phân theo tùng điem (goi tat là bien phân) cúa u trên khoáng I là

Không gian tat cá các hàm u : I → R vói bien phân b% ch¾n đưoc

kí hi¾u là: BV P (I).

Nh¾n xét 1.2 Chú ý rang, neu m®t trong các điem đau mút, chang

là m®t phân hoach vói x n < b thì P r := {x0, x1, , x n , b} cũng là

|u(x i ) − u(x i−1 )| + |u(b) − u(x n )| ≤

ho¾c bien phân b% ch¾n đ%a phương neu Var[a,b] u < ∞, ∀[a, b] ⊂ I.

Không gian tat cá các hàm u : I → R có bien phân b% ch¾n đ%a

phương đưoc kí hi¾u là BP V loc (I).

Neu Ω ⊂ R là m®t t¾p mó thì ta có the viet Ω như hop đem đưoc các khoáng mó đôi m®t ròi nhau:

Không gian tat cá các hàm u : Ω → R có bien phân b% ch¾n

cũng đưoc kí hi¾u là: BP V (Ω).

n

Neu u : I → R d thì ta đ%nh nghĩa bien phân cna u giong như Đ%nh

nghĩa 1.1 nhưng giá tr% tuy¾t đoi bây giò đưoc thay the bói chuan trong

Rd

Không gian tat cá các hàm u : I → R d có bien phân b% ch¾n(bien phân b% ch¾n đ%a phương) đưoc kí hi¾u là BP V (I; R d)(tương úng,

BP V loc (I; R d))

Sau đây là m®t so bài t¾p:

Bài t¾p 1.3 (i)Neu u : [a, b] → R khá vi khap nơi và đao hàm u r cúa nó b% ch¾n thì u ∈ BP V ([a, b]).

Đoi chieu vói đ%nh lý Katznelson-Stromberg dưói đây

Bài t¾p 1.4 Cho u : [0, 1] → R đưoc đ%nh nghĩa bói:

Bài t¾p 1.5 Cho u, v ∈ BP V ([a, b]).Chúng minh rang:

Chúng ta chuyen sang m®t vài tính chat chung cna hàm vói bienphân b% ch¾n.

M¾nh đe 1.6 Cho khoáng I ⊂ R và hàm u : I → R Khi đó ta có

VarI∩(−∞,c]u + VarI∩[c,∞) u = Varu.

(iii)Neu I không chúa đau mút phái cúa nó thì

lim

Đong thòi,neu I không chúa đau mút trái cúa nó thì

lim

Chúng minh (i)Co đ%nh c ∈ I Vói moi x ƒ= c, xét phân hoach P

và Q := {y0, y1, , y m } là phân hoach cna I1 và I2 Theo Nh¾n xét

1.2 ta có the giá sú rang x n = y0 = c Khi đó, P ∪ Q là m®t phân

hoach cna I và vì v¾y

|u(y i ) − u(y i−1 )| ≤ Varu.

Đau tiên, lay c¾n trên đúng trên tat cá các phân hoach P cna I1 sau đó lay trên tat cá các phân hoach Q cna I2 ta có ket quá:

VarI1 u + VarI2 u ≤ Varu.

+

Đáo lai, giá sú P := {x0, x1, , x n } là m®t phân hoach cna I Lay

m ∈ {1, 2, , n} sao cho x m−1 ≤ c ≤ x m Khi đó, P1 := {x0, x1, ,

|u(x i ) − u(x i−1 )| + |u(x m ) ± u(c) −

|u(x i ) − u(x i−1 )|

Lay c¾n trên đúng trên tat cá các phân hoach P cna I, ta có

Varu ≤ VarI1 u + VarI2 u.

(iii) Theo phan (ii), ta chí can xét trưòng hop Varu > 0 Giá sú I

không chúa đau mút phái (các trưòng hop khác cna nó tương tn) và cođ%nh 0 < t < Varu Theo Đ%nh nghĩa cna Varu ta có the tìm m®t

phân hoach P := {x0, x1, , x n } cna I sao cho

n

u(x i−1 )|.

i= 1

Vói moi x ∈ (x n , supI), ta có P là m®t phân hoach cna I ∩ (−∞, x|,

và vì v¾y theo phan (ii),

n

do hàm x ∈ I ›→ Var I∩(−∞,x]u là hàm tăng (theo phan (ii)) Bây giò cho

t ƒ Varu, ta có đieu phái chúng minh.

Nh¾n xét 1.7 Lay I = [a, b], vói a < b, theo M¾nh đe 1.6 (ii) vói moi

c ∈ [a, b], ta có

Var[a,c]u + Var[c,b]u = Var[a,b] u.

Bài t¾p 1.8 Cho khoáng I ⊂ R và u ∈ BP V (I) Chúng minh rang, neu I chúa điem mút phái b := supI và u liên tnc trái tai b thì

lim

x→b − VarI∩(−∞,x] u = Varu.

Ví dn 1.9 Hàm u(x) := sinx, x ∈ R là hàm b% ch¾n và thu®c

BP V loc(R)

nhưng không thu®c BP V (R) (vì sao?)

Tiep theo chúng ta nghiên cúu moi quan h¾ giua hàm đơn đi¾u vàhàm có bien phân b% ch¾n

M¾nh đe 1.10 Cho khoáng I ⊂ R và hàm u : I → R là hàm đơn

đi¾u Khi đó, vói moi khoáng J ⊂ I,

VarJu = sup u + inf u.

%

ch¾n.

moi phân hoach P := {x0, x1, , x n } cna J ta có,

(u(x i ) − u(x i−1))

= u(x n ) − u(x0) ≤ sup u − inf u.

Lay c¾n trên đúng trên tat cá các phân hoach cna J cho ket quá,

VarJu ≤ sup u − inf u.

Đe chúng minh bat đang thúc ngưoc lai (V ar J u ≥ sup J u − inf J u),

ta

chí can xét trưòng hop J là t¾p không suy bien Xét phân hoach

P := {a, b} ⊂ J , vói inf J ≤ a < b ≤ supJ Khi đó,

supJ

Bi¾n lu¾n tương tn cho điem đau mút trái, ta có

sup u − inf u ≤ VarJu.

∈/ J thì

Ta có đieu phái chúng minh

trong phan tiep theo

Đ%nh lí 1.11 (Bien phân bat đ%nh)

Khi đó, vói ∀x, y ∈ I, vói x < y, ta có

Nói riêng, ta có V và V ± u là các hàm tăng.

 Var[x ,y] u − Var [x ,x] u = V(y) − V(x) neu x0 ≤ x < y,

 Var [x,x0]u + Var[x0,y]u =−V(x) + V(y) neu x ≤

x0 ≤ y.

(1.4)

Vì |u(y) − u(x)| ≤ Var [x,y]u nên ta có bat đang thúc (1.3).

Tù (1.3) ta suy ra V (x) ≤ V (y) và

±(u(y) − u(x)) ≤ |u(y) − u(x)| ≤ V (y) − V (x).(1.5)

Do đó, hàm V và V ± u là các hàm tăng.

Nh¾n xét 1.12 Đe nhan manh sn phn thu®c vào x0 ho¾c vào u, khi can thiet chúng ta se viet: V x0 ho¾c V x0,u

Nh¾n xét 1.13 Chú ý rang khi inf ∈ I, thì bang cách chon x0 ∈ inf I

ta có hàm đơn gián hơn:

Tuy nhiên, neu inf I

∈/

trù khi u ∈ BP V (I).

Bài t¾p 1.14 Cho khoáng I ⊂ R và u ∈ BP V loc (I), V là bien phân bat

đ%nh cúa u.

(i) Chúng minh rang, neu u liên tnc phái (tương úng, liên tnc trái) tai

x ∈ I thì cũng liên tnc phái (trái) tai điem đó.

Tù Bài t¾p 1.14 cùng vói (1.3), ta thay u liên tuc tai x neu và chí neu V liên tuc tai x.

Tuy nhiên, bài t¾p sau đây cho thay đieu này không đúng vói tính khávi

Bài t¾p 1.15 Cho u : [0, 1] → R đưoc xác đ%nh bói:

ó đó, a > 0 Chúng minh rang:

(ii) Neu 1 < a < 2 thì u r (0) = 0, trong khi V r (0) = ∞.

Bài t¾p 1.16 Cho hàm u : [a, b] → R, các so thnc mó r®ng:

cúa u trên [a, b] Chúng minh rang, neu u ∈ BP V ([a, b]) thì

Varu = PVaru + NVaru

và

u(b) − u(a) = P Varu − NVaru.

H¾ quá sau đây cna Đ%nh lý 1.11 tương tn H¾ quá 0.40

H¾ quá 1.17 Cho khoáng I ⊂ R và u : I → R là m®t hàm đo đưoc

Khi đó, vói h > 0,ta có

1 ¸

h I h

|u(x + h) − u(x)| dx ≤ Varu

đúng Giá sú rang Varu < ∞ Co đ%nh [a, b] ⊂ I vói 0 < h ≤ b −

a Theo (1.3) và H¾ quá 0.40 áp dung cho hàm V , ta có

Xây dnng m®t dãy tăng cna các đoan [a n , b n ] sao cho a n \ inf I,

b n ƒ supI Neu diamI h > 0 thì vói moi n đn lón, ta có 0 < h < b n

và vì v¾y theo bat đang thúc trên, ta có

1 ¸ b n −h

1 ¸

h I h

|u(x + h) − u(x)| dx ≤ Varu.

Rõ ràng bat đang thúc van đúng neu diamI h = 0, vì lúc đó tích phân bên trái bang 0 Đieu phái chúng minh

M¾nh đe đáo cna H¾ quá 1.17 se đưoc chúng minh trong H¾ quá 1.43 M®t h¾ quá khác cna Đ%nh lý 1.11 là ket quá đưoc đe c¾p ó

đau chương, đó là đ¾c trưng cna không gian véc tơ nhó nhat các hàm

u : I → R chúa tat cá các hàm đơn đi¾u.

Đ%nh lí 1.18 Cho khoáng I ⊂ R Không gian véc tơ nhó nhat các hàm u : I → R chúa tat cá các hàm đơn đi¾u (tương úng, các hàm đơn đi¾u b% ch¾n) là không gian BP V loc (I) (tương úng,BP V (I)).

Do đó, BP V loc (I) (tương úng, BP V (I)) là m®t không gian véc

tơ(kgvt) Theo M¾nh đe 1.10 không gian BP V loc (I) (tương úng,BP

V (I)) chúa tat cá các hàm đơn đi¾u (tương úng, chúa tat cá các hàm

đơn đi¾u b% ch¾n) Đe chúng minh rang nó là nhó nhat, ta chí canchúng minh moi hàm

thu®c BP V loc (I) (tương úng,BP V (I)) đeu có the viet thành hi¾u

cna hai hàm tăng (tương úng, hai hàm tăng b% ch¾n) Th¾t v¾y, ta có

Bài t¾p 1.19 Cho I = [a, b] Chúng minh rang:

(i) Neu v : I → R có bien phân b% ch¾n và có tính chat giá tr% trung gian thì v liên tnc.

liên tnc.

Bài t¾p 1.20 Cho khoáng I ⊂ R và hàm u ∈ BP V loc (I) liên tnc

và 1 (V − u)

Bài t¾p 1.21 Cho 2 khoáng I, J ⊂ R, hàm f ∈ BP V loc (I) và u : I →

(v) Nhung kien thúc gì liên quan đen Bài t¾p này.

Ket quá theo sau là h¾ quá cna Đ%nh lý 1.18.

H¾ quá 1.23 Cho khoáng I ⊂ R và hàm u ∈ BP V loc (I) Khi đó,

ton tai trong R, u có không quá đem đưoc các điem gián đoan và khá

vi hau khap nơi(h.k.n) trong I Hơn nua, vói moi [a, b] ⊂ I,

là hi¾u cna 2 hàm tăng nên tù Đ%nh lý 1.2 và Đ%nh lý Lebesgue, ta

có u+(x) và u − (x) ton tai trong R, vói moi x ∈ I Do đó u có

không quá đem đưoc các điem gián đoan và khá vi h.k.n trong I Đe

chúng minh (1.8), lay [a, b] ⊂ I và xét hàm tăng V đưoc đ%nh nghĩa

trong (1.2) Lay x ∈ (a, b) sao cho cá 2 hàm u và V đeu khá vi tai x.

Khi đó, tù (1.3) suy ra vói y > x,

tăng và b% ch¾n Do đó, u b% ch¾n và các giói han (1.9) ton tai trong

R Đe chúng minh (1.10), ta tien hành như phan cuoi cna chúng minh M¾nh đe 1.10, tù (1.12) suy ra

¸

Nh¾n xét 1.24 Chú ý trong phan hai cúa chúng minh cũng có the sú

bang quy nap như sau:

u(x0).

Neu u(x0) > u(x1) thì vói moi x ∈ [x0, x1], đ¾t v(x) := u(x0) −

(ii)V (x) = V ar [a,x] v, vói moi a ≤ x ≤ b và

Đ%nh lý 1.18 chúng tó rang moi hàm trong BP V loc (I) có the

viet như hi¾u cna 2 hàm tăng

Đ%nh lí 1.26 (Katznelson-Stromberg)

Ton tai 1 hàm u : R → R trong BP V loc (R) khá vi khap nơi, không

Riemann trên bat kỳ khoáng nào.

đong thòi neu s, t > 1

1

b − a

¸ b φ(x)dx < 4 min{φ(a), φ(b)}.

1 + b

−

Trưòng hop b ≤ 0, do φ là hàm chan nên:

Neu a < 0 < b thì theo Bưóc 1 ta có ket quá,

h®i tu đeu trên các t¾p con b% ch¾n cna R và khá vi tai a vói F r (a) =

s Đe chí ra đieu này, lay b ∈ R sao cho |a| < b Theo bưóc 3 và

Do đó chuoi hàm (1.18) h®i tu đeu trên [−b, b].

Đe chúng minh rang F r (a) = s, ta co đ%nh ε > 0 và cho l ∈ N đn lón đe

m®t hàm ψ như ó Bưóc 3 sao cho ∀j = 1, , n,

ψ(α j ) > y j , ψ < y j + ε trong I j , ψ < ε bên ngoài I1 ∪ I2 ∪ ∪ I n

(1.21)Chon c j := y j +

ε (xem(1.15)) Lay γ j đn lón đe c j φ(γ j (x − α j )) < ε

cna I j ).Vì các khoáng I j ròi nhau và c j φ(γ j (x − α j )) đat max bang

c j

tai α j nên tính chat (1.21) suy tù (1.15)

Bưóc 6: Cho {α j } và {β j } là các dãy so thnc phân bi¾t ròi nhau Ta

chúng minh rang ton tai hàm khá vi F : R → R sao cho

F r (α j ) = 1, F r (β j ) < 1, ∀j ∈ N, 0 < F r ≤ 1 trong R

(1.22) Đe chúng minh (1.22), ta xây dnng m®t dãy hàm {ψ n } ó Bưóc 3

vói các tính chat sau:

dung Bưóc 5 vói ε = y1

4

j

2n2 n

Do đó ta đã xây dnng đưoc dãy {ψ n } Bây giò áp dung Bưóc 4 cho hàm

F đưoc đ%nh nghĩa trong (1.18), ta có ∀j ∈ N ,

R Áp dung Bưóc 6, ta có 2 hàm khá vi F và G sao cho 0 < F r , G r

≤ 1

trong R

F r (α j ) = G r (β j ) = 1, F r (β j ), G r (α j ) < 1, ∀j ∈ N.

Đ¾t u := F − G Khi đó, −1 ≤ u r ≤ 1 trong R, u r (α j ) > 0, u r (β j )

< 0,

∀j ∈ N.

Vì {α j } và {β j } trù m¾t nên các bat đang thúc trên suy ra u không

the đơn đi¾u trên bat kỳ khoáng nào Tù Bài t¾p 1.3i suy ra u có bien

phân b% ch¾n trên nhung t¾p b% ch¾n

Vi¾c chúng minh hàm u r không khá tích Riemann trên bat kỳ khoángđóng [a, b] se phái sú dung Đ%nh lý cơ bán cna phép tính vi tích

phân vói hàm liên tuc tuy¾t đoi và vì v¾y nó đưoc chúng minh sau Đ

%nh lý 2.30.

Nh¾n xét 1.27 Chú ý rang hàm u xây dnng trên đây là liên tnc chitz.

Lips-Bài t¾p 1.28 Cho I n := (a n , b n ), n ∈ N là dãy các khoáng đôi m®t

ròi nhau trong [0, 1] và chon a n < α n < β n < b n đe α n − a n = b n

.

≤

|

x − x0|.

(iv)Chúng minh rang ta có the chon các khoáng I n sao cho [0, 1]\ [ I n

n

.

n

là đóng, có đ® đo (L) dương và không đâu trù m¾t.

liên tnc tai bat kỳ điem tn nào cúa

[0, 1]\ [ I n

n

Bài t¾p 1.29 Cho p ≥ 1, hàm u : [a, b] → R Ta đ%nh nghĩa p −

bien phân cúa u như sau:

i=1

, x n }

cúa I, n ∈ N.

(a, b), ton tai các giói han trong R,

Varp(u + v) ≤ Varpu +

Varpv.