Hàm trụ và ứng dụng

Nội-BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2PHÙNG THỊ NHÀN HÀM TRỤ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Gi i ả tích Mã s :ố 60 46 01 LUẬN VĂN TH CẠ SĨ TOÁN H CỌ Người hướng dẫn k

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHÙNG THỊ NHÀN

HÀM TRỤ VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN TH CẠ SĨ TOÁN GIẢI TÍCH

Hà 2009

Nội-BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHÙNG THỊ NHÀN

HÀM TRỤ VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Gi i ả

tích Mã s :ố 60 46 01

LUẬN VĂN TH CẠ SĨ TOÁN H CỌ

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.NGƯT Nguyễn

Huy Lợi

Hà Nội,2009

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng bi tế nơ chân thành và sâu s c t iắ ớ PGS TS NG TƯNguyễn Huy L iợ và các th yầ cô giáo đã hướng d nẫ t nậ tình, đ yầ hi uệ

qu ,ả thường xuyên dành cho em sự chỉ b o,ả giúp đỡ và động viên cả về

v tậ ch tấ cũng như tinh th nầ giúp em hoàn thành lu nậ văn đúng th iờ h n.ạ

Em xin bày tỏ lòng bi tế nơ sâu s cắ đến ban lãnh đ o,ạ các th yầ cô, cán

bộ nhân viên c aủ Trườ g Đ in ạ học Sư ph mạ Hà N iộ 2 đã t oạ đi uề ki nệthu nậ l iợ cho em trong th iờ gian học t pậ t iạ trường

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng bi tế nơ chân thành t iớ anh em, b nạ bè

g nầ xa và ngườ thân trong gia đình đã động viên, t oi ạ m iọ đi uề ki nệ để

lu nậ văn s mớ đượ hoàn thành.c

LỜI CAM ĐOAN

Tác giả xin cam đoan lu nậ văn là công trình nghiên c u c aứ ủ riêng tác giả đượ th cc ự hi nệ dướ sự hi ướ d nng ẫ c aủ PGS.TS NG TƯ Nguy nễ Huy

Mục lục

L

ờ i cảm ơ n 2

L ờ i cam đo an 3

Nhữn g kí hiệu 4

Mở đầu 7

Chương 1 HÀM TRỤ 9 1.1 Hàm ch nhỉ hình 9

1.2 Hàm Gamar Euler 12

1.3 Hàm trụ 16

1.3.1 Hàm trụ lo iạ 1 18

1.3.2 Các hàm trụ khác 29

1.3.3 Bi uể di nễ ti mệ c nậ đ iố với các hàm trụ 39

1.3.4 Đồ thị c aủ hàm trụ và sự phân bố các không đi mể 47 Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA HÀM TRỤ 53 2.1 ngỨ d ngụ đ ể gi iả q uy ế t các vấ n đ ề lý thuy ế t 53

2.1.1 Định lý cộng đối với các hàm Bessel 53

2.1.2 Những phương trình vi phân giải được nhờ hàm trụ 53 2.1.3 Các tích phân có chứa hàm Bessel 54

2.1.4 Tích phân Sonhin 56

2.1.5 Tích phân của thuyết sóng điện 58

2.1.6 Dao động của dây xích 60

2.1.7 Dao động của màng tròn 63

2.1.8 Nguồn nhiệt hình trụ 64

2.1.9 Sự truyền nhiệt trong hình trụ tròn 67

2.2 M tộ số ứ ng d ngụ khác 68

Kết luận 72TÀI LIỆU THAM KHẢO 74

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Sự ra đ iờ c aủ số phức và quá trình nghiên cứu phát tri nể hoàn thi nệ

lí thuyết hàm số bi nế số phức như m tộ d uấ mốc quan tr ngọ trong quátrình phát tri nể toán h cọ Những kết quả đ tạ đượ trong lý thuyết đó đãc

gi iả quyết r tấ nhiều những vấn đề quan tr ngọ trong nhiều lĩnh vực khoa

h cọ , đ iờ sống khác nhau

Khi nghiên c uứ gi iả tích ph cứ , m tộ trong nh ngữ v nấ đề đượ nhi uc ềnhà toán h cọ quan tâm nghiên c uứ đó là lí thuyết hàm tr ụ Nhi uề tínhchất quan tr ngọ c aủ hàm trụ đã đượ tìm ra và bi tc ế đ nế v iớ nhi uề ngứ

d ngụ có tính th cự ti nễ cao trong vật lý, kỹ thuật, xây d ngự

Từ vi cệ nghiên c uứ hàm trụ trong không gian hai chi uề , nhi uề nhàtoán h cọ đã không ng ngừ phát tri n,ể mở r ngộ cho không gian ba chi uề ,nhi uề chi uề và đ tạ đượ nhi uc ề kết quả to l n.ớ Với nh ngữ kết quả đã đ tạ

đượ trong không gian các hàm bi nc ế số th cự như vi cệ tính độ dài đườngcong, di nệ tích m t,ặ thể tích kh i.ố Vi cệ nghiên c uứ trên hàm trụ đã

gi iả quyết m tộ cách tri tệ để nh ngữ v nấ đề này trên nh ngữ l pớ hàm bi nế

số ph cứ đ cặ bi tệ đượ bi uc ể di nễ thông qua hàm tr ụ

Với nhiều ứng d ngụ đ cặ bi tệ trong khoa học và đ iờ sống mà vi cệnghiên cứu hàm trụ đem l i,ạ với mong muốn tìm hi uể m tộ cách sâu s c,ắ có

hệ th ngố về hàm trụ cùng với những ứng d ngụ c aủ nó tác giả m nhạ d nạchọn đề tài

“Hàm trụ và ứng dụng”

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hi uể hàm tr ,ụ các tính ch tấ c aủ hàm trụ và ứng d ngụ c aủ hàm tr ụ

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Lu nậ văn tìm hi uể hàm tr ,ụ hệ th ngố hóa theo hướng ứng d ngụ c aủ nó

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Lu nậ văn đượ chia thành hai chương: c

Chương 1: Hàm tr ụ

Chương 2: ngỨ d ngụ c aủ hàm tr ụ

5 Phương pháp nghiên cứu

Đ cọ , d ch,ị tra cứu tài li uệ tham kh o,ả nghiên cứu khoa học m tộ cách logic và hệ th ng.ố

6 Giả thuyết khoa học

Nghiên cứu sâu m tộ khái ni mệ c aủ toán h cọ , nâng nó lên thành đềtài nghiên cứu và đề xu tấ các ứng d ngụ c aủ nó trong vi cệ gi iả quyết m tộ

số vấn đề c aủ lý thuyết, gi iả toán và thực ti n.ễ

Lu nậ văn là tài li uệ tham kh oả hữu ích cho sinh viên, học viên cao học và ngườ yêu thích toán h ci ọ

Chương 1 HÀM TRỤ

1.1 Hàm chỉnh hình

Giả sử hàm f = u + iv xác đ nhị và h uữ h nạ trong lân c nậ nào đó

c aủ đi mể z0 = x0 + iy0 ∈ C

Định nghĩa 1.1 Ta nói r ngằ f khả vi t iạ đi mể z0 theo nghĩa gi iả tích

th cự (hay R2− khả vi), n uế các hàm u và v khả vi như nh ngữ hàm c aủ

(x, y) t iạ đi m ể (x0, y0) bi uể th cứ

đượ g ic ọ là vi phân c aủ f t iạ đi mể z0

Định nghĩa 1.2 Hàm f đượ g ic ọ là ch nhỉ hình t iạ đi mể z0 n uế nó

Cu iố cùng, hàm f ch nhỉ hình t iạ đi mể vô cùng đượ hi uc ể là tính

ch nhỉ hình c aủ hàm ϕ(z) = ϕ( 1 ) t iạ z = 0 Đ nhị nghĩa này cho phép

ta xét hàm ch nhỉ hình trên các t pậ h pợ c aủ m tặ ph ngẳ đóng C

Định lý 1.1 Tổng và tích của các hàm chỉnh hình trong miền D cũng

chỉnh hình trong miền ấy.

Do đó t pậ h pợ t tấ cả nh ngữ hàm ch nhỉ hình trong mi nề D l pậ nên

m tộ vành và vành này ta sẽ chỉ b ngằ kí hi uệ H(D) H(D) là m tộkhông gian vector trên C

−

z

Định lý 1.4 (Định lý Cauchy) Nếu hàm f ∈ H(D) thì tích phân của

¸

fdz = F (a) − F (a) = 0.

γ1

Q

Định lý 1.5 Hàm f bất kỳ, chỉnh hình trong miền đơn liên D, có

nguyên hàm trong miền ấy.

Định lý 1.6 (Định lý về giá trị trung bình) Giá trị của hàm f ∈ H(D)

tại mỗi điểm hữu hạn z ∈ D bằng trung bình cộng của các giá trị của nó

trên đường tròn đủ bé bất kỳ với tâm tại z

Chứng minh Ta lấy hình tròn U ρ = {zt : |zt − z| < ρ} sao cho U ρ « D

Theo công th cứ tích phân Cauchy, ta thu được

Định lý 1.9 Nếu trong hình tròn {|z − z0| < R} hàm f được biểu diễn

như là tổng chuỗi luỹ thừa

Chứng minh Thế z = z0 vào (1.4), ta tìm đượ f (zc 0) = c0 Vi phân

với các chỉ số âm (các công thức (1.5) và (1.6) còn khác nhau về d uấ c aủ k).

Khai tri nể (1.6) là khai tri nể Mittag-Leffer c aủ hàm ψ (1 + z), từ đó

suy ra nó là hàm phân hình có các c cự đi mể c pấ m tộ t iạ các đi mể nguyênâm

Hàm Euler Γ (1 + z) (“Hàm Gamar”) đượ xác đ nhc ị qua đ oạ hàm lôgarit c aủ nó

ở đây z ƒ= −k, (k = 1, 2, ), và tích phân đượ l yc ấ theo m tộ đường

tích vô h nạ hội tụ, vì nó là một ph nầ trong khai tri nể Weierstrass của

sinπz , ứng với các chỉ số k âm (ở đó thay k b ng ằ −k và z = πz) Từ (1.8) suy

khi thêm vào trong d uấ móc số h ngạ 1 → 0 (nó không làm thay đ iổ gi iớ

h n)ạ và thay n + 1 b ng ằ n, ta nh nậ đượ bi uc ể thức cu iố cùng đ iố với C

C = lim

hàm

n+ 1

2 n

Số C là gi iớ h nạ c aủ hi uệ gi aữ t ngổ riêng thứ n c aủ chuỗi đi uề hoà

(phân kỳ) và ln n, nó đượ g ic ọ là h ngằ số Euler (giá trị g nầ đúng c aủ nó

vì t tấ cả các số h ngạ đ uề đã đượ gi nc ả ướ Lấy tích phân không đ nhc ị

−n (−n + 1)

(−1)

Γ (1) ,

Để kết thúc ta đưa ra b ngả các giá trị Γ (x) trong kho ng ả (1.2) c aủ

tr cụ thực với bướ nh yc ả c aủ x là 0,1 cùng với đồ thị c a ủ các hàm Γ (x)

Hình 1.1

Hình nhả chung c aủ đồ thị hàm Γ (x) đã rõ ràng do các tính ch tấ c aủ

nó đã nói ở trên hình 1.1 Ta chú ý r ngằ sự ti pế c nậ c aủ các cực ti uể c aủ

Γ (x) với nửa tr c ụ âm khi x → −∞ có liên quan đến sự gi mả nhanh các

th ngặ dư c aủ nó, dựa vào (1.12) t iạ lân c nậ đi mể z = −π, ta có

Nh ngữ hàm trụ hay còn đượ g ic ọ là hàm Bessel đóng m tộ vai trò c cự

kỳ quan tr ng trong ọ ph nầ khai tri n,ể là phươ pháp chính sử d ngng ụtrong các bài toán có liên quan t iớ hình tròn ho cặ hình tr ụ Đi uề này

đượ gi ic ả thích r ng ằ phươ pháp gi ing ả các phươ trình vật lý toán cóng

ch aứ đ ngự các toán tử Laplace trong các toạ độ hình trụ , b ngằ phươngpháp cổ đi nể để phân chia các bi nế số d nẫ t iớ phươ trìnhng

phương trình này đượ dùng làm phương trình phụ trợ để xác đ nhc ị hàm tr ụ

Hàm trụ J0(x) đượ nghiên cứu đ uc ầ tiên b iở Danhil Bernull trongcông trình nghiên cứu tính giao động c aủ các chuỗi liên kết ( Peterburg, năm1732).D Bernull nghiên cứu từng ph nầ c aủ phương trình (1.14) với λ =

0, sau khi gi iả phương trình tìm ra bi uể thức J0(x) dưới d ngạ chuỗi luỹ

th a,ừ h nơ nữa ông nh nậ ra r ngằ bi uể thức J0(x) có t pậ h pợ vô h nạ nhữngnghi mệ số thực

Trong nghiên cứu ti pế theo ( Peterburg, năm 1738) đượ ti nc ế hành

b iở Leonard Euler ngườ ta b ti ắ g pặ những hàm tr ụ Trong nghiên cứu nàyEuler sau khi nghiên cứu bài toán về sự giao động c aủ các màng tròn, đưa

ra bi uể thức (1.14) với giá trị λ = n nguyên Sau khi gi iả phương trìnhnày, ông ta đã tìm ra bi uể thức J λ (x) cho n nguyên dưới d ng ạ lũy thừa x,

và trong các nghiên cứu sau này ông đã phổ bi nế bi uể thức này trong

trườ h png ợ những giá trị độc l pậ c aủ chỉ số λ, b ng ằ 0 với nửa hàm J λ (x)

đượ thể hi nc ệ thông qua những yếu tố cơ b n,ả chúng ta nh nậ ra m tộcách hi nể nhiên với những giá trị λ thực thì hàm J λ (x) có t pậ h pợ vô sốcác không đi mể và đưa ra các khái ni mệ tích phân đ iố với J λ (x).

Cu iố cùng, v iớ λ = 0 và λ = 1 trong nghiên c uứ c aủ mình năm

1769, Euler đã đ aư ra bi uể th cứ dướ d ngi ạ luỹ th aừ cách gi iả phươngtrình b cậ hai (1.14), phụ thu cộ m tộ cách tuy nế tính v iớ J λ (x).

Vì thế Euler nh nậ đượ các kết quả cơ b nc ả có liên quan t iớ hàm trụ

và những phụ l cụ c aủ môn v tậ lý toán h cọ

Nhà thiên văn học ngườ Đức P Bessel mà tên tu ii ổ c aủ ông luôn g nắ

li nề với hàm trụ trong m iố tươ quan nghiên cứu chuy nng ể động c aủ trái

đ tấ xung quanh m tặ tr i,ờ trong công trình nghiên cứu năm 1824 đã đưa racác phương trình truy toán đ iố với hàm ,J λ (x) những phương trình vẫn

mang những đ cặ tr ngư cơ b nả m cặ cho tính quan tr ngọ c aủ chúng, ông đãthu đượ khái ni mc ệ tích phân m iớ J n (x) cho số nguyên n, ông cũng đã

chứng minh t pậ h pợ vô số các không đi mể J0(x) và l pậ ra những b nả

đ uầ tiên cho J0(x), J1(x) và J2(x).

N uế như đ tặ X(p) là phương trình c aủ hàm n,ẩ thì theo đ nhị lý về gốc

không tham gia vào bi uể th cứ tử số (1.16), ho cặ t = 0 đượ coi là đi mc ể

đ cặ bi tệ c aủ bi uể th cứ (1.15)), vì thế nh ngữ phươ trình toán tử tng ươngng

Quay trở l iạ gi iả từng ph nầ Y = e −λq c aủ bi uể thức này với các bi nế

và đường tích phân sẽ là đuờng cong C c aủ m tặ ph ngẳ ω = ξ + iη là

m uẫ đường th ngẳ L theo hình thức c aủ (1.19) Vì thế trên tr cụ tâm σ d chịchuy nể d nầ t iớ thể hi nệ c aủ (1.19) trong t pậ h pợ c aủ các tia ξ = 0, |η|

> 1 và m tộ nửa vùng lân c nậ |ω| = 1, ξ > 0, còn số α càng nhỏ, thì C

càng có d ngạ thể hi nệ trên hình 1.2 là đường đứt quãng Tích phân (1.18)theo đó ti nế theo đường này t iớ tích phân (N Ya Sonhin năm 1870)

t .ω−1 .

vòng cung C có thể thay thế b iở đườ chu tuy nng ế C∗ đã đượ chỉ trongchình 1.2, đu cợ vẽ từ các đi mể −∞ theo gi iớ h nạ dướ c ai ủ bán tr cụ âm ξ ,

chạy vòng quanh vùng lân c nậ từ đ uầ toạ độ và quay về −∞ theo gi iớ

Ngoài ra khi Re z > 0 tích phân Sonhin h iộ tụ không chỉ đ iố với những

số dương mà còn đ iố với các giá trị t ngổ h pợ b tấ kỳ c aủ tham số λ, ho cặtrên ph nầ th ngẳ đứng c aủ chu tuyến C∗ số nhân đ cặ tr ngư ti nế t iớ 0 càngnhanh

.ω λ+1 càng tăng Cho nên tích phân Sonhin xác định ở nửa mặt phẳng phải

ω λ+1

2

những hàm Bessel bậc tổng hợp tự do.

2) Tính chất giải tích Nhờ nh ngữ giá trị nguyên c aủ tham số

λ = n, n = 0, ±1, ±2, hàm thu cộ tích phân c aủ tích phân (1.21) có

1 giá tr ,ị cho nên nh ngữ tích phân các ph nầ n mằ ngang c aủ chu tuy nế

(bán kính đường tròn thu cộ chu tuyến C∗ chúng ta có thể l yấ b ngằ 1)

B iở vì tích phân ở vế ph iả (1.22) h iộ tụ đ iố với z b tấ kỳ và h nơ nữa h iộ

tụ đều, đi uề đó có thể kh ngẳ đ nhị r ngằ nhờ các giá trị số nguyên tham số

(sự thay đ iổ này chu tuyến C∗ đượ thay đ ic ổ ) Tích phân Sonhin –

Slepply h iộ tụ và ngoài ra h iộ tụ đều với b tấ kỳ giá trị z và λ, cho nên ti pế

t cụ phân

tích hàm trụ J λ (z) trên cả m tặ ph ngẳ t ngổ h pợ z và t tấ cả giá trị c aủ

tham số λ Nh n ư g hệ thức J λ (z), λ khi tổng hợp bất kỳ là hàm nguyên.3) Những biểu diễn tích phân khác Gi ả sử Re z > 0, chúng

ta thay ω = e i ζ trong tích phân Sonhin, từ đó chu tuy nế C∗ đượ thayc

b ngằ chu tuy nế II, đượ miêu tả ở hình 1.3 (Bán kính đc ườ tròn ở chungtuy nế C∗ chúng ta coi là b ngằ 1)

Tích phân Sonhin đi qua tích phân Slepply

bi uể di nễ hàm trụ ở nửa m tặ ph ngẳ ph i.ả

Khi những giá trị nguyên c aủ tham số λ = n, n = 0, ±1, ±2, do

tính tu nầ hoàn c aủ hàm số e inζ và sin ζ tích phân ph nầ th ngẳ đứng c aủ chu tuyến

(chúng ta khai tri nể hàm theo công thức Euler và sử d ngụ hàm ch nẵ cos

và hàm lẻ sin) Đó là tích phân Bessel

4) Biểu diễn bởi chuỗi Chúng ta khai tri n ể ở tích phân Sonhin–

1Slepply (1.23) b ngằ số nhân e ζ

Nhờ bi uể di nễ c aủ tích phân Khakeli đ iố v iớ hàm Gamma, ta tìm thấy khai tri nể c nầ tìm c aủ hàm tr ụ ở chu iỗ

Đ iố v i ớ nh ngữ giá trị không âm số nguyên λ = n chúng ta nh nậ đượ cnói

5) Hàm sinh Đ iố v iớ giá trị không nguyên λ = n = 0, ±1, ±2 · ·· ,

phân tích c aủ Sonhin (1.22) trùng h p ợ v iớ công th c ứ đ iố v iớ hệ số khai tri nể c aủ

6)Quan hệ truy toán Từ khai tri nể vào nh ngữ chu iỗ (1.24) ta được

đưa ra ký hi uệ rút g nọ

−

∞

∞

d d d d n zdz ·

(ta đã sử d ngụ hệ truy toán đ iố v iớ hàm Gamma), ho cặ

d

(z λ J λ (z)) =

z λ J λ dz

Khi trừ phương trình khác từ phương trình thứ nh tấ (1.34), chúng ta tìm

th yấ hệ truy toán, không chứa những đ oạ hàm

J λ−1(z) − J λ+1(z) = 2J t (z). (1.36)Chúng ta thay đ iổ l nầ n aữ từ (1.35) khi λ = 0 chúng ta nh nậ được

0(z) = J1(z).

7) Những hàm trụ có bậc bằng số nguyên cộng 1 Như Euler đã

2chỉ những hàm bi uể di nễ qua hàm cơ b n.ả Từ công thức (1.23) theo khi

k

(1.37)



( −

1 .2.

k=0

(−1)k (n + 2k + 1)! (2k + 1)!(n − 2k − 1)!(2z) 2k+1 

2