Hàm đơn điệu và ứng dụng

Ứng dụng của hàm đơn điệu để giải các bài toán về dãy số .... Ứng dụng của hàm số đơn điệu để giải phương trình .... Ứng dụng hàm đơn điệu để giải hệ bất phương trình .... Trương Thị Hà

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

TRƯƠNG THỊ HÀ

HÀM ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Giáo viên hướng dẫn

ThS NGUYỄN QUỐC TUẤN

HÀ NỘI, 2012

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chuyên ngành: Giải tích

Trương Thị Hà K34A-Toán

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc nhất tới thầyThS Nguyễn Quốc Tuấn đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo tôi trong suốt thờigian tập dượt nghiên cứu khoa học và hoàn thiện khóa luận này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy trong tổ Giải tích, các thầygiáo, cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm HàNội 2 đã hết lòng dạy dỗ tôi trong suốt thời gian qua

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn sự giúp đỡ, quan tâm, động viên của giađình, bạn bè trong suốt quá trình hoàn thiện khóa luận

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 11 tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Trương Thị Hà

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, do chính sức lựccủa bản thân tôi nghiên cứu và hoàn thành trên cơ sở những kiến thức đã đượchọc và các tài liệu tham khảo Khóa luận không trùng với kết quả của bất cứngười nào khác đã có trước đó

Hà Nội, ngày 11 tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Trương Thị Hà

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

NỘI DUNG 4

Chương 1 Hàm đơn điệu 4

1.1 Các khái niệm hàm số một biến số 4

1.1.1 Các khái niệm hàm số 4

1.1.2 Giới hạn và hàm số liên tục của hàm số một biến số 4

1.2 Khái niệm hàm đơn điệu 8

1.3 Một số định lý về hàm đơn điệu 9

Chương 2 Ứng dụng của hàm đơn điệu 14

2.1 Ứng dụng của hàm đơn điệu để giải các bài toán về dãy số 14

2.1.1 Phương pháp 14

2.1.2 Ví dụ minh họa 14

2.1.3 Bài tập vận dụng 23

2.2 Ứng dụng của hàm số đơn điệu để giải phương trình 24

2.2.1 Phương pháp 24

2.2.2 Ví dụ minh họa 25

2.2.3 Bài tập vận dụng 28

2.3 Ứng dụng hàm đơn điệu để giải hệ phương trình 29

2.3.1 Phương pháp 29

2.3.2 Ví dụ minh họa 29

2.3.3 Bài tập vận dụng 34

2.4 Ứng dụng hàm đơn điệu để giải bất phương trình 34

2.4.1 Phương pháp 34

2.4.2 Ví dụ minh họa 35

2.4.3 Bài tập vận dụng 40

2.5 Ứng dụng hàm đơn điệu để giải hệ bất phương trình 41

2.5.1 Phương pháp 41

2.5.2 Ví dụ minh họa 41

2.5.3 Bài tập vận dụng 43

2.6 Ứng dụng hàm đơn điệu để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 43

2.6.1 Phương pháp 43

2.6.2 Ví dụ minh họa 44

2.6.3 Bài tập vận dụng 48

2.7 Ứng dụng hàm đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức thức 49

2.7.1 Phương pháp 49

2.7.2 Ví dụ minh họa 49

2.7.3 Bài tập vận dụng 52

2.8 Ứng dụng hàm đơn điệu để giải phương trình hàm 52

2.8.1 Phương pháp 52

2.8.2 Ví dụ minh họa 53

2.8.3 Bài tập vận dụng 57

Chương 3 Sáng tạo bài toán mới 58

3.1 Phương pháp sáng tạo bài toán mới về dãy 583.2 Phương pháp sáng tạo bài toán mới về phương trình, hệ phương trình593.3 Phương pháp sáng tạo bài toán mới về bất đẳng thức, giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất 60KẾT LUẬN 62TÀI LIỆU THAM KHẢO 63

Trương Thị Hà K34A-Toán 1

MỞ ĐẦU

Hàm đơn điệu là một lớp hàm cơ bản, quan trọng trong lý thuyết hàm

số và có ứng dụng rất mạnh trong toán sơ cấp cũng như trong toán học hiệnđại ngày nay Nhờ có tính chất đơn điệu của hàm số mà chúng ta đã giải quyếtđược rất nhiều vấn đề trong toán học Trong toán sơ cấp, các bài toán liênquan đến hàm đơn điệu xuất hiện nhiều trong các kỳ thi học sinh giỏi toánphổ thông, kỳ thi Olympic học sinh, Olympic sinh viên, các kỳ thi đại học,cao đẳng… Đó là các dạng bài toán về dãy số, phương trình, hệ phương trình,các bài toán về bất phương trình, hệ bất phương trình, bất đẳng thức, giá trịlớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) và phương trình hàm…

Hiện nay, đã có một số sách chuyên đề viết về phương pháp giải bàitoán sử dụng tính đơn điệu của hàm số cho từng dạng bài toán cụ thể (xem[1,3,5,9,12]) và cũng đã có một số sinh viên nghiên cứu và hoàn thành khóaluận tốt nghiệp đại học với đề tài liên quan tới hàm đơn điệu (xem [10]) Cáctài liệu đó đã nghiên cứu sự vận dụng của hàm đơn điệu vào giải một số dạngtoán ở toán học phổ thông nhưng vẫn chưa đưa ra phương pháp sáng tạo bàitoán mới dựa trên lớp hàm đơn điệu Với mục đích là tìm hiểu sâu hơn nữa vềứng dụng của hàm đơn điệu trong toán học và nghiên cứu phương pháp sángtạo bài toán mới dựa trên lớp hàm đơn điệu Cũng là để tích lũy vốn kinhnghiệm cho bản thân phục vụ cho công tác giảng dạy sau này, đồng thời giớithiệu cho các em học sinh phổ thông, các bạn sinh viên có cái nhìn tổng quan

và sâu sắc hơn về hàm đơn điệu và ứng dụng của hàm đơn điệu

Vì những lý do trên cùng với sự góp ý động viên và tận tình giúp đỡcủa các thầy cô, đặc biệt là thầy ThS Nguyễn Quốc Tuấn, với sự đam mê củabản thân tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài

"Hàm đơn điệu và ứng dụng".

Dựa trên những kết quả đã có và những hạn chế trong nội dung của các đềtài khóa luận trước đó, cùng với các tài liệu tham khảo có liên quan tới hàm đơnđiệu Trong khóa luận này, tôi đã nghiên cứu các ứng dụng của hàm đơn điệutrong giải toán ở phổ thông, ứng dụng trong việc giải các bài toán về dãy số,phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, bấtđẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và phương trình hàm, đồng thời đề

ra phương pháp sáng tạo bài toán mới cho các bài toán đó

Khóa luận của tôi gồm 3 phần:

Phần 1 Mở đầu

Phần 2 Nội dung gồm:

Chương 1 Hàm đơn điệu

Chương này, trình bày về các khái niệm hàm số, khái niệm hàm số đơn điệu và các tính chất của hàm đơn điệu

Chương 2 Ứng dụng của hàm đơn điệu

Chương này, nghiên cứu các ứng dụng của hàm đơn điệu để giải cácdạng bài toán về dãy số, giải phương trình, bất phương trình, hệ bất phươngtrình, bất đẳng thức, bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và phươngtrình hàm

Chương 3 Sáng tạo bài toán mới

Trong chương này, tôi đã đưa ra phương pháp sáng tạo một số bài toánmới dựa vào các phương pháp giải và các bài toán đã nêu ở chương 2

Phần 3 Kết luận.

Mặc dù khóa luận đã hoàn thành với sự đam mê và cố gắng của bảnthân, song do thời gian có hạn và đây cũng là vấn đề mới đối với bản thân tôi,nên trong quá trình viết cũng như trong quá trình in ấn khóa luận không tránhkhỏi những thiếu sót Tôi kính mong các thầy, cô giáo và các bạn sinh viênđóng góp ý kiến giúp tôi hoàn thành khóa luận của mình

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa toán trườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là thầy ThS Nguyễn Quốc Tuấn đã tậntình hướng dẫn và tạo điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành khóa luận

1.1.2 Giới hạn và hàm số liên tục của hàm số một biến số

 Khái niệm lân cận

Cho điểm x0 thuộc tập D nằm trong □ , khoảng x0 , x0

  , kí

hiệu là Vx0 , với 0 được gọi là - lân

Lân cận tại một điểm x0 là tập hợp U chứa điểm x

0 mà trong đó tồntại một - lân cận nào đó tại điểm

x0

Vx0 U

 Khái niệm giới hạn của hàm số

nằm trong U , có nghĩa là, tồn tại

phải tại điểm a

và liên tục trái tại điểm b , liên tục

Nhận xét 1.1 Điều kiện cần và đủ để hàm số

y 

nó liên tục phải và liên tục trái tại điểm đó hay

f xliên tục tại điểm x0 là

lim f x lim

nếu nó không liên tục tại điểm đó,

hay ta nói x0 là điểm gián đoạn của hàm f

Điểm gián đoạn của hàm số thường phân thành hai loại:

i) Điểm x0 được gọi là điểm gián đoạn loại một nếu f gián đoạn tại điểm x0

x0 , hay x0 là điểm gián

ii) Hàm số f gián đoạn tại điểm x0 nhưng không phải là gián đoạn loạimột thì ta bảo điểm x0

là điểm gián đoạn loại hai của hàm f

 Khái niệm đạo hàm

Cho hàm số

y f xxác định

trên a,bvà điểm x0

thuộc a,b, cho

x0 một số gia

x x x0 a,b, lập số gia hàm số

y thì ta gọi giới hạn đó là

đạo hàm bên trái của hàm số

y f xtại

được gọi là khả vi (có đạo hàm) trên khoảng a,b

nếu nó khả vi tại mỗi điểm thuộc khoảng đó

1.2 Khái niệm hàm đơn điệu

f (x1 )



f (x2 ))

Các hàm tăng và hàm giảm được gọi là hàm đơn điệu

 Một số tính chất của hàm đơn điệu

Nếu các hàm f và g đồng biến trên tập hợp D thì hàm f 

có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

Chứng minh Giả sử x x0 là một nghiệm của phương

Do f luôn đồng biến trên D nên ta có f x

f xg x, với x D □

biến trên khoảng x0 , x0

u f (x) 0

(hoặc

f (x) 0 ) và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu

hạn điểm trên khoảng đó thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng đó Chứng minh Chứng minh tương tự như định lý 1.2. □

Định lý 1.4 (xem 8)

Cho

f : a,b□ là một hàm đơn điệu

Điều kiện cần và đủ để hàm f liên tục trên a,blà tập giá trị của nó chính là đoạn với hai đầu

mút f (a) và f (b).

Chứng minh Ta xét trường hợp hàm f là hàm tăng (nếu hàm f là hàm giảm

thì ta xét hàm g :

 f , khi đó, hàm g là hàm tăng).

Điều kiện cần: Giả sử hàm f liên tục trên

f  x f b suy ra (1.1)Ngược lại, ta lấy f

a, f b,

theo giả thiết hàm f liên tục, áp dụng

định lý Bolzano – Cauchy về giá trị trung gian, suy ra tồn tại c

minh f liên tục trên

a,b bằng phản chứng Giả sử ngược lại, hàm f gián

đoạn tại x

o a,b.Nếu

f  a,b không chứa các khoảng  , f

 x0   và trái vớif x0 ,  , điều này giả thiết

f  a,b f (a), f (b).Tương tự, với

c f 1 cũng tăng thực sự và liên tục trên f (a), f (b).

Chứng minh Theo giả thiết, hàm f tăng thực sự trên a,b, áp dụng định lý1.4 ta có

f  a,b 

0

0

Kí hiệu, ánh xạ

f

1

là ánh xạ cho tương ứng mỗi phần tử y ,

y f a, f b, với nghiệm duy nhất x của

f 1 tăng thực sự trên f (a), f (b)

f 1 f (a), f (b)a,bnên theo định lý 1.4

tính chất của cận trên đúng thì với mọi số 

Chương 2

Ứng dụng của hàm đơn điệu

2.1 Ứng dụng của hàm đơn điệu để giải các bài toán về dãy số

2.1.1 Phương pháp

Nội dung chính của phương pháp này là chủ yếu dựa vào khẳng định

"Mọi dãy đơn điệu và bị chặn đều là dãy hội tụ" Cụ thể, cho dãy

Từ đó, ta sẽ tìm một đoạn a,bnào đó sao

cho đơn điệu trên đoạn đó

2.1.2 Ví dụ minh họa

Bài toán 2.1 (xem 9) Cho dãy số x nđược xác định theo công thức truy hồi

x n  f (x n1 ) , n 2

c) Nếu hàm f bị chặn thì dãy x n hội tụ.

ra bất đẳng thức (2.1) đúng với mọi n 1, 2,3

Vậy, x nlà dãy tăng

ra bất đẳng thức (2.2) đúng với mọi n 1, 2,3

Vậy, x nlà dãy giảm.

 Theo giả thiết hàm f bị chặn, nên ta suy ra dãy

x n

bị chặn Hơn nữa,

theo ý a) và b) ta có x nđơn điệu Từ đó, ta suy ra x nhội tụ

Nhận xét 2.1 Bài toán 2.1 được xem như là cơ sở cho phương pháp giải bài

toán về dãy số theo tính chất hàm đơn điệu Nhưng ta thấy, nó mới chỉ nhắcđến tính chất của hàm tương đương xác định dãy số là hàm tăng Dưới sự gợi

mở của thầy hướng dẫn, tôi đã nêu bài toán 2.2 với hàm tương đương xác

phương

trình x f  f

 x

có nghiệm duy nhất trong đoạn a,b Hãy xét

sự hội tụ và tính giới hạn (nếu có) của dãy.

Chứng minh Ta chứng minh, nếu hàm f là hàm giảm thì hàm hợp f  f là

hàm tăng Thật vậy, lấy hai số x

 y bất kỳ thuộc đoạn a,b, do f là hàm

giảm trên đoạn a,b,

của dãy x n, ta có hai dãy

x 2n1,x 2n  đều đơn điệu và bị chặn, nên chúng

có nghiệm duy nhất trong

đoạn a,b, suy ra  Vì vậy,

dãy x n

hội tụ và có giới hạn là nghiệm

duy nhất của phương trình x f  f x □

Các bài toán 2.3, 2.4, 2.5 là các ví dụ cụ thể cho hai bài toán 2.1, 2.2

Bài toán 2.3 (xem 9) Cho dãy x nđược xác định bởi công thức truy hồi

a a

(2.5)bằng phép quy nạp toán học và bất đẳng thức Cauchy

Ta thấy, với

n 2 thì theo (2.4) luôn có

là dãy hội tụ, giả sử nó hội tụ về , (0)

Ta chuyển qua giới hạn hai vế của hệ thức quy nạp (2.3), ta được phương trình

thiên của hàm f

Từ bảng biến thiên trên, ta có hàm f giảm trên 

, 3 , tăng trên

bởi 1 (vô lý) Suy ra, dãy

x n phân kỳ hay lim xVậy, nếu n 

x1 

1thì x nphân kỳ

2

thì ta coi x2 là x1 ở trong trường hợp 2, nên để dãy x n

Vậy, với x1 2, 1thì dãy đã cho hội tụ □

Bài toán 2.5 Cho dãy x n được xác định bởi công thức truy hồi

x x3

, với n 2

Xét sự hội tụ của dãy x nvà tính giới hạn (nếu có).

Lời giải Theo giả thiết, ta có x 

x 2n1 là dãy giảm Giả sử dãy x 2n1 có giới hạn hữu

hạn, đặt lim x 2n1 1, chuyển qua giới

x1 1, tương tự như trường

bài toán 2.1 phần a) suy ra dãy

Theo định nghĩa hàm f là hàm giảm, suy ra

tăng bị chặn trên và dãy

0 Vậy, dãy x nhội tụ về 0

Trường hợp 4 Giả sử 0 x1 1, chứng minh tương tự như trong trường

hợp 3, suy ra dãy x 2n1là dãy giảm bị chặn dưới và

chặn trên Vì vậy, dãy x n hội tụ và cũng có giá trị giới hạn là 0

Trường hợp 5 Giả sử x1 

1

hoặc x1 1, dễ thấy

lim x 2n1 1và

Chứng minh rằng, dãy trên hội tụ và tìm giới hạn của nó.

Bài tập 2.2 (xem 12) Cho dãy số y nxác định theo công thức

y

3 2x 2 n2 22x 2x n 2 n 2

4 a1 4 a2  4 an

Hãy chứng minh rằng, dãy số trên có giới hạn và tìm giới hạn đó

Bài tập 2.3 (xem 13) Cho dãy

x n

với x1 a 1 và

Xét tính hội tụ và tìm giới hạn của dãy (nếu có) tùy theo trường hợp của a

Bài tập 2.4 (xem 13) Cho dãy số

Dạng 1: Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Chuyển phương trình về dạng

Kết luận, x x0 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Dạng 2: Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Chuyển phương trình về dạng

 f (x) là hàm đồng biến và hàm số y g(x) là hàm nghịch biến hay là

hàm hằng Xác định nghiệm duy nhất x x0 sao

cho

f x0 g x0 

Bước 3 Kết luận về nghiệm của phương trình (2.7)

Dạng 3: Thực hiện theo các bước

Bước 1 Chuyển phương trình về dạng

f (u)  f (v) , với u,v là các hàm hợp.

Bước 2 Xét hàm số y f (x) đơn điệu.

Xét hàm số

y f (x)  4x 1

thay vào phương trình (2.8) thấy thỏa mãn nên x 1

là

2nghiệm của phương trình

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất

Bài toán 2.7 (xem 15) Giải phương trình

x 1 .2

x 1 x3

2

