SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRUNG HÒA VỚI LỆCH KHÔNG BỊ CHẶN

Lý do chọn đề tài Phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn có thể nói hầu như mọi lĩnh vực đều có thể ứng dụng : y khoa, xây dựng, điện t

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS LÊ HOÀN HOÁ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn PGS TS Lê Hoàn Hoá đã tận tình hướng dẫn cho tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin cảm ơn quý Thầy Cô trong khoa Toán của Trường Đại Học

Sư Phạm TP Hồ Chí Minh và Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TP Hồ Chí Minh đã giảng dạy cho tôi trong quá trình học tập

Tôi xin cảm ơn Phòng KHCN & SĐH, Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư Phạm TP HCM đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành khoá học này

Tôi xin cảm ơn người thân trong gia đình đã động viên, tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khoá học này

Sau cùng, tôi xin cảm ơn các bạn học viên giải tích khoá 16 đã giúp đỡ tôi trong khoá học

Tp.Hồ Chí Minh tháng 6 năm 2008

Tác giả Trần Hồng Mơ

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng có rất nhiều ứng dụng

trong thực tiễn có thể nói hầu như mọi lĩnh vực đều có thể ứng dụng : y khoa, xây dựng, điện tử, kiến trúc ,…, việc chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu, nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân trung hòa với lệch không bị chặn

đã được Hernán R Henríquez sử dụng công cụ nửa nhóm các toán tử tuyến tính liên tục mạnh để chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân trung hoà với lệch không bị chặn

Mục đích của luận văn này là thiết lập những kết quả về sự tồn tại nghiệm tuần hoàn cho phương trình vi phân trung hòa với lệch không bị chặn và luận văn chỉ ra sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình trung hoà với lệch

không bị chặn cụ thể Đó là lý do tôi chọn đề tài

2 Mục đích nghiên cứu

Sử dụng toán tử tuyến tính của nửa nhóm liên tục mạnh và các kết quả trong không gian pha để chỉ ra sự tồn tại lời giải tuần hoàn của phương trình

vi phân trung hòa với lệch không bị chặn

3 Đối tượng và nội dung nghiên cứu

Lời giải nghiệm tuần hoàn cho phương trình vi phân trung hòa với lệch không bị chặn

4 Ý nghĩa khoa học thực tiễn

Toán tử tuyến tính của nửa nhóm liên tục là một công cụ rất mạnh đã được nhiều nhà toán học sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân

5 Cấu trúc luận văn

Nội dung luận văn chúng tôi gồm phần mở đầu, bốn chương nội dung và phần kết luận Cụ thể :

Phần mở đầu : Nêu lý do chọn đề tài

Chương 1

GIỚI THIỆU BÀI TOÁN

Luận văn trình bày kết quả về sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân trung hoà với tính lệch không bị chặn được cho bởi dạng sau:

d x(t ) F(t, x ) Ax(t ) G(t, x ), t

trong đó:

* F, G thoả các điều kiện thích hợp

* A là phần tử vi phân của nửa nhóm liên tục mạnh của các toán tử tuyến tính xác định trên không gian Banach X

Trong suốt luận văn này, X là không gian Banach với chuẩn

Khi đó phần tử vi phân A của nửa nhóm liên tục mạnh của các toán tử tuyến tính T(t) ( t ) xác định trên X được định nghĩa như sau: 0

ta định nghĩa chuẩn trên D((A) ) như sau :

x  A x x D  A

Từ đây về sau ta sẽ kí hiệu X thay choD((A) ) với chuẩn 

Với các điều kiện trên ta có các bổ đề sau: ( trong [17] )

* Và :(x t ;0] với ( )X x t  x t(  phụ thuộc vào không gian pha )

B nào đó B là không gian tuyến tính các ánh xạ đi từ (;0] vào X với chuẩn B Không gian B thỏa các tiên đề sau:

(B.1) Nếu :(x   ; a) X a,  liên tục trên [ ,0    và x a)  B thì với mỗi [ ,t   ta có các tính chất sau : a)

i) xt B

ii) x t ( )  H xt B

iii) x t B K t( )supx s( ) :   s t M t( ) x B

với 0H  ; , :[0, ) [0, )K M    , K liên tục, M bị chặn địa phương và H,

K, M không phụ thuộc vào x(.)

(B.2) Với x(.) ở trên (B.1), x là hàm liên tục trong t B trên [ ,   a)

(B.3) B là không gian đầy đủ

Kí hiệu B ˆ là không gian thương Banach B/ B , nếu B ta viết ˆ

cho lớp tương đương xác định bởi

là nửa nhóm liên tục mạnh của các toán tử tuyến tính xác định trên B

Sau đây là ví dụ cụ thể về không gian pha

1.5 Ví dụ1.1

Xét không gian B = Cr L g X rp( , ),  0, 1 p   gồm các hàm :( ;0] X

   sao cho  liên tục trên [-r ; 0], đo được ( Lesbesgue) và (.) p

g  khả tích Lesbesgue trên (  , trong đó :(; r) g    là hàm ; r)dương đo được Borel

Nửa chuẩn trên B được xác định bởi:

p r

A d A được phủ bởi một số hữu hạn các tập hợp

A A A có đường kính nhỏ hơn hay bằng d

Cho C là tập lồi đóng trong không gian Banach E và :f C liên tục C

sao cho ( )f C là tập compact tương đối

Khi đó f có điểm bất động trong C

2.7.Định lý 2.7: ( [17], Bổ đề 2.3 )

Nếu T(t) là nửa nhóm liên tục mạnh của các toán tử tuyến tính bị chặn thì với mọi x X, tT t x( ) là hàm liên tục từ 0 vào X

2.8.Định lý 2.8: ( [1], Bài tập 18 chương VI )

Cho  e là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert H, n   n là dãy số hội

tụ đến 0 Khi đó toán tử :A X  được xác định bởi :X

1

,

n n n n

Ax   x e e



toán tử compắc

Chương 3

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TUẦN HOÀN

Đầu tiên luận văn bắt đầu nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán Cauchy trừu tượng:

Ta nói rằng hàm :(x    , b > 0, là một nghiệm yếu của bài , b) X

toán Cauchy (3.1)- (3.2) nếu x ; thu hẹp của x(.) trên [ ,  liên tục b)

và với mỗi     hàm t  b AT t s F s x(  ) ( , ),s s[ , ) t là khả tích và thoả mãn:

Để thuận lợi cho việc chứng minh, xin giới thiệu vài kí hiệu cần thiết :

* Với mỗi cặp số dương r,  ta đặt:

C   r  u C    X u   u t r   t  

Dễ thấy ( , , )C   r là tập khác rỗng lồi đóng bị chặn trong

Bây giờ ta chứng minh xt   u W tt (    ) ,     t  

Cho  và giả sử các điều kiện sau xảy ra:

(a-1) Tồn tại (0,1) sao cho F nhận giá trị trong X và (A F) liên tục

(a-2) Tồn tại hằng số dương 0, r0sao cho ánh xạ

F C   r C    X được cho bởi ( )( )F u t F t u W t( ,t  (  ) )

là hoàn toàn liên tục

(b-1)Tồn tại hằng số 0b( )   và ( ) 0a  r   sao cho B r( ) [ ]   và với mỗi 0   t b ( )  , có tập compact Ut  X sao cho

( ) ( , ) t

T t G s  U với mọi B r( ) [ ] và mọi ( )   s  b 

Thì bài toán (3.1)-(3.2) có nghiệm yếu (., )x  xác định trên (  , , b)

b > 0

Chứng minh

Để đơn giản ta giả sử = 0

Vì (A F) và G liên tục và  là tập mở trong B nên tồn tại

0 r r( ) sao cho B r[ ]  ; (A F t) ( , )  vàC1 G t( , )  , với C2

Từ đó ta suy ra có   đủ nhỏ để tồn tại 0 0  min  , , ( )0 b  sao

cho các bất đẳng thức sau xảy ra :

trong đó ta viết tắt là y(.) thay cho (., )y 

Từ (3.8) ta định nghĩa các ánh xạ   , 1, 2 xác định trên ( , )C  r như sau:

Vì G liên tục nên2 xác định trên ( , )C  r và (2u)(.) là hàm liên tục

Ta sẽ chứng minh (2u)(.) là hàm liên tục Thật vậy : với 0 h  ta có: 

Vì vậy (2u)(.) là hàm liên tục

Do F lấy giá trị trong X và (  A F ) liên tục nên(  A F s u ) ( , s  ys)

và F s u ( , s ys)liên tục Hơn nữa vì T(.) là nửa nhóm giải tích nên

( )

s  AT t s 

liên tục trên tôpô đều các toán tử xác định trên [0, t)

Vì vậy AT t s F s u (  ) ( , s  ys) liên tục trên [0, t)

Thật vậy, ta có thể giả sử rằng t > 0 Cho 0  thì  t

Từ (a-2) ta nhận được F s u ( , s  ys), 0 s    thuộc tập compact và do

(  A T ) ( )  bị chặn nên áp dụng định lý giá trị trung bình của tích phân

Bochner ta suy ra:

 đẳng liên tục bên phải của t0

Tương tự ta cũng có thể chứng minh  ( 1) đẳng liên tục tại mọi t0 0 Bây giờ ta đi chứng minh ( 2)là compact tương đối

0 0

Suy ra  ( 2) đẳng liên tục bên phải tại t0

Tương tự ta có thể chứng minh  ( 2) đẳng liên tục tại mọi t0 0

* Ta chứng minh ( 2)( ) t là tập compact tương đối với mỗi 0 t  

Do T t F ( ) (0, )  không phụ thuộc vào u C  ( , )  r và do từ (a-2)

Do đó (2)( )t là tập compact tương đối

Như vậy theo định lý Ascoli  ( 1), ( 2) là tập compact tương đối

Suy ra  ( )  cũng là tập compact tương đối

Áp dụng định lý Schauder  có điểm bất động, tức là tồn tại

( , )

u C   r sao cho u t ( )   ( )( ) u t với 0   t 

Nếu ta xác định x t ( )   u t ( )  y t ( ),     t  thì từ định nghĩa của

 ta thấy x(t) là nghiệm yếu của bài toán (3.1)- (3.2) ■

Tiếp theo luận văn xét sự tồn tại nghiệm toàn cục

3.4.Hệ quả 3.4

Giả sử rằng F, G xác định trên [0, )  B và giả thiết của định

lý 3.1 được thỏa cho mọi 0  Giả sử thêm F thỏa các điều kiện sau:

(a-3) Với mọi 0  và tất cả x :(  , )   X sao cho x0 B ; x liên tục

và bị chặn trên [0, ) ; hàm t  F t x ( , )t liên tục đều trên [0, )

Nếu (., ):(x  , )b , b > 0, là nghiệm không mở rộng của (3.1)- (3.2) (với 0  ), bị chặn trên [0, )b thì b 

Chứng minh

Nếu giả sử b   thì từ (a-3) ta suy ra tồn tại lim ( , )

t b x t 

 Do đó ta có thể mở rộng của (., )x  trên (  , ] b bởi ( ) lim ( , )

Đặt   xb, thì bài toán (3.1) với điều kiện đầu là  tại   , có một b

nghiệm địa phương là (., )x  xác định trên ( ,b ) với 0  nào đó

Theo (3.3) dễ thấy (., )x  cũng là một nghiệm của bài toán (3.1) với điều kiện x0   Điều này trái với giả thiết

Vậy b  ■

Sau đây là hai bổ đề nói về tính duy nhất nghiệm của bài toán (3.1)-(3.2)

Do iii) nên gọi 10 sao cho   C K1 1 (  A )  1

Khi đó ta chọn 00 sao cho: 1

t t t t t

Giả sử với mỗi  và với mỗi 0  tồn tại hằng số dương , C , 0

0  và các hàm số liên tục  1 k k1, :[0, )2  [0, ) sao cho:

0 0

x  x B Thì nghiệm yếu của bài toán (3.1)-(3.2) là duy nhất (Chứng minh tương

tự )

Bây giờ ta giả sử rằng F, G và nửa nhóm T thỏa các điều kiện thích hợp

để đảm bảo sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình:

(3.12) d x(t ) F(t, x ) Ax(t ) G(t, x ), t  t  t 0

(3.13) x0   

Với những điều kiện đó ta xem (3.12) như là hệ phương trình vi phân trừu tượng trung hòa (F,G) Một hệ phương trình vi phân trừu tượng trung hòa (F,G) được gọi là w – tuần hoàn nếu ( , )F t  và ( , )G t  là w – tuần hoàn theo

t Từ đây trở về sau ta sử dụng w là hằng số dương

3.7 Định nghĩa 3.7

Ta nói rằng hàm :x  là một nghiệm w – tuần hoàn của (3.12) nếu X

x(.) là một nghiệm yếu của (3.12) với điều kiện đầu x0và

đủ để đảm bảo (., )x  là một nghiệm w – tuần hoàn của (3.12)

Bởi vì nó có tính cần thiết để chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình (3.12) Vì nhận xét trên nên ta có mệnh đề sau:

3.8 Mệnh đề 3.8

Giả sử rằng hệ phương trình vi phân trung hòa trừu tượng (F, G) là w- tuần hoàn và nghiệm yếu của (3.12) với điều kiện đầu x0   xác định trên

Nếu x w(., )  thì x(.) là một nghiệm w- tuần hoàn

Gọi E là tập con khác rỗng, đóng của  sao cho nghiệm yếu x (., )  của (3.12) – (3.13) là duy nhất và xác định trên [0, ] w , với mỗi  E

Trong trường hợp này ta xác định P Ew:  B

  xw(., ) 

Nếu hệ phương trình vi phân trung hòa trừu tượng (F, G) là w- tuần hoàn thì từ mệnh đề trên ta suy ra điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của (3.12) là Pw tồn tại điểm bất động

Tuy nhiên để chứng minh Pw có điểm bất động thì tập xác định của Pw là tập lồi đóng bị chặn Vì vậy chúng tôi giới thiệu giả định sau:

3.9 Giả định (F, G)

Có tập lồi đóng bị chặn E  sao cho với mỗi  bài toán Cauchy E

(3.12)- (3.13) có nghiệm yếu duy nhất (., )x  xác định trên (, ]w , bao đóng của x s(., ):0  s w, E là bị chặn và chứa trong  và ( )

Giả sử rằng giả thiết (F, G) xảy ra Nếu chúng ta giả sử thêm:

(a-4) Tồn tại (0,1) sao cho F lấy giá trị trong X và hàm (A F) liên tục và biến tập đóng và bị chặn thành tập bị chặn

(a-5)Với mỗi r > 0 và mỗi ; ánh xạ E F C w r: ( , )C([0, ]; )w X cho bởi F u t ( )( )  F t u W t ( , t  ( ) )  là hoàn toàn liên tục

(b-2) Ánh xạ G biến tập bị chặn, đóng thành tập bị chặn và với mỗi tập đóng bị chặn B   và mỗi t > 0 tồn tại tập compact Wt của X sao cho

( ) ( , ) t

T t G s  W với mọi  B và 0 s w 

Khi đó ánh xạ P Ew:  B,   x w(., ) liên tục

Chứng minh

Chúng ta bắt đầu chỉ ra rằng với mỗi tập compact tương đối B trong B

 là tập compact tương đối trong ([0, ]; )C w X

Thật vậy, từ tính liên tục của F và tính compact của [0, w] ta có:

Với mỗi 0  , và mỗi  tồn tại 0  sao cho:

 là tập compact tương đối trong C ([0, ]; ) w X

Bây giờ ta chứng minh nếu( n)n là dãy trong E hội tụ tới  thìPwn

hội tụ tới Pw

Đặt xn  x (., n) Đầu tiên ta sẽ chỉ ra rằng tập  x nn:   là tập compact tương đối trong ([0, ]; )C w X Thật vậy :

 là tập compact tương đối trong C ([0, ]; ) w X nên suy ra

 F t x ( , ),t n n  là tập compact tương đối trong C ([0, ]; ) w X

Vì vậy ta có thể tìm dãy con của dãy x n(.) mà ta có thể kí hiệu cùng một chỉ số sao cho dãy con đó hội tụ tới u C  ([0, ]; ) w X

Chúng ta định nghĩa hàm u xác định trên (, ]w bởi ( )u    ( )với

    Điều này vẫn đúng nếu ta thay dãy

( n)n bởi bất kì dãy con của nó

Vậy Pw liên tục ■

3.11.Định lý 3.10

Giả sử rằng (a-4) và (a-5) được thoả Và các điều kiện sau được thoả:

a) Hệ phương trình vi phân trung hoà trừu tượng (F, G) là w- tuần hoàn và

giả định (F, G) xảy ra

b) Nửa nhóm T(.) là compact

c) Ánh xạ G :[0,    ) X biến tập đóng bị chặn thành tập bị chặn

d) Tồn tại (0, ) w sao cho:

Do đó tồn tại ánh xạ cảm sinh P E ˆ ˆ :  E ˆ thoả điều kiện P ˆ ˆ ( )   P ( ) 

với mọi   E ˆ và mọi    ˆ

Ta sẽ chứng minh ˆP là ánh xạ cô đặc Thật vậy:

Với mỗi tập con C của ˆE có D  E sao cho C D  ˆ và  ( ) C   ( ) D Chúng ta đi đánh giá  ( ( )) P D ˆ ˆ với mỗi D  E với  ( ) 0 D 

Chứng minh tương tự định lý 3.9, chúng ta thấyD2[ ; 1 2] là tập compact tương đối trong C([ ; 1 2]; )X

Với Y là tập con của X đặt *  

Như vậy ta được:

Vậy bài toán (3.12) tồn tại nghiệm w- tuần hoàn ■

Sau đây ta xét lớp hệ thoả giả định (F, G)

3.12 Mệnh đề 3.11

Giả sử rằng các ánh xạ , :[0, )F G  B  thoả các điều kiện (a-3), (a-X

4), (a-5) và (b-2) Giả sử thêm các điều kiện sau:

i) Hàm K(.) bị chặn và M t( ) khi t0  

ii) Có  sao cho 0 T t( ) M e t, t0

iii) Tồn tại hằng số dương N1, N2, N3 và N4 sao cho :

(3.16) (A F t) ( , ) N1  B N2 và

(3.17) G t( , ) N3  B N4

thì với N1 và N3

 đủ nhỏ và với mọi B , nghiệm yếu (., )x  của bài toán

được xác định và bị chặn trên Khi đó giả định (F, G) được thoả

Chứng minh

Đặt (., )x x  là nghiệm yếu của (3.1) – (3.2) tương ứng với 0 

Theo định lý 3.3 thì x xác định trên (, )b , với b > 0 nào đó

Từ đánh giá này và hệ quả 3.4, x xác định và bị chặn trên

Hơn nữa từ (3.18) nếu chọn R > C2.K (

x  R với mọi B sao cho  B  R

Khi đó giả định (F, G) được thoả với E B R[0]

3.13 Hệ quả 3.12

Giả sử rằng F, G, T thoả các điều kiện (a-3), (a-4), (a-5) và a), b), c) trong định lý 3.10

Nếu K(.) là hàm bị chặn và M t( ) khi t   thì (3.12) có một nghiệm 0

mw- tuần toàn với m nào đó

Chứng minh Ta sẽ áp dụng định lý 3.10 trên [0, mw] Rõ ràng với