Hàm lồi và ứng dụng xây dựng các bất đẳng thức

Khóa luận tốt nghiệp đại học Trần Phương Anh – K34A SP ToánHàm lồi và ứng dụng xây dựng các bất đẳng thức 1 LỜI CẢM ƠN Em xin cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô trong tổ giải tích, các th

Khóa luận tốt nghiệp đại học Trần Phương Anh – K34A SP Toán

Hàm lồi và ứng dụng xây dựng các bất đẳng thức 1

LỜI CẢM ƠN

Em xin cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô trong tổ giải tích, các thầy

cô trong khoa toán và trường ĐHSP Hà Nội 2 trong suốt quá trình học tập vànghiên cứu Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo –

PGS.TS Khuất Văn Ninh người đã trực tiếp hướng dẫn và tạo mọi điều kiện

giúp đỡ em trong quá trình thực hiện khóa luận

Tuy đã có rất nhiều cố gắng, nhưng do là lần đầu thực hiện một đề tàinghiên cứu khoa học nên khóa luận của em không tránh khỏi những thiếu sót

Em rất mong được sự đóng góp ý kiến từ phía các thầy giáo, cô giáo và cácbạn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 14 tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Trần Phương Anh

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo

PGS.TS Khuất Văn Ninh cùng với sự cố gắng của bản thân Trong quá

trình nghiên cứu em có tham khảo một số tài liệu của một số tác giả (đã nêutrong mục tài liệu tham khảo)

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứucủa bản thân không trùng với kết quả của tác giả khác Nếu sai em xin chịuhoàn toàn trách nhiệm

Sinh viên

Trần Phương Anh

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ 2

1 Định nghĩa 2

2 Tính chất 3

3 Các điều kiện tương đương 11

CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG HÀM LỒI XÂY DỰNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC 12

1 Các bất đẳng thức kinh điển 12

2 Các bất đẳng thức đại số 21

3 Các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác 35

4 Các bất đẳng thức hình học 48

KẾT LUẬN 55

TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

LỜI NÓI ĐẦU

Trong chương trình toán học phổ thông, vấn đề về bất đẳng thức luôn làchuyên đề chiếm vị trí quan trọng đòi hỏi sự sáng tạo từ phía các em học sinh.Những bài toán thuộc chuyên đề này là những vấn đề khó nhưng mang lại chongười học nhiều kiến thức hay và sự tư duy cao Điều quan trọng là làm thếnào để chúng ta thật sự có được những bất đẳng thức hay và phong phú chongười học Có rất nhiều phương pháp xây dựng bất đẳng thức, trong đó sửdụng những tính chất của hàm lồi (lõm) là một phương pháp cho nhiều bàitoán hay, mang tính độc đáo

Chính vì vậy tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Hàm lồi và ứng dụng xây

dựng các bất đẳng thức”, tìm hiểu phương pháp hàm lồi xây dựng các bất

đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp

Khóa luận gồm 2 phần:

Phần I: Các kiến thức cơ sở Trình bày những kiến thức cơ bản có liênquan đến việc xây dựng các bất đẳng thức Trong đó có định nghĩa, tính chấtcủa hàm lồi và các điều kiện tương đương

Phần II: Ứng dụng hàm lồi xây dựng các bất đẳng thức: Dựa vào bấtđẳng thức Jen xen các tính chất thích hợp của hàm lồi để chọn một hàm sốthích hợp, từ đó đưa ra cách xây dựng các bất đẳng thức, từ các bất đẳng thứckinh điển, các bất đẳng thức quen thuộc đến sáng tạo ra những bất đẳng thứcphong phú thuộc các chủ đề

1 Định nghĩa

1.1 Định nghĩa

CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ

Giả sử hàm số f xác định trên khoảng I (khoảng mở, đóng hoặc nửađóng, hữu hạn hoặc vô hạn) Hàm số f được gọi là hàm lồi trên khoảng I nếu

I nên với 2 điểm bất kì M1, M2 của đường

cong y = f(x), cung M1M2 của đường

cong nằm về phía dưới đoạn M1M2

2, …, n là những số không âm sao cho: 1 + 2 +…+

Với n > 2, giả sử điều khẳng định đúng Ta sẽ chứng minh nó đúng với n + 1, tức là: Nếu x1, x2, …, xn, xn + 1 I và 1 + 2 +

Với n = 2, bất đẳng thức (1) đúng theo định nghĩa hàm lồi

Dấu “ = ” của bất đẳng thức xảy ra khi1 và2 nhận các giá trị 0 hoặc

1 hoặc khi x1 = x2

Giả sử (1) đúng với n Ta chứng minh (1) cũng đúng với n + 1.Tức là: Nếu 1, …, n+1 là những số không âm sao cho: 1+…+ n+1 = 1 thì: f( 1x1 + …+ n+1 xn+1) 1f(x1) +

…+ n+1f(xn+1)

Thật vậy: Nếu 1 + 2 +…+ n > 0 thì:

Gọi M là giao điểm của đường thẳng

x = x2 với đường thẳng M1M3

Vì f là hàm lồi nên đoạn M1M3 nằm trên phía cung M1M3 của đườngcong y = f(x).

< x2.

Khi đó x (x1; ) và t ( ; x2) ta có x1 < x <

< < < t < x2 Theo bổ đề trên ta có:

f (x) f (x1)

f (  )   f (x) f (  )   f (  ) f (  )   f (  )

Hệ quả: Nếu f là hàm số lồi trên khoảng I và f có đạo hàm cấp 2 tại

mọi điểm xI thì

) Trước hết ta chứng minh: Nếu x1, x2, x3 I và x1 < x2 < x3 thì:

Định lý được chứng minh tương tự như định lý 4.

Các điều kiện trong giả thiết của định cho phép áp dụng định lý lagrăng

để chứng minh hai bất đẳng thức (1) và (2) trong chứng minh của định lý 4

2.7 Định lý 6

Nếu f là hàm số lồi và có đạo hàm trên khoảng I (I = (a; b) hoặc [a;b), hoặc (a; b] hoặc [a; b] ) thì tiếp tuyến của đường cong y = f(x) tại mỗiđiểm M0(x0, f(x0)), x0 I đều nằm phía dưới của đường cong

Chứng minh

Giả sử x0 I và M0 là điểm trên đường cong y = f(x) có hoành độx0 Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại M0 là: y = f '(x0) + f '

Giả sử x là một số thực bất kỳ sao cho:

x1 < x < x2 N, M theo thứ tự là điểm thuộc đường thẳng M1M2 có hoành độ

Đoạn thẳng N1N2 nằm về phía dưới đoạn thẳng M1M2 Tức là mọi số thực (x1, x2): () 

()

Trong đó: y = (x) và y = (x) theo thứ tự là phương trình của đường thẳng N1N2 và M1M2 Từ đó suy ra yM < yN (điều phải chứng minh).

 Chú ý: Các tính chất được phát biểu cho hàm lồi cũng được phát

biểu một cách tương tự đối với hàm lõm

3 Các điều kiện tương đương

Từ các tính chất của hàm lồi ta có các điều kiện tương đương sau:3.1 Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I, f là hàm số lồi trên I

đường cong

CHƯƠNG II ỨNG DỤNG HÀM LỒI XÂY DỰNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC.

Trong chương này ta sẽ đi xây dựng các bất đẳng thức nhờ sử dụng cáctính chất của hàm lồi Ta tiến hành xây dựng bất đẳng thức dựa trên những ýtưởng sau:

Xây dựng một hàm lồi f bằng cách chọn hàm f xác định trên I (I là mộtkhoảng hoặc một đoạn) khả vi hai lần và có f (x) 

1 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC KINH ĐIỂN

1.1 Bất đẳng thức Cauchy

1Chọn T(x) 

x2 0 Ta có T liên tục trên (0; ) nên tồn tại nguyên

x .Lại có:

x dx ln x c2 .Chọn c2 = 0 ta được hàm f (x) 

Áp dụng bất đẳng thức Jenxen cho hàm lồi f (x) 

) x1, ,

xn

x1x2 xn n

Cho 2 số thực a1, a2, …,a2 và b1, b2, …, bn Khi đó ta có:

(a2 a122  a2 )(bn122 b2  b2 ) (a b a b  a b)2

(a1 a2  an )(b1 b2



(a1 b1 )(a2 a2 ) (an bn )

a1a2 an n

(a1 b1 )(a2 a2 ) (an bn )

a1a2 an n

n a1a2 an n b1b2 bn n (a1 b1 )(a2 a2 ) (an bn )

Cho 2n số dương a1, a2, …, an và b1, b2, …, bn Khi đó

n a1a2 an n b1b2 bn n (a1 b1 )(a2 a2 ) (an bn )

f  (x) = T(x) > 0 x (0; + )Suy ra hàm số f(x) = xp

q 0 sao cho

1

1

1 pq

i ;

bq i1

p q p(1 q) i i i

Khi ấy ta có bất đẳng thức Honder được phát biểu như sau :

i 1, n; p 0, q 0 và 1 1 1pq

p q

1 1

f xgx dx

Cho 2 số thực a1, a2 , ,an ; b1, b2 , , bn Trong đó bi > 0 i  1, n

+

Giả sử f(x) là hàm lồi trên [0; a] Lấy xi [0; a], i = 1, n sao cho:

 n Cho f(x) là hàm lồi trên [0; a]; với pi 0, i 1, n; x, sao cho xi  0;xjpj 

Cho f(x) là hàm lồi trong đoạn [0; a] và x1, x2 , , xn ; p1, p2 , , pnlà cácdãy số không âm thỏa mãn các điều kiện: 1 xi [0; a] i = 1, 2, , n ;

ax nếu 0 < a < 1.

1

2

= 4x3 .

Lại có

4x3dx = 4x4 + c Chọn c2 = 0 Khi ấy ta áp dụng bất đẳng thức Jenxen cho hàm lồi f(x)

x y z4 27x4 y4

Ta có thể sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức trên

2.2. Chọn T(x) = 6x > 0 x ( 0; + ) Do hàm T liên tục trên ( 0; + ) nên tồn tại nguyên hàm của T:

Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng:

x yy zz x

64( x3 + y3 )( y3 + z3 )( z3 + x3 )  .

Suy ra f(x) lồi trên ( 0; + ) nên áp dụng bất đẳng thức

Jenxen cho hàm lồi f(x) = x3 trên ( 0; + ) với x, y, z ( 0; +

Vậy nên ta có bài toán sau:

2.3. Chọn T(x) = 1

x3

hàm:

> 0 x ( 0; + ) Do T liên tục nên tồntại nguyên

+ c1.

Chọn c1 = 0, khi đó ta có:

T(x)dx =

x2 .Lại có: 1

x2 dx

=

1 + c

1Chọn c2 = 0, ta được hàm số f(x) =

 k 



f   x   k     f   x   k   .

13n 1

Chứng minh rằng với mọi n □ * , ta đều có:

3n  1

n 1n  2Vậy ta có bài toán sau:

mxm – 1 dx

 Nếu 0 < m < 1, khi đó f là hàm lõm nên dấu của bất đẳng thức trên làdấu ngược lại.

2 Nếu 0 < m < 1 thì bất đẳng thức trên có chiều ngược.

Vậy nên ta có bài toán được phát biểu như sau:

= lnx + 1

Lại có

 lnx

x

= xlnx + c2

Chọn c2 = 0, ta được hàm số f(x) = xlnx với f”(x) = T(x) > 0 x > 0

Do đó f là hàm số lồi trên ( 0; + )

áp dụng bất đẳng thức Jenxen cho hàm lồi f(x) = xlnx, x

( 0; + ) và a1, a2,…, an > 0, ta được:

f a1 a2 an 

Cho a1, a2,…, an > 0 Chứng minh rằng:

= 2kx2k – 1

Lại có

2k x2k – 1 dx

= x2k + c2

Chọn c2 = 0, ta được hàm số f(x) = x2k với f”(x) = T(x) > 0 x >

0, k 

□ Suy ra f(x) là hàm số lồi trên ( 0; + )

Áp dụng bất đẳng thức Jenxen cho hàm lồi f(x) = x2k; x1, x2,

nên ta có bài toán như sau:

2k

x1  x2  xn

Cho k □ và x1, x2, …, xn > 0 Chứng minh rằng: (x1 + x2 + … + xn)2k n2k – 1 x2k x2k

x eChứng minh rằng x > 0, ta có: lnx 

T(x)dx 1

= x2

dx

= 1 + c x1Chọn c1 = 0, Khi đó ta có:

T(x)dx =

x .Lại có 1dx

Do đó tiếp tuyến tại điểm I(e; 1) có phương trình là: y = x Trên ( 0;

e+ ), tiếp tuyến này nằm phía trên đồ thị hàm số y = lnx nên ta có:lnx  x

eDấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = e

Vậy ta có bài toán như sau:

= x2 + c2

1



Chọn c2 = 0, ta được hàm f(x) = x2 với f”(x) = T(x) > 0 x >

0 Suy ra f là hàm số lồi trên ( 0; + )

Áp dụng bất đẳng thức Jenxen với hàm lồi f(x) = x2 xi (0; + ), i

= 1, n ta có:

xChọn c1 = 0, ta được

T(x)dx =

x .Lại có: 1

dx x

= lnx

+ c2

Chọn c2 = 0, ta được hàm f(x) =

ln x với f "(x) = T(x) > 0 x > 0.Suy ra f là hàm số lồi trên ( 0; + ) áp dụng bất đẳng thức Jenxen với

hàm lồi f(x) = ln x

; 

1 , 1

x1x2 xn n

x1x2 xnn

x1x2 xn n

1 

1 x2xnn

n

1 

1 x2xnn

Mặt khác theo Cosi ta có:

x1 x2 xn

n

x

x

n

Từ (1), (2), (3) ta suy ra mh mg ma 

mq Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 =

…= xn

Do f lồi nên tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm I(0; 1) là y =

1 nằm phía dưới đồ thị của hàm số y = f(x) Do đó ta có:

hay ex ln(x + 1) + 1

Vậy ta có bài toán sau:

ex ln(x + 1) 1

Chứng minh rằng: ex ln(x + 1) + 1 x

(  1; + )

 Chọn T(x) =

e 1

Chọn c1 = 0, khi đó ta có:

ex

T(x)dx

ex

ex 1Lại có: ex 

1dx

= ln(

ex 1) + c2

Chọn c2 = 0, khi đó ta có hàm số f(x) = ln( ex 1) với f”(x) = T(x) >0

x □ Suy ra f(x) là hàm lồi trên □ Áp dụng bất đẳng thức Jenxen với

Cho n số dương a1, a2, …, an Chứng minh rằng:

1 + c x

Chọn c1 = 0, khi đó

T(x)dx =

x .Lại có: 1dx

x

= lnx + c2

Chọn c2 = 0, khi đó ta có hàm số f(x) = lnx với f”(x) = T(x) < 0 Suy

ra f lõm trên ( 0; + ) Áp dụng bất đẳng thức Jenxen cho hàm lõm f(x) = lnx,

T(x)dx =

x .



1

Lại có: 1dx

x = ln

1x

+ c2

1Chọn c2 = 0, khi ấy ta có hàm f(x) = ln

x với f”(x) = T (x) < 0 x ( 0; + ) Áp dụng bất đẳng thức Jenxen cho hàm

k 1 n

3 Các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác.

A ,sin2 x 2

B , C

sin2  3 sin2

2 Bsin2 C 

Chứng minh rằng trong mọi □ABC ta có:

1sin2 A sin12 B sin12 C

2

f”(x) = 2 4

cos4 x  > 0 x 0; .4cos3 x

2Vậy nên f(x) là hàm lồi trên 0; 

A, B, C 0;và A + B + C = , ta áp dụng bất đẳng thức Jenxen

với hàm lồi f(x) = sin x

2 + tan

x , ta có:

2f

Chứng minh trong mọi tam giác ta có:

sin A sin B sin C tan A tan B  tan C  3 .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A = B = C

Ta có bài toán sau:

< 0 x 0;.

Suy ra f(x) = ln(sinx) là hàm số lõm trên 0;

a) A, B, C

0;  và A + B + C =thức , ta áp dụng bất đẳng Jenxen với hàm số lồi f(x) = ln(sinx) trên 0;ta có:

Jenxen với hàm số lồi f(x) = ln(sinx) trên 0; ta có:

3ln 1 ln sin A sin B sin C 

Cho A, B, C là ba góc của một tam giác Chứng minh rằng:

1 sinAsinBsinC ln 3 3 ;

8sin A sin B sin C ln 1 2

Từ (1) và (2) ta có thể phát biểu bài toán như sau:

3.4. Xét hàm số f(x) = sin(sinx) trên 0; Ta

có: f’(x) = cosxcos(sinx),f”(x) = sin x cossin xcos2

Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta luôn có:sin(sin A) sin(sin B) sin(sin C) sin 3

23

Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ABC ta luôn có:

12xcos3 x

với hàm lồi f(x) = tanx + x4 ta có:

tanA + tanB + tanC + A4 + B4 +

27Vậy ta phát biểu bài toán như sau:

Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có:

Cho tam giác ABC nhọn Chứng minh rằng:

tan A tan Btan B tan Ctan C  tan A8cot A cot B cot C 

Nhân từng vế các bất đẳng thức dương ta được:

tan A tan Btan B tan Ctan C

 tan A

Ta phát biểu bài toán như sau:

8cot A cot B cot C

= 2cos2x + c1Chọn c1 = 0

3 sin Asin2 B

3 sin Bsin2 C

3 sin Csin2 A

Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta luôn có:

sin A 2B sin B 2C sin C  2A sinAsinBsinC 

< 0 x

0;, Ta có: 

T(x)dx = sin2

x dx

= cotx + c1

Chọn c1 = 0, ta có:

T(x)dx

= cotx

Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

sinAsinB + sinBsinC + sinCsinA  cos2 A + cos2 B + cos2 C

Lại có:

cot xdx

dsin

x

=sin x

Tương tự ta cũng có: sinBsinC 

sinCsinA 

cos2 A ;2cos2 B .2Cộng từng vế các bất đẳng thức ta được:

sinAsinB + sinBsinC + sinCsinA



 

x1, x2, …,

0;

Bài toán trên được cụ thể hóa trong tam giác như sau:

Chứng minh rằng trong tam giác ABC nhọn ta luôn có:

1 sin A   sin B   sin C

sin A   B   C ;

2 cos A   cos B   cos C

cos A   B   C

2



3.11. a) Xét hàm số f(x) = sinx liên tục trên 

0; 

Ta có:

 2 

Do đó f(x) là hàm lõm trên

0; 

nằm về phía trên của đồ thị, phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm

O0;0là y = x Từ đó suy ra: sinx x

2 

g(x) là hàm lõm trên

0; 

Theo tính chất hàm lõm: Đồ thị của hàm y = g(x) trên 0;  nằm về

 2 

phía trên đoạn thẳng nối hai điểm A 0;1 và Btrình ;0 , mà phương



2 đường thẳng đi qua hai điểm này là: y =

Ta phát biểu bài toán như sau:

2 2

2 2

+ c2.

1Chọn c2 = 0, ta được hàm số f(x) =

p

 x



abc  8p ap bp c

Vậy nên ta phát biểu bài toán như sau:

Cho □ABC với chu vi 2p chứng minh rằng: abc 8p ap bp

là hàm lõm trên 0;



a, b, c là độ dài ba cạnh

đối với hàm lồi f(x) = x

1 x

ta có:

f(a) + f(b) + f(c) dx

