Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 9 1.4.. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính với ma trận... Trong không gian hữu hạn chiều, các kết quả về t
Trang 1MUC LUC
Lời nói đầu 2
1 Một số kiến thức cơ bản của lý thuyết ổn định 5
1.1 Tính ổn định của hệ phương trình viphân 5 1.2 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính 7 1.3 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 9 1.4 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính với ma trận
Trang 2LOI NOI DAU
Lý thuyết ổn định toán học là một bộ phận quan trong của lý thuyết phương trình vi phân Ngày nay lý thuyết ổn định có ứng dụng trong nhiều ngành khoa học, kỹ thuật như: vật lý, kinh tế, sinh thái môi trường Lý thuyết ổn định toán học phát triển mạnh mẽ vào cuối thế kỷ XIX với sự đóng góp to lớn của nhà toán học người Nga Liapunov
Xét hệ phương trình vi phân trong R"(n € Ñ')
trong đó z = z(/) €IR", ƒ: RT x R* — R* là hàm véctơ cho trước
Khi đó các khái niệm ổn định, ổn định đều, ổn định tiệm cận được trình bày đầy đủ và chỉ tiết trong các tài liệu như: Phạm Ngọc Bội (JH|), Nguyễn Thế Hoan, Pham Phu ([3])
Trong không gian hữu hạn chiều, các kết quả về tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính:
a'(t) = A(t)a(t) + f(t), (ID)
vdi A(t), f(t) lién tục được viết đầy đú và chi tiét (chang han trong [1],[3])
Để nghiên cứu một cách tổng quát các kết quả trên, có ba xu hướng: -Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính (II) trong các không gian tổng quát hơn IR” Các kết quả về sự ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến
tính (H) trong không gian Banach được trình bày khá hệ thống bởi nhiều tác giá, chẳng hạn như Daletskii ([6])
-Đưa ra các cách nhìn khác nhằm mục đích mỏ rộng lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính (H) ổn định Theo xu hướng thứ hai, gần đây Akinnyele đã đưa ra khái niệm ¿~ổn định cấp k khi ý thuộc C(R,.,R,)
(R = |0; œ)) tăng, khả vi trên Ry va jim w(t) = b, b € [1; 00) Constantin
đề xuất khái niệm —ổn dinh, y—bi chan cấp k khi ý thuộc C(R R_), dương và không giảm trên R Morchalo đề xuất các khái niệm ổn định, —ốn định đều, ổn định tiệm cận Tiếp theo nhiều tác giả như:
Avamescu, Hallam, Diamamdescu, Phạm Ngọc Đội đã công bố những kết
quả này Với hướng nghiên cứu đó, trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi mở rộng hệ phương trình vi phân tuyến tính (II) theo quan điểm của
Trang 3Morchalo dé xuất và dựa trên những kết quả đã đạt được
-Theo xu hướng thứ ba vừa mở rộng hệ phương trình vi phân tuyến tính (H) trong các không gian tổng quát hơn ÏR" và vừa đưa ra các cách nhìn khác nhằm mục đích mở rộng lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính (1T)
én định trong các không gian tổng quát hơn R”
Với hướng nghiên cứu trên và với sự hướng dẫn của thầy giáo TS Phạm Ngọc Bội, chúng tôi nghiên cứu một số vấn đề sau:
(1) Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính (II) thì khi đó nghiên cứu
(4) Van đề được xét tương tự trên lR_
Với mục đích như trên luận văn được chia làm 2 chương:
Chương 1
Một số kiến thức cơ bản của lý thuyết ổn định
1.1 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân
1.2 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính
1.3 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 1.4 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với ma trận hằng
Chương 2
Tinh w—bi chan và tính —ốn định của hệ phương trình
vi phân tuyến tính
2.1 Tính ¿—bị chặn của hệ phương trình vi phân tuyến tính
2.2 Tính ýj—~ốn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính
Trang 4Phần cuối của luận văn là kết luận và tài liệu tham khảo
Luận văn được hoàn thành với sự giúp đỡ tận tụy, chân thành, chu đáo, nhiệt tình của thầy giáo T5 Phạm Ngọc Bội và của các thầy cô giáo PGS
TS Tran Van Ân, PGS TS Tạ Khắc Cu, PGS TS Ta Quang Hai, PGS
TS Dinh Huy Hoàng, PGS TS Nguyễn Nhụy, TS Phan Lê Na cùng các thầy cô giáo khoa Toán và khoa Sau Đại Học Tác giá gửi lời cảm ơn chân
thành đến thầy giáo hướng dẫn và các thầy cô giáo cùng tất cả bạn bè, gia
đình đã động viên giúp đỡ để tôi hoàn thành luận văn này
Vinh, tháng 12 năm 2007 Tac gia
Trang 5CHUONG 1
MỘT SỐ KIÊN THỨC CƠ BẢN CUA LY THUYET ON ĐỊNH
1.1 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân
Giả thiết ƒ(, +) là hàm thoả mãn các điều kiện sao cho bài toán Cauchy
hệ (1.1) với điều kiện ban đầu #(fo) = #o, fạ > 0 luôn có nghiệm duy nhất Khi đó dạng tích phân của nghiệm được cho bởi công thức:
r(t) = 19+ J I(s,2(s))ds
1.1.2 Dinh nghia ({1]) Nghiém 2(t), (a < t < oo) ctia hệ (1.1) được gọi
la 6n dink (theo nghia Liapunov) khi £ — œ (nói ngắn gọn là ổn định) nếu với mọi e > 0, với moi to thudc (a; 00) tén tai 6 = 6(e,to) > 0 sao cho tat
cả các nghiệm z(1) ctia hé (1.1) thoa man diéu kién ||y(o) — x(lo)|| < 6 thi xdc dinh trong khoang [to; 00) va ||y(t) — 2(£)|| < ¢ khi to <t < ow
1.1.3 Dinh nghia ((1]) Néu sé 6 ndi trong dinh nghia (1.1.2) có thể chọn
khong phu thudc vao lo, tttc 1a 6 = ð(e) thì nghiệm a(t) dudc goi la ổn định đều
Trang 61.1.4 Dinh nghia ({1]) Nghiém x(t), (a < t < oo) ctia hệ (1.1) được gọi
là ổn định tiệm can(theo nghia Liapunov) khi t > oö (nói ngắn gọn là ổn định tiệm cận) nêu
¡, Nghiệm z(/) ổn định,
ñ, Với mọi fạ thuộc (a;oe) bồn tại A = A(fs) > 0 sao cho tất cả các
nghiệm = #(/), tạ £ < œ nếu thỏa mãn điều kiện ||y(lo) — #(o)||< A
trong đó #(, 0) = 0 Rõ ràng hệ (1.2) có nghiệm z = 0 Ta gọi nó là hệ quy
đổi Khi đó sự ổn định của một nghiệm #(7) nào đó của hệ (1.1) sẽ đưa về
nghiên cứu tính ổn định của nghiệm 0 của hệ (1.2) Do đó đối với hệ quy đổi (1.2) ta có thể nói về sự ổn định của nghiệm tầm thường z = 0
-Nghiệm tầm thường z = 0 của hệ (1.2) ổn định nếu với bất kỳ £ > 0, với mọi íạ thuộc (a; œ©) tồn tại ở = ổ(£,fạ) > 0 sao cho tất cá các nghiệm
#(#) của hệ (1.2) thoả mãn điều kiện ||z(fo)|| < ð thì xác định trong khoảng [to; ) và ||z()|| < e khi tạ <t< %
-Nghiệm tầm thường z = 0 của hệ (1.2) ổn định tiệm cận nếu hệ ổn định và với mọi /ạ thuộc (ø;) tồn tại A = A(/o) > 0 sao cho tất cả các
nghiém x = x(t), to < t < œ nếu thỏa mãn điều kiện ||(o)||< A thì
lim ||z(#)|| = 0
ioc
1.1.5 Ví dụ Xét phương trình vi phân sau trong R
av’ =ar, l>0
Nghiém a(t) véi x(lo) = 29 cho bởi công thức
a(t) = ape’), £ > to
Néu a < 0 thì với mỗi ¢ > 0, to € Ry chon sé 6 = € > 0 khi đó với bất kỳ nghiệm z = z(/) thoả mãn ||>(o)|| < ä thi ||z()|| = |Jaoe*’—'|| <
|lzo|| < ở = e với mọi £ > fạ Vậy hệ ổn định đều
Vay a < 0 thì hệ ổn định, mặt khác jim lz(/)|| = 0 nên hệ ổn định tiệm
cận.
Trang 71.1.6 Bé dé Gronwall-Bellman ([3]) Gid si ham lién tuc duong u(t) trén (a;b) va uới mợi giá trit,s € (a;b) thod man bat dang thitc tich phan
u(t) <u(s) + | f(ts)u(t)ldty],
trong dé f(t) la ham sé thuc liên tục va không âm trên (a;b)
Khu đó, uới a < tạ S t < b đánh giá sau đâu được thoả mãn
— f(h)dh J f(h)dh
w(fo)e *° < u(t) < ulto)ee
1.2 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính
Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính
1.2.1 Định nghĩa ({3]) Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.3) được
gọi là ổn định nếu tất cả các nghiệm # = #(/) của nó ổn định
1.2.2 Định nghĩa ({3]) Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.3) được gọi là ổn định đều nếu tất cả các nghiệm # = #(f) của nó ổn định đều 1.2.3 Định nghĩa ([3]) Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.3) được gọi là ổn định tiệm cận nếu tất cả các nghiệm # = (1) của nó ổn định tiệm
cận
1.2.4 Định lý ([3]) Điều kiện cần uà đú để hệ phương trành ti phân tuyến tinh (1.3) én dink vdi 86 hang tu do bat ky f(t) là nghiệm tầm thường
Xp = 0, (lo < < +00); to € (a; +00) của hệ thuần nhất tương ứng (1.4) ổn định
Trang 8Chứng mảnh Điều kiện cần: Gia stt 7 = x(t), (tpg < t < +00) IA mét nghiém
ổn định nào đó của hệ vi phân tuyến tính (1.3) Diều đó có nghĩa là với mỗi e > 0 tồn tại ở > 0 sao cho với nghiệm bất kỳ = z(f) của (1.3) khi
(tg <t < +00) ta c6 bat dang thitc
|lj(/)|| < e khi íạ < + < +œ, nếu ||ÿ(0o)|| < 6
Từ đó suy ra nghiệm tầm thường #o = 0 của hệ vi phân tuyến tính
thuần nhất tương ứng (1.4) ổn định theo Liapunov khi £ — +œ
Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm tầm thường đo = 0 của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.4) ổn định theo Liapunov khi £ — +oo Khi dé, néu
=9) (lạ << +œ) là một nghiệm bất kỳ của hệ phương trình vi phan tuyến tính thuần nhất sao cho
|lữo)|| < ð(e o)
thì |lỹ()|| < e khi fạ < + < +œ Như vậy, nếu z(/) là một nghiệm nào đó của hệ vi phân tuyến tính (1.3) và y(t) JA mot nghiệm bất kỳ của hệ đó thì
từ bất đẳng thức ||u(fo) — #(fo)|| < ổ suy ra bất đẳng thức
|lu() — z()|| < e khi tạ << +oœ
Điều đó có nghĩa là nghiệm a(t) én dinh L] 1.2.5 Định lý ([3]) Điều kiện cần uà đú để hệ phương trành ti phân tuyến tính (1.3) ổn định đều uới số hạng tự do bắt kỳ ƒ(L) là nghiệm lầm thường
% = 0, (to < t < +00); to € (a; +00)
ctia hé thuan nhat tuong tng (1.4) on dinh déu
Trang 91.2.6 Định lý ([3]) Diều kiện cần uà đú để hệ phương trành ơi phân tuyến tính (1.3) ổn định tiệm cận uới số hạng tự do bất kỳ ƒ(t) là nghiệm tầm thường
% = 0, (lo << +00); lo € (a; +00)
của hệ thuần nhất tương ứng (1.4) ốn định tiệm cận
Việc chứng minh các định lý này, hoàn toàn tương tự như chứng minh định lý trên
1.2.7 Hệ quả ([3|) Hệ phương trầnh ti phân tuyến tính ổn định khi it ra một nghiệm của nó ổn định uà không ổn định nếu một nghiệm nào đó của nghiệm không ổn định
1.2.8 Hệ quả ([3]) Hệ phương trùnh tuyến tính ổn định khi uà chỉ khá hệ
phương trành ui phân tuyến tính thuần nhất tương ứng ổn định
1.3 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
1.3.1 Định lý ([H|) Hệ ơi phân tuyến tính thuần nhất (1.4) ổn định khi
uà chỉ khả mỗi mmột nghiệm + = x(t), (a < to <t < +00) của hệ đó bị chặn trén mia truc ty <t < +00
Chứng tránh Điều kiện đủ: Giả sử mỗi một nghiệm của (1.4) là bị chặn
trên [fo;+oe), gọi X(f) = [z;;()} là ma trận cơ bản của hệ (1.4) chuẩn hóa tai to (X(to) = 1) Khi đó mỗi một hàm z;;(f) bị chặn trên [fạ; ©) nén ||X(t)|| < M, t € [ia;o) trong đó M là một hằng số dương Như
đã biết mỗi nghiệm # = z(/) của hệ (1.4) đều có thể biểu diễn dạng tích
x(t) = X(t) (to)
Với bất kỳ số e > 0 cho truéc ta chon 6 = 7, khi d6 rd rang néu
|lz(fo)|[ < 2 thì ||+z(#2)|| < |IX(2|I.|l+(to)|| < e, £ © [to; 00), Như vậy nghiệm
x = 0 của hệ (1.4) ổn định Vậy theo định lý (1.2.4) hệ (1.4) là ổn định
Diều kiện cần: Giả sử ngược lại tồn tại nghiệm z(/) của hệ (1.4) không
bị chặn trên [fo; +o©), z(fo) # 0 vì z(/) không phải nghiệm tầm thường của
hệ (1.4) Do nghiệm + = 0 của hệ (1.4) ổn định nên với mỗi e > 0, tồn tại
ð >0 sao cho mọi nghiệm #(/) của hệ (1.4) mà |#(/o)|| < ô thì ||z()|| < s,
t € [to;00) Xét nghiém x(t) = ment của hệ (1.4) có ||z(fo)|| < ở nhưng không bị chặn, tức là không thỏa mãn ||z()|| < 2, £ € [fa;oo) Diều này
mâu thuẫn với giả thiết Vậy mọi nghiệm của hệ (1.4) bị chặn L]
Trang 101.3.2 Dinh ly ([1]) Hé phuong trinh vi phan tuyén tinh thuan nhat (1.4)
ổn định tiệm cận khi uà chỉ khi tất cả các nghiệm + = #(†) của nó dần tới không kh¿ t — +00, túc là
Điều kiện cần: Vì hệ (1.4) ổn định tiệm cận nên với nghiệm bất kỳ y(t)
của hệ này tồn tại A = A(fo) > 0 sao cho nếu ||/(o)||< A thì
trong dé A = [a;,] 1A ma tran hang cd (n x n)
1.4.1 Dinh ly ([3]) Hé vi phan tuyén tinh thuan nhất (1.10)uới ma trận
hang A 6n dinh khi va chi khi tat cả các nghiệm đặc trưng À; = À¡(A) của
A đều có phần thực không dương
lteÀ;(A) <0 (7 = 1.2 ,n)
va các nghiệm đặc trưng có các phần thực bằng không đều có tước cơ bản
đơn (kúc là nó ứng uới các ô Joocdan chỉ có một phân tủ)
1.4.2 Định lý (3|) Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.10) uới ma trận hằng A ổn định tiệm cận khi uà chỉ khi tắt cả các nghiệm đặc trưng À¡ = À;(A) của A đều có phần thục âm, túc là
1eÀ;(A) < 0 (7 = 1, ,n)
Trang 12CHUONG 2
TÍNH ¿- BỊ CHẶN VÀ TÍNH ¿-ÔN ĐỊNH CUA HỆ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH
2.1 Tính —bị chặn của hệ phương trình vi phân tuyến tính R* là không gian Eucli ø—chiều Chuẩn của ø = (#1.3, , Xn)? được xác định ||z|| = max {|#| |2a| , |#»|} Ma trận thực A cỡ n xn véi chuẩn
|A] = supjejj<i ||A2'l]
Cho w; : Ry > (0;00) , i= 1,2, ,n 1& cc ham lién tuc va
wv = diag{yi, H2, Ủa}
Nhận thấy ma trận ¿(/) là ma trận khả nghịch với moi ¢ > 0
2.1.1 Dịnh nghĩa ([7]) Hàm ¿ : R; —› R*" được gọi là —bị chặn trên
R, néu w(t)y(t) bị chặn trên R
2.1.2 Chú ý Khi |¿(1)| < e< œ và ló~!(9)| << œ với 0 << œ thì hầm #(/) bị chặn R, tương đương với z(£) là w—bi chan trén R,
2.1.3 Định nghĩa ([7]) Hàm ¿ : R, —› R” được gọi là ¿—khả tích Lobe trên R, nếu ¿(/) đo được và (/)¿(1) khả tích Lơbe trên R¿
Xét hệ phương trình vi phần tuyến tính
với hàm f 1a w—kha tich Lobe trén R,
Cho A(l) lA ma trận hàm vuông cấp n liên tục trên R„ và phương trình
vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng là
Ký hiệu Y (0) là ma trận cơ bản của (2.2) chuẩn hóa tại 0 (Y (0) = 1;)
Ký hiệu X¡ = {u € JR”|u = 2(0), a(t) la nghiệm j— bị chặn của hệ (2.2)}
Trang 13Ky hiéu X_ 1a mét khong gian con cia R” sao cho X;@ Xo = R” Giả sử Ạ,ƒ› là các phép chiếu tudng ting cia R” lén X1, Xo ttic IA
P? = P,, P3? = Po, Im P, = Xi, Im Py = Xo
2.1.4 Chi y Khi thay R, bdi R_ trong các định nghĩa (2.1.1) và định
nghĩa (2.1.3), ta có các khái niệm ¿j— bị chặn trên R_ và ¿— khả tích Lơbe trên R_ của hàm y(t)
2.1.5 Bồ đề Massera va Schaffer ([5]) Cho h(t) la ham không âm, khả tích địa phương sao cho
2.1.6 Dinh ly Banach ([2]) Néu T la mot song ứnh tuyến tính liên tục
ctia khong gian Banach X lên khéng gian Banach Y, thi todn tử ngược TT lién tuc
2.1.7 Dinh ly ([7]) Gia sé A(t) la ma tran thuc cé n x n liên tục theo LCR¿ Khi đó uới mỗi hàm f la — khả tích Lobe trén Ry hé (2.1)có ít
Trang 14nhất một nghiệm tÙ— bị chặn trén Ry khi va chi khi cé hang sé duong K sao cho
D={r:R, >R": z là liên tục tuyệt đối trên đoạn J C IR,, ¿—bị chặn
trén R,, 7(0) € Xa, #{) — A()z() thuộc B}
Ta nhận thấy Œ„ là không gian Banach với chuẩn
Ta chứng mình (7D, ||.|Íp) là không gian Banach Cho {#„}„, ø = 1.2,
là dãy cơ bản trong / thì {z„}„ là dãy co ban trong Œ„ Vì vậy, tồn tại hàm liên tục và bi chan 2 : R, — R” sao cho
lim 7(t)z,(t) = a(t) déu trén R,
Xét dãy, {ƒ„()}.n = 1,2, với ƒ„() = ý()„() — A()#z„(1)) là dãy
cơ bản trong L, với L là không gian Banach của tất cả các hàm vectơ khả tích Lơbe trên IR, với chuẩn
ini= fiver (0)ldi:
Trang 15Vì vậy tồn tại hàm ƒ trong L sao cho
Vay 2'(t) — A(t)z(t) = f(t) € B va Z() là liên tục tuyệt đối trên đoạn
J CR, nén 2(t) € D Từ lim #()z„(0) = ¿()#() đều trên R và
Ta có #(0) € Xin X¿ = {0} Vậy # = 0 nên toán tử 7' là một-một
Cho f € B va cho x(t) 1a nghiém w—bi chặn trên IR„ của hệ (2.1) Cho
z(t) la nghiém cua bai toan Cauchy
2 = A(t)z+ f(t), 2(0) = '›z(0)
Trang 16Cho nên x(t) — z(t) IA nghiệm của (2.2) với 7›(z(0) — z(0)) = 0, ở đây (0) — z(0) € X¡ Vì vậy a(t) — z(t) la w—bi chan trén R, nén z(t) la ¿—bị
chan trén R, Ta cé z(t) € D va Tz = ƒ Suy ra T là toàn ánh Theo định
lý Banach thì 7! cũng là toán tử bị chặn và tồn tại hằng số K = |[T~!||—1
sao cho với ƒ € B va véi nghiém x € /) của hệ (2.1) thi
-Y(Œ)HĐY~"'(u) với <t<u
Ta nhận thấy Œ liên tục đường thang t = u,
ở đây f la ham w—kha tich Lobe trén R,, nhận thay x(t) là nghiệm y—bi
chặn trên R„ của (2.1) Đó là điều phải chứng mình L]
Trang 17Từ định lý (2.1.7) ta thu được kết quả sau:
2.1.8 Dinh ly Gia su A(t) là ma tran thuc cén xn én tuc theot € R_ Khi d6 vdi mỗi hàm f la w—kha tich Lobe trén R_ hé (2.1) có ít nhất một nghiém y)—bi chan trén R_ khi va chi khi cé hang sé duong K sao cho
l¿Œ)Y@Œ)DY~}{s)¿~'{s)|< K, tới s <t <0; n
l¿Œ)Y@Œ)PBY}{s)# †{(s)|< K, tới! < s <0 (2-7)
Chiing minh Chiing minh dinh ly nay hoan toàn tương tự như chứng minh trên Khi ta thay P, bdi —P), thay —oo bdi +oœ O 2.1.9 Ví dụ Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính (2.2) với
a 0
Aw =(6 4):
6 day a,b ER
Ma trận cơ bản của hệ phương trình (2.2) chuẩn hoá tại 0
Trang 18Ta nhận thấy (0) là nghiệm — bị chặn của (2.2), (0) € Xị Mặt khác,
P.y(0) = 0 thì y(0 ) = Poy(0) € Xo Vay y(0) = 0 nén y(t) = 0 với £ > 0 Với £ > 0 ta có
Trang 19Với £ > ta ta có
lit()z(0II< lø(ĐY ni [ru (0)P,|I|Y~1(s)/()|ds
+ Í lo)Y()P.Y~!@)ø=16)lle(s)/(6)llds + / lu@)Y(ĐP2Y—'(s)0—1(s)LIle(s)/()llds
< Ii@9Y0)Pillllst0 ihe freon s)|lds
4 J ear s)||ds <e
Vay jim |l¿()+(2)|| = 0 Đó là điều phải chứng minh
—oœ
2.1.11 Chú ý ([7|) Điều kiện ƒ là —khả tích Lơbe trên R, không thé
thay thế bởi các điều kiện khác nhẹ hơn chang hạn ƒ là —bị chặn trên R, Ngay cả ƒ là hàm thỏa mãn điều kiện
im |Ie(0)/0)J|=0
Ví dụ sau sẽ mình hoạ cho nhận xét trên:
2.1.12 Ví dụ ([7]) Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính (2.2) với A(t) = Og Thi Y(t) = l; là ma trận cơ bản của phương trình (2.2) chuẩn
Trang 20Giả thiết của định lý thoả mãn với K = 1 Khi d6, ta lay f(t) =
(JE+1, (t+1)-?)? thi jm |l¿(¿)ƒ()|| = 0 Mặt khác nghiệm hệ (2.1) là
Nghiệm này là không j—bị chặn trén R,
Xét trường hợp f la ham w—bi chặn trén R,
2.1.14 Dinh ly ([4]) Gia sté ma tran co ban Y(t) chuan hod tai 0 cia hé (2.2) thoả mãn
Il¿()Y ()Y1(s)¿'(s)||< Ke2f~®, sới t 3 s 3 0,
trong dé K, y là các hằng số đương
Khi đó uới mỗi hàm ƒ là ¿— bị chặn trên lR, hệ (2.1) có ít nhất một nghiệm
—b¿ chặn trên Ñ„ nếu uà chỉ nếu có các hằng số duong K, va a sao cho
|¿Œ)Y()DBY1(s)¿ 1{s)|< Kie"°H~9, uới 0 € s <
@)Y()DY}(s)¿-1{(s)| < Kie °6-Đ, wi O<t<s
Chứng trinh Điều kiện đủ: Giả sử phương trình (2.1) thoả mãn điều kiện (2.8) Xét hàm
#(1) = | ()Y@)PY}{s) ƒ(s)ds — [ u(L)Y (t) PaY *(s) f (s)ds
(2.8)
- [ w(L)Y (t) PY !(s)b\(s)e(s) f(s)ds
_ [ Ÿ ø(0Y)PyY~s)ð~1(s)j(s)/(s)4s
Trang 21véit > 0 Ta chứng minh hàm Z(£) 14 bi chin R, That vay, do f 1a w—bi chan trén R, nén ta cé
t1
/ ll¿(s)ƒ(s)l|ds < e, với £ 5 0
i thì từ bổ đề (2.1 OU ), ta có
r'(t) = aot f YW)P.Y')/6)4 = ƒ Y()PsY~ˆ(s)ƒ(s)ds]
FY (WAY UFO) FY OPY MOK
nên #(/) là nghiệm của hệ (2.1) Suy ra điều kiện đú được chứng minh Điều kiện cần: Đặt
Œụ = {2 :]R, — IR”;z là ¿-bị chặn và liên tục trên R,}
Nhận thấy C„ là không gian Banach với chuẩn
llzllc, = sup ll¿)+0)|: t>0
Ta chứng mình hệ (2.1) có duy nhất nghiệm 2(¢) 1a w-bi chan va x(0) €
Xa với ƒ € Œ„ Ngoài ra tồn tại hằng số dương ? không phụ thuộc vào ƒ sao cho
Ia" œ„ ST||ƒlc,- (2.9) Thật vậy, giả sử ƒ € C„ Từ giả thiết tồn tại nghiệm z() là ¿-bị chặn
của hệ (2.1) Giả sử z(f) là nghiệm của bài toán Cauchy
ự = A(t)y; y(0) = —P,2(0)