TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN TOÀN CỤC VÀ ỔN ĐỊNH MŨ TOÀN CỤC CỦA MÔ HÌNH MẠNG NƠRON VỚI TRỄ KHÔNG BỊ CHẶN

Khóa luận tốt nghiệp TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN TOÀN CỤC VÀ ỔN ĐỊNH MŨ TOÀN CỤC CỦA MÔ HÌNH MẠNG NƠRON VỚI TRỄ KHÔNG BỊ CHẶN Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Giảng viên h

Khóa luận tốt nghiệp

TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN TOÀN CỤC VÀ ỔN ĐỊNH MŨ TOÀN CỤC

CỦA MÔ HÌNH MẠNG NƠRON VỚI TRỄ KHÔNG BỊ CHẶN

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Giảng viên hướng dẫn: T.S TRẦN THỊ LOANSinh viên thực hiện: NGUYỄN THỊ GÁI

Lớp: K60A

HÀ NỘI 5 - 2014

Lời nói đầu iv

1.1 Không gian hàm chấp nhận được 1

1.2 Phương trình vi phân với trễ vô hạn 5

1.3 Tích phân Riemann-Stieltjes 6

1.4 M-ma trận 7

1.5 Một số kiến thức khác 8

2 Nội dung 10 2.1 Tính ổn định đều 10

2.2 Tính ổn định tiệm cận toàn cục và ổn định mũ toàn cục 12

2.3 Mạng nơron Cohen-Grossberg 18

2.4 Ứng dụng 23

i

Từ công trình mở đầu của Hopfield năm 1982 [14], một vài lớp mô hìnhmạng nơron đã trở thành đối tượng nghiên cứu do những ứng dụng rộng rãi củachúng trong nhiều lĩnh vực khoa học như tối ưu hóa tổ hợp, nhận dạng mẫuhình, xử lí tín hiệu và hình ảnh, liên kết bộ nhớ.

Năm 1983, Cohen và Grossberg [3] đã đề xuất và nghiên cứu mạng nơronnhân tạo được mô tả bới hệ phương trình vi phân thường (ODEs)

và năm 1984 Hopfield nghiên cứu trường hợp riêng của (0.1) với ki ≡ 1 ,

có thể làm mất tính ổn định cuả hệ, nó cũng có thể dẫn tới những dáng điệutuần hoàn, tái tạo các diện mạo sinh học liên quan tới mạch nơron điều khiểncác hoạt động nhịp nhàng như thở, tim đập, di chuyển

Trong hơn hai thập kỉ, một vài dạng tổng quát có hoặc không có trễ của

mô hình (0.1) được đưa ra bao gồm hệ thống mạng nơron tĩnh, mạng nơron tếbào, mạng nơron liên kết bộ nhớ hai chiều, Mới đây, việc nghiên cứu về cácphương trình vi phân có trễ (DDEs) mô tả mạng nơron sinh học hoặc nhân tạo

đã thu hút sự quan tâm rất lớn của các nhà toán học cũng như các nhà khoahọc khác và rất nhiều các ấn phẩm có giá trị đã được giới thiệu Trong côngtrình này các tác giả nghiên cứu về tính ổn định toàn cục của một lớp các mô

ii

hình mạng nơron Cohen-Grossberg ô tô nôm với trễ phân phối vô hạn có dạng:

xt(s) = x(t + s) với s ≤ 0

Đối với DDEs có trễ vô hạn, việc chọn một không gian pha Banach chấpnhận được (thường gọi là không gian fading memory) được đặt biệt quan tâmnhằm mục đích thu được các kết quả thông dụng về tính đặt đúng bài toán giátrị ban đầu Đó về sự tồn tại, tính duy nhất và tính thác triển của các nghiệm,tính compact tương đối của các quỹ đạo dương bị chặn Ở đây, để đơn giản hóa

ta luôn giả sử rẳng các điều kiện ban đầu bị chặn trên(−∞, 0] Điều này thườngmặc định trong các tài liệu về hệ thống mạng nơron với trễ không bị chặn và là

lí do tại sao trong hầu hết các bài viết việc lựa chọn không gian pha một cách

rõ ràng không được đề cập đến

Bản luận văn này được viết dựa theo nội dung chính của công trình nói trên

Bố cục luận văn được chia như sau:

Chương 1: Trình bày các kiến thức liên quan về không gian hàm chấp nhậnđược, tích phân Riemann-Stieltjes, M- ma trận

Phần 3 đưa ra các kết quả được áp dụng để thiết lập các tiêu chuẩn cho tính

ổn định tiệm cận toàn cục và ổn định mũ toàn cục của điểm cân bằng đối với

mô hình mạng nơron (0.3)

Phần 4 dành cho các ứng dụng của các tiêu chuẩn đối với từng mô hìnhriêng Trong suốt phần này là sự so sánh các kết quả đạt được trong luân văn

với các tài liệu khác, chỉ ra sự tiến bộ trong phương pháp của chúng ta khi ápdụng cho một vài mô hình khác nhau.

Để hoàn thành khóa luận này, em đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ quý báucủa thầy cô, gia đình và bạn bè

Đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo-TS Trần Thị Loanngười đã trược tiếp hướng dẫn và giúp đỡ em tận tình trong quá trình thực hiện

đề tài

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán-Tin, đặc biệt là cácthầy cô trong tổ bộ môn Giải tích đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ em trong quá trìnhhọc tập và thực hiện đề tài

Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới bạn bè và những người thân luônđộng viên giúp đỡ em hoàn thành khóa luận

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 28/4/2014

Sinh viên

NGUYỄN THỊ GÁI

x = (x1, , xn) ∈Rn.

x∗= (x∗1, , x∗n) ∈Rn là điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân có trễ

|.| là chuẩn cố định trong Rn

|x| = max{|xi| : i = 1, , n}

ODEs: Các phương trình vi phân thường

DDEs: Các phương trình vi phân có trễ

FDE : Phương trình vi phân hàm

U Cg: Không gian hàm chấp nhận được

g(s) liên tục đều trên (−∞, 0]}

BC (hay BCg): BC = BC((−∞, 0];Rn) là không gian con của U Cg

k.kg: Chuẩn trong không gian U Cg cho bởi ||ϕ||g = sup

u>0: kí hiệu véc tơ u = (u1, , un)T với ui > 0, ∀i = 1, , n

v

Các kiến thức liên quan

Kí hiệu |.| là một chuẩn trong Rn Ta giả sử rằng:

(M1) B là không gian vectơ thực của:

(i) các hàm liên tục ánh xạ từ (−∞, 0] vào Rn với φ = ψ trong B nếuφ(s) = ψ(s) trên (−∞, 0]

hoặc

(ii) Các hàm đo được ánh xạ từ (−∞, 0] vào Rn với các phần tử φ = ψ(hoặc φ tương đương với ψ ) trong B nếu φ(s) = ψ(s) hầu khắp nơitrên (−∞, 0] và φ(0) = ψ(0)

(M2) B được cho với chuẩn |.|B

(M3) B là không gian đầy với chuẩn |.|B

Như vậy không gian B với chuẩn |.|B là một không gian Banach Kí hiệu là(B, |.|B) hay đơn giản là B

Cho 0 ≤ a < A ≤ ∞, nếu x : (−∞, A) →Rn xác định trên (−∞, A) và liên tụctrên [a, A) với xa ∈ B thì với mọi t ∈ [a, A) ta có:

1

(N1) xt∈ B;

(N2) xt∈ B liên tục theo t với chuẩn |.|B;

(N3) |xt|B ≤ K max

a≤s≤t |x(s)| + M (t − a)|xa|B;(N4) |φ(0)| ≤ J|φ|B với mọi φ trong B

Ví dụ 1.1.1 Cho g : (−∞, 0] → [1, +∞) là hàm cho trước và các điều kiện sau:(g1) g là hàm liên tục không tăng và g(0) = 1;

(g2) lim

u→0

g(s + u)

g(s) = 1 đều trên (−∞, 0];(g3) g(s) → ∞ khi s → −∞

Cho φ ∈ Cg, ta định nghĩa chuẩn của φ bởi:

Chứng minh Thật vậy:

Lấy {φ n } là dãy Cauchy trong U C g

suy ra∀ε > 0, ∃n0sao cho∀m, n > n0thì||φn−φm||g < εhaysup

s≤0

|(φn− φm)(s) g(s) < ε

ε

3+

ε 3M ≤ εVậy φ liên tục

+Chứng minh sup

s≤0

|φ(s)|

g(s) < ∞

∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho

φn(s) g(s) −φn(s

0 ) g(s0)

φn(s) g(s) − φn(s

0 ) g(s0)

+

φn(s0) g(s0) −φ(s

0 ) g(s0)

< ε + ε + ε < 3ε.

với n đủ lớn

suy ra φ(s)

g(s) liên tục đều

Vậy ta có điều phải chứng minh

Theo chứng minh trong [22] ta có U Cg là không gian hàm chấp nhận được.Định nghĩa 1.1.2 Cho B là một không gian chấp nhận được B được gọi làmột không gian "strong fading memory" nếu trong (N3)

M (t) → 0 khi t → ∞.

Kí hiệu In := {(t, s) : t ≥ n, s ≤ −n} với mỗi n ∈N

Định lí 1.1.1 Giả sử g thỏa mãn (g1) và x : (−∞, ∞) →Rn với x0 ∈ Cg và x

bị chặn và liên tục đều trên [0, ∞) Hơn nữa, giả sử rằng ánh xạ t → xt liên tụcvới chuẩn |.| g trên [0, ∞) Khi đó, nếu

thì quỹ đạo dương {xt : t ≥ 0} là compact tương đối trong Cg

Định lí 1.1.2 Giả sử g : (−∞, ∞) → [1, ∞) thỏa mãn (g1), (g2) với g(s) ≡ 1trên [0, ∞), khi đó các điều kiện sau là tương đương:

(Q2) U C g là không gian "strong fading memory".

(Q3) Nếu x : (−∞, ∞) →Rn, x bị chặn và liên tục đều trên [0, ∞) với x 0 ∈ U C g

thì {xt : t ≥ 0} là tập compact tương đối trong Cg

(Q4) Tồn tại một hàm giảm, liên tục đều h : (−∞, ∞) → [0, ∞) với h(t) ≡ 0 trên

[0, ∞) sao cho lim

n→∞ inf

(t,s)∈I n

[h(s) − h(s + t)] = ∞ và g(s) ≡ eh(s) trên (−∞, 0].(Q5) Tồn tai γ, δ > 0 sao cho e−γs ≤ g(s) ≤ e−δs với mọi |s| đủ lớn, s < 0

Định nghĩa 1.2.1 Phương trình vi phân hàm có trễ [13]

Cho B là không gian Banach với chuẩn |.|B

Một phương trình vi phân hàm có trễ trên Ω, viết tắt là RF DE(f ) hoặc

RF DE(f, Ω) là một hệ thức

˙x(t) = f (t, xt) (1.3)trong đó, Ω là tập mở trong R× B và f : Ω →Rn là hàm liên tục cho trước.Với mỗi nghiệm của RF DE(f ) trên khoảng I ∈ R, ta định nghĩa một hàm

x :[{(−∞, t] : t ∈ I} →Rn thỏa mãn (t, xt) ∈ Ω với t ∈ I, x(t) có đạo hàm liêntục và thỏa mãn (1.3) trên I Cho (σ, φ) ∈ Ω, ta nói x(σ, φ) là một nghiệm củaREDF (f ) qua(σ, φ) nếu tồn tại một số A > σ sao cho x(σ, φ)là một nghiệm của

RF DE(f ) trên [σ, A] và x σ (σ, φ) = φ Ở đây ta có thể kí hiệu x(σ, σ, φ) = φ(0) làgiá trị xác định trong Rn với |φ(0)|5K|φ|B, trong đó x(t, φ, σ) là kí hiệu giá trịtrong Rn của x(σ, φ) tại t =σ

Xem tài liệu [21]

Bổ đề 1.2.1 Nếu σ ∈R, φ ∈ C cho trước, f (t, σ) liên tục thì việc tìm được mộtnghiệm của (1.3) qua (σ, φ) tương đương với việc giải phương trình tích phân

Định lí 1.2.2 Giả sử Ω là tập con mở của R× C, f ∈ C(Ω,Rn) và f (t, φ) làLipschitz theo φ trên một tập compact trong Ω Nếu (σ, φ) ∈ Ω thì có một nghiệmduy nhất của RF DE(f ) qua (σ, φ).

Định lí 1.2.3 [13] Giả sử rằng Ω là tập con mở của R× C, f ∈ C(Ω,Rn) và

x là một nghiệm của RF DE(f, Ω) không thác triển được trên [σ0, δ) Khi đó, vớimỗi tập compact W ∈ Ω tồn tại một số tw sao cho (t, xt) / ∈ W với tw < t < δ.Định lí 1.2.4 [13] Với các điều kiện như trong Định lí 1.2.3, nếu f ánh xạ cáctập con đóng và bị chặn trong Ω thành các tập bị chặn trong Rn thì với mỗi tập

bị chặn W ∈ Ω tồn tại dãy tk → δ− sao cho (tk, xtk) / ∈ W.

Hơn nữa, nếu ∃ r > 0 và K∗ thỏa mãn

|φ|[−r,0]|5K∗|φ|B,thì tồn tại một số tw sao cho (t, xt) / ∈ W với tw < t < δ

Xem tài liệu [20]

Định nghĩa 1.3.1 Cho α là hàm đơn điệu tăng trên đoạn [a, b] (vì α(a) và α(b)hữu hạn nên hàm α bị chặn trên [a, b]) Nếu P là phép phân hoạch nào đó củađoạn [a, b] thì đặt

I = sup L(P, f, α), (1.5)trong đó các cận trên và cận dưới cũng lấy theo mọi phép phân hoạch.

Nếu vế trái của các đẳng thức (1.4), (1.5) bằng nhau thì giá trị chung củachúng được kí hiệu là

(ii) Cho một vectơ u > 0 ta có Au=0, Au 6= 0.

(iii) Mọi giá trị riêng của A đểu dương hoặc mọi định thức con chính của Adương

Ma trận A được gọi là một M-ma trận nếu A có các thuộc tính (i) và (ii)

Ma trận A được gọi là M-ma trận không suy biến nếu A có các thuộc tính(i)-(iii)

- Ta thường dùng ký hiệu diag(a 1 , a 2 , , a n ) để chỉ một ma trận đường chéocấp n có các phần tử trên đường chéo lần lượt là a 1 , a 2 , , a n.

Kí hiệu lớp Zn (n ≥ 1) là tập tất cả các ma trận vuông cấp n có các phần tửngoài đường chéo chính đều không dương:

(i) Tồn tại một vectơ x=0 sao cho Ax > 0

(ii) Tồn tại một vectơ x > 0 sao cho Ax > 0

(iii) Tồn tại một ma trận đường chéo D có các phần tử trên đường chéo dươngsao cho các phần tử của ma trận AD = (wij) thỏa mãn điều kiện với mỗi ithì wii >X

i6=j

|wij|.(iv) Mọi giá trị riêng thực của các ma trận con chính của A đều dương

(v) Mọi định thức con chính của A dương

(vi) Mọi giá trị riêng thực của ma trân A dương

Tính ổn định của nghiệm x = 0 của phương trình vi phân hàm

Cho f :R× C →Rn là một hàm liên tục Xét phương trình vi phân hàm:

˙x(t) = f (t, x t ) (1.8)trong đó f (0, t) = 0, ∀t ∈R, C = C([ − r, 0],Rn)

Định nghĩa 1.5.1 (i) Ngiệm x = 0 của phương trình (1.8) được gọi là ổnđịnh nếu với bất kì σ ∈ R, ε > 0 tồn tại δ = δ(ε, σ) sao cho nếu φ ∈ B(0, δ)thì x(σ, φ)(t) ∈ B(0, ε) với t ≥ σ

(ii) Nghiệm x = 0 của phương trình (1.8) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó

ổn định và tồn tại b0 = b0(σ) sao cho nếu φ ∈ B(0, b0)kéo theo x(σ, φ)(t) → 0khi t → +∞

(iii) Nghiệm x = 0 của phương trình (1.8) được gọi là ổn định tiệm cận toàncục nếu nó ổn định và hút toàn cục

Nội dung

Xét không gian BC = BC((−∞, 0];Rn) các hàm liên tục và bị chặn

φ : (−∞, 0] → Rn Rõ ràng BC ⊆ U C g với ||φ|| g = ||φ||∞ Khi đó BC đượcxem như một không gian con của U C g, thường được viết là BC g

Cho một tập mở D ⊆ U Cg và f : [0, +∞) × D →Rn liên tục, xét phương trình

vi phân hàm (FDE)

.

x(t) = f (t, x t ), t ≥ 0 (2.1)trong đó, hàm xt : (−∞, 0] → Rn xác định bởi xt(s) = x(t + s) với s ≤ 0 Với

g thỏa mãn (g1)−(g3), không gian pha U Cg là một không gian Banach chấpnhận được đối với (2.1) Do đó, các kết quả về sự tồn tại, tính duy nhất và liêntục là hợp lí [13] Ta luôn giả sử rằng f thỏa mãn các giả thiết để có tính duynhất nghiệm đối với bài toán giá trị ban đầu Nghiệm của (2.1) với điều kiệnban đầu xt0 = ϕ được kí hiệu là x(t, to, ϕ)

Trong các ứng dụng cho hệ thống mạng nơron, chúng ta chỉ quan tâm tớiđiều kiện ban đầu bị chặn

xto = ϕ, với ϕ ∈ BC, t0 ≥ 0 (2.2)

Từ [13], nếu f ánh xạ các tập con đóng và bị chặn trong miền xác định của

nó thành các tập bị chặn trong Rn thì nghiệm của (2.1) với điều kiện ban đầu(2.2) tồn tại trong đoạn [0, a] khi mà nó còn bị chặn

Trong [5], ta đã thu được kết quả về tính bị chặn của tập nghiệm của phươngtrình vi phân với trễ hữu hạn (2.1) với chuẩn |x| được chọn trong Rn Sau đây,một kết quả tổng quát được đưa ra với chuẩn đó nhưng cho trường hợp trễkhông bị chặn

10

Bổ đề 2.1.1 Xét phương trình (2.1) trong U C g và giả sử rằng f biến các tậpđóng và bị chặn trong [0, +∞) × D thành các tập bị chặn trong Rn Cũng giả sửrằng:

(H1) Với mọi t ≥ 0 và ϕ ∈ U Cg sao cho |ϕ(s)|

ta chứng minh rằng nghiệm x(t) xác định trên [0, a] thỏa mãn |x(t)| ≤ ||x0||g với

0 ≤ t ≤ a Chứng minh tương tự Bổ đề (3.2) trong [5] ( cũng như Định lí 3.1trong [4])

Cho x(t) = x(t, 0, ϕ)là một nghiệm của (2.1) trên[0, a] vớia > 0, và ||ϕ||g = k.Giả sử rằng tồn tại t1 > 0 sao cho |x(t1)| > k và xác định

Bổ đề 2.1.2 Xét phương trình (2.1) trong không gian U C g và giả sử rằng f biếncác tập đóng và bị chặn trong [0, +∞) × D thành các tập bị chặn trong Rn Giả

sử thêm rằng:

(H2) Với mọi t ≥ 0 và ϕ ∈ BC sao cho |ϕ(s)| < |ϕ(0)|, với s ∈ (−∞, 0) và với

i ∈ {1, , n} sao cho |ϕ(0)| = |ϕi(0)| thì ϕi(0)fi(t, ϕ) < 0

Khi đó, mọi nghiệm của (2.2) với điều kiện ban đầu trong BC được xác định

và bị chặn trong [0, −∞) Hơn nữa, nếu x(t) = x(t, 0, ϕ), ϕ ∈ BC là một nghiệmcủa (2.2) thì |x(t, 0, ϕ)| ≤ ||ϕ||∞ với mọi t ≥ 0

toàn cục

Trong phần này, ta nghiêm cứu tính ổn định tiệm cận toàn cục và ổn định

mũ toàn cục của một điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân hàm với trễ

vô hạn có dạng:

.

xi(t) = −ρi(t, xt)[bi(xi(t)) + fi(xt)], i = 1, , n, t ≥ 0 (2.3)trong đó, ρ i : [0, ∞) × U C g → (0, ∞), b i :R→R và f i : U C g →R là các hàm liêntục, i = 1, , n

Lớp các phương trình vi phâm hàm tổng quát này bao gồm hầu hết các môhình mạng nơron (ô tô nôm) với trễ vô hạn giới thiệu trong tài liệu, được đưa

ra ở Phần 3 và 4 Chương 2 Như đã đề cập ở phần trước, với các mô hình mạngnơron với trễ không bị chặn, các điều kiện ban đầu luôn luôn được giả sử là bịchặn Do đó, xuyên suốt bài này, ta lấy BC là tập với các điều kiện ban đầuchấp nhận được và chỉ xét các nghiệm của mô hình tổng quát (2.3) với các điềukiện ban đầu (2.2)

Định nghĩa 2.2.1 Nếu x∗∈Rn là một điểm cân bằng của (2.3),

(i) x∗ được gọi là ổn định tiệm cận toàn cục (trong tập nghiệm chấpnhận được) nếu nó hút toàn cục trong Rn, nghĩa là x(t) → x∗ khi t → ∞,với mọi nghiệmx(t) với điều kiện ban đầu trongBCg, và ổn định trong U Cg

(ii) x∗ được gọi là ổn định mũ toàn cục nếu tồn tại các hằng số dương ε, M saocho

|x(t, 0, ϕ) − x∗| ≤ M e−εt||ϕ − x∗||, với mọi t > 0, ϕ ∈ BC

Có thể thấy rằng định nghĩa trên về tính ổn định mũ của một điểm cân bằng

x∗ là phổ biến trong các tài liệu về mạng nơron có trễ vô hạn nhưng nó khôngbao gồm tính ổn định của x∗ trong không gian pha U Cg với chuẩn ||.||g

Do đó, đối với hệ (2.3) ta xét các giả thiết sau đây:

(A1) Cho M > 0 nào đó, sup{ρi(t, φ) : φ ∈ BC, ||φ||∞ ≤ M, t ≥ 0} < ∞ và

Giả sử tồn tại x, y ∈ R, x 6= y sao cho H(x) = H(y), suy ra bi(xi) + fi(x) =

bi(yi)+fi(y)với mọii = 1, , nhaybi(xi)−bi(yi) = fi(y)−fi(x)với mọii = 1, , n

Vì x 6= y nên tồn tại xi 6= yi sao cho kx − yk = |xi− yi| 6= 0 Do đó ta có

bi(xi) − bi(yi)

xi− yi

... 0

toàn cục< /h3>

Trong phần này, ta nghiêm cứu tính ổn định tiệm cận tồn cục ổn định

mũ toàn cục điểm cân hệ phương trình vi phân hàm với trễ

vơ hạn có... trước, với mô hình mạngnơron với trễ khơng bị chặn, điều kiện ban đầu luôn giả sử b? ?chặn Do đó, xuyên suốt này, ta lấy BC tập với điều kiện ban đầuchấp nhận xét nghiệm mơ hình tổng... đóng bị chặn miền xác định

nó thành tập bị chặn Rn nghiệm (2.1) với điều kiện ban đầu(2.2) tồn đoạn [0, a] mà cịn bị chặn

Trong [5], ta thu kết tính bị chặn