Hàm với biến phân bị chặn và hàm liên tục tuyệt đối

Vậymột câu hỏi đặt ra là: Liệu có thể tìm được một không gian véc tơ nàochứa tất cả các hàm đơn điệu hay không?. Câu trả lời là có, người ta đã sử dụng ngôn ngữ "Biến phân" để xây dựng m

mPackage inputenc Error: Keyboard character used is undefinedin inputencoding

‘utf8’See the inputenc package documentation for explanation.You need to provide a definition with or before using this key.m3

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Văn Bằng, người

đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn em trong quá trìnhthực hiện luận văn này

Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân, bạn bè đãđộng viên và tạo điều kiện để em hoàn thành luận văn này

Hà Nội, ngày 09 tháng 05 năm 2011

Tác giả

Trần Thị Hoàn

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của TS Trần Văn Bằng

Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từngđược công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác

Hà Nội, ngày 09 tháng 05 năm 2011

Tác giả

Trần Thị Hoàn

Lời cảm ơn 2

1.1 Biến phân theo từng điểm 7

1.2 Phép hợp các hàm trong BP V (I) 27

1.3 Không gian BP V (I) 31

1.4 Chỉ đồ Banach 40

2 Hàm liên tục tuyêt đối 48 2.1 Không gian các hàm liên tục tuyệt đối 48

2.2 Quy tắc đạo hàm hàm hợp và phép đổi biến 73

2.3 Hàm kì dị 89

4

1 Lý do chọn đề tài

Các hàm đơn điệu đóng vai trò quan trọng trong giải tích cổ điển.Nếu để nói về việc nghiên cứu hàm đơn điệu thì có lẽ phải dùng chínhngôn ngữ của Toán học là "vô cùng" Như ta đã biết: Cho khoảng

I ⊂ R Tập hợp các hàm đơn điệu u : I → R không là không gianvectơ, vì nói chung, hiệu của hai hàm đơn điệu thì không đơn điệu Vậymột câu hỏi đặt ra là: Liệu có thể tìm được một không gian véc tơ nàochứa tất cả các hàm đơn điệu hay không? Câu trả lời là có, người ta đã

sử dụng ngôn ngữ "Biến phân" để xây dựng một không gian, có tên

là "Không gian tất cả các hàm có biến phân bị chặn" chính làkhông gian nhỏ nhất chứa tất cả các hàm đơn điệu Tuy nhiên khônggian này còn khá rộng để nghiên cứu mối liên hệ giữa phép tính vi tíchphân và phép tính tích phân (theo nghĩa Lebesgue) Để khắc phục hạnchế đó, người ta lại đi tìm một không gian véc tơ nhỏ hơn "Không giantất cả các hàm liên tục tuyệt đối" Các hàm trong không gian nàythỏa mãn Định lý cơ bản về phép tính vi tích phân đối với tích phânLebesgue Mở rộng rồi lại thu hẹp, mối quan hệ giữa hai không gian trênnhư thế nào? và chúng có những tính chất đặc biệt gì? Điều đó, đã thúcđẩy em đi đến việc chọn đề tài "Hàm với biến phân bị chặn và hàmliên tục tuyệt đối"nhằm mục đích tìm hiểu về hai loại hàm trên vàtìm hiểu câu trả lời cho những câu hỏi vừa nêu trên

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu

về các tính chất đặc trưng của hai không gian: Không gian các hàm có

biến phân bị chặn và không gian các hàm liên tục tuyệt đối.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Ngiên cứu một số định nghĩa, định lý, tính chất về: Hàm với biếnphân bị chặn và hàm liên tục tuyệt đối

Đưa ra một số bài tập áp dụng các định lý và các tính chất trêncùng với một số bài tập và ví dụ phản chứng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Hàm với biến phân bị chặn và hàm liên tục tuyệt đối

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích lồi và giải tíchbiến phân hiện đại

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóaluận của em gồm 2 chương:

Chương I: Hàm với biến phân bị chặn

Chương II: Hàm liên tục tuyệt đối

Chương 1

Hàm với biến phân bị chặn

Cho khoảng I ⊂ R Tập hợp các hàm đơn điệu u : I → R không

là không gian vectơ, vì nói chung, hiệu của hai hàm đơn điệu thì khôngđơn điệu

Trong chương này, chúng ta sẽ mô tả không gian véc tơ nhỏ nhất cáchàm u : I → R chứa tất cả các hàm đơn điệu

Cho khoảng I ⊂ R Một phân hoạch của I là một tập P :={x0, x1, , xn} ở đó, x0 < x1 < < xn

Định nghĩa 1.1 Cho khoảng I ⊂ R và hàm u : I → R

Biến phân theo từng điểm (gọi tắt là biến phân) của u trên khoảng I làgiá trị:

Varu := supn

n

X

i=1

|u(xi) − u(xi−1)|o (1.1)

trong đó, cận trên đúng được lấy trên tất cả các phân hoạch P :={x0, x1, , xn} của I, n ∈ N

Hàm u : I → R được gọi là có biến phân hữu hạn hoặc biến phân bị chặnnếu Varu < ∞

7

Không gian tất cả các hàm u : I → R với biến phân bị chặn được

kí hiệu là: BV P (I)

Nhận xét 1.2 Chú ý rằng, nếu một trong các điểm đầu mút, chẳnghạn b := supI ∈ I thì trong định nghĩa của Varu, ta chỉ cần xét nhữngphân hoạch có xn = b Thật vậy, nếu P := {x0, x1, , xn} là một phânhoạch với xn < b thì P0 := {x0, x1, , xn, b} cũng là một phân hoạch của

|u(xi) − u(xi−1)| + |u(b) − u(xn)| ≤ Varu

Để nhấn mạnh sự phụ thuộc vào khoảng I, chúng ta thường kíhiệu VarIu

Nếu khoảng I suy biến tức là inf I = supI thì ta viết VarIu = 0

Hàm u : I → R được gọi là có biến phân hữu hạn địa phương hoặcbiến phân bị chặn địa phương nếu Var[a,b]u < ∞, ∀[a, b] ⊂ I

Không gian tất cả các hàm u : I → R có biến phân bị chặn địaphương được kí hiệu là BP Vloc(I)

Nếu I = [a, b] thì BP Vloc([a, b]) = BP V ([a, b])

Nếu Ω ⊂ R là một tập mở thì ta có thể viết Ω như hợp đếm đượccác khoảng mở đôi một rời nhau:

và u được gọi là có biến phân bị chặn trong Ω nếu Varu < ∞

Không gian tất cả các hàm u : Ω → R có biến phân bị chặn cũngđược kí hiệu là: BP V (Ω)

Nếu u : I → Rd thì ta định nghĩa biến phân của u giống như Địnhnghĩa 1.1 nhưng giá trị tuyệt đối bây giờ được thay thế bởi chuẩn trong

Rd

Không gian tất cả các hàm u : I → Rd có biến phân bị chặn(biến phân bị chặn địa phương) được kí hiệu là BP V (I; Rd)(tương ứng,

BP Vloc(I; Rd))

Sau đây là một số bài tập:

Bài tập 1.3 (i)Nếu u : [a, b] → R khả vi khắp nơi và đạo hàm u0 của

|u0(x)| dx

Đối chiếu với định lý Katznelson-Stromberg dưới đây

Bài tập 1.4 Cho u : [0, 1] → R được định nghĩa bởi:

Bài tập 1.5 Cho u, v ∈ BP V ([a, b]).Chứng minh rằng:

(i)u ± v ∈ BP V ([a, b])

(ii) u · v ∈ BP V ([a, b])

(iii)Nếu v(x) ≥ c > 0, ∀x ∈ [a, b] và với c > 0 thì uv ∈ BP V ([a, b]).(iv)Điều gì sẽ xảy ra nếu ta thay thế [a, b] bởi một khoảng bất kỳ I ⊂ R(có thể không bị chặn)?

Chúng ta chuyển sang một vài tính chất chung của hàm với biếnphân bị chặn

Mệnh đề 1.6 Cho khoảng I ⊂ R và hàm u : I → R Khi đó ta có(i)Với mỗi c ∈ I,

VarI∩(−∞,c]u + VarI∩[c,∞)u = Varu

(iii)Nếu I không chứa đầu mút phải của nó thì

lim

x→(supI)−

VarI∩(−∞,x]u = Varu

Đồng thời,nếu I không chứa đầu mút trái của nó thì

lim

x→(inf I)+

VarI∩[x,∞)u = Varu

Chứng minh (i)Cố định c ∈ I Với mỗi x 6= c, xét phân hoạch P :={c, x} Khi đó

|u(x)| ≤ |u(c)| + |u(x) − u(c)| ≤ |u(c)| + Varu,

và Q := {y0, y1, , ym} là phân hoạch của I1 và I2 Theo Nhận xét 1.2

ta có thể giả sử rằng xn = y0 = c Khi đó, P ∪ Q là một phân hoạch của

|u(yi) − u(yi−1)| ≤ Varu

Đầu tiên, lấy cận trên đúng trên tất cả các phân hoạch P của I1 sau đólấy trên tất cả các phân hoạch Q của I2 ta có kết quả:

VarI u + VarI u ≤ Varu

Đảo lại, giả sử P := {x0, x1, , xn} là một phân hoạch của I Lấy

m ∈ {1, 2, , n} sao cho xm−1 ≤ c ≤ xm Khi đó, P1 := {x0, x1, , xm−1, c}

và P2 := {c, xm, , xn} tương ứng là các phân hoạch của I1 và I2, do đó

Lấy cận trên đúng trên tất cả các phân hoạch P của I, ta có

Varu ≤ VarI1u + VarI2u

(iii) Theo phần (ii), ta chỉ cần xét trường hợp Varu > 0 Giả sử I khôngchứa đầu mút phải (các trường hợp khác của nó tương tự) và cố định

0 < t < Varu Theo Định nghĩa của Varu ta có thể tìm một phân hoạch

P := {x0, x1, , xn} của I sao cho

t <

n

X

i=1

|u(xi) − u(xi−1)|

Với mỗi x ∈ (xn, supI), ta có P là một phân hoạch của I ∩ (−∞, x|, và

vì vậy theo phần (ii),

do hàm x ∈ I 7→ VarI∩(−∞,x]u là hàm tăng (theo phần (ii)) Bây giờ cho

t % Varu, ta có điều phải chứng minh

Nhận xét 1.7 Lấy I = [a, b], với a < b, theo Mệnh đề 1.6 (ii) với mỗi

c ∈ [a, b], ta có

Var[a,c]u + Var[c,b]u = Var[a,b]u

Bài tập 1.8 Cho khoảng I ⊂ R và u ∈ BP V (I) Chứng minh rằng,nếu I chứa điểm mút phải b := supI và u liên tục trái tại b thì

lim

x→b −VarI∩(−∞,x]u = Varu

Ví dụ 1.9 Hàm u(x) := sinx, x ∈ R là hàm bị chặn và thuộc BP Vloc(R)nhưng không thuộc BP V (R) (vì sao?)

Tiếp theo chúng ta nghiên cứu mối quan hệ giữa hàm đơn điệu vàhàm có biến phân bị chặn

Mệnh đề 1.10 Cho khoảng I ⊂ R và hàm u : I → R là hàm đơn điệu.Khi đó, với mỗi khoảng J ⊂ I,

(u(xi) − u(xi−1))

= u(xn) − u(x0) ≤ sup

Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại (V arJu ≥ supJ u − infJ u), tachỉ cần xét trường hợp J là tập không suy biến Xét phân hoạch

P := {a, b} ⊂ J , với inf J ≤ a < b ≤ supJ Khi đó,

u(b) − u(a) = |u(b) − u(a)| ≤ VarJu

Nếu supJ ∈ J thì lấy b = supJ , ta có u(b) = supJ u, nếu supJ /∈ J thìcho b % supJ , ta có u(b) → supJ u

Biện luận tương tự cho điểm đầu mút trái, ta có

sup

J

u − inf

J u ≤ VarJu

Ta có điều phải chứng minh

Hàm V được giới thiệu trong định lý sau đây đặc biệt quan trọngtrong phần tiếp theo

−Var[x,x0]u nếu x < x0 (1.2)Khi đó, với ∀x, y ∈ I, với x < y, ta có

|u(y) − u(x)| ≤ V (y) − V (x) = Var[x,y]u (1.3)

Nói riêng, ta có V và V ± u là các hàm tăng

Chứng minh Cố định x, y ∈ I, với x < y Theo Nhận xét 1.7,

(1.4)

Vì |u(y) − u(x)| ≤ Var[x,y]u nên ta có bất đẳng thức (1.3).

Từ (1.3) ta suy ra V (x) ≤ V (y) và

±(u(y) − u(x)) ≤ |u(y) − u(x)| ≤ V (y) − V (x) (1.5)

Do đó, hàm V và V ± u là các hàm tăng

Hàm V trên đây được gọi là biến phân bất định của hàm u

Nhận xét 1.12 Để nhấn mạnh sự phụ thuộc vào x0 hoặc vào u, khicần thiết chúng ta sẽ viết: Vx0 hoặc Vx0,u

Nhận xét 1.13 Chú ý rằng khi inf ∈ I, thì bằng cách chọn x0 ∈ inf I

ta có hàm đơn giản hơn:

(i)Chứng minh rằng, nếu u liên tục phải (tương ứng, liên tục trái) tại

x ∈ I thì cũng liên tục phải (trái) tại điểm đó

(ii)Chứng minh rằng nếu u ∈ BP V (I) thì supIV − infIV = Varu

Từ Bài tập 1.14 cùng với (1.3), ta thấy u liên tục tại x nếu và chỉnếu V liên tục tại x

Tuy nhiên, bài tập sau đây cho thấy điều này không đúng với tính khảvi

Bài tập 1.15 Cho u : [0, 1] → R được xác định bởi:

u(x) :=

(

xa.cosx1 nếu 0 < x ≤ 1,

ở đó, a > 0 Chứng minh rằng:

(i)Nếu a = 2 thì u0(0) = 0 6= V0(0) < ∞

(ii)Nếu 1 < a < 2 thì u0(0) = 0, trong khi V0(0) = ∞

Bài tập 1.16 Cho hàm u : [a, b] → R, các số thực mở rộng:

ở đó, cận trên đúng được lấy trên tất cả các phân hoạch P := {x0, x1, , xn}của [a, b], n ∈ N lần lượt được gọi là biến phân dương và âm của u trên[a, b] Chứng minh rằng, nếu u ∈ BP V ([a, b]) thì

Varu = PVaru + NVaru

và

u(b) − u(a) = P Varu − NVaru

Hệ quả sau đây của Định lý 1.11 tương tự Hệ quả 0.40

Hệ quả 1.17 Cho khoảng I ⊂ R và u : I → R là một hàm đo được.Khi đó, với h > 0,ta có

1hZ

(V (x + h) − V (x)) dx

≤ V (b) − V (a) = Var[a,b]u

Xây dựng một dãy tăng của các đoạn [an, bn] sao cho an & inf I,

bn % supI Nếu diamIh > 0 thì với mọi n đủ lớn, ta có 0 < h < bn − an

và vì vậy theo bất đẳng thức trên, ta có

1h

I h

|u(x + h) − u(x)| dx ≤ Varu

Rõ ràng bất đẳng thức vẫn đúng nếu diamIh = 0, vì lúc đó tích phânbên trái bằng 0 Điều phải chứng minh

Mệnh đề đảo của Hệ quả 1.17 sẽ được chứng minh trong Hệ quả1.43 Một hệ quả khác của Định lý 1.11 là kết quả được đề cập ở đầuchương, đó là đặc trưng của không gian véc tơ nhỏ nhất các hàm u :

I → R chứa tất cả các hàm đơn điệu

Định lí 1.18 Cho khoảng I ⊂ R Không gian véc tơ nhỏ nhất các hàm

u : I → R chứa tất cả các hàm đơn điệu (tương ứng, các hàm đơn điệu

bị chặn) là không gian BP Vloc(I) (tương ứng,BP V (I)) Hơn nữa, mọihàm thuộc BP Vloc(I) (tương ứng,BP V (I)) đều có thể viết thành hiệucủa 2 hàm tăng (tương ứng, hai hàm tăng và bị chặn)

Chứng minh Giả sử u, v : I → R và t ∈ R Theo (1.1) với mỗi khoảng

J ⊂ I, ta có

VarJ(tu) = |t| VarJu, VarJ(u + v) ≤ VarJu + VarJv (1.7)

Do đó, BP Vloc(I) (tương ứng, BP V (I)) là một không gian véc tơ(kgvt).Theo Mệnh đề 1.10 không gian BP Vloc(I) (tương ứng,BP V (I)) chứa tất

cả các hàm đơn điệu (tương ứng, chứa tất cả các hàm đơn điệu bị chặn)

Để chứng minh rằng nó là nhỏ nhất, ta chỉ cần chứng minh mọi hàm

thuộc BP Vloc(I) (tương ứng,BP V (I)) đều có thể viết thành hiệu củahai hàm tăng (tương ứng, hai hàm tăng bị chặn) Thật vậy, ta có

2(V + u) −

1

2(V − u)

Bài tập 1.19 Cho I = [a, b] Chứng minh rằng:

(i)Nếu v : I → R có biến phân bị chặn và có tính chất giá trị trung gianthì v liên tục

(ii)Nếu u : I → R là hàm khả vi và u0 có biến phân bị chặn thì u0 liêntục

Bài tập 1.20 Cho khoảng I ⊂ R và hàm u ∈ BP Vloc(I) liên tục phải(tương ứng,liên tục trái) Chứng minh rằng 2 hàm 12(V + u) và 12(V − u)không cùng gián đoạn tại x ∈ I0

Bài tập 1.21 Cho 2 khoảng I, J ⊂ R, hàm f ∈ BP Vloc(I) và u : I → J

là một hàm đơn điệu Chứng minh rằng f ◦ u ∈ BP Vloc(I)

n=1u0n(x) không hội tụ đều trong [−1, 1]

(iv)Tìm một công thức cho u0

(v)Những kiến thức gì liên quan đến Bài tập này

Kết quả theo sau là hệ quả của Định lý 1.18

Hệ quả 1.23 Cho khoảng I ⊂ R và hàm u ∈ BP Vloc(I) Khi đó, vớimỗi x ∈ I, các giới hạn

lim

y→x +u(y) := u+(x), lim

y→x −u(y) := u−(x)

tồn tại trong R, u có không quá đếm được các điểm gián đoạn và khả vihầu khắp nơi(h.k.n) trong I Hơn nữa, với mỗi [a, b] ⊂ I,

Z b a

Chứng minh Bước 1: Theo Định lý 1.18 với mỗi hàm thuộc BP Vloc(I)

là hiệu của 2 hàm tăng nên từ Định lý 1.2 và Định lý Lebesgue, ta có

u+(x) và u−(x) tồn tại trong R, với mỗi x ∈ I Do đó u có không quáđếm được các điểm gián đoạn và khả vi h.k.n trong I Để chứng minh(1.8), lấy [a, b] ⊂ I và xét hàm tăng V được định nghĩa trong (1.2) Lấy

x ∈ (a, b) sao cho cả 2 hàm u và V đều khả vi tại x Khi đó, từ (1.3) suy

|V0| dx ≤ V (b) − V (a) = Var[a,b]u (1.12)

Bước 2: Nếu u ∈ BP V (I) thì lại theo Định lý 1.18, u là hiệu của 2 hàmtăng và bị chặn Do đó, u bị chặn và các giới hạn (1.9) tồn tại trong

R Để chứng minh (1.10), ta tiến hành như phần cuối của chứng minhMệnh đề 1.10, từ (1.12) suy ra

Nhận xét 1.24 Chú ý trong phần hai của chứng minh cũng có thể sửdụng hàm V∞ được định nghĩa trong (1.6) Thật vậy, ở bước 1 ta có hàm

x%supIV∞(x) − lim

x&inf IV∞(x)

Giả sử P = {x0, x1, , xn} là một phân hoạch của [a, b] với

a = x0 < x1 < < xn = x, ta định nghĩa hàm v : [a, b] → R bằng quynạp như sau:

Nếu u(x0) ≤ u(x1) thì với mỗi x ∈ [x0, x1], đặt v(x) := u(x) − u(x0).Nếu u(x0) > u(x1) thì với mỗi x ∈ [x0, x1], đặt v(x) := u(x0) − u(x).Cho 1 ≤ k < n và giả sử rằng v đã được định nghĩa trên [x0, xk]

Nếu u(xk) ≤ u(xk+1) thì với mỗi x ∈ (xk, xk+1], đặt

(ii)V (x) = V ar[a,x]v, với mỗi a ≤ x ≤ b và

(iii) Với mỗi n ∈ N, tồn tại 1 hàm vn : [a, b] → R để V − vn là hàm tăng,

V (a) = vn(a) ,V (b) − vn(b) ≤ 21n và |vn0(x)| = |u0(x)| h.k.n, x ∈ [a, b].(iv)V0(x) = |u0(x)| h.k.n, x ∈ [a, b]

Định lý 1.18 chứng tỏ rằng mọi hàm trong BP Vloc(I) có thể viếtnhư hiệu của 2 hàm tăng

Định lí 1.26 (Katznelson-Stromberg)

Tồn tại 1 hàm u : R → R trong BP Vloc(R) khả vi khắp nơi, không đơnđiệu trên bất kỳ khoảng nào, u0 bị chặn và không khả tích Riemann trênbất kỳ khoảng nào

Chứng minh Bước 1: Cho s, t ∈ R Nếu s > t > 0 thì

4

√

1 + b = 4 min{φ(a), φ(b)}.

hội tụ đều trên các tập con bị chặn của R và khả vi tại a với F0(a) = s.

Để chỉ ra điều này, lấy b ∈ R sao cho |a| < b Theo bước 3 và (1.15),

∀−b ≤ x ≤ b, ta có

|Ψn(x)| ≤

Z a 0

ψn(t)dt

... là

`− biến phân bị chặn, với ` ∈ N u ◦ g bị chặn `− biến phân

bị chặn

(iii)Chứng minh rằng, u : [0, 1] → R có biến phân bị chặn

và g : [0, 1] → [0,... [0, 1] → [0, 1] cho u ◦ g có biến phân b? ?chặn, ∀u : [0, 1] → R có biến phân bị chặn g : [0, 1] → R `− biếnphân bị chặn, với l ∈ N

Gợi ý, khơng với n ∈ N tìm khoảng In... biến phân bị chặn

và g : [0, 1] → [0, 1] `− biến phân bị chặn, với mỗi` ∈ N u ◦ g c? ?biến phân bị chặn

(iv )Với n ∈ N, cho gn : [0, 1] → {0,31n}