Hàm có biến phân giới nội và định lý riesz

Nội dung chính của khóa luận là dịch ra tiếng Việt và trình bàylại nội dung của một số mục – có liên quan đến hàm có biến phângiới nội và Định lý Riesz – trong Chương 9, Chương 10 của cu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Ngô Thị Thùy

HÀM CÓ BIẾN PHÂN GIỚI NỘI VÀ ĐỊNH LÝ RIESZ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Ngô Thị Thùy

HÀM CÓ BIẾN PHÂN GIỚI NỘI VÀ ĐỊNH LÝ RIESZ

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS TSKH Nguyễn Đông Yên

Hà Nội – Năm 2016

Mục lục

1.1 Khái niệm hàm có biến phân giới nội 5

1.2 Hàm liên tục tuyệt đối 18

2 Tích phân Stieltjes 34 2.1 Độ đo Stieltjes 34

2.2 Tích phân Lebesgue-Stieltjes 38

2.3 Tích phân Riemann-Stieltjes 40

2.4 Định lý Riesz 49

Lời cảm ơn

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH NguyễnĐông Yên, người đã tận tình hướng dẫn tác giả thực hiện khóa luậntốt nghiệp này

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong tổGiải Tích và các thầy cô giáo trong Ban chủ nhiệm Khoa Toán trườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo những điều kiện tốt nhất để tác giả

có thể hoàn thành khóa luận này

Hà Nội, ngày 28 tháng 4 năm 2016

Ngô Thị Thùy

Lời cam đoan

Khóa luận tốt nghiệp này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của

GS TSKH Nguyễn Đông Yên

Nội dung chính của khóa luận là dịch ra tiếng Việt và trình bàylại nội dung của một số mục – có liên quan đến hàm có biến phângiới nội và Định lý Riesz – trong Chương 9, Chương 10 của cuốn sáchIntroductory Real Analysis (Dover Publications, New York, 1970) của

A N Kolmogorov và S V Formin, xây dựng một số ví dụ minh họacho phần lý thuyết, và đưa ra lời giải một số bài tập

Hà Nội, ngày 28 tháng 4 năm 2016

Ngô Thị Thùy

Lời mở đầu

1 Lí do chọn đề tàiGiải tích hàm là một nhánh của giải tích toán học, mà hạt nhâncủa nó là lý thuyết về các không gian véctơ được trang bị bởi một dạngcấu trúc có liên quan đến giới hạn (ví dụ như tích vô hướng, chuẩn,tôpô, v.v ) và các toán tử tuyến tính tác động trên các không gian đó,phù hợp với những cấu trúc đã cho theo một nghĩa nhất định Nguồngốc của giải tích hàm nằm ở sự nghiên cứu các không gian hàm và cácbiến đổi của các hàm số, ví dụ như biến đổi Fourier Cách tiếp cậnnày đã tỏ ra đặc biệt hữu ích trong việc khảo sát các phương trình viphân và các phương trình tích phân

Hàm có biến phân giới nội và tích phân Stieltjes là các khái niệmquan trọng của giải tích hàm Chúng có nhiều ứng dụng trong lý thuyếtcác không gian hàm, lý thuyết xác suất, lý thuyết tối ưu Chính nhờ

sử dụng tích phân Lebesgue-Stieltjes mà người ta có thể mô tả đượckhông gian đối ngẫu của không gian C[a, b] (Định lý Riesz)

Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiếu sâu hơn về giải tíchhàm và các ứng dụng, theo gợi ý của thầy hướng dẫn, tôi đã chọn đềtài "Hàm có biến phân giới nội và Định lý Riesz" cho khóa luận tốtnghiệp này

2 Mục đích nghiên cứuNghiên cứu các tính chất cơ bản của các hàm có biến phân giới nội,tích phân Stieltjes, và ứng dụng của chúng trong Định lý Riesz

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các tính chất của các hàm có biến phân giới nội vàtích phân Stieltjes

-Trình bày nội dung của Định lý Riesz cùng với một chứng minhđầy đủ

- Xây dựng một số ví dụ minh họa cho phần lý thuyết

- Giải một số bài tập tiêu biểu, nhằm hiểu rõ lý thuyết các hàm cóbiến phân giới nội và tích phân Stieltjes

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứuCác kiến thức liên quan đến hàm có biến phân giới nội và tíchphân Stieltjes như: các định lý về hàm có biến phân giới nội, hàm liêntục tuyệt đối, độ đo Stieltjes, tích phân Lebesgue-Stieltjes, tích phânRiemann-Stieltjes, Định lý Riesz

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng kết hợp các phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lý luận,phân tích, tổng hợp, so sánh; sử dụng các kiến thức từ giải tích cổđiển, cơ sở giải tích hàm, tôpô đại cương

6 Bố cục luận vănNgoài phần mở đầu, phần kết luận, và danh sách ba tài liệu thamkhảo, khóa luận gồm hai chương:

Chương 1: Hàm có biến phân giới nội,Chương 2: Tích phân Stieltjes

Chương 1

Hàm có biến phân giới nội

Chương này gồm hai mục bàn về hàm có biến phân giới nội, hàm liêntục tuyệt đối

Kiến thức trình bày trong chương được lấy từ Mục 32 và Mục 33trong tài liệu [2]

1.1 Khái niệm hàm có biến phân giới nội

Định nghĩa 1.1 Một hàm f xác định trên đoạn [a, b] ⊂ R được gọi

là có biến phân giới nội (of bounded variation) nếu tồn tại một hằng

a = x0 < x1 < < xn = b (1.2)

của [a, b] bởi các điểm chia x0, x1, , xn

Ví dụ 1.1.1 Mọi hàm đơn điệu đều có biến phân giới nội Thật vậy,cho f : [a, b] −→ R là một hàm đơn điệu tuỳ ý Không giảm tínhtổng quát, ta có thể giả sử rằng f (x) ≤ f (x0) với mọi x, x0 ∈ [a, b] mà

x < x0 Đặt C = f (b) − f (a) ≥ 0 Và xét một phân hoạch bất bỳ códạng (1.2) của đoạn [a, b] Ta có

Điều này chứng tỏ rằng f là hàm có biến phân giới nội trên [a, b]

Ví dụ 1.1.2 Hiệu hai hàm đơn điệu là hàm có biến phân giới nội.Thật vậy, cho f , g là hai hàm đơn điệu tùy ý Không giảm tính tổngquát, ta có thể giả sử f (x) ≤ f (x0) và g(x) ≤ g(x0) với mọi x, x0 ∈ [a, b]

mà x < x0 Đặt C1 = f (b) − f (a), C2 = g(b) − g(a), C = C1 + C2.Xét một phân hoạch bất kỳ có dạng (1.2) của đoạn [a, b] Ta có

2 + 2kπ nếu k chẵnvới mọi k ∈ {1, 2, , n − 1} Ta có

|f (xk) − f (xk−1)| =

xksin 1

xk − xk−1sin 1

xk−1

Nếu k chẵn, thì

|f (xk) − f (xk−1)| =

... sắc vào lớp hàmliên tục có hai tham số từ khái niệm hàm có biến phân giới nội Ta sẽthấy rằng, tùy thuộc vào quan hệ hai tham số dương, hàm đượcxét có biến phân giới nội khơng có biến phân giới nội. Bài... giới hạn n −→ ∞, ta

Ta biết có tồn hàm liên tục [a, b] mà khơng

có biến phân giới nội [a, b] Định lý sau lớp cáchàm liên tục có biến phân giới nội, hàm liên tục tuyệt đối .Định lý. .. class="page_container" data-page="12">

Định lý 1.1 Nếu f g hàm có biến phân giới nội [a, b],thì f + g hàm có biến phân giới nội [a, b] và< /p>

Định lý 1.2 Nếu a < c < b,

Vab(f