Hàm số siêu giải tích trên mặt phẳng phức

Hà Tien Ngoan, lu¾n văn Thac sĩ chuyên ngành Toán giái tích vói đe tài “Hàm so siêu giái tích trên m¾t phang phNc” đưoc hoàn thành bói nh¾n thúc cna... Nhieu tính chat thú v% cna hàm chí

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

Mã so : 60 46 01 02

Ngưòi hưóng dan khoa hoc

PGS TS Hà Tien Ngoan

Hà N®i, 2013

Lài cám ơn

Tôi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói PGS TS Hà Tien Ngoan, ngưòi

đã đ%nh hưóng chon đe tài và t¾n tình hưóng dan đe tôi có the hoànthành lu¾n văn này

Tôi cũng xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói phòng sau đai hoc, cácthay cô giáo day cao hoc chuyên ngành Toán giái tích, trưòng Đai hoc

Sư pham Hà N®i 2 đã giúp đõ tôi trong suot quá trình hoc t¾p

Nhân d%p này tôi cũng xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình,ban bè đã luôn đ®ng viên, co vũ, tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tôitrong quá trình hoc t¾p và hoàn thành lu¾n văn

Hà N®i, ngày 05 tháng 11 năm 2013

Tác giá

Bùi Th% Thùy

Lài cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna PGS TS Hà Tien Ngoan,

lu¾n văn Thac sĩ chuyên ngành Toán giái tích vói đe tài “Hàm so siêu giái tích trên m¾t phang phNc” đưoc hoàn thành bói nh¾n thúc cna

Mnc lnc

Má

đau 3

Chương 1 HÀM SO SIÊU GIÁI TÍCH 5

1.1 Hàm c hính hình 5

1.1.1 Khái ni¾ m hàm chính hình 5

1.1.2 Các tính chat cna hàm chính hình 6

1.2 Hàm siêu phúc 7

1.2.1 So siêu phúc 7

1.2.2 Hàm so siêu phúc 9

1.2.3 T oán tú D 9

1.3 Hàm siêu giái tích 10

1.3.1 Khái ni¾ m hàm so siêu giái tích 10

1.3.2 Sn ton tai nghi¾m sinh cna hàm siêu giái tích 11

1.3.3 Công thúc tích phân Cauchy đoi v ói hàm siêu giái tích 14

Chương 2 HÀM SO SIÊU GIÁI TÍCH SUY R®NG 18

2.1 T oán tú P ompieu siêu phúc 18

2.1.1 Các đ%nh nghĩa và đ%nh lý 18

2.1.2 T oán tú P ompieu siêu phúc 21

2.1.3 Các tính chat cơ bán cna toán tú P ompieu siêu phúc 24

2.2 Hàm so siêu giái tích suy r®ng Đ%nh lý Liouville 28

2.2.1 Hàm so siêu giái tích suy r®ng 28

2.2.2.Không gian L p,ν ( C ) 29

2.2.3 Đ%nh lý Liouville 38

4

2.3 Công thúc tích phân Cauchy đoi v ói hàm so siêu giái tích suy

r®ng 40

2.3.1 Công thúc tích phân Cauchy 40

2.3.2 Các ket quá v e tính tr n ơ cna nghi¾m 46

Ket lu¾n

52

T ài li¾u tham kháo

53

5

Má đau

1 Lí do chon đe tài

Lý thuyet hàm so chính hình m®t bien phúc đã đưoc hình thành vàphát trien tù lâu Nhieu tính chat thú v% cna hàm chính hình đã đưocnghiên cúu trong Giáo trình hàm so m®t bien phúc

Trong nhung năm 50-60 cna the ký 20, khái ni¾m hàm chính hìnhm®t bien phúc đã đưoc mó r®ng và khái quát thành hàm vectơ siêu giáitích và sau nua là hàm vectơ siêu giái tích suy r®ng Nhieu tính chat cnahàm so loai này tương tn cna các hàm chính hình đã đưoc chúng minh

Vì v¾y chúng tôi chon đe tài lu¾n văn thac sĩ cna mình là “Hàm so siêu giái tích trên m¾t phang phNc.”

N®i dung chính cna lu¾n văn đưoc tham kháo tù chương 1 cna tài li¾u[2]

Bo cuc cna lu¾n văn gom 2 chương :

Chương 1 trình bày các khái ni¾m, tính chat cna các hàm chínhhình, hàm siêu phúc và hàm siêu giái tích Công thúc tích phânCauchy đoi vói hàm siêu giái tích

Chương 2 trình bày ve toán tú Pompieu, khái ni¾m hàm siêu giái tíchsuy r®ng, đ%nh lý Liouville và công thúc tích phân Cauchy đoi vói hàmsiêu giái tích suy r®ng và các đ%nh lý ve sn ton tai và tính trơn cna hàmsiêu giái tích suy r®ng

2 Mnc đích nghiên cNu

Mô tá lý thuyet hàm so siêu giái tích trên m¾t phang phúc, các tính chat cơ bán cna các hàm so này

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

• Tong quan lý thuyet hàm chính hình m®t bien phúc;

• Đưa ra khái ni¾m hàm siêu giái tích và siêu giái tích suy r®ng;

• Phát bieu và chúng minh các tính chat cơ bán cna các hàm so trên.

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Hàm so siêu giái tích và siêu giái tích suy r®ng cna m®t bien so phúc,công thúc tích phân Cauchy đoi vói các hàm so loai này

5 Phương pháp nghiên cNu

Nghiên cúu lý thuyet : thu th¾p tài li¾u, đoc và phân tích, tong hop đeđưoc m®t nghiên cúu tong quan ve hàm so chính hình m®t bien phúc và

lý thuyet hàm siêu giái tích và siêu giái tích suy r®ng

6 DN kien đóng góp mái cúa đe tài

Tong quan ve lý thuyet hàm siêu giái tích và siêu giái tích suy r®ng

Chương 1 HÀM SO SIÊU GIÁI TÍCH

1.1 Hàm chính hình

1.1.1 Khái ni¾m hàm chính hình

Hàm f xác đ%nh trong mien Ω ⊂ C vói giá tr% trong C đưoc goi là chsnh

moi z ∈ D(z0, r ) ⊂ Ω, túc là ton tai giói han

Neu f chính hình tai moi z ∈ Ω thì ta nói f chính hình trên Ω.

Neu ta đ¾t z = x + iy, thì z = x − iy là liên hop cna so phúc z Hàm so f (z) là chsnh hình khi và chí khi nó thóa mãn phương trình

Neu ta đ¾t f = u + iv, trong đó u và v lan lưot là phan thnc

và phan áo cna f, thì phương trình (1.1) tương đương vói h¾ phươngtrình

Cauchy-Riemann sau đây ∂u ∂v

neu

11

(iv) Neu f ∈ H(Ω)

và f chs nh¾n giá tr% thnc thì f

là không đoi.

Chúng minh Ta chí

chúng minh (iv), vì f

chí nh¾n giá tr% thnc nên

.

Đ%nh lý 1.2 (ve hàm hop) Neu f : Ω −→ Ω ∗ và g : Ω∗ −→ C là các



k

làcá

c sophúc,

( + 1)

×

(r

+1 )

Đ%nh nghĩa 1.1

Ma tr¾n a như trên goi là m®t so siêu phúc

Ma tr¾n r

đơn v%

van đưoc

ký hi¾u

a0

goi

l à

p h a n p

húc cúa a và là phan lũy linh, a k goi là thành phan thú k cúa a.

a k e

k goi

Chú ý rang e là lũy linh cap r + 1, túc là e r+1 =

−

trong đó A là phan lũy linh cna a.



Khi q = 0 thì toán tú D chính là toán tú Cauchy-Riemann Do đó toán tú D đưoc goi là toán tú Cauchy-Riemann suy r®ng.

Tù tính lũy linh cna e và tù (1.4), (1.6) ta suy ra công thúc sau

1.3 Hàm siêu giái tích

1.3.1 Khái ni¾m hàm so siêu giái tích

Đ%nh nghĩa 1.3 Hàm siêu phúc w ∈ C1(Ω) là nghi¾m cúa phương trình

Khái ni¾m hàm siêu giái tích là sn mó r®ng khái ni¾m hàm chínhhình Hai tính chat sau cna hàm siêu giái tích có the de dàng kiem tra

: giá sú u và v là các hàm siêu giái tích Khi đó

(i) D(uv) = uDv + vDu và do đó hàm uv cũng là siêu giái tích; (ii) Neu u =

z

+.

q

p m w m z

m=0

= 0,

và do đó w pz = 0 vì w m ≡ 0 vói m ≤ p −

1 Vì v¾y w p là giái tích trong

Ω và do đó các không điem cna nó b% cô l¾p (chú ý rang cnc điem cũng b% cô l¾p)

Bây giò chúng ta giói thi¾u khái ni¾m nghi¾m sinh

1.3.2 SN ton tai nghi¾m sinh cúa hàm

Cho B k,α(Ω) là không gian các hàm siêu phúc

t (z) đưoc goi là nghi¾m

sinh vói toán tú D neu

Đe mô tá nghi¾m

sinh t(z), đau tiên ta

giói thi¾u toán tú

Pompieu vói mien Ω b%ch¾n như sau

1 ¸¸

((

−

Ω

f (ζ)dξdη ,

ζ − z

trong đó ζ = ξ + iη Hai tính chat sau cna JΩf là rat can thiet :

(i) Neu f ∈ B n,α (Ω) vói 0 < α < 1, n ≥ 0, và f ∈ L p(Ω) vói

1 ≤ p < 2, thì JΩf ∈ B n +1,α(Ω);

∂

(ii) JΩf (z) = f (z), z ∈ Ω.

∂

Bây giò ta chí ra rang, đe ton tai nghi¾m sinh, ta can phái có thêm các

giá thiet các hàm q k , k = 1, · · · , r thu®c B 0,α (Ω) vói 0 < α < 1,

và có the thác trien lên C theo nghĩa chúng thu®c B 0,α(C) và tri¾ttiêu bên ngoài m®t hình tròn đn lón

∂z t j

k=0

=0.

k=1 j=0

Tù đó t(z) là m®t nghi¾m sinh, ta cũng thay rang t(z) + E, vói E là

lũy linh cũng là nghi¾m sinh

z

Các tính chat sau cna t se thưòng đưoc sú dung:

Nhó lai rang 1

t (ζ) −

t (z)

là ký hi¾u khác (t(ζ) − t(z))−1 Ngh%ch đáo này

ton tai cùng vói ζ − z, phan phúc cna t(ζ) −

t (z) là (ζ − z) và khác 0.

Bat đang thúc . (1.9) de suy ra tù

1

1 r

k

= 0

bói huu han các đưòng cong đóng khá vi tùng

dt

t

.

(1

11)

¸¸

D

+

w d x

d y

=

1

¸2

z ).

đieu này cho ta đang thúc đưoc mô tá trong đ%nh lý.

1.3.3 Công thNc tích phân Cauchy đoi vái hàm siêu giái tích

Đ%nh lý 1.6 (Douglis, 1953)(Công thúc tích phân Cauchy đoi vói hàm

siêu giái tích)

Cho Ω, ∂Ω, và t như Đ%nh lý 1.5 Cho u ∈ C1(Ω) là hàm siêu phúc và

u z

Chúng minh Cho s > 0, và ký hi¾u Ω s = Ω \ S s (z0), trong đó

∆(z,

z0)k

.

| z

− z

− z

(

z

− z

− z

0

1

=

d k

+1

z z

Neu u là hàm siêu giái tích,

thì tương tn như v¾y ta có công thúc tích phân Cauchy

H¾ quá 1.1 Neu u là hàm siêu

Tù bieu dien tích phân Cauchy

dienhuu ích sau cna hàm siêu giái

tích theo r + 1 các hàm giái

tích Vói ký hi¾u ∆(z, z0) := T (z) − T (z0) Ta thay

1

))k

0

=

d t

z , z l

0

l

= 0

(

−

1)(

!

)

m

dt

( )

r

=

∆(

z , z

m m

)

l

!

l=0∂ z

(ζ

z)

m

= 0

0

∂

−

Chương 2 HÀM SO SIÊU GIÁI TÍCH SUY

Đ%nh nghĩa 2.1 Cho Ω là m®t mien trong C, và cho w, v ∈ L1 (Ω).

¸ ¸

1

1

lo c c

lo c c

t z [wDφ + vφ] dxdy = 0 (2.1)

Ω

trong đó tz là nghi¾m sinh cúa toán tú D.

c

lo c

c

Ta công nh¾n hai ket quá sau

Đ%nh lý 2.2 Cho f ∈ L1

∂f (Ω) là hàm giá tr% phúc và giá sú rang ton

∂f

∂z

loc lo

c

Đ%nh lý 2.3 Giá sú hàm giá tr% phúc f có tính chat

(Ω), p > 1, thì

và v k ∈ L p ∂z

∈ L loc (Ω), vói j = 0, · · · , k − 1, (Ω) V츸

lo

c

và do đó

∂w k

∂z

=

−

∂w k

∂z

và,vìv

¾y

∂z

∂w k

p loc (Ω) Bang

quy nap

thì, v k ∈

L p

(Ω)

suy ravà

∂

∂

p loc (Ω) vói k =

0, · · · , r Rõ

ràng tù tính tuyen

tính và neu (2.4)

đúng vói moi hàm phúc, thì (2.2) và

các hàm siêu phúc

Vì v¾y ta có các ket quá sau:

lo c

∈ L

∈ L

lo c

lo c

r cn

a

q i ,

th

eo qu

y na

1,α

(Ω) vó

t kỳ

α

sa

o ch

H

¾ q u

á 2.

1.

N eu D

w

=

0

tr on

g

Ω

, th

ì

w

là

siêu giái tích tron

2.1.2 Toá

n tN Po mpi

eu siêu phN c

Vói các hàm siêu phúc

ta đ

%nhnghĩ

a toán

tú Pompieu

JΩ

bói1

η.

(2.5)

theo nghĩa cúa Đ%nh nghĩa 2.2.

đ¾c trưng cna Ω0 Khi đó vói z = x + iy, ζ = ξ + iη, ta có

vói M rr < ∞ Như v¾y, phan thú nhat cna đ%nh lý đưoc chúng minh.

Vói phan thú hai, ta thay rang vói φ ∈ C1(Ω) ta có

Ω

lo c

vì φ = 0 trên ∂Ω Áp dung đ%nh lý Fubini ta có

viet như t zφ vói φ ∈ C1(Ω) Do đó, DJΩv = v theo nghĩa trong

không gian Sobolev Đe khang đ%nh, ta sú dung đ%nh lý Fubini

lo c

Trong muc tiep theo, M (·) se đưoc ký hi¾u là m®t hang so phu thu®c

lo c

lo c

vào m®t vài hang so và hàm so nào đó Ta ký hi¾u p r là so sao cho1

+ (T (ζ) − T (z))(T (ζ) − T (z

r))

(ζ − z)(ζ − z r)

Vì T ∈ B 1,α (C), ta có đieu phái chúng minh.

2.1.3 Các tính chat cơ bán cúa toán tN Pompieu siêu phNc

Ta có các đ%nh lý tương úng vói các ket quá cho toán tú Pompieu siêuphúc

Đ%nh lý 2.7 Cho Ω là mien b% ch¾n Neu v ∈ L p (Ω) vói 2 < p < ∞,

∆z| α , vói ∆z ∈ C, α

:=

1

2γ

− 2 − 4p p > 0.

H¾ quá 2.3 JΩf là ánh xa compact tù L2(Ω) vào chính nó.

Đ%nh lý 2.9 Cho Ω là mien b% ch¾n và A(z) ∈ L p (Ω) vói p > 2 Khi

Ω

C

1

Ω

Đ%nh lý 2.10 Cho Ω là mien b% ch¾n bói huu han các đưòng cong đóng

trong đó s là tham so đ® dài cung.

Đ%nh lý 2.11 (Gilbert và Hile, 1974)

Cho Ω là mien b% ch¾n chính quy, và cho ψ là hàm siêu giái tích bên

1

.2πi

≤ sup |ψ(ζ)|.4π 2π |ζ|=R

theo giá thiet sup |ψ(ζ)| → 0 khi R → ∞, và vì v¾y

H¾ quá 2.4 Cho Ω là mien chính quy b% ch¾n, và giá sú rang w ∈

hàm siêu phúc trong Ω và liên tuc trong Ω Chú ý rang, JΩ(Dw) là

siêu giái tích trong C \ Ω và tri¾t tiêu tai vô han, ta ket lu¾n rang Φ có

dang đã cho

H¾ quá 2.5 Neu ψ là hàm siêu giái tích bên ngoài m®t mien b% ch¾n

Ω, liên tnc trên C \ Ω, và |t −k (z)ψ(z)| là b% ch¾n khi |z| → ∞ vói so

2.2 Hàm so siêu giái tích suy r®ng Đ%nh lý Liouville

2.2.1 Hàm so siêu giái tích suy r®ng

Ta xét phương trình sau có dang mó r®ng so vói (1.8)

0

q1

0

q 1r

vói các phan tú là hàm so bien so phúc nh¾n giá tr% phúc và A, B là các

ma tr¾n vuông cùng cõ vói Q và cũng có phan tú là hàm so bien so phúc

nh¾n giá tr% phúc

Các ma tr¾n Q giao hoán vói các ma tr¾n khác cùng dang và là lũy

linh khi cá đưòng chéo chính tri¾t tiêu



˜

˜

˜

˜

Đ%nh nghĩa 2.3 Nghi¾m cúa phương trình (2.9) đưoc goi là m®t hàm

siêu giái tích suy r®ng.

Bây giò ta xét toán tú

Ta đ%nh nghĩa chuan cna L p,ν (C) là

:

=w˜(z)

|w˜(z)| ≤ M (q, p)|v, C0| p, vói z ∈ C.

Áp dung công thúc đoi bien ta có,

1 ¸¸

t ζ (ζ −1 )v(ζ −1 ) dξdη

w

=ˆ

¸ ¸

| w

.¸ ¸ d ξ

d η

ó tacó

− z

| M

e ch

í rarang

C

≤ p

p − 2

p

Tù đó,

p − 2

≤ z

| M

| z

C

0

| p

theo Bat đang thúc Ho¨lder Tù phan (i) ta có

¸ ¸

| w

(z )|

.1

α , C0|p ,

C 0 |ζ| | ζ

−

z

|

| z

|

ˆ

ζ

| z

| z

lo c

|tz||ψn − Dw||JΩ1 (Dv)||φ|dxdy

Ω 1

tien tói 0 khi n → ∞ Vì v¾y, qua gói han ta có ket quá

D [JΩ1 (Dw) · JΩ1 (Dv)] = Dw · JΩ1 (Dv) + JΩ1 (Dw) · Dv.

Đ%nh lý 2.14 (Gilbert và Hile, 1974)

(z),

Df (w(z)) = f r (w(z))(Dw)(z).

sap xep lai cho ta

Neu Ω1 là mien con b% ch¾n cna Ω mà Ω1 ⊂ Ω, thì vói φ ∈ C1(Ω1)

ta có w = Φ + JΩ1 (Dw) trong Ω1, vói Φ là hàm siêu giái tích Cóton

tai dãy hàm ψ n ∈ C ∞(Ω1) sao cho ψ n → Dw trong L p(Ω1), và theo

Đ%nh lý 2.7 dãy w n := Φ + JΩ1 ψ n h®i tu đeu tói w trên Ω1 Neu ta

viet w n = (w n)0 + N n, vói Nn là lũy linh, thì ta có (w n)0 ∈ Ω∗ vói n

đn lón, và

r

1

f (w n (z)) = . (N n (z)) k f (k) (w n)0(z)) → f (w(z))

k=0

lo c

1

c

k

!

đeu trong Ω Vì v¾y,

p − 2

và thành phan thú k0 cna ve trái (2.13) phái bang 0 Ta có,

Đ¾t ω := −Jv, Φ := w.exp(−ω) = w.exp(Jv) Áp dung quy tac tích

và quy tac đoi bien, ta có

D Φ =(Dw)exp(−ω) − w(Dω)exp(−ω)

− wv.exp(−ω) + wv.exp(−ω) = 0.

Vì v¾y Φ là hàm siêu giái tích trong C Tù Đ%nh lý 2.7, ω là b% ch¾n, và

p − 2

hien nhiên b% ch¾n trong C M®t phiên bán cna Đ%nh lý Liouville siêu

phúc có the đưoc chúng minh tương tn như hưóng này như trong trưòng

hop phúc vì ta biet rang

vói moi n và bat kỳ r > 0 Vì v¾y

ta ket lu¾n rang Φ là hang so, đieu này suy ra đieu phái chúng minh

Qw (z)| =

O (|z| −α ) khi |z| → ∞.

p

nghi¾m không tam thưòng Neu w0 là m®t nghi¾m, thì nó tri¾t tiêu tai

vô cùng theo các đ%nh lý trưóc Vì v¾y w0 là m®t nghi¾m cna

α

mà tri¾t tiêu tai vô cùng Đ%nh lý Liouville cho ta w0 ≡ 0.

Giá sú rang w là liên tuc và b% ch¾n trong C và thóa mãn (2.13), vói

Tù đó, vói m®t t¾p cho trưóc cna A kl và B kl, moi nghi¾m cna (2.13) phái

w là c¾p nghi¾m sinh liên ket vói các h¾

có dang này Các nghi¾m

so A kl , B kl, và phương trình (2.9)

2.3 Công thNc tích phân Cauchy đoi vái hàm so siêu

giái tích suy r®ng

2.3.1 Công thNc tích phân Cauchy

Bây giò ta quay lai nghiên cúu phương trình (2.9):

Dw + Aw + Bw = 0,

ˆ

c w