DS1 d3 HuongBT tim gioi han cua day so

Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Sở giáo dục và đào tạo Hoà Bình hạn ta được  3 11 Chứng minh rằng các dãy số x n, y n hội tụ và limx n limy n.. Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Sở gi

BÁO CÁO MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG GẶP TRONG TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Người báo cáo: Bùi Thị Hương Giáo viên trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ, Hòa Bình

Ký hiệu:  là một trong các tập: [ ; ]a b ; ( ; ) a b ; ( ; ]; a b [ ; a b ); (; )a ; (; a]; (b  ); ;[b  ); ; 

I SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA DÃY SỐ TRONG TÌM GIỚI HẠN

1.1 Định lý hội tụ đơn điệu Mọi dãy số đơn điệu (tăng hoặc giảm) và bị chặn đều có giới hạn

 b n hội tụ Vì lim 11 0

2n  nên kéo theo dãy  a n cũng hội tụ

VD2 Cho dãy số  a n xác định như sau:

21

Chứng minh rằng dãy số  a n có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

Giải Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được 0 1 5

Ta đi chứng minh dãy số  a n tăng cũng bằng phương pháp quy nạp

Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Sở giáo dục và đào tạo Hoà Bình

hạn ta được  3

11

Chứng minh rằng các dãy số (x n), (y n) hội tụ và limx n limy n

Giải Ta xét hai trường hợp sau:

(i) Nếu ab thì bằng quy nạp ta chỉ ra được dãy (x n) là dãy giảm bị chặn dưới bởi a , còn dãy

(y là dãy tăng bị chặn trên bởi n) a Do đó tồn tại lim x n, limy và từ giả thiết chuyển qua giới n

hạn ta được limx n limy n

(ii) Nếu ab tương tự như trường hợp (i)

VD4 Giả sử có một dãy bị chặn  a n thỏa mãn 2 1 1 2

.2

a  b  Vậy ta có điều phải chứng minh

VD5 Cho dãy số  a n xác định bởi

1 2

1 1

Ta chứng minh  a n bị chặn trên bởi 2 bằng cách chứng minh n 2 2, n 2

1 1

22

Dãy số  a n tăng và bị chặn trên bởi 2 nên có giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng

Bình luận Việc chứng minh tính tăng của dãy số các em học sinh rất dễ dàng phát hiện ra Nên

vấn đề của bài toán chỉ còn phụ thuộc vào việc chứng minh dãy số bị chặn Khi hướng dẫn đến phần này tôi nhận thấy có rất nhiều học sinh đã nghĩ ngay đến phương pháp quy nạp Nhưng các

em lập tức gặp phải trở ngại khi mà  a n lại là dãy số tăng, nên việc chọn đại lượng chặn trên là một hằng số khiến cho các em không thể sử dụng được giả thiết quy nạp Do đó để giải quyết trở

ngại này ta mới nghĩ đến kỹ thuật làm giảm đi một lượng vừa đủ thay đổi theo n, vẫn đảm bảo

được  a n bị chặn mà vẫn sử dụng được phương pháp quy nạp Tuy nhiên các bạn đọc đều nhận thấy việc đưa ra bất đẳng thức a n 2 2

n

  hoàn toàn không tự nhiên Để dạy học bài tập này tôi

Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Sở giáo dục và đào tạo Hoà Bình

thường không đi ngay vào lời giải như trên mà tôi tiếp cận bất đẳng thức a n 2 2

n

  theo hướng làm như sau:

Cứ giả sử ta đã có  a n bị chặn trên bởi một số M nào đó Tức là a n M,  n * Từ công thức truy hồi ta có:

1 1

1

n n

x x x

a x

n n n

Chứng minh rằng  x n có giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng

Giải Ta có x n 0,  dẫn đến dãy n 1  x n là dãy tăng thực sự Ta sẽ chứng minh rằng dãy

này bị chặn và khi đó rõ ràng nó sẽ có giới hạn hữu hạn

Suy ra x n1 a1 ,2   n 1

Cách 2 Xét bất phương trình a2 x , dễ thấy bất phương trình có nghiệm thực dương, gọi x

M là một nghiệm thực dương của nó, ta có a2 M M

Do đó (*) đúng với nk1 Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh

Bình luận Tương tự như ví dụ 5 việc chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn thực ra chỉ là đi

chứng minh dãy số bị chặn Ta cũng lặp lại cách tiếp cận nói trên:

Trước hết cũng giả sử dãy  x n bị chặn trên bởi số M dương nào đó Tức là x n M,  n *

1 2  n  1.2 (n1).n  n cũng là bài toán rất quen thuộc

Để  x n bị chặn trên bởi M ta mới chọn M là nghiệm dương của bất phương trình a2 x x

Từ đó đưa ra cách làm quy nạp như trong cách 2 ở trên

Nhận xét Ví dụ 6 là một trường hợp riêng của bài toán tổng quát sau:

Cho a là số thực dương và  1,  Dãy số 1  x n được xác định như sau:

Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Sở giáo dục và đào tạo Hoà Bình

Việc chứng minh bài toán tổng quát này xin nhờ các bạn đọc

VD7 (VMO 2007) Cho dãy số  x n thỏa mãn

2 2

12

y

x



 có giới hạn hữu hạn khi n   và tìm giới hạn đó

Giải Từ giả thiết ta có x n 0,  n 1

3

x n

Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi n   và tính giới hạn đó

Giải Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được x  với mọi n nguyên dương (1) n 0

Ta sẽ chứng minh kể từ số hạng thứ hai, dãy số đã cho là giảm

2[( 2) ( 1) ]2

Để chứng minh  x n giảm bắt đầu từ số hạng thứ hai, ta chỉ cần chứng minh

n

x x

x x

n nx x

Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Sở giáo dục và đào tạo Hoà Bình

x x n x

k x

11

1

4

11

trong đó n là tham số nguyên dương

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , trong khoảng (0;1) phương trình (1) có nghiệm duy nhất Ký hiệu nghiệm đó là x n

b) Chứng minh rằng dãy số (x n) có giới hạn hữu hạn

Giải Xét hàm số

x x n x

k x

x x

f n

2

11

1

4

11

1)

Vậy, dãy (x n) hội tụ

II SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIỚI HẠN

2.1 Định lý 1 Cho f    là hàm liên tục khi đó: :

a) Phương trình ( )f x  có nghiệm x f x n( )x có nghiệm

b) Gọi  ;  lần lượt là các mút trái, mút phải của  biết lim [ ( ) ]

Khi đó ( )f x  có nghiệm duy nhất x f x n( )x có nghiệm duy nhất

 Nếu phương trình f x( ) vô nghiệm thì x f x( )  hoặc x 0 f x( )  với mọi x 0

x  , do đó f x n( )x hoặc f x n( ) với mọi x x  , dẫn đến phương trình f x n( )x cũng vô nghiệm

b)  Giả sử phương trình ( )f x  có nghiệm duy nhất là x x thì rõ ràng đây cũng là nghiệm 0

của phương trình f x n( )x Đặt F x( ) f x( ) , do x F x là hàm liên tục nên trên các khoảng ( )

 cùng âm chứng minh tương tự

 Ta thấy mọi nghiệm của phương trình f x( ) đều là nghiệm của phương trình x

a) Nếu x1x2 thì (x n) là dãy tăng

b) Nếu x1x2 thì (x n) là dãy giảm

a) Nếu tồn tại số nguyên dương k để x k x k1 thì x n x n1,  n k

b) Nếu tồn tại số nguyên dương k để x x thì x  x ,   n k

Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Sở giáo dục và đào tạo Hoà Bình 2.3 Định lý 3 Cho f    là hàm nghịch biến Dãy (: x ) thoả mãn: n x n1 f x( n),    n *

Khi đó:

a) Các dãy (x ) và ( 2n x2n1) đơn điệu trong đó một dãy tăng và một dãy giảm

b) Nếu (x ) bị chặn thì n  limx2n và   limx2n1

c) Nếu f liên tục thì ,   là nghiệm của phương trình:

Vậy   là nghiệm của phương trình ( ( )); f f x x

u  u   nên ta suy ra được (u n) là dãy giảm

mà lại bị chặn dưới tại 1 nên dãy (u n) có giới hạn hữu hạn

VD2 Cho dãy số (u n) thỏa mãn

Thật vậy: - Bài toán đúng với n = 1

- Giả sử bài toán đúng với n = k, k   ta chứng minh bài toán đúng với *

Do u n1 f u( n) và f x là hàm nghịch biến nên (( ) u n) tách hàm làm 2 dãy: (u2k1) và (u ) trong 2k

đó có một dãy tăng và một dãy giảm, lại có dãy (u ) bị chặn n  lim(u2k1); lim(u2k)

Đặt limu2k1a; limu2k  thì a và b blà nghiệm của phương trình f f x( ( ))x

Vậy dãy (u n) có giới hạn hữu hạn khi n  

VD3 Cho số thực a và dãy số ( u n) xác định như sau: 1 *

Vậy f(x) đồng biến trên 

Nếu ak , (k  , dễ dàng chứng minh được bằng qui nạp ) *

,

n

u a   n Nếu k2 ak2  sina0

Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Sở giáo dục và đào tạo Hoà Bình

Có u n1  f u( n) và f x là hàm đồng biến trên ( ) , mà u1au2 asina nên bằng qui nạp

ta chứng minh được (u n) là dãy tăng và (u n) bị chặn trong khoảng ( 2 ; 2k  k ).` (1) limu n

  Đặt limu  b; b là nghiệm của phương trình: b = b + sin b  sin b = 0 n

  Đặt limu  b; b là nghiệm của phương trình: b = b + n sinbsinb0

Kết hợp với (2) ta có b = k2

Vậy limu n 2k

VD4 (VMO - 2000) Cho dãy số (x n) như sau: 1

* 1

Chứng minh rằng dãy số (x n) có giới hạn hữu hạn

Giải Bằng quy nạp ta chứng minh được 0x n  a,  n *

Có x n1  f x( n), do đó dãy (x n)được tách thành 2 dãy con x 2 n và x2n1 Trong đó dãy (x ) 2n

tăng, dãy (x2n1) giảm Mặt khác dãy (x ) và ( 2n x2n1) đều bị chặn suy ra limx2n và limx2n1 Đặt limx =  ; 2n limx2n1=  Khi đó  ,  là nghiệm của phương trình:

( ( ))

f f x x  a a a ax  x Xét hàm F x( ) a a a ax  , với x x0; a có

Thay vai trò của x bởi a ax chứng minh tương tự có

Vậy có limx = T với T thoả mãn n f f( (T)) = T

VD5 Cho dãy số  a n xác định như sau:

1

* 1

01,4

n

a n

a   , dẫn đến a4  f f a 2 a2 và bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được

a 2n là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1

2 Do đó a 2n có giới hạn hữu hạn lima2n  Chứng minh tương tự có a2n1 là dãy số tăng và bị chặn trên bởi 1

2 nên có giới hạn hữu hạn

Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Sở giáo dục và đào tạo Hoà Bình

Vậy dãy  a n có giới hạn hữu hạn lim 1

f x là hàm số tăng, nên nếu a thuộc vào một

trong các khoảng này thì  x n là dãy số đơn điệu

- Với 4;

3

a 

  thì x2  f x 1  f a a mà f

lại là hàm số tăng trên miền này nên  x n là dãy tăng Nếu  x n bị chặn trên thì  x n có giới hạn

hữu hạn  limx n, với  là nghiệm của phương trình f x x 0;1;4

- Với a   ; 0, chứng minh tương tự trường hợp trên suy ra  x n giảm và không bị chặn dưới,

do đó cũng không có giới hạn hữu hạn

3

2

1

2

- Với 1;4

3

a 

  thì dãy  x n giảm và bị chặn dưới bởi 1, nên nó có giới hạn hữu hạn  limx n

với  là nghiệm của phương trình   0;1;4

3

f x x  

 , vì

41

n

x   , x n0  f x n01 dẫn 1đến 0 1  0

41;

2

2

k k

a k

a

a        a Xét hàm số   1

Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Sở giáo dục và đào tạo Hoà Bình

Ta chứng minh  a n là dãy số tăng

a  a  nên  a n là dãy số tăng

Dãy  a n tăng và bị chặn suy ra tồn tại giới hạn hữu hạn lima n L, với L là nghiệm của phương

3.2 Định lí 1 Dãy số (x n) hội tụ khi và chỉ khi (x n) là dãy Cauchy

3.3 Định lí 2 Cho hàm số f    liên tục và thỏa mãn điều kiện :

Từ đây suy ra x nx1 bị chặn với mọi n Kết hợp với (1) ta thu được với mọi  0 tồn tại

N   sao cho với mọi m n, N thì x nx m  Nên dãy (x n) là một dãy Cauchy suy ra nó hội

3.4 Hệ quả Cho f (x)là hàm số xác định và có đạo hàm trên , thoả mãn điều kiện tồn tại hằng

số dương q  sao cho 1 f '( )x q,  x , và dãy số (x n)xác định bởi

đó dãy số (x n) hội tụ và giới hạn của dãy số là nghiệm của phương trình f x( ) x

Chú ý Từ điều kiện f '( )x q,  x , q  ta suy ra phương trình 1 x  f (x) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

1

, n N u

a u

a u

n n

Chứng minh rằng dãy  u n có giới hạn và tìm giới hạn đó

Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Sở giáo dục và đào tạo Hoà Bình

10

2

n n

VD2 Cho dãy  x xác định như sau: n

1

2 1

131

Giải Ta chứng minh có số a để x n1a q x n a,n1, trong đó 0 q1

Giả sử dãy  x có giới hạn là n a , ta có 1

2

3

, n1 Vậy limx n 1 3

VD3 Cho 0 a1và dãy  y n xác định như sau:

2

2 1 1

n n

y a y

a y

2

x a

x  , do đó x1 1a Đặt c1 1a

Chứng minh limy n c Thật vậy:

2 1 2

,))(

(2

1

y c

c

Suy ra ( 1 )( 1)( 2) ( 1), *

2

1

N n y

c y c y c c y c

VD4 Cho dãy số  u n xác định bởi

1 2 1

33

3

n n

n

x x

21

1

x x

f x x x  nx  , *

n x , ta có

Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Sở giáo dục và đào tạo Hoà Bình

1

1

1

14

11

trong đó n là tham số nguyên dương

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , trong khoảng (1;) phương trình (1) có nghiệm duy nhất Ký hiệu nghiệm đó là x n

b) Chứng minh rằng dãy số (x n) có giới hạn là 4

Giải Xét hàm số

2

11

1

1

1

14

11

1)

k x

x x

a) Ta có hàm số f n (x)liên tục và nghịch biến trong khoảng (1;) Hơn nữa 

1

1)2(

1

14

11

f n

24

12

112

112

1

12

112

1

14

114

11

2

11

n k

b) Theo định lý Lagrange tồn tại c (x n;4) để f x n( n) f n(4) f n'( ).c x n4

Nhận xét Từ hai ví dụ trên ta có thể phát biểu cho trường hợp tổng quát như sau:

Cho dãy hàm số f n (x) xác định và có đạo hàm trên khoảng (a;b), dãy (x n) thoả mãn:

VD7 Cho n là một số nguyên dương lớn hơn 2

a) Chứng minh rằng phương trình x n x2  có một nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là x 1 x n

Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Sở giáo dục và đào tạo Hoà Bình

  1

n

f x nx   x   n x , a) Ta có f n x là hàm số đồng biến, liên tục trên 1; , mà f n 1   2 0,  2 2n 7 0,

ny

y y



ln y n 3y n3 ln 3 Vậy tìm được limn x  n 1ln 3

Vì lim1 0, limx n limx n 1 1

n     , nên theo giới hạn kẹp ta thu được những điều sau:

IV SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ TRUNG BÌNH CESARO VÀ ĐỊNH LÝ STOLZ TRONG TÌM GIỚI HẠN

5.1 Định lý Trung bình Cesaro Nếu limu n a thì a

n

u u

Chứng minh (Sử dụng định nghĩa giới hạn của dãy số)

Với mọi  0, vì limu n a nên có số tự nhiên k để n  kta có

u a u n

ka u u

u a n

u u

u a u n

ka u u

ka u u

Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Sở giáo dục và đào tạo Hoà Bình

Suy ra, với mọi nmaxk;m ta đều có    a 

n

u u

Nhận xét Xét dãy số  a n xác định như sau: u1u2 u n a n,  n * Khi đó tính được

1

u a  a Do đó định lý trung bình Cesaro được phát biểu tương đương như sau:

Nếu lima n1a na thì lima n

a

n 

5.2 Định lý Stolz Cho hai dãy số  x và n  y n , trong đó  y n tăng và limy n  Khi đó, nếu

a y

Chứng minh (Sử dụng định nghĩa giới hạn của dãy số)

y y

x x

n n

n n

và tồn tại số tự nhiên Q sao cho n Q ta có

x x

n n

x x

k n

k n

1

a a y y

x x

n n

n n

Suy ra, với mọi n  k ta có 



 a a y y

x x

k n

k n

)(

y y

y y

x y y

x x y

y y y

x y

y

x x y

x

k n k n

k k n

k n n k k n k k

n

k n n



n

T , tức là tồn tại số tự nhiên m sao

cho với mọi n  m ta đều có

k n n

n

y y

x x y x

Suy ra, với mọi nmaxk;m ta đều có

x x

k n

k n

k n n

n

y y

x x y

Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Sở giáo dục và đào tạo Hoà Bình

VD1 Cho dãy số dương  a n thoả mãn: 12

a  a a , cho qua giới hạn tìm được a 0, trái với dãy

số dương tăng Suy ra dãy  a n không bị chặn, hay lima   n

21

n n n

n

n a n



Giải Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được a n0;, n 1

Xét hàm số f x xsin ,x  x 0;, có f ' x  1 cosx0, x 0; Suy ra f x  đồngi biến trên 0; f x  f 0 0, x 0;xsin ,x  x 0;

Ta có a n1 sina na n,  , dẫn đến n 1  a n là dãy số tăng, mà lại bị chặn nên có giới hạn hữu hạn, lima n  Cho công thức truy hồi qua giới hạn tìm được a asinaa0 lima n  0Xét

Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Sở giáo dục và đào tạo Hoà Bình

Áp dụng quy tắc L’Hospital thu được

.sin 2 sin sin 2 2.sin 4 sin 2 2 cos 2

Giải Bằng phương pháp quy nạp chứng minh được a  , n 0  n 1 Từ công thức truy hồi suy

ra được  a n là dãy số tăng

V SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ĐỂ TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

VD1 (VMO 2014) Cho hai dãy số thực dương  x n , y n , trong đó x  ,1 1 y 1 3; ngoài ra với

mọi số nguyên dương n thì

1 1 2 1

02

Chứng minh rằng hai dãy số nói trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng

Giải Từ giả thiết 1 1 2 sin

2 cos12

x y x

Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Sở giáo dục và đào tạo Hoà Bình

sin2

2

n n

1

n n

Giải Đặt y  n 2 2   2 ta đã có kết quả ở bài 2 2 cos 1, 1, 2,

2 os

2 ,1