Vấn đề 1 GIỚI hạn của dãy số file word

 Đối với các biểu thức mũ thì chia tử và mẫu cho mũ có cơ số lớn nhất ở tử hoặc mẫu, việc này cũng như đặt thừa số chung cho tử và mẫu số hạng đó..  Nếu kết quả cho giá trị xác định, c

GI I H N – LIÊN T C ỚI HẠN – LIÊN TỤC ẠN – LIÊN TỤC ỤC

Vấn đề 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

1

Chủ đề

A - GIỚI HẠN HỮU HẠN

 Giới hạn hữu hạn

    có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

 Dãy số   u cón giới hạn là L nếu: lim n lim  n  0

n    8) lim q  nếu n q  1 9) lim nk  , k   *

 Định lí về giới hạn

• Nếu hai dãy số   u và n   v cùng có giới hạn thì ta có:n

1) lim ( un vn)  lim un li m vn 2) lim  u vn. n  lim lim un vn

3) lim n lim lim n

v  v (Nếu lim v  )n 0 4) lim  k un  k li m un, ( k   )

5) l im | un| |  lim un | 6) lim2k 2klim

   (căn bậc lẻ) 8) Nếu u nv n và lim v  thì limn 0 u  n 0

- Định lí kẹp về giới hạn của dãy số: Cho ba dãy số   u , n   v , n  w và n L   Nếu

u  v  w ,   n * và lim un  lim wn  L thì   v có giới hạn và limn vn  L

• Nếu lim un  a và lim v  thì limn n 0

n

u

v  1) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn.

2) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.

n1

 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

• Một cấp số nhân có công bội q với | q  được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn | 1

u



Neáu

 Nếu lim n 0,  n 0,  lim

Qui tắc 3:

Nếu lim un  L ,

lim v  và n 0 v  hoặcn 0 0

 Một số kết quả: (xem phần tóm tắt lý thuyết)

 Chú ý: Sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh, đánh giá biểu thức lượng giá, nhân liên hợp của căn thức, …

B BÀI TẬP MẪU

VD 1.1 Chứng minh các dãy sau có giới hạn là 0:

a) 1

3

n u

n



4

n n

u n





n

n

dương

3

2

n

n

n

u  

VD 1.2 Chứng minh các dãy sau có giới hạn là 0: a) 1 ( 1) n u n n   b) ( 1) cos2 2 n n n v n   

VD 1.3 Tính các giới hạn sau: a) sin 5 n n u n   b) cos3 1 n n u n   c) ( 1) 3 1 n n n u    d) sin 2 (1, 2) n n n u  

VD 1.4 Tính: a) lim 32sin( 3 1) 2 n n n n n    b) lim ( 2)3 3 4 n n   c) lim  n   1 n  d)  2  lim 2 n   1 n

VD 1.5 Chứng minh các dãy sau có giới hạn bằng 0: a) un 3n   1 3 n b) vn 3n3  1 n

VD 1.6 Cho dãy số (un) với 3 n n n u  a) Chứng minh n 1 2 3 n u u   với mọi n b) Chứng minh rằng dãy   u có giới hạn n 0

VD 1.7 Cho dãy số (un) với 2 1 1 1 , , 1 4 2 n n n u u  u   u  n  a) Chứng minh 0 1 4 n u   với mọi n b) Tính lim u n

Dạng 2 Khử dạng vô định   A PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Đối với dãy 1 0 1 0 0 1 0 1

, 0, 0

m m m n k k k a n a n a u a b b n b n b            thì chia cả tử lẫn mẫu của phân thức cho lũy thừa lớn nhất của n ở tử m n hoặc mẫu k n , việc này cũng như đặt thừa số chung cho m n hoặc mẫu n rồi rút gọn, khử dạng vô định Kết quả: k 0 0 0 lim n khi m k a u khi m k b khi m k            (dấu  hoặc   tùy theo dấu của 0 0 a b )  Đối với biểu thức chứa căn bậc hai, bậc ba thì cũng đánh giá bậc tử và mẫu để đặt thừa số chung rồi đưa ra ngoài căn thức, việc này cũng như chia tử và mẫu cho lũy thừa số lớn của n ở tử hoặc mẫu.  Đối với các biểu thức mũ thì chia tử và mẫu cho mũ có cơ số lớn nhất ở tử hoặc mẫu, việc này cũng như đặt thừa số chung cho tử và mẫu số hạng đó.  Biến đổi rút gọn, chia tách, tính tổng, kẹp giới hạn, … và sử dụng các kết quả đã biết. B BÀI TẬP MẪU VD 1.8 Tính các giới hạn sau: a) lim 2 1 3 2 n n   b) 2 2 3 5 lim 3 4 n n n    c) 3 2 3 2 1 lim 2 2 n n n n n      d) 4 4 2 1 lim 3 2 n n n   

VD 1.9 Tính các giới hạn sau: a) 2 3 2 3 1 lim 4 6 n n n n     b) 4 5 4 lim 5 n n   c) 3 2 3 2 lim 3 2 n n n     d) 5 4 3 2 3 2 lim 4 6 9 n n n n n      e) lim ( 22)(3 1) 4 1 n n n n     f) 2 3 (2 1) (4 ) lim (3 5) n n n   

VD 1.10Tính các giới hạn sau: a) lim 42 3 2 2 3 n n n n     b) lim3 6 7 3 5 8 12 n n n n     c) lim 2 2 2 1 3 n n n   d) lim 6 4 1 2 1 n n n   

VD 1.11Tính các giới hạn sau:

a) lim 4

n

7 3.5

n



lim

4 3

n



lim







Dạng 3 Khử dạng vô định

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Đối với dãy m 1 m1 0, 0



của n là nm Khi đó: lim u  nếu n a  và limm 0 u   nếu n a m 0

 Đối với biểu thức chứa căn thức thì nhân, chia lượng liên hợp bậc hai, bậc ba để đưa về dạng:

2

A B

A B =

A B





3

3

A B

A B =

A B A B









A B =





3

3

A B

A B =

A B A B











2

A B

A B =

A B





A B

A B =









A B =





A B

A B =





 Đặc biệt, đôi khi ta thêm, bớt đại lượng đơn giản để xác định các giới hạn mới có cùng dạng

vô định, chẳng hạn:

3n3  2 n2  1 3 n3  2 n  n  n2 1 ;

n   n  n  n   n n  n   n

 Đối với các biểu thức khá, biểu thức hỗn hợp thì xem xét đặt thừa số chung của mũ có cơ số lớn nhất, lũy thừa của n lớn nhất.

B BÀI TẬP MẪU

VD 1.12Tính các giới hạn sau:

a) lim  n2 14 n  7  b) lim 2   n2 3 n  19  c) lim 2 n2 n  1 d)

lim  8 n  n  n  3

VD 1.13Tính các giới hạn sau: a)  2  lim n    n 1 n b) lim  n   1 n n  c) 3 3 2 3 3  lim n  n  n  1 d) lim 3 n3  1 n  e) lim 3n3 n2  n2 3 n  f) 2 2 3 3 3 3 2 2 1 lim 2 n n n n n      

VD 1.14Tính các giới hạn sau: a) lim  n n  2 n  1  b) 3 2  lim n   7 2 n c) lim 2.3n n  2 d)  2  lim n    n 2 n  1 e) lim 1 2 1 n   n  f) lim 2 3 n   2 2 n  1

Dạng 4 Cấp số nhân lùi vô hạn A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Một cấp số nhân có công bội q với | q  được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn | 1 Ta có : S u1+ 1q u q1 2+ 1 q u u 1     , với | q  | 1 B BÀI TẬP MẪU VD 1.15Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số: 0,444…; 0,212121…

VD 1.16Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 5 3 , tổng ba số hạng đầu tiên của nó là 39 25 Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó.

VD 1.17Cho q  Tính tổng vô hạn sau: 1 a) A 1 2 q 3 p2 nqn 1

      b) B 1 4 q 9 p2 n q2 n 1

     

BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO

VẤN ĐỀ 1

1) lim 2 (  n3 3 n  5 ) 2) lim 3 n4 5 n3 7 n 3) lim 3 ( n3 7 n  11 )

1)

2 2

lim

3 2

n n n

3

n n

3 2

lim

4

n

 4)

5

lim

1 4

n n n

n n



2 2

lim

7)

2 3

lim

n



lim

n

 10)

lim

9

lim

n

2

lim

13)

3 2

lim

n n

5

2

lim

n n

3 3

lim 2

n n



2 2

lim 2

2 2

1 lim

2 2

10) lim( n2   n 1 n ) 11) lim( n2   n 2 n  1) 12) lim( 23 n n  3   n 1)

2

( 1) lim

n n

1

1

n n

u n

n u



 có giá trị bằng

A 1

1 2

4

n n

1 2

2 5lim

2 1lim

L  . C

13

L  . D

19

L  .

TN1.24

3 3

1 lim

8

n n

TN1.28  

 

1 1

lim

n n n n

1 lim

1.3

n

n u

n

n u

2

3 3

n

n n u

3 3

n

n u

2.5

n

n u

3.2

n

n n u

3 1lim

3 2

n n



  B

3 3

2 3lim

2 1

n n

3lim

1

n n

5 2lim

5 4

n n



  B

3 2

2 5lim

2 1

n n n

3 5lim

1

n n

2lim

4

n n



  B

3 2

2lim

2 1

n n n

3 2lim

2 1

n n





TN1.39 Dãy số nào sau đây không có giới hạn?

A lim sin n   B lim cos n  

2 3

n n

5 2 2

n

n n

1 2

4 2

là

3 2 4

5 3

5 2

1 5

u u

u

n n

8

1 4

1 2

1 1

21

.

TN1.62 lim4

2

1

4 3

2 4

n n

4 1

)12(

531

1

5 3

1 3 1

1

n n

1

4 2

1 3 1

1

n n

3

1 1 2

1 1

 Giới hạn bên trái: Cho hàm số y  f x   xác định trên khoảng  a x : ; 0

 Các giới hạn: lim ( )x  f x  , lim ( )x   f x  , xlim f x  ( )  

  được định nghĩa tương tự.

 Quy tắc tìm giới hạn của tích f x g x      Quy tắc tìm giới hạn của thương f(x)

g(x)

0 0

lim ( )

x x

x x x

x x

x x x

lim ( )

x x

x x x

lim ( )

x x

x x x

 

g x 00

( ) lim ( )

x x

x x x

VD 1.19Tính các giới hạn sau:

3 4 1

Dạng 2 Giới hạn một

bên

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI





VD 1.22Tính các giới hạn sau:

2

2 lim

2

x

x x

2

x

x x

2

x

x x







VD 1.23Tính các giới hạn sau: a)

0

2 lim

4 lim 2

x

x x

VD 1.24Cho hàm số:

2 3

 Trước khi giải bài toán tìm giới hạn là thế thử x x  0 hoặc x  , x  – theo yêu cầu đề

xem xét giới hạn cần tìm có dạng vô định không.

 Nếu kết quả cho giá trị xác định, căn thức xác định, phân thức xác định, … thì dùng định lí về các phép toán tổng, hiệu, thương để giải.

 Nếu mẫu thức tiến đến + hoặc – và tử tiến đến một số khác 0 thì giới hạn cho bằng 0.

 Nếu mẫu thức tiến đến 0 là tử và tử thức tiến đến một số khác 0 thì giới hạn là dạng + hoặc –, tùy theo dấu các thừa số, của tử và của mẫu (Xem bảng Quy tắc tìm giới hạn của thương)

x

khi m n a

b khi m n

 Chú ý: 1) Hướng tìm giới hạn hàm số này tương tự như dãy số

2) Với các biểu thức hỗn hợp, ta thêm bớt đại lượng đơn giản nhất theo x hoặc hằng số

để chia tách thành các phân thức mà các giới hạn mới vẫn giữa nguyên dạng vô định 

 3) Đưa biểu thức ra ngoài dấu căn:

  



3 3

x

x x x

Dạng 4 Khử dạng vô định

0 0

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Đối với hàm phân thức:

0

( ) lim ( )

x hoặc hằng số mà các giới hạn mới vẫn giữ nguyên dạng vô định 0

8 lim

4

x

x x

3

x

x x

 



4 2 2

16 lim

27 lim

1

1 lim

1

n x

x x

1

n m x

x x

2 lim

1

x

x x x

VD 1.30Tính các giới hạn sau:

a)

9

3 lim

9

x

x x

Dạng 5 Khử dạng vô định 

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Phương pháp chung:

 Đặt nhân tử chung là lũy thừa cao nhất của x

 Quy đồng mẫu phân số

 Nhân chia lượng liên hợp để khử căn

BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO

VẤN ĐỀ 2

1.10 Tìm các giới hạn sau:

1)

2 3

1 lim

1

x

x x

 



2 2

4 lim

2

x

x x

6

x

x x







 10)

2 2 3

  



 19) xlim (   x3 x2 2 x  1) 20) lim 2 2 4

1 lim

2 3

8 lim

2

x

x x

 



3 2 2

2 2 lim

2

x

x x

 



 16)

4 2 3

27 lim

16 lim

8 lim

4

x

x x

1

1 lim

3 2

x

x x

9

3 lim

9

x

x x

3

x

x x

3

x

x x x

2

x

x x

lim

x

x x





2 2 0

1 1 lim

x

x x

3 2

5 lim

1

x

x x

 

2 3

 



 28)

2 3

2 2

4 lim

2

x

x x

1

x

x x

1 lim

3

3

1 lim

3

3

1 lim

3

x x  4)

f x

x

x x

6) 3

4 ( )

6 lim

9

x

x x x

 

3 2 2

8 lim

4 lim

8

x

x x

 



 7)

2 2 2

9 lim

27

x

x x

 



 10)

2 3 2

4 lim

8

x

x x





4 5 1

1 lim

1

x

x x

1 lim

2 lim

2 2 0

4 2 lim

x

x x



 

2 2 0

1 1 lim

16 4

x

x x

1 lim

1

x

x x

1 lim

1

x

x x

3 2 1

1 lim

3 2

x

x x

x

x x

1 lim

cos

x

x x

x

x x

0

tan lim

x

x x

0

1 cos5 lim

x

x x

1) Tính lim ( )x0 f x , lim ( )x0g x , lim ( )x f x , lim ( )x g x

2) Hai đường cong sau là dồ thị của hai

hàm số đã cho Từ kết quả câu 1), hãy

xác định xem đường cong nào là đồ thị

của hàm số nào?

1.24 Cho hàm số :

2 2

2

x O

y

1

a)

x O

y

1 -1 b)

x

x x

2lim

2 lim

2

x

x x

1

x

x x

1lim

1

x

x x

1lim

1

x

x x

1lim

1

x

x x

3 2lim

3 6

x

x x x

TN1.97

2 3

6lim

2

x

x x x

6lim

3 6

x

x x x

TN1.99

2 4

12lim

2 8

x

x x x

6lim

4

x

x x x

4 .

TN1.101

3 2 2

8lim

3 2lim

1

x

x x x

TN1.105

3 0

3 0

3lim

1

x

x x

2 3lim

2

x

x x x

4

x

x x

tại điểm x nếu: 0 ( ) ( )

 Hàm số không liên tục tại điểm x được gọi là gián đoạn tại điểm 0 x và điểm 0 x được gọi là0

điểm gián đoạn của hàm số f x  

 Theo định nghĩa trên, hàm số f x xác định trên khoảng    a b là liên tục tại điểm ; 

 Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

 Hàm số f x xác định trên khoảng    a b được gọi là liên tục trên khoảng đó, nếu nó liên ; 

tục tại mọi điểm của khoảng đó.

 Hàm số f x xác định trên đoạn    a b được gọi là liên tục trên đoạn đó, nếu nó liên tục trên ; 

khoảng

 a b và ;  x alim f x  ( ) f a ( )

 , x blim f x  ( ) f b ( )

 (liên tục bên phải tại a và bên trái tại b)

Chú ý: Đồ thị của một hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó.

 Tính liên tục của một số hàm số :

 Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàn số liên tục tại

điểm đó (giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0).

 Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định của chúng.

 Các hàm y  sin , x y  cos , x y  tan , x y  cot x liên tục trên tập xác định của chúng.

 Tính chất của hàm số liên tục

 Định lí: (Định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục)

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn  a b Nếu ;  f a    f b   thì với mỗi số thực M nằm

giữa f a và   f b , tồn tại ít nhất một điểm   c   a b ;  sao cho f c    M

 Hệ quả 1:Nếu hàm f liên tục trên  a b và ;  f a f b  thì tồn tại ít nhất một điểm     0

 ; 

c  a b sao cho f c    0

 Hệ quả 2:Nếu hàm f liên tục trên  a b và ;  f x  vô nghiệm trên   0  a b thì hàm số f ; 

có dấu không đổi trên  a b ; 

 Bước 2 : Tính x lim f xx 0 ( )(trong nhiều trường hợp để tínhx lim f xx 0 ( ) ta cần tính

 Bước 3 : So sánh x lim f xx 0 ( ) và f x rồi rút ra kết luận.  0

 Chú ý : Hàm số không liên tục tại x thì được gọi là gián đoạn tại 0 x 0

VD 1.35Xét tính liên tục của các hàm số sau tại x đã chỉ ra:0

x x

VD 1.36Tìm m để các hàm số sau liên tục tại x :0

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1.25 Xét tính liên tục của hàm số f tạix0:

1 ( )

x

x x

2 2

3 2

1 1

4 1

x

x x

1 ( )

6) 2

1 ( )

2 2

f x

x



 ( x  0) tại x 0 0 2)

2 2

f x

x



 ( x  0) tại x 0 0

3)

2

( )

f x



  ( x  2 ) tại x 0 2 4)

2 2

1 1 ( )

16 4

x

f x

x

 



( x  0) tại x 0 0

Dạng 2 Xét tính liên tục của hàm số trên

khoảng, đoạn

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Để chứng minh hàm sốyf ( x ) liên tục trên một khoảng, đoạn ta dùng các định nghĩa về hàm

số liên tục trên khoảng, đoạn và các nhận xét để suy ra kết luận.

 Khi nói xét tính liên tục của hàm số (mà không nói rõ gì hơn) thì ta hiểu phải xét tính liên tục trên tập xác định của nó.

 Tìm các điểm gián đoạn của hàm số tức là xét xem trên tập xác định của nó hàm số không liên tục tại các điểm nào.

B BÀI TẬP MẪU

VD 1.37Xét tính liên tục của các hàm số sau:

2

f x x x

x

c)

2 2

x

x

f x x

x











d)

3 8

x

x

x







e)

1

2 ( )

1

x x

f x

x x







 





f)

3 2

27

9

x

x x













VD 1.38Chứng minh rằng hàm số 2 2 1 1 khi 1 ( ) 2 3 1 khi 1 x x x f x x x x             liên tục trên  1;   

VD 1.39Tìm m để hàm số 2 khi 1 ( ) 1 khi 1 1 khi 1 x x x f x x mx x            liên tục trên tập xác định của nó.

VD 1.40Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số: a) ( ) 3 22 4 5 4 3 x x f x x x      b) ( ) 1 cos khi 0 1 khi 0 x x f x x x       

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1.30 Chứng minh rằng:

1) Các hàm số f x    x3 – x  3 và  

3 2

1 1

x x g

x





 liên tục trên 

2) Hàm số

x

x







liên tục tại điểm x 2

3) Hàm số

3

1

x

x

x







gián đoạn tại điểm x 1

4) Hàm số

2 2

( )

f x





gián đoạn tại điểm x 0 5) Hàm số   4 2

f x  x x  liên tục trên  6) Hàm số   1 2

1

f x

x



 liên tục trên khoảng (  1; 1 ) 7) Hàm số f(x) = 8 2x  2 liên tục trên đoạn[  2; 2 ]

8) Hàm số f(x) = 2 x  1liên tục trên khoảng 1

; 2

 



 9) Hàm số

( )

f x

x



 liên tục trên tập xác định của nó

10) Hàm số 2 1

2

f x x x

x

 liên tục trên tập xác định của nó

11) Hàm số f x ( )  1  x  2  x liên tục trên tập xác định của nó

12) Hàm số f x ( )  x  3 liên tục trên tập xác định của nó

13) Hàm số   2 2

f x  x x x  liên tục trên  14) Hàm số

( )

f x

x



 liên tục trên  15) Hàm số

3

( )

sin

f x

x x

 liên tục trên  \ { k  , k   }

1.31 Xét tính liên tục của hàm số f trên tập xác định:

1)

2 2

1 ( )

4

x x

f x

x

 



( )

2

x

f x

x





3)

3 3

2

1 ( )

4

3

x x

x x

f x

x







4)

3 2

1 ( )

1

2

x x

f x

x









