4 gioi han cua day so DE 2

Theo nhận xét trong SGK thì dãy này không tồn tại giới hạn.. Hoặc ta có thể chứng minh không tồn tại giới hạn bằng 2 cách sau: Cách 1: Phản chứng Giả sử tồn tại giới hạn limu n = ∈x ¡..

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (ĐỀ 02) Câu 1: Dãy số nào dưới đây có giới hạn khác 0 ?

A

cos n

1

2n 1

n

+

1

n

Lời giải Chọn C

Ta có

1 cosn 1

− < <

mà

nên theo nguyên lý kẹp

cos

Loại A

Hơn nữa,

1 2

1

n

+

.

Câu 2: Dãy số ( )u n

với

2 2

5

n

u

n

+ +

=

+ có giới hạn bằng:

A

3

1

Lời giải Chọn B

Ta có:

2

2

1

1

n

n

+ +

Câu 3: Dãy số ( )u n

với

2

n

n b u

n

+

= + Để dãy số ( )u n

có giới hạn hữu hạn, giá trị của b bằng:

C Không tồn tại b D b nhận một giá trị duy nhất là 5

Lời giải Chọn A

Ta có:

2

3

n

b

n

n

+ +

Câu 4: lim 3(− n3+2n2−5)

bằng

Lời giải

Lớp 11

Chọn C

3

n n

− + − = − + − ÷= −∞

Câu 5:

3

3 2

lim

3

 − + 

A

3 2

−

2

Lời giải Chọn B

Ta có:

3 2

2

1

n

 − + 

Câu 6: Dãy số ( )u n

với u n =3 n3+ −1 n có giới hạn bằng:

Lời giải Chọn D

Ta có:

2

3 3

2

n

( )3

Câu 7: Cho

( )1n

n

a n

−

=

và

1

n

b n

= Khi đó:

A

lim n

n

a

n

n

a

b

C

n

a

lim n 1

n

a

Lời giải Chọn B

Ta đặt: n ( )1 n

n n

a u b

= = −

Theo nhận xét trong SGK thì dãy này không tồn tại giới hạn

Hoặc ta có thể chứng minh không tồn tại giới hạn bằng 2 cách sau:

Cách 1: Phản chứng

Giả sử tồn tại giới hạn limu n = ∈x ¡ Khi đó:

( ) ( )

1

lim

n

n

+

− : vô lý!

Cách 2: Xét 2 dãy con

Xét hai dãy con của ( )u n

là ( )u 2n

và (u2n+1)

Ta có:

( )2 2

limu n =lim 1− n =1 và ( )2 1

2 1 limu n+ =lim 1− n+ = −1 Do đó, hai dãy giới hạn của ( )u n

không tồn tại

Câu 8: Cho ( )u n

và ( )v n

là hai dãy số có giới hạn (hữu hạn hoặc vô cực) Khẳng định nào sau đây là đúng:

A lim3u n =3 limu n B

lim

lim

C lim u n = limu n . D

lim lim

lim

Lời giải Chọn A

- Xét dãy u n =n, biểu thức lim n1 =+∞1 không có nghĩa Loại B

- Xét dãy

( )1 n

n

u n

−

=

, u n không xác định khi n lẻ, nhưng

( )1

n n

u

n

−

Loại C

- Xét dãy u n = =v n n, biểu thức

+∞

+∞ không xác định Loại D.

Câu 9:

3 3 lim

n

+ + bằng

A

1

1

32

Lời giải Chọn A

Lớp 11

Ta có:

1

n

Câu 10: Kết quả đúng của

2

lim

− + là

A

1

1

Lời giải Chọn C

Ta có:

3

2

2

1

n n

+ −

Câu 11: Nếu L lim= n( n2+ + −n 1 n2+ −n 6)

7

Lời giải Chọn C

Nhân lượng liên hợp, ta được:

lim

2

Câu 12:

3 2

lim

+ + + bằng

A

3

5

7

Lời giải Chọn B

Ta có:

3 2

2

2 3

n

n n

+

1 lim

n + − n + bằng

Lời giải Chọn C

2

n

−

Câu 14. Kết quả lim( n+ −10 n)

là

Lời giải Chọn C

+ −

Câu 15. Tính

2 3

2 lim

+ + − Kết quả là:

2

Lời giải Chọn D

3

2

+

Câu 16. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0 ?

A.

3 2

3 2 lim

n n

+

2 3

lim

n n

−

3 2

lim

n

−

3 2

lim 2

−

Lời giải Chọn B

3

3

4

n

n

−

Câu 17. Dãy số nào sau đây có giới hạn +∞?

Lớp 11

A.

2 2

n

u

n n

+

=

C.

2007 2008

1

n

n u

n

+

=

Lời giải Chọn D

2

1 limu n lim n 1 lim n 1

n

  

= + =   + ÷= +∞

  vì lim n2 = +∞.

Câu 18. Cho

1 1

n

u n

= + và

2 2

n

v n

= + Khi đó lim

n

n

v

u bằng:

Lời giải Chọn B

2

n n

n

n

+ +

Câu 19. Trong các dãy số có số hạng tổng quát u n sau đây, dãy số nào có giới hạn 0?

n u

n

=

1 1

n

n u

n

−

=

1 1

n

n u n

+

=

n u n

= + .

Lời giải Chọn C

1

1

n

u

n

n

+ +

Câu 20. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng

1 3

−

?

A

n

u

=

2 2

2

n

n n u

n

− +

= + .

C

3 2

3

n

u

−

=

2 3

n

u

− + −

= + − .

Lời giải Chọn C

3 2

3

n

u

−

=

1 3 lim

9

n

n n

−

=

3

= −

Câu 21.

4

lim

−

5

3

3 4

−

Lời giải Chọn D

2 4 4

lim

− + +

2

5 3 lim

4

n

−

=

4

= −

Câu 22. Cho ba dãy số ( )u n

, ( )v n

, ( )w n

Nếu u n ≤ ≤v n w n với mọi n và lim u n =limv n thì

A limu n =limv n =limw n. B Chưa đủ thông tin để kết luận cho limw n

C limu n =limv n >limw n. D limu n =limv n <w n.

Lời giải Chọn B

Chưa đủ thông tin để kết luận cho limw Ví dụ như ta xét ba dãy: n u n = n11

+ ,

1

n

v n

= ,

1 1

n

w n

= +

Ta luôn có: u n ≤ ≤v n w n và limu n =limv n =0 nhưng limw n =1.

Câu 23. Tính

lim

n n

+

− ta được kết quả:

A

4

5

5

3

5

Lời giải Chọn B

lim

n n

+

−

2 5 lim

1 3

n n

+

=

3

=

Câu 24. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0 ?

A

lim

1 2

n n

+

3

lim

2

C

3 2

1 lim

2

n

−

lim

n

n n

+

− .

Lời giải Chọn D

lim

n

n n

+

−

0 0

3.0 1 2

3

n

   +

   

−

  −

 ÷

Câu 25. Dãy số nào đau đây có giới hạn là −∞?

A u n =3n2−n. B u n =n4−3n3. C u n = − +n2 4n3. D u n =3n3−2n4.

Lời giải Chọn D

limu n lim 3n 2n lim n 2

n

  

= − =   − ÷= −∞

  do lim n4 = +∞và

3

n

 − = − <

Câu 26.

3 2

lim

+ −

− + là

1

10

Lời giải Chọn B

Lớp 11

2

2

100

n

n n

do lim n= +∞ và

2

1000

n n

+ −

= >

− +

A

n n n

+ = −

n n n

+ =

C

lim

n n n

+ = +∞

lim

n n n

+ = −∞

Lời giải Chọn C

Ta có:

2 1 3

1 2

n

n

n n

   + 

  ÷ ÷÷

  + =    = +∞

 ÷

−      

−

  ÷ ÷

    

bằng

1 2

−

Lời giải Chọn C

2

2

1

− + − =

− + +

lim

2

1

n

− +

− + +

(1) limu n = +∞ nếu kể từ một số hạng nào đó trở đi thì các số hạng của dãy đều lớn hơn một số dương tuỳ ý cho trước

(2) limu n = −∞ nếu kể từ một số hạng nào đó trở đi thì các số hạng của dãy đều nhỏ hơn một số dương tuỳ ý cho trước

(3) Mọi dãy có giới hạn +∞ hoặc −∞ đều là dãy không bị chặn.

(4) Mọi dãy không bị chặn đều có giới hạn +∞ hoặc −∞

Trong các câu trên, chỉ có các câu sau đúng:

A. (1) và (3) B (1), (2) và (3) C.(1), (2), (3) và (4) D (1), (3) và (4)

Lời giải Chọn C.

(2) sai vì: kể từ một số hạng nào đó trở đi thì các số hạng của dãy đều nhỏ hơn một số ÂM tuỳ ý cho trước

(4) sai vì có thể dãy không tồn tại giới hạn, ví dụ u n = −( )1 n n.

Câu 30.

4 4

lim

− + + + bằng

1

3

11

Lời giải Chọn B

Ta có:

4

2

− +

Câu 31.

1 2 lim

n n

− + bằng

A

1

2 3

−

Lời giải Chọn C

Ta có:

1 1

1 3

n n n

n n

   − 

− =     ÷ × = +     

+  ÷

Câu 32.

2 9 lim

2 3

n

−

Lời giải Chọn C

Lớp 11

Ta có:

2

9

n

với u n = n2+an+ −5 n2+1 , trong đó a là một hằng số Để lim u n = −1 thì

giá trị của a là:

Lời giải Chọn D

Ta có: limu n =lim( n2+an+ −5 n2+1)

4 lim

an

+

=

2

4

2

n a

+

Để limu n = −1 thì 2a = − ⇔ = −1 a 2.

( )1 lim

4

n L

n

−

=

+ Khi đó L bằng

A

1 4

−

1 5

−

Lời giải Chọn D

Do

4

n

4

n L

n

−

A

2 3 3 lim

n

−

lim

2 3

n n

+

2 2 lim

2

n n

+

3 2 lim

3

n

Lời giải Chọn C

Ta có:

2 2

1 1

2

n n

n

+

với

2 2

cos

n

u

n n

− −

=

+ có giới hạn bằng

Lời giải Chọn C

Ta có:

2

2

5

cos

n

u

n

n n

n

− −

− −

1 lim

Lời giải Chọn D

2

1

+ +

=

1 1

1

n

Câu 38.

2

2sin lim

1 2

1

1 2

−

Lời giải Chọn D

Ta có:

2

2

1 1

1

n

Lớp 11

1

3 2

2

n n

− <  ÷

  , với mọi n Khi đó:

A limu n =4.

B Không đủ thông tin để tính giới hạn của dãy số ( )u n

C. limu n = −∞.

D. limu n =2.

Lời giải Chọn D

Do

1

n

− < ÷  ÷ =

    ⇒lim(u n+1− = ⇔2) 0 lim( )u n =2

Câu 40.

lim

n n

+ + bằng

A

5

5

Lời giải Chọn D

Ta có:

3 2

5

n

n

+