skkn Phương pháp tìm giới hạn của dãy số được cho bởi công thức truy hồi, qua việc tìm số hạng tổng quát của dãy

Trong chương trình toán THPT chúng ta thường gặp bài toán về dãy số trong đó có dạng toán về việc tìm giới hạn của dãy số cho bằng công thức truy hồi.. Có nhiều phương pháp để giải dạng

MỤC LỤC Nội dung Trang

I MỞ ĐẦU……… 2

1 Lý do chọn đề tài……… 2

2 Mục đích nghiên cứu……… 2

3 Đối tượng nghiên cứu……… 2

4 Phương pháp nghiên cứu……… 2

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM……… 2

II.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm………. 2

II.2.Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

3 II.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề………

4 3.1.Dạng toán 1……… 4

3.2.Dạng toán 2 ………. 5

3.2.Dạng toán 3……… 6

3.2.Dạng toán 4……… 8

3.5.Dạng toán 5:……… 10

II.4 Hiệu quả sáng kiến đối với họat động dạy và học 13

III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ……… 14

1 Kết luận ……… 14

2 Kiến nghị ……… 14

I MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Đứng trước một bài toán, đặc biệt là bài toán khó người làm toán luôn đặt ra phương hướng giải quyết Tuy nhiên đối với người ham mê toán còn đi tìm các cách giải quyểt khác nhau, nhất là tìm được cách giải hay ngắn gọn và mới lạ thì lại càng kích thích tính tò mò khám phá và lòng say mê môn học

Trong chương trình toán THPT chúng ta thường gặp bài toán về dãy số trong đó

có dạng toán về việc tìm giới hạn của dãy số cho bằng công thức truy hồi Đây là các dạng toán thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh và quốc gia

Có nhiều phương pháp để giải dạng bài toán này, nhưng với học sinh phổ thông

sử dụng kỹ thuật biến đổi để đưa về dãy số quen thuộc trong chương trình toán trung học : Cấp số cộng, cấp số nhân để tìm giới hạn là dễ hiểu và thiết thực cho học sinh ứng dụng

Nhằm phát triển tư duy sáng tạo và giúp học sinh biết cách tìm tòi trong quá trình học toán đặc biệt với những em học khá, giỏi Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy các đội tuyển học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh tôi luôn hướng cho các em tìm ra nhiều cách giải một bài toán, mục đích là nhằm phát triển tư duy sáng tạo và kỹ năng làm toán Với những lí do như trên, từ thực tế giảng dạy, với kinh nghiệm thu được, tôi đã tiến hành thực hiện đề tài sáng kiến kinh nghiệm cho năm 2018 với nội

dung “Phương pháp tìm giới hạn của dãy số được cho bởi công thức truy hồi,

qua việc tìm số hạng tổng quát của dãy ”

2 Mục đích nghiên cứu

Với việc nghiên cứu đề tài “Phương pháp tìm giới hạn của dãy số được cho bởi

công thức truy hồi, qua việc tìm số hạng tổng quát của dãy ”sẽ giúp học sinh,

đặc biệt là đối tượng học sinh học ở mức độ khá, giỏi có thể tìm giới hạn của dãy một cách nhanh hơn, mới lạ hơn và sáng tạo hơn

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của sáng kiến là áp dụng cho học sinh ở mức độ trung bình khá trở lên lớp 11, 12 -THPT Trần Phú –Thanh Hóa Tất nhiên với từng đối tượng lớp mà sẽ có những ví dụ minh họa hoặc các bài toán áp dụng sẽ là khác nhau

4 Phương pháp nghiên cứu

Sáng kiến kinh nghiệm này được trình bầy các dạng bài toán tổng quát theo thứ tự

từ đơn giản đến phức tạp có ví dụ minh hoạ điển hình và một số bài tập áp dụng Qua đó mong muốn khai thác thêm được cái hay cái đẹp của toán học và đồng thời góp phần tăng thêm kỹ năng giải toán cho học sinh

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

II.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Trong chương trình toán lớp 11 học sinh đã được học về dãy số, giới hạn của dãy

số, có nhiều bài toán về tìm giới hạn của dãy số, nhất là giới hạn của dãy được cho bởi công thức truy hồi, học sinh thường coi đây là dạng toán khó Tuy nhiên với

một dãy số mà cho ở dạng số hạng tổng quát hay đưa chúng về được số hạng tổng quát thì làm việc trên chúng sẽ đơn giản hơn

Sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11 (cả cơ bản và nâng cao) đều dạy lý thuyết cho học sinh hai dãy số đặc biệt và quan trọng là cấp số cộng và cấp số nhân, định nghĩa, các định lí, tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, dãy số có giới hạn vô cực

Xin nhắc lại số hạng tổng quát của cấp số cộng ( SGK Đại số & Giải tích NC lớp

11 trang 111 mục 3 định lí 2) và cấp số nhân (SGK Đại số & Giải tích NC lớp 11 trang 118 mục 3 định lý 2) là lý thuyết cơ bản nhất để tìm số hạng tổng quát của dãy, là cái cốt lõi để từ đó tìm giới hạn của dãy:

- Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu u1và công sai dthì số hạng tổng quát u n của

nó được xác định bởi công thức sau :

u n u1 n 1 d

- Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu u1và công bội q 0 thì số hạng tổng quát

n

u của nó được xác định bởi công thức sau :

1

1 n .

n

u u q 



II.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trong một đợt thi chọn đội tuyển học sinh đi thi học sinh giỏi cấp tỉnh trường THPT Trần Phú- Nga Sơn tôi đã ra cho học sinh bài toán sau:

Bài toán: Tìm giới hạn của dãy số (u n) xác định bởi :

*Kết qủa thu được

Khi chấm bài của các em tôi thấy nhiều em không làm được bài này, chỉ một

số ít em làm được song bằng cách mò mẫm và dài dòng không khoa học

Thực ra đây là bài toán không khó, nếu ta biết sử dụng phương pháp phù hợp mà

cụ thể là : “Phương pháp tìm giới hạn của dãy số được cho bởi công thức truy

hồi, qua việc tìm số hạng tổng quát của dãy ”

Cụ thể như sau (Đây chính là dạng toán 1 đề cập dưới đây)

Gọi  v n là dãy số xác định bởi : v n u n  1,n 1,n N

Khi đó : 1 1

v u         v Vậy  v n là cấp số nhân có công bội 1

2

q  và v1 u1  1 3 1 2    Từ đó ta suy ra

1 1

1

1 2.

2

n n

n

v v q



  Vậy số hạng tổng quát của dãy  u n là :

1 1

3

u









1

u v



         

    (với n 1,n N )

Do đó:

1

lim ( 1) lim(2 1) lim(4 1) 1

u lim v



    Vậy limu  n 1 Như vậy phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số thông qua số hạng tổng quát của cấp số nhân để tìm giới hạn của dãy ta có cách giải ngắn gọn tự nhiên và

rõ ràng

Sau những năm trực tiếp giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá giỏi, học sinh dự thi học sinh giỏi trường, giỏi tỉnh tôi đã đi tìm tòi các cách giải phù hợp trong đó

“Phương pháp tìm giới hạn của dãy số được cho bởi công thức truy hồi, qua việc tìm số hạng tổng quát của dãy ” là những phương pháp như thế và tôi đã

mạnh dạn cải tiến phương pháp này đồng thời áp dụng sáng kiến này trong các năm học từ 2005- 2006 đến nay ở trường THPT Trần Phú Thanh Hoá

II.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Để làm sáng tỏ điều này tôi xin đưa ra 5 dạng toán cơ bản, 9 ví dụ điển hình và các bài tập áp dụng cho mỗi loại như sau :

3.1.Dạng toán 1: Tìm giới hạn của dãy số  u n với :

1

u c

u  a u b







 và a b c R, , 

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Trường hợp 1 : Nếu a 1thì dãy  u n là một cấp số cộng, công sai b

Trường hợp 2 : Nếu a 1,ta quy dãy  u n thành dãy  v n là một cấp số nhân ,công bội a như sau :

Đặt

1

b

v u

a

 

 Khi đó  v n là cấp số nhân

Nên : v n1 a v. n là một cấp số nhân công bội a và 1 1

1

b

v u

a

 



Từ đó suy ra số hạng 1

1 n .

n

v v a 

n



Vậy số hạng tổng quát dãy số là : 1

1

1

n n

b

u v a

a



 với 1

1

b

v c

a

 



Từ đó ta được giới hạn của dãy  u n

Ví dụ 1 :Tìm giới hạn của dãy số  u n xác định bởi :

1

1

, 1,

1 2

n n

n

u

u u









 



Giải

Ta có u 1 0bằng quy nạp ta có được u  n 0

Từ giả thiết suy ra :

1

u   u Đặt n 1 ,

n

v u

 khi đó ta được : v n1  3.v n 2 với v 1 2 (*) Đặt z n v n 1,(*) trở thành : z n1  3z nvới z 1 3

Như vậy  z n là một cấp số nhân có công bội bằng 3 và z 1 3nên 1

1 3n 3 n n

z z 

Suy ra 1 3n 1

v z   

Vậy dãy số  u n có số hạng tổng quát là : 1 , 1,

3 1

u  n n N



3 1

u lim 

 Vậy limu  n 0

BÀI TẬP ÁP DỤNG

1 Tìm giới hạn của dãy số của các dãy số cho bởi

a

1

1

3

; 1, 1

n n

n

u

u

u















b

1

1

2

; 1,

n n

n

u

u

u



 







2 Tìm giới hạn của dãy số của  u n xác định bởi : 1

1

2

3 1, 1,

u









3.2.Dạng toán 2 :

Tìm giới hạn của dãy số của các dãy số  u n với : 1

u c

u  a u f n







 với a b c R, ,  và f n  là một đa thức theo n

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Trường hợp 1 : a 1ta có u n1 u n f n( ).

Cho n lần lượt nhận các giá trị 1; 2;3; ;n thì ta được : 1

1

( )

n n

i



 

Trong đó

1

( )

n

i

f i



 được tính thông qua các tổng : 2 3

; ;

  

Trường hợp 2 : a 1 Đặt v n u ng n( )trong đó bậc của g(n) bằng bậc của f(n) và g(n) được xác định thông qua phương pháp hệ số bất định đồng thời thoả mãn :

v  a v

Ta quy dãy  u n thành dãy  v n thành một cấp số nhân có công bội q a

Ví dụ 2 : Tìm giới hạn của dãy số  u n xác định bởi :

3 1

1

2, 1, 2

u









Giải

Theo đề bài ta có :

u n1 u nn3  2 u n1  u n n3 2.

Thay n lần lượt bằng 1; 2;3; ;n 1và cộng n 1đẳng thức ta được :

2 1

3 1

1

( 1)

2

n

n

i

n n









Vậy

2

( 1)

2 2

n

n n

u     n

Do đó

2

( 1)

2

n

n n

u      n 

Vậy limu  n

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Xác định giới hạn của các dãy số được xác định bởi các công thức sau :

1

1

1

1

4 1,

2 1, 1, 2

2,

u

u





















3.3.Dạng toán 3 : Tìm giới hạn của dãy số  u n xác định bởi

1

u b

u  a u  







 và a b, ,  R,  > 0

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Trường hợp 1 : a 1ta có 1 n

u  u    Cho n lần lượt nhận các giá trị 1; 2;3; ;n 1thì ta được :

1 1 1

n i n

i





  

Trong đó

1

n

i i





 được tính thông qua các tổng cấp số nhân có số hạng đầu  và công bội

Trường hơp 2 : a 1

Ta quy bài toán về dạng toán 1 bằng cách đặt v n u ng n( ) với v n1 a v ,n đồng thời g(n) là hàm số thảo mãn :

+ Nếu a  thì g n( ) A . n

+ Nếu a  thì g n( ) A n  . n

Trong đóAđược xác định thông qua phương pháp hế số bất định

Dãy  v n được xác định theo cấp số nhân và từ đó suy được  u n và giới hạn của dãy

Ví dụ 3

Tìm giới hạn của dãy số  u n được xác định bởi : 1

1

3 3.4n

u

u  u







 



Giải

Theo đề ta có : 1 3.4n 1 3.4 n

u  u   u   u  Thay n lần lượt bằng 1; 2;3; ;n 1và cộng n 1đẳng thức ta được :

1 1

1

1

3

n n

n

i

u u









Vậy ta được : 4n 1.

n

u   Khi đó : lim lim(4n 1)

n

Ví dụ 4 Tìm giới hạn của dãy  u n được xác định bởi : 1

1

6

3 5.3n

u

u  u









Giải

Ta thấy a   3 nên ta đặt .3n

v u A n với v n1  3.v n Khi đó

1 3 1 1 3n 3 3n 3 5.3n 1 3n 3 3n

5.3n A n 1 3n 3 .3A n n 5 3 .(A n 1) 3 .A n

Suy ra : 5

3

A 

v u  n  u v  n

1 1

3.

3 5.3n







Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân ta được 3n 1

n



3 3 1 5 3 3

n

lim lim(3 3 ) lim 1 5 3

3

n

BÀI TẬP ÁP DỤNG

1 Tìm giới hạn của dãy số  u n xác định bởi : 1

1

5

4 3.4 ,n 1,

u









2 Tìm giới hạn của dãy số  u n xác định bởi :

2

1

1

32

2 , 1, 2

n

n n

u u

u n n N













3.4.Dạng toán 4:

Tìm giới hạn của dãy số  u n xác định bởi : 1

.

.

n n

n

a u b

c u d





1 , , , ,

u a b c d

Giải

Xét phương trình : x ax+b  *

cx d



Trường hợp 1: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt : x x1 , 2 khi đó ta được một hằng số k để cho : 1 1 1

.

k







n

ad bc u x



   

2

n n

n

ad bc u x

u x

cu d cx d





k

1

)

cx d k

cx d







Ta đặt 1

1 2

n

n

u x



 Từ đó áp dụng cấp số nhân ,tìm được v n, suy ra được u n và giới hạn của dãy

Trường hợp 2 : Phương trình (*) có nghiệm kép : x0

Tương tự như trên ta tìm được k để có :

k

u  x u   x 

0

1

n

Áp dụng cấp số cộng ta tính được v n và suy ra u n và giới hạn của dãy

Ví dụ 5

Tìm giới hạn của dãy số  u n xác định bởi :

1 1

1

; 2, 3

3

n n n

u

u u















 

 Giải

Ta có : 1 1

n

u

1

1

2

3

n n

n

u u

u







 



1 1

2

3

n n

u u







 

 Nên 1

1

.





Đặt n 12

n

n

u

v

u





 thì có 1

5 2

v  v và 1

1 1

1 4 2

u v u





Áp dụng cấp số nhân ta có

1

5 4.

2

n n

v



 

  

 

n

n

u

v



  suy ra được :

1

1

5

2

n

n

n

v u v





 



 



 

 

Vậy số hạng tổng quát của dãy trên là :

1

1

5

5

2

n

u





 



 

 



 



 

 

Từ đó ta có :

1

1

5

2

5

2

n

u





 



 

 

 



 

 

Vậy limu  n 2.

Ví dụ 6

Tìm giới hạn dãy số  u n xác định bởi :

1 1 1

, 2, 3

2

n n n

u

u u















 



Giải

n

u

3

n

u



  

Đặt n 1 1

n

v

u



 thì ta có 1

1 4

v v   và 1

1

1 1 1

v u



Áp dụng cấp số cộng được 1  

1 1

n

v  v n      Suy ra 1 4

3

n

u

n

 

n

n u



Ta được số hạng tổng quát của dãy số là : u n7 với n 2,n N

Vì vậy lim lim 7 1

3

n

n u

n



BÀI TẬP ÁP DỤNG

1 Tìm giới hạn của dãy số  u n xác định bởi :

1

1

2

, 1, 2

n n

n

u

u

u















2 Tìm giới hạn của dãy số  u n xác định bởi :

1

1

3 6 , 1, 2

n n

n

u

u

u















3.5.Dạng toán 5:

Tìm giới hạn của dãy số  u n xác định bởi :

 

;

; 2,

u u

u  a b u abu  n n N







PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Ta có : u n1 a b u  n abu n1 u n1  au n b u n au n1

Đặt v n u n1  au nvới n 1 * 

Ta được : 1

; 1

;

v bv n

v u au





 

  v n là cấp số nhân công bội b với v1 u2  au1 **

Từ (*) ta lần lượt n bằng : n 1;n 2;n 3; 3; 2;1:

2

4

v u au

v u au

av au a u

v u au

v u au



 

















n

u a u

a v a u a u

a v a u a u

















































(n 1 đẳng thức )

Cộng các đẳng thức trên cho ta :

1

a v a bv ab v b v

Suy ra :  2 3 4 2 3 2  3 4 4 3

n

u a  a b a b  ab  b  u ab a  a b ab  b  u

Nêu a b thì :

n

Nếu a b thì   2   1

1 n 2 n .

n

u n a  u n a  u

Từ đó ta tìm được giới hạn của dãy

Ví dụ 8

Tìm giới hạn của dãy số  u n xác định bởi :

1 2

1, 2

u  u u  n n N







Giải

(Áp dụng bài toán 5 với a 1;b 2)

Ta có u n1  3u n 2u n1  u n1  u n  2u n  u n1

Đặt v n u n1  u n với n 1

Ta được : 1

2 ; 1 1

v u u





 ;  v n là cấp số nhân công bội 2 với v 1 1

Suy ra :

 1  1 2  2 1 1

1

1

1 2

1 2

n

n







 Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là : 1

2n n

 với n 1,n N

Do đó giới hạn của dãy là : lim lim 2n 1

n

Ví dụ 9

Tìm giới hạn của dãy số  u n xác định bởi :

1 2

1, 2

9 18 ; 1,

u  u  u n n N







Giải

u   u   u n  u   u   u   u

Đặt v n u n1  3u n với n 1 * 

Ta được : 1

6 ; 1





  

 ; ( )v n là cấp số nhân công bội 6 với v 1 1

Thay n lần lượt bởi n 1;n 2;n 3; ;3; 2;1 vào (*)

Ta được :

1 1

3

3

3

3

3

3

















2

3



































n 1đẳng thức

Cộng n 1 đẳng thức trên suy ra :

1 2 2

3n 3n 3n 3

 2 3 4 2 2 4 3 2

1

3n 3 6 3 6n n 3 6n 3.6n 6n v

Nên ta được :

3 3 3 6 3 6 3 6 3.6 6

3 3 3 6 3 6 3 6 3.6 6

n

3n 3 6 3 6n n 3 6n 3.6n 6n

Là tổng của n 1 cấp số nhân với côn bội q 2 nên 2 2 1 1 2 2

2 1

n

S



 Vậy ta có : 3n 1 3n 2 2.6n 2 4.3n 2 2.6 n 2

n

2

4 lim lim(4.3 2.6 ) lim 6 ( 2)

2



Ví dụ 8

Tìm giới hạn của dãy số  u n xác định bởi : 1 2

2, 3

u  u u  n







Giải

(áp dụng cách giải như dạng toán 5 với a 2;b 3)

Ta có u n1  5u n 6u n1 ,n  2 u n1  2u n  3u n 2u n1

Đặt v n u n1  2 ;u n n  1 * 

Ta được : 1

3 ; 1





  

 ;  v v là cấp số nhân công bội 3 với v 1 1

Vậy số hạng tổng quát của dãy là : 3.2n 1 3n 1

n

  với n 2,n N

Do đó :

1

lim lim(3.2 3 ) lim 3 (3 1)

3

n

n

u



 

BÀI TẬP ÁP DỤNG

1 Cho dãy số  u n : 1 2

2, 3

3 2 ; 1,

u  u  u n n N





 Hãy tìm giới hạn của dãy