Hiện nay, trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán cấp tỉnh, đề thi Olympic,đề thi quốc gia luôn xuất hiện bài toán tìm giới hạn của một dãy số. Đây là mộtdạng bài toán khó, đòi hỏi nhiều kĩ thuật, là câu hỏi phân loại học sinh giỏi. Vớimong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp, cungcấp cho các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh giỏi toán và yêu thích toán cóthêm một tài liệu tham khảo về kĩ thuật tìm giới hạn của dãy số, tôi nghiên cứu vàviết tài liệu: “Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số thường gặp trong cáckỳ thi chọn học sinh giỏi”
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂKNÔNG
TRƯỜNG THPT ĐAKMIL
-****** -
BÀI BÁO CÁO
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY
SỐ THƯỜNG GẶP TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Người thực hiện: Đặng Thị Thu Sương
ĐăkNông – 09/2015
Trang 21 LỜI NÓI ĐẦU:
Hiện nay, trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán cấp tỉnh, đề thi Olympic,
đề thi quốc gia luôn xuất hiện bài toán tìm giới hạn của một dãy số Đây là một dạng bài toán khó, đòi hỏi nhiều kĩ thuật, là câu hỏi phân loại học sinh giỏi Với mong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp, cung cấp cho các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh giỏi toán và yêu thích toán có thêm một tài liệu tham khảo về kĩ thuật tìm giới hạn của dãy số, tôi nghiên cứu và
viết tài liệu: “Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số thường gặp trong các
kỳ thi chọn học sinh giỏi”
2 PHẦN NỘI DUNG
2.1 Kiến thức cơ sở:
Định nghĩa Ta nói rằng dãy số u n có giới hạn là hằng số thực a hữu hạn nếu mọi số dương (có thể bé tùy ý), luôn tồn tại chỉ số n o n0có thể phụ thuộc vào và vào dãy số u n đang xét), sao cho với mọi chỉ số n ,n n0 ta luôn
có u n a khi đó kí hiệu lim n
n u a
hoặc limu n a và còn nói rằng dãy số
u n hội tụ về a Dãy số không hội tụ gọi là dãy phân kỳ
Định lý 1 Nếu một dãy số hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất tức là: Giả sử
dãy số (u n) có giới hạn hữu hạn thì lim n lim n 1
x u x u
Định lý 2 (Tiêu chuẩn hội tụ Weierstrass)
a) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ
b) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ
c) Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ
Nếu dãy số u n thỏa mãn điều kiện u n M, n và tồn tại giới hạn limu n thì
limu n M; nếu dãy số u n thỏa mãn điều kiện u n m, n và tồn tại giới hạn limu n thì limu n m.
Trang 3Định lý 3 Nếu u n a và v n u n , v n C thì v n a
Định lý 4 ( Định lý kẹp về giới hạn )
Nếu với mọi nn0 ta luôn có u n x n v n và limun limvn a thì limxn a
Định lý 5 ( Định lý Lagrange) Nếu hàm số y f x liên tục trên đoạn [a;b] và
có đạo hàm trong khoảng (a;b) thì tồn tại c a b; thỏa mãn:
f b f a f c b a
2.2 Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số:
Phương pháp 1: Xác định CTTQ của dãy rồi tính giới hạn của dãy số
Phương pháp 2 : Tính giới hạn của dãy số bằng cách sử dụng tính đơn điệu và
bị chặn của dãy
Phương pháp 3: Tính giới hạn của dãy số bằng cách sử dụng nguyên lý kẹp
giới hạn
Phương pháp 4: Tính giới hạn của dãy số bằng cách sử dụng tính chất của hàm số 2.2.1 Phương pháp 1: Xác định CTTQ của dãy rồi tính giới hạn dãy số
*Loại 1: Dự đoán CTTQ rồi chứng minh bằng quy nạp
Phương pháp chung: Từ một vài trường hợp ban đầu, dự đoán công thức số
hạng tổng quát rồi chứng minh bằng quy nạp Sau đó sử dụng các giới hạn đã biết để tìm lim n.
n u
Vận dụng lượng giác vào việc tìm CTTQ cho dãy số:
Bài 1 : Cho dãy số u n xác định bởi 1
1
2
1
u
n
ta có 1 2 2. 2 2 cos 2; 2 2 2 2(1 os ) 2 os 3.
3
2
Trang 4Từ đó ta dự đoán công thức tổng quát : 2 cos 1; 1, 2,
2
công thức trên bằng quy nạp Cuối cùng ta được: lim n 2.
x u
Bình luận:
+ Dấu hiệu làm cho ta nghĩ đến việc sử dụng lượng giác ở chỗ
1
2
Bài 2: (Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Long An năm 2012)
Cho dãy số u n xác định như sau :
1
1
2
1,
2 1
n n
n
u
u u
u
a) Chứng minh : tan 2 1
8
b) Tính: u2015 Giải:
2
2 tan
8 8
Đặt u1 2 tan ,a ta có :
2
tan tan
8 tan(a ),
8
1 tan tan
8
a
u
a
tan( ) tan
8
1 tan tan( )
a
a
8
n
u a n n nN
(chứng minh bằng quy nạp)
b Cho n 2015, ta có 2015 tan( 2014 ) tan( 3 251 ) tan( 3 )
2 1
*Loại 2: Sử dụng phương pháp hàm lặp
Trang 5Để tìm SHQT của dãy số u n bằng phương pháp hàm lặp ta thường tìm các hàm số f x( )và h x( ) sao cho f u( n) h f u( ( n1)). Sử dụng liên tiếp đẳng thức này ta được: f u( n) h f u( ( n1)) h h f u( ( ( n2))) h f u2( ( n 2)) h f u n( ( )).0
Hàm số f được gọi là hàm phụ, hàm số h được gọi là hàm lặp
Bài 3: Cho dãy số (u n) : u1 3, u n1 7u n 1, n 1, 2 Tìm lim 1 ?
x n
u
Giải: Ta có 1 1 7 1 1 7( 1).
u u u
u u u u
n n
u Suy ra lim 1 0
x n
u
Bình luận: Trong lời giải trên, quan trọng nhất là cách xét hiệu 1 1.
6
n
u số 1
6
được tìm như sau: u n1 k 7u n 1 k 7(u n k) 6k 1. Cần chọn k sao cho
6k 1 0 nên 1
6
k Nói cách khác số 1
6 là điểm bất động của hàm f
Bài 4: Cho dãy số u n :u1 4, 1 1( 4 4 1 2 ), 1, 2
9
u u u n Tìm limu ?n
Giải: Theo giả thiết
0
n
u với mọi n và: 9u n1u n 4 4 1 2 u n 18u n1 2u n 8 8 1 2 u n
2
18u n 9 2u n 1 8 1 2 u n 16 9(2u n 1) ( 1 2 u n 4)
1
3 2u n 1 1 2 u n 4. Đặt v n 2u n 1.
Khi đó : v1 3 và 3v n1 v n 4 hay 1 1
v v v v Như vậy:
v v v v Do đó 11 2
3
n n
v Suy ra
2
2 1
n
v
u
Cuối cùng ta được : limu 3.
2
n
*Loại 3: Sử dụng tính chất dãy số đặc biệt như CSC, CSN:
Trang 6Bài 5: Cho dãy số u n xác định như sau
1
1
10 1
5
u
a) CMR dãy số v n xác định bởi 15
4
n n
v u là một cấp số nhân
b) Tính limun
Giải:
a) Ta có v n là CSN v n1 q v q. n const , q 0, n 1. Thật vậy, ta có
1 1
v u u v v nên v n là một CSN có công bội
1
5
q và 1
25 4
v Do đó
1 1
n n
v v q
b) Từ câu a) suy ra
3
n
n n
15
4
n
Bình luận
1.Vì sao lại nghĩ ra được phép đổi biến 15
4
n n
v u để dãy v n là một SCN ?
Ta thấy 1 1 3,
5
u u ta cần tìm số b sao cho 1
1
5
u b u b
1
3
Do vậy, nếu đặt 15
4
n n
v u thì 1 1 , 1
5
v v n nên v n là một SCN
2 Ngoài ra, có thể đặt 5 u ,n 1,
1 3.5n , 1.
n n
v v n Suy ra
3
n n
v v
Bài 6: (Bài 4.73 trang 148 sách bài tập ĐS và GT 11NC,NXBGD 2007)
Cho dãy số u n xác định bởi
1
1
1 4
6
n n n
u u
u
a) CMR u n 4, n 1
Trang 7b) CMR dãy v n với 1
4
n n n
u v u
là một SCN Tính limu n Giải:
a) Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp u n 4, n 1.
Khi n 1 ta có u1 1 4
Giả sử u k 4, k 1, ta chứng minh u k1 4. Thật vậy, giả sử ngược lại u k1 4,
6
k
k
u
u
n
u n
b) Từ câu a) suy ra v n luôn xác định với mọi n 1
1
1
4 1
4
4 6
n
n
n
u
u
u
Vậy ( )v n là một SCN lùi
vô hạn với công bội 2
5
q Suy ra 2
5
n n
v
Nên
2
5
2 1
5
n
u
Do đó
2
5
2 1 5
n
u
*Loại 4: Dùng phép biến đổi để tìm SHQT của dãy số
Bài 7: (Đề thi học sinh giỏi lớp 11 Hà Tĩnh 2013)
Cho dãy số a n thỏa mãn 1
4
1, 3
a
n a n a n a a
Tìm lima n
Giải: Dễ thấy a n 0, n N Từ giả thiết ta có 2 2
1
( 1)
n
Với mỗi nN, đặt 1 1
4
n n
y a
ta có y1 1 và
Trang 8 2
n
n
Do đó
Vậy lima n 4
Như vậy nếu xác định được CTTQ của dãy số thì bài toán trở nên quen thuộc và có thể tính giới hạn của dãy số đó một cách dễ dàng dựa vào các định
lý về giới hạn đã được học trong chương trình của sách giáo khoa
2.2.2 Phương pháp 2: Tính giới hạn của dãy số bằng cách sử dụng tính đơn điệu và bị chặn
Bài 8: (Đề thi HSG lớp 11 Quảng Bình năm học 2014-2015)
Cho dãy số :
1 2015
1 2014
2
1 3
n
u
n N
u
a) Chứng minh u n 1, n N và u n là dãy số tăng
b) Tìm 2014
1
1 lim
2.
n
i u i
Giải:
a) Ta có u1 1
Giả sử u1 1 Ta chứng minh u k1 1. Thật vậy :
k
u
Ta có:
0
b) Ta có:
1
n
u
1
Trang 9Suy ra: 2014
1
n
i u i u u n u n
hạn), ta có a 1. Suy ra:
2014 2014
Do đó :
1
1
1
n
n
u
u
1
1
2
n
i u i
Bình luận: Ta sử dụng định nghĩa để chứng minh dãy số tăng và phương pháp
phản chứng để chứng minh dãy số u n không bị chặn trên
Bài 9: (Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2010-2011)
Cho dãy số u n xác định bởi 12
1
2010
n n n
u
Chứng minh rằng dãy u n có giới hạn và tính giới hạn đó
Giải
Trước hết ta nhận xét rằng u n 0, với mọi n
Thật vậy, ta có u1 2010 0. Giả sử u k 0, k 1, ta chứng minh u k1 0
2011
2
k
k
u
u
Do đó ta có 1 2 2011 1(u 2011).
n
u u
2
1
2011, 1.
2
n
u
Mặt khác ta có 1 2
1
n n
n
n
u
Nên u n là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 2011, do đó dãy u n có giới hạn hữu hạn Giả sử limu n a, khi đó 0 a 2010
và ta có
Trang 10 vậy limu n 2011
2.2.3 Phương Pháp 3: Tính giới hạn của dãy số bằng cách sử dụng nguyên
lý kẹp giới hạn
Bài 10: (Đề thi Olympic toán sinh viên toàn quốc năm 2003)
Cho dãy số x n xác định bởi: 1 2 3 , 1, 2,
k
k
k
Tính lim n 1n 2n 2003n
k k
k
k
nên 0 x1 x2 x2002 x2003 p
k
k x
Ta có: x2013n x1nx2n x2013n 2003.x n2003
Suy ra
1
2003 n 1n 2n 2003n 2003 n 2003
1
1 2 2003
n x x x
Vì
1
n
n n nên theo nguyên lý kẹp suy ra
1 2 2013
1
2014!
n
Bài 11: (Đề thi Olympic vòng thi cấp tỉnh năm 2015)
Cho
1.3.5 (2 1)
2.4.6 2
n
n u
n
x u
Ta có :
2 2 2
2
2 2 2
1 3 5 2 1
1 3 5 (2 1) 0
(2 1)(4 1)(6 1) ((2 ) 1)
2 4 6 2
n
n n
u
n n
2 2 2 2
1.3.3.5.5.7.7 (2 1)(2 1) 2 1
n
n u
Trang 11n
n
Theo nguyên lý giới hạn kẹp thì lim n 0.
x u
2.2.4 Phương pháp 4: Tính giới hạn của dãy số bằng cách sử dụng tính chất của hàm số
Dạng toán : Cho phương trình với tham số nguyên dương n: f (x)n 0
a) Chứng minh với mỗi nn o thì phương trình có duy nhất một nghiệm trên D, ký hiệu nghiệm đó là x n
b) Chứng minh dãy số x n có giới hạn hữu hạn và tính lim n
x x
Phương pháp:
Để chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm trên D ta sử dụng tính liên tục và các định lý liên quan như: định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục, đạo hàm và các ứng dụng của đạo hàm, sử dụng định lý Lagrange…
Để giải câu b, ta sử dụng tính đơn điệu của f n x , sử dụng định lý
Lagrange…
Bài 12: (Đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 2001-2002)
Cho phương trình 1 1 1 1 2 1 2 0.
2x x 1 x 4 x k x n
a) Chứng minh với mỗi số nguyên dương n, phương trình có duy nhất nghiệm trong khoảng (0;1) và ký hiệu nghiệm là x n.
b) Chứng minh dãy số x n có giới hạn khi n
Giải:
a) Với mỗi n=1,2,3,…ta xét hàm số:
n
f x
Dễ thấy với mỗi n, hàm số f n x Liên tục và nghịch biến trên khoảng (0;1) Hơn nữa:
lim n( ) ; lim n( )
x f x x f x
Suy ra với mỗi n thì phương trình có duy nhất
nghiệm x n (0;1).
Trang 12b) Với mỗi nN ta có :
n n
f x
2x n x n 1 x n 4 x n k x n n
1
( 1)
n n
n
f x
do
(0;1)
n
x suy ra: f n1(x n) f n1(x n1) 0 x n1x n, n 1, 2, Do đó dãy số (x n)
giảm và bị chặn dưới nên hội tụ
Bài 13: (Đề thi học sinh giỏi lớp 12 TP HCM năm học 2012-2013)
Cho dãy số (u n) xác định bởi :
1
1
1 2
n n
n
u
u u
u
Chứng minh dãy số (u n) có giới hạn
và tìm giới hạn đó
Giải: Từ giả thiết suy ra u n 0 với mọi n Xét hàm số: ( ) 3 4 3 5
x
f x
(2 1)
x
1
1
1 2 ( ),
u
x
x
2
.
n n
n n
x u
y u
Do f x( ) nghịch biến trên (0;) nên g x( ) f f x đồng biến trên(0; ). f(x )n f u( 2n1) u2n y n; (y )f n f u( 2n) x2n1.
(x )n ( (x ))n (y )n n 1.
u u u Ta có: u1u3 nên x1x2.Giả sử x k x k1 thì g x( k) g x( k1) Nên x k1x k2. vậy x n x n1 Suy ra x n tăng và bị chặn trên nên x n có giới hạn hữu hạn a Dox n x n1 nên f x n f x n1 suy ra y n y n1. vậy (y n) là dãy giảm và
bị chặn dưới nên (y n) có giới hạn b
Trang 13Ta có:
1
( ) ( )
n n
n n
n n
f b a
f y x
suy ra ab. Nên ta có :
3 ( ; 4) 2
b a a a a
và ta
đượca b 2. Vậy limu n 2.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: (Bài 3.47 trang 139 sách bài tập ĐS và GT11 NC NXBGD 2007)
Cho dãy số u n xác định bởi 1
1
3
u
Đặt s n u1 u2 u n n, 1.
a) CMR dãy số v n với v n u n 1,n 1 là một CSN lùi vô hạn
b) Tính lims n
Bài 2: (Đề thi học sinh giỏi khối 12 tỉnh ĐăkNông năm 2014-2015)
Cho dãy số u n được xác định bởi công thức
3
n
u
Hãy tính limu n
Bài 3: (Đề thi học sinh giỏi khối 12 tỉnh Hà Tĩnh năm 2010-2011)
Cho dãy số u n xác định bởi
1
2 1
1
2010
n
u
u
n
u
u u u
Bài 4: (Đề thi học sinh giỏi Quốc gia năm 2014-2015)
Cho a là số thực không âm và dãy u n được xác định bởi:
2
2
1
n
a) Với a 0, chứng minh rằng dãy số u n có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó
b) a 0;1 , chứng minh dãy số u n có giới hạn hữu hạn
Trang 143 KẾT LUẬN
Các bài toán về dãy số thường khó và nhiều dạng khác nhau, tài liệu này mới chỉ đề cập đến bài toán tìm giới hạn dãy số Để nâng cao chất lượng học tập cho học sinh và để các dạng toán được đầy đủ hơn tôi sẽ nghiên cứu tiếp các bài toán
về dãy số thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi như tìm giới hạn của dãy tổng, nghiên cứu các tính chất số học của dãy số…
Trong quá trình viết tài liệu này, tôi đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên cũng không tránh khỏi những sự thiếu sót Rất mong nhận được sự góp ý chân thành của các thầy cô giáo đồng nghiệp để đề tài của tôi được hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn!
4 TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Sách giáo khoa bài tập đại số và giải tích lớp 11 nâng cao
2 Đề thi học sinh giỏi tỉnh ĐăkNông qua các năm
3 Chuyên đề chọn lọc về dãy số và áp dụng ( Chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi)
Tác giả: Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Tuấn,
4 Một số bài toán về dãy số trong các đề thi Olympic 30-4
Tác giả: Võ Giang Giai- Võ Đình Duy
5 Tài liệu mạng