Bản chất của giới hạn dãy số là khi n càng lớn thì các số hạng của dãy càng gần nhau “co lại theo nghĩa khoảng cách”. Việc sử dụng “nguyên lý ánh xạ co” để chứng minh một dãy số có giới hạn sẽ trở nên hiệu quả và dễ dàng cho nhiều lớp bài toán dạng x f x n n 1 ( ). Qua các bài thi từ cấp tỉnh, khu vực và Quốc gia trong năm học 2014 – 2015, tôi nhận thấy ngoài các cách giải thông thường thì việc sử dụng “nguyên lý ánh xạ co” sẽ trở nên nhẹ nhàng và hiệu quả. Bài viết sau đây sẽ cho thấy được điều này.
Trang 1Tạ Ngọc Bảo – THPT chuyên Nguyễn Chí Thanh 1
ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO
ĐỂ GIẢI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I Lời nói đầu:
Bản chất của giới hạn dãy số là khi n càng lớn thì các số hạng của dãy
càng gần nhau “co lại theo nghĩa khoảng cách” Việc sử dụng “nguyên lý ánh xạ co” để chứng minh một dãy số có giới hạn sẽ trở nên hiệu quả và dễ dàng cho nhiều lớp bài toán dạng x n1 f x( )n Qua các bài thi từ cấp tỉnh, khu vực và Quốc gia trong năm học 2014 – 2015, tôi nhận thấy ngoài các cách giải thông thường thì việc sử dụng “nguyên lý ánh xạ co” sẽ trở nên nhẹ nhàng và hiệu quả Bài viết sau đây sẽ cho thấy được điều này
II Nội dung:
1 Kiến thức chuẩn bị:
1.1 Định lý Lagrange:
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trong khoảng (a; b) thì tồn tại c(a; b) thỏa mãn: f(b)–f(a)=f’(c)(b – a)
1.2 Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội hội của dãy số:
a) Định nghĩa dãy Cauchy: Dãy số u được gọi là dãy Cauchy (dãy cơ n
bản) nếu 0 cho trước, bao giờ cũng có số tự nhiên N sao cho m n N, , ta
có u m u n
b) Định lý: Dãy số u hội tụ khi và chỉ khi n u là dãy cơ bản n
Chứng minh:
i) Điều kiện cần:
Giả sử limu n a Khi đó với mọi số 0 cho trước, luôn tồn tại số tự
nhiên N sao cho, n N, ta có
2
n
u a Từ đó suy ra m n N, , ta có
u u u a a u u a u a Suy ra u là dãy cơ bản n ii) Điều kiện đủ:
Giả sử u là dãy cơ bản Trước tiên ta chứng minh dãy n u bị chặn n
Thật vậy với 1, tồn tại N sao cho m n N, , ta có u m u n 1, cố định m N 1, ta có u n u N1 1 u n M n, *
Trang 2Tạ Ngọc Bảo – THPT chuyên Nguyễn Chí Thanh 2
Như vậy, dãy u bị chặn Theo nguyên lý Bolzano – Weierstrass, tồn tại n
một dãy con u hội tụ, giả sử lim n k u n k a Khi đó với mọi 0 cho trước, tồn tại số tự nhiên N , sao cho 1 1
2
k
n N u a
Mặt khác do u là dãy cơ bản, nên tồn tại số tự nhiên n N , sao cho 2
2
,
2
m n
m n N u u
Chọn N maxN N1, 2 và lấy n k N thì n N,
ta có
2 2
u a u u u a u u u a
Vậy limu n a
Ví dụ 1: Dùng tiêu chuẩn Cauchy, xét sự hội tụ của dãy u , n
2
n
n
Lời giải: Ta thấy với n bất kỳ, đặt m2n,
n n
Như vậy, u không phải là dãy cơ bản, suy ra n u không hội tụ n
Ví dụ 2: Dùng tiêu chuẩn Cauchy, xét sự hội tụ của dãy u , n
với 1 12 12 , *
2
n
n
Lời giải: Giả sử mn bất kỳ, ta có:
1
m n
u u
m
n
Như vậy, khi cho trước 0 bé tùy ý, nếu chọn số tự nhiên N 1 1
khi đó: m n N, thì u m u n hay u là dãy cơ bản n
Vậy dãy u hội tụ n
Trang 3Tạ Ngọc Bảo – THPT chuyên Nguyễn Chí Thanh 3
2 Nguyên lý ánh xạ co:
a) Định nghĩa:
Cho I là một khoảng đóng, hàm số f I: I được gọi là hàm số co trên I
nếu tồn tại số thực q, 0 q 1 sao cho f x( ) f y( ) q x y x y I , ,
b) Tính chất:
Cho I là một khoảng đóng và bị chặn, nếu f là một hàm số co trên I thì dãy
số x xác định bởi n x n1 f x( )n hội tụ Giới hạn của dãy số là nghiệm duy nhất
trên I của phương trình x f x ( )
Chứng minh:
Với mọi mn, áp dụng định nghĩa hàm số co ta có:
2
n
Suy ra: x n x0 x n x n1 x n1 x n2 x1 x0
1
n
Suy ra dãy x bị chặn n
Mặt khác, do q1 và x m n x0 bị chặn nên lim n 0 0
m n
q x x Tức là 0
cho trước, N 0 sao cho m n N, , ta có q x n m n x0
Suy ra x m x n q x n m n x0 hay x là dãy cơ bản n
Chứng minh f có duy nhất điểm bất động Thật vậy, giả sử f có hai
điểm bất động là L L , tức là 1, 2 L1 f L L( ),1 2 f L( )2 Do f là ánh xạ co nên
f L f L q L L L L q L L do q1 nên L1 L2
c) Áp dụng:
Ví dụ 1 Đề thi Olympic cấp tỉnh 2015: (Toán 11)
Đề bài: Cho dãy số ( )x xác định bởi: n
1
1
2
4 8 1, 1, 2,3,
x
Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó
Trang 4Tạ Ngọc Bảo – THPT chuyên Nguyễn Chí Thanh 4
Lới giải:
Xét hàm số f x 4 8x1 trên khoảng 2;3
Theo định lý Lagrange, ta có: f x f y f ' c x y c, 2;3
Do f ' c 1 nên luôn tồn tại số q1 sao cho f ' c q khi đó
f x f y q x y hay f x là ánh xạ co, theo tính chất trên thì dãy
số đã cho hội tụ
Cách giải khác:
Phân tích:
Đây là bài toán cơ bản vể dãy số, đa số học sinh làm được câu này
Dễ thấy đây là dãy số tăng (x2 4 17 x1 2), Giả sử dãy này có giới hạn thì giới hạn đó phải thỏa mãn phương trình: x 4 8x 1 x 3
Ta dự đoán được dãy đã cho bị chặn trên bởi số 3
Lời giải:
Ta có: x n 2, n 1,2,
Ta lại có: x12, x2 3
Theo nguyên lý quy nạp suy ra x n 3, n 1,2,
Do đó 2x n 3, n 1,2,
Bằng quy nạp ta chứng minh được x n là dãy tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ
Đặt li mxn x, khi đó:
3
8
x
x
Vậy li mxn 3
Trang 5Tạ Ngọc Bảo – THPT chuyên Nguyễn Chí Thanh 5
Ví dụ 2 Đề thi HSG Tỉnh năm 2015:
Đề bài: Cho dãy số ( )u n xác định bởi công thức:
1
3
2 3
n
u
u
*
, . Hãy tính limu n a
Lời giải:
Dễ dàng dự đoán đây là dãy số dương và giảm
3
x
Theo định lý Lagrange, ta có: f x f y f ' c x y c, 0;3
Do f ' c 1 nên luôn tồn tại số q1 sao cho f ' c q khi đó
f x f y q x y hay f x là ánh xạ co, theo tính chất trên thì dãy
số đã cho hội tụ
Ví dụ 3 Đề thi HSG Quốc gia năm 2015:
Cho a là số thực không âm và dãy số ( u n) được xác định bởi:
2
2
1
n
n a , với mọi (n1)
a) Với a0, chứng minh rằng dãy số u có giới hạn hữu hạn và tìm n
giới hạn đó
b) Với mọi a 0;1 , chứng minh rằng dãy số u có giới hạn hữu hạn n
Lời giải:
a) Với a0 ta có 1 3, 1 1 1 2 3
Xét hàm số 1 1 2
3
f x x x trên khoảng 0;3
Ta có
2
'
x
x
, x 0;3 Theo định lý Lagrange, ta có: f x f y f ' c x y c, 0;3
Do f ' c 1 nên luôn tồn tại số q1 sao cho f ' c q khi đó
Trang 6Tạ Ngọc Bảo – THPT chuyên Nguyễn Chí Thanh 6
f x f y q x y hay f x là ánh xạ co, theo tính chất trên thì dãy
số đã cho hội tụ
b) Với a 0;1 , ta có
1
2
1 2
n
Xét hai dãy x và n y như sau: n
1 1
2
3 3
,
y x
n
n
Ta có y n u n x n, n *
Theo câu a) ta có limx n 1, ta cần phải chứng minh limy n 1
2
1
3, 0;3 ,
n
Theo định lý Lagrange, ta có: f x f y f ' c x y c, 0;3
Do f ' c 1 nên luôn tồn tại số q1 sao cho f ' c q khi đó
f x f y q x y hay f x là ánh xạ co, theo tính chất trên thì dãy
số đã cho hội tụ
Mặt khác f là hàm liên tục, gọi limy n L, chuyển qua giới hạn ta được:
2
L L L L Vậy limy n 1
Áp dụng định lý về giới hạn kẹp, ta suy ra limu n 1
d) Bài tập đề nghị:
Bài 1: (Đề dự bị VMO 2008)
Cho số thực a và dãy số thực {x n } xác định bởi:
x 1 = a và x n+1 = ln(3+cosx n + sinx n ) – 2008 với mọi n = 1, 2, 3, …
Chứng minh rằng dãy số {x n } có giới hạn hữu hạn khi n tiến đến dương vô
cùng
Trang 7Tạ Ngọc Bảo – THPT chuyên Nguyễn Chí Thanh 7
Bài 2: Cho dãy số {x n } xác định bởi x0 2 và x n1 2x n với n=0, 1,…
Chứng minh rằng dãy {xn} có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó
Bài 3: Cho dãy số thực (x n ) xác định bởi:
1
2015
1
n n
n
x
x
x
1 Chứng minh dãy số (x n ) bị chặn
2 Chứng minh dãy số (x n ) có giới hạn và tìm giới hạn đó
Bài 4: Cho dãy số thực u xác định bởi: n 1
1
1 1
1 1
n n ,
u
u
Chứng minh dãy số u có giới hạn và tìm giới hạn đó n
Bài 5: Cho dãy số thực u xác định bởi: n
1
2
1
1 2
2
;
,
n
u
Chứng minh dãy số u có giới hạn và tìm giới hạn đó n
III Kết luận:
Từ những phân tích trên, ta thấy được tính hiệu quả trong việc giải bài toán tìm giới hạn của dãy số thông qua việc sử dụng “nguyên lý ánh xạ co” Trong quá trình bồi dưỡng cho học sinh ở các đội tuyển, nếu người thầy trang bị đầy đủ các kiến thức căn bản về việc sử dụng “nguyên lý ánh xạ co” cho học sinh thì sẽ giúp các em có cách nhìn nhận bài toán ở các góc độ khác nhau trong việc tìm lời giải Tài liệu này được viết trong khoảng thời gian ngắn, không tránh khỏi những sai sót, kính mong quý đồng nghiệp và các em học sinh góp ý
để bài viết có tính hữu dụng cao hơn
Trang 8Tạ Ngọc Bảo – THPT chuyên Nguyễn Chí Thanh 8
IV Tài liệu tham khảo:
1 Nguyễn Tài Chung (2013), chuyên khảo dãy số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội
2 Trần Nam Dũng (2013), Gặp gỡ toán học 2013, ĐH KHTN TP HCM
3 Trần Nam Dũng (chủ biên), Nguyễn Tất Thu, Võ Quốc Bá Cẩn, Lê Phúc Lữ, lời giải và bình luận đề thi VMO 2015
4 Internet