8 phuong phap toa do trong mat phang 2

Ta có thể thực hiện theo hai cách sau: Cách 1: Xét phơng trình đờng tròn C với ẩn y và tìm x để phơng trình có nghiệm, từ đó suy ra hoành độ nguyên  Đề nghị bạn đọc tự làmề nghị b

 Giải

a Ta có thể thực hiện theo hai cách sau:

Cách 1: Xét phơng trình đờng tròn (C) với ẩn y và tìm x để phơng trình có nghiệm, từ đó suy ra hoành độ nguyên  Đề nghị bạn đọc tự làmề nghị bạn đọc tự làm.

Cách 2: Chuyển phơng trình đờng tròn về dạng tham số:

Khi đó điểm M(C)  M(2 + 2 2sin, 3 + 2 2cos)

Suy ra các giá trị góc  để x, y đều nguyên là:

4

, 34

,54

,74



x2 2

 (E) có trục lớn thuộc Ox, độ dài bằng 2a

chứa hai tiêu điểm

Khả năng 2: Nếu a < b, ta đợc:

 (E) có trục lớn thuộc Oy, độ dài bằng 2b chứa

hai tiêu điểm

B2bc



 Tâm sai e =

b

c



Chú ý: Trong trờng hợp phơng trình của (E) có dạng:

(E):

2 2

2 2

b

)y(a

)x

ta thực hiện phép tịnh tiến hệ trục Oxy theo vectơ OI với I(, ) thành

hệ trục IXY với công thức đổi trục:

ta đợc:

b

Ya

X

2 2

 Trục lớn thuộc Ox có độ dài bằng 10 chứa hai tiêu điểm F1(4, 0), F2(4, 0)

 Trục nhỏ thuộc Oy có độ dài bằng 6

 Toạ độ 4 đỉnh A1(5, 0), A2(5, 0), B1(0, 3), B2(0, 3)

b Biến đổi phơng trình về dạng:

1 9 / 1

y 4

1

và c = a 2 b2 = 65

Từ đó:

 Trục lớn thuộc Ox có độ dài bằng 1 chứa hai tiêu điểm F1( 65 , 0), F2( 65 , 0)

 Trục nhỏ thuộc Oy có độ dài bằng 32

 Toạ độ 4 đỉnh A1(21 , 0), A2(21 , 0), B1(0, 31 ), B2(0, 31 )

c Biến đổi phơng trình về dạng:

14

4ycos t

Thí dụ 3 Tìm tâm sai của Elíp biết:

a Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dới một góc 600

b Đề nghị bạn đọc tự làmỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dới một góc 600

c Khoảng cách giữa hai đờng chuẩn bằng 2 lần tiêu cự.

d Khoảng cách giữa hai đỉnh trên hai trục bằng hai lần tiêu cự.

 Giải

a Từ giả thiết, ta có:

tan300 = b

c  b = c.tan300suy ra:

e = c

a  e2 =

2 2

 e = cos300 = 3

2

b Từ giả thiết, ta có cot300 = b

c  b = c.cot300suy ra:

e = c

a  e2 =

2 2

1

B2

O cb

e = c

a  e2 =

2 2

c15cc

2 

= 2

17  e = 34

2

Dạng toán 2: Lập phơng trình của Elíp (E).

Phơng pháp thực hiện

Ta lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Sử dụng phơng trình chính tắc của Elíp

b

ya

x2 2

1 2

1 (x x ) (y y )

2 2 2

2 2

2 2 2

1MFMF

MFMF





=

a2

)yy(y)xx(x)yy()xx( 12  22  12  22  1  2  1  2

b

ya

x2 2

2

2



2 Trong nhiều trờng hợp đặc thù chúng ta còn sử dụng phơng pháp quỹ tích để xác

ph-ơng trình Elíp hoặc chứng minh tập hợp điểm là Elíp

Thí dụ 1 Lập phơng trình chính tắc của elíp, biết:

b

B2

2a

a Đề nghị bạn đọc tự làmộ dài trục lớn và trục nhỏ lần lợt là 8 và 6.

b Đề nghị bạn đọc tự làmộ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6.

c Trục lớn thuộc Oy có độ dài trục lớn bằng 26 và tâm sai e =

x2 2

c =

x2 2



Thí dụ 2 Lập phơng trình chính tắc của elíp, biết:

a Elíp đi qua các điểm M(0, 3) và N(3, 

x

2 2

144a

x

2 2

 Vì M(1,

2

b4

3a

a (C) tiếp xúc trong với (C1) và tiếp xúc ngoài với (C2)

b (C) tiếp xúc trong với cả (C1) và (C2)

 Xác định phơng trình của Elíp (E)

Vì O1, O2 thuộc Ox và đối xứng qua O nên phơng trình

của (E) có dạng:

x2 2

2 Mb

ya

x



Bớc 2: Kết luận:

 Nếu pM/(E)<1  M nằm trong Elíp

 Nếu pM/(E) = 1  M nằm trên Elíp

 Nếu pM/(E)>1  M nằm ngoài Elíp



Chú ý:

1 Ta có các kết quả sau:

 Nếu M nằm trong (E)  không tồn tại tiếp tuyến của (E) đi qua M nhng khi

đó mọi đờng thẳng qua M đều cắt (E) tại 2 điểm phân biệt

 Nếu M nằm trên (E)  tồn tại duy nhất 1 tiếp tuyến của (E) đi qua M (phơngtrình tiếp tuyến có đợc bằng phơng pháp phân đôi toạ độ)

 Nếu M nằm ngoài (E)  tồn tại hai tiếp tuyến của (E) đi qua M

2 Bằng việc xét hệ phơng trình tạo bởi (E) và (d), khi đó số nghiệm của phơng trìnhbằng số giao điểm của (d) và (E)

3 Với hai Elíp (E1) và (E2) có phơng trình:

b

ya

x2 1

2

2 1

x2 2

2

2 2

2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1

baba

)aa(bb)bb(aa

Thí dụ 1 Cho điểm M(1, 1) và Elíp (E) có phơng trình:

(E):

4

y9

x2 2

 = 1

a Chứng minh rằng mọi đờng thẳng đi qua M luôn cắt (E) tại hai

điểm phân biệt.

b Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua M và cắt Elíp trên tại hai

điểm A, B sao cho MA = MB.

do đó mọi đờng thẳng đi qua M luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt

b Nhận xét rằng đờng thẳng (d) không thể song song với Oy, do đó giả sử (d) có hệ

36 y

9 x

 4x2 + 9(kxk + 1)2 = 36

 (4 + 9k2)x218k(k1)x + 9k218k27 = 0 (2)Phơng trình (2) luôn có hai nghiệm phân biệt xA, xB thoả mãn:

B A

2 B

A

k 9 4

27 k 18 k 9 x

.

x

k 9 4

) 1 k ( k 18 x

x

.Theo giả thiết MA = MB

 xA + xB = 2xM  2

k94

)1k(k18



 = 2  k = 

vào (1), ta đợc đờng thẳng (d): 4x + 9y13 = 0

Thí dụ 2 Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và Elíp (E) , biết:

Phơng trình (*) vô nghiệm  (d)(E) = {B, C}, toạ độ B, C là nghiệm của hệ:}

b Xét hệ phơng trình tạo bởi (E) và (d):

Thí dụ 3 Cho điểm M(1; 1

thẳng (d) qua M cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho:

a M là trung điểm AB. b AB = 20

Từ đó, lập phơng trình đờng tròn đờng kính AB trong mỗi trờng hợp.

2 vào (1), ta đợc phơng trình đờng thẳng (d): x  y2 = 0

b Vô nghiệm do AB lớn hơn độ dài trục chính



Chú ý: Với câu a) ta có thể sử dụng cách giải khác nh sau:

Lấy A(x0, y0)  (E), và vì B đối xứng với A qua M nên B(2x0; 1y0) Khi đó:

2 A

432x

5528y55

x2 2

2 0

b

ya

t sin a x

, t[0, 2)

Bớc 2: Điểm M(E)  M(a.sint, b.cost)

Bớc 3: D} thìựa vào điều kiện K có thêm đợc điều kiện cho x0, y0 Từ đó suy ra toạ

AB

C4

4



32

2

2 Nếu điểm phải tìm thoả mãn điều kiện về góc ta đa bài toán về xét hệ thức lợngtrong tam giác.

3 Nếu điểm phải tìm là giao của Elíp với một đờng khác ta xét hệ phơng trình tơnggiao để tìm toạ độ giao điểm

Thí dụ 1 Cho Elíp (E): 1

8

y2

x2 2



Tìm các điểm M thuộc Elíp (E) sao cho:

a Có toạ độ nguyên thuộc (E).

b Có tổng hai toạ độ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

 Giải

Điểm M(x0, y0)(E)  1

8

y2

 84 2

0

x >0  0 < x0  2  x0 = 1 và y0 = 2  M0(1, 2)  (E)

Từ M0 suy ra các điểm M1(1, 2), M2(1,2) và M3(1, 2) cũng thuộc (E)

Vậy (E) có 4 điểm M0, M1, M2, M3 có toạ độ nguyên

b Ta có:

(x0 + y0)2 =

2 0 0

8

y.82

x

x

8 2 8

/

y

2 /

x

2 2

2 2

0 0

) 5 10 4 , 5 10 ( M 5

4

.Vậy, ta đợc:

x2 2

2

2



 Từ điểm A(E) có toạ độ dơng, dựng hình

chữ nhật ABCD} thì nội tiếp trong (E) có các cạnh song song với các trục toạ

độ Xác định toạ độ của A để hình chữ nhật ABCD} thì có diện tích lớn nhất.

 Giải

Ta có thể thực hiện theo hai cách sau:

Cách 1: Giả sử A(xA, yA)(E) với xA, yA>0, suy ra: A

y

a

x

2 A 2

xA A

2ab

2

2 A 2

2 Ab

ya

x

1 b

y a

x

A A

2 2 A 2

t sin a x

, t[0, 2)

Điểm A(E) và thuộc góc phần t thứ nhất  M(a.sint, b.cost), t(0,

2

)

Khi đó:

SABCD} thì = SOMAN = 4x0y0 = 4a.sint.b.cost = 2absin2t  2ab

Vậy, ta đợc Smax = 2ab, đạt đợc khi:

sin2t = 1  t =

4

  A(

2 2

b

ya

2 2

b

ya

Khả năng 2: Nếu

(H):

2 2

2 2

b

ya

A 1 F 1

F 2

A 2

y

x O

F 1

F 2 B 2

B 1

 (H) có trục thực thuộc Oy, độ dài bằng 2b

chứa hai tiêu điểm

Thí dụ 1 Cho Hyperbol (H): 9x216y2 = 144

a Chuyển phơng trình của (H) về dạng chính tắc Tìm toạ độ các đỉnh,

toạ độ các tiêu điểm, tính tâm sai, các đờng tiệm cận của (H).

b Viết phơng trình Hyperbol (H1) liên hợp của (H) Tìm các thuộc

tính của (H1)

c Viết phơng trình chính tắc của Elíp (E) có tiêu điểm trùng với tiêu

điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H).

 Phơng trình hai đờng tiệm cận là y = 

4

3x

b Phơng trình Hyperbol (H1) liên hợp của (H) có dạng:

(H1):

9

y16

x2 2

 = 1

Các thuộc tính của (H 1 ) và phơng trình tham số của (H 1 ) bạn dọc tự làm

c Giả sử phơng trình chính tắc của Elíp có dạng:

b

ya

x

2 2

2 2

b

)y(a

)x

x X

ta đợc:

b

Ya

X

2 2

Thực hiện phép tịnh tiến hệ trục toạ độ Oxy theo vectơ OI

với I(1, 2) thành hệ trụcIXY, với công thức đổi trục:

 Trục ảo thuộc IX có độ dài bằng 4.

 Tâm sai e = 5

2

 Phơng trình hai đờng tiệm cận: X = 1

 Phơng trình hai đờng tiệm cận:

x1 = 1

2(y2)  1

1

(d ) : 2x y 0(d ) : 2x y 4 0

Ta lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Sử dụng phơng trình chính tắc của Hypebol

b

ya

x2 2

x2 2

Bớc 1: Chứng minh tập hợp điểm là Hypebol (H) bằng việc chỉ ra hai điểm cố

định A, B và M thoả mãn MAMB = 2a  không đổi

Bớc 2: Lập phơng trình chính tắc của Hypebol (H) nhận A, B làm tiêu điểm và

có độ dài trục thực bằng 2a

Thí dụ 1 Cho ba điểm F1(4, 0), F2(4, 0) và điểm A(2, 0)

a Lập phơng trình Hyperbol (H) đi qua A và có tiêu điểm F1, F2

b Tìm toạ độ điểm M trên (H) sao cho MF2 = 2MF1

 Giải

a Vì hai tiêu điểm F1 và F2 thuộc Ox và đối xứng qua Oy nên Hypebol (H) có dạng:

(H): 1

b

ya

x2

12

y4

x20 20



Giải hệ tạo bởi (4), (5), ta đợc M1(3,  15), M2(3, 15)

Thí dụ 2 Lập phơng trình chính tắc và vẽ hình của Hyperbol biết:

a Đề nghị bạn đọc tự làmi qua điểm M(2, 2) và mỗi đờng tiệm cận tạo với Ox một góc 600

b Đề nghị bạn đọc tự làmi qua điểm N( 2 , 2) và hai đờng tiệm cận có phơng trình y =  2x.

c Hai trục trùng với trục toạ độ và đi qua 2 điểm A( 6, 1) và B(4, 6)

 Điểm N( 2, 2)(H)  2b24a2 = a2b2 (2)

 Hai đờng tiệm cận có phơng trình y =  2x, suy ra:

 b

Giải hệ phơng trình tạo bởi (2), (3) ta đợc a2 = 1 và b2 = 4

Vậy phơng trình chính tắc của Hypebol (H):

 Điểm A( 6, 1)(H)  6b2a2 = a2b2 (2)

 Điểm B(4, 6)(H)  16b26a2 = a2b2 (3)Giải hệ phơng trình tạo bởi (2), (3) ta đợc a2 = 4 và b2 = 2

Vậy phơng trình chính tắc của Hypebol (H):

1

4  2 

Thí dụ 3 Cho đờng tròn (C): x2 + y2 = 9 Tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox tại N.

Trên đờng thẳng vuông góc với Ox tại N lấy điểm P sao cho PN = 3MN

với k > 0 Lập phơng trình quỹ tích các điểm P khi M di động trên (C).

Giải hệ phơng trình tạo bởi (1), (2)  Dành cho bạn đọc.

 (ABC cân tại A): Ta có thể lựa chọn một trong ba cách sau:

Cách 1: (Sử dụng phơng trình điều kiện): ABC cân tại A suy ra:

Giải hệ phơng trình tạo bởi (1), (3)  Dành cho bạn đọc.

Cách 2: (Sử dụng phép đánh giá): ABC cân tại A suy ra

B, C đối xứng nhau qua Ox  C  Dành cho bạn đọc.

 ABC vuông tại A thực hiện tơng tự câu ABC cân tại A

Thí dụ 2 Cho Elíp (E) và Hypebol (H) có phơng trình:

(E): 1

4

y9

A y

x  Toạ độ điểm A(xA, yA) là nghiệm hệ phơng trình :

4

36 y

9 x

4

2 2

2 2



2 A 2 A

Gọi  là góc tạo bởi đờng đờng tiệm y = 4

3x với trục Ox Ta có:

SOPMQ = OQ.h1 = OP.h2  S2

x2 2

2 0

b

ya

t cos

a x

, t[0, 2)\{B, C}, toạ độ B, C là nghiệm của hệ:

2

, 2

3

}

Bớc 2: Điểm M(H)  M(a.sint, b.cost)

Bớc 3: D} thìựa vào điều kiện K có thêm đợc điều kiện cho x0, y0 Từ đó suy ra toạ

2 Nếu điểm phải tìm thoả mãn điều kiện về góc ta đa bài toán về xét hệ thức lợngtrong tam giác

3 Nếu điểm phải tìm là giao của Hypebol với một đờng khác ta xét hệ phơng trìnhtơng giao để tìm toạ độ giao điểm

Thí dụ 1 Cho Hyperbol (H): 1

b

ya

x2

2   Tìm điểm M trên (H) sao cho độ dài

F1M (tiêu điểm F1(c, 0)) ngắn nhất, dài nhất.

 Giải

Lấy M(x0, y0)(H), suy ra:

1b

a

ca

 + a = c + a = ca

Vây, F1MMin = ca, đạt đợc khi MA1(a, 0)

Thí dụ 2 Cho Hyperbol (H): 1

9

y16

,

x

144 y

16 x

Z y , x

144 )

y 4 x 3 )(

y 4 x 3 (

b MF1MF2  M thuộc đờng tròn (C) đờng kính F1F2 = 10 có phơng trình:

x

1 9 y 16

x

2 2

2 2

),

 Parabol, nhận Ox làm trục đối xứng, đồ thị ở bên phải Ox

 Đờng chuẩn (d): x =

2

p,

 Parabol, nhận Ox làm trục đối xứng, đồ thị ở bên trái Ox

 Đờng chuẩn (d): y = 

2

p,

 Parabol, nhận Oy làm trục đối xứng, đồ thị có hớng lên trên

Chú ý: Trong trờng hợp phơng trình của (P) có dạng:

(P): (y)2 = 2p(x) hoặc (P): (x)2 = 2p(y)

ta thực hiện phép tịnh tiến hệ trục Oxy theo vectơ OI với I(, ) thành

hệ trục IXY với công thức đổi trục:

F

(d)LO

L

(P)

p/2

p/2y

p/2y

của một Parabol có đỉnh O(0, 0), nhận Oy làm trục đối xứng Tìm tiêu

điểm và phơng trình đờng chuẩn của Parabol đó.

Thí dụ 2 Chuyển phơng trình Parabol (P) về dạng chính tắc, từ đó xác định các

thuộc tính của nó và vẽ hình, biết (P) : y2 + 2y4x3 = 0

 Giải  Bạn đọc tự vẽ hình

Chuyển phơng trình của (P) về dạng:

(P): (y + 1)2 = 4(x + 1)Thực hiện phép tịnh tiến hệ trục toạ độ Oxy theo vectơ OS

với S(1, 2) thành hệtrục SXY, với công thức đổi trục:

Thí dụ 3 Cho họ đờng cong (Pm) : y22my2mx + m2 = 0

Tìm điều kiện của m để (Pm) là phơng trình một Parabol, khi đó:

Thực hiện phép tịnh tiến hệ trục toạ độ Oxy theo vectơ OS với S(0; m) thành hệtrục SXY, với công thức đổi trục:

Vậy quĩ tích đỉnh của (Pm) thuộc trục tung

b Quĩ tích tiêu điểm của họ (Pm)

F:

mx

Vậy quĩ tích tiêu điểm của (Pm) thuộc đờng thẳng 2x  y = 0

Dạng toán 2: Lập phơng trình của Parabol (P)

Phơng pháp thực hiện

Ta lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Sử dụng phơng trình chính tắc của Parabol

(P): y2 = 2px hoặc (P): x2 = 2py

Từ đó cần tìm a, b (hoặc a2, b2) bằng cách thiết lập một hệ hai phơng trình với ẩn

a, b (hoặc a2, b2)

Cách 2: Sử dụng định nghĩa

Bớc 1: Lấy điểm M(x, y)(P) có tiêu điểm F và dờng chuẩn (d)

Bớc 2: Chuyển MF = MH thành biểu thức giải tích nhờ:

(P): y = 2px.

2 Trong nhiều trờng hợp đặc thù chúng ta còn sử dụng phơng pháp quỹ tích để xác

ph-ơng trình Parabol hoặc chứng minh tập hợp điểm là Parabol

Thí dụ 1 Viết phơng trình Parabol (P) có đỉnh là gốc toạ độ và đi qua điểm A(2,

Khi đó phơng trình Parabol (P2): x2 = 2y

Vậy tồn tại hai Parabol (P1) và (P2) thoả mãn điều kiện đầu bài

Thí dụ 2 Cho điểm F(3, 0).

a Lập phơng trình Parabol (P) có tiêu điểm F và đỉnh là gốc toạ độ.

b Một điểm nằm trên Parabol (P) có hoành độ x = 2 Hãy tính

khoảng cách từ điểm đó tới tiêu điểm.

c Qua I(2, 0) dựng đờng thẳng (d) thay đổi luôn cắt Parabol (P) tại

hai điểm A, B Chứng minh rằng tích số khoảng cách từ A và B tới

c Đờng thẳng (d): a(x  2) + by = 0 đi qua I

Toạ độ giao điểm A(xA, yA) và B(xB, yB) của (P) và (d) là nghiệm hệ:

 M(x, y) miền trong của (P)  qua M không thể kẻ đợc tiếp tuyến tới (P).

 M(x, y) miền ngoài của (P)  qua M kẻ đợc 2 tiếp tuyến tới (P).

 M(x, y) nằm trên (P)  qua M kẻ đợc một tiếp tuyến tới (P)

2 Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng với Parabol bằng việc xét hệ phơng trình tạobởi (P) và (d), khi đó số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của (d) và (P)

Thí dụ 1 Cho Parabol (P): y2 = 4x và (d): 2xy4 = 0

Tìm các điểm M(d) để từ đó:

a Không kẻ đợc tiếp tuyến nào tới (P).

b Kẻ đợc một tiếp tuyến tới (P).

c Kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (P).

 Giải

Với mỗi điểm M(x0, y0)(d), ta có:

2x0y04 = 0  y0 = 2x04

) P

1 x

) 2 , 1 ( M

2

1

.Vậy, tồn tại hai điểm M1(1, 2) và M2(4, 4) thuộc (d) từ đó kẻ đợc một tiếptuyến tới (P)

c Để từ M kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (P)

1 x

0 0

Vậy, tập hợp các điểm M(x0, y0)(d) có hoành độ x0(, 1)(4, + ) kẻ đợchai tiếp tuyến tới (P)

Thí dụ 2 Cho Parabol và đờng thẳng (d1) có phơng trình:

16 = (xA  xB)2 + (yA  yB)2 = (xA  xB)2 + [(xA + C)  (xB + C)]2

= 2(xA  xB)2 = 2[(xA + xB)2  4xAxB] = 2[9  4(2  C)] = 2(1 + 4C)

 1 + 4C = 8  C = 7

4.Vậy, đờng thẳng (d) có phơng trình x  y + 7

4 = 0

Thí dụ 3 Cho Parabol (P): y2 = 4x Một đờng thẳng bất kỳ đi qua tiêu điểm của

(P) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B Chứng minh rằng tích các

khoảng cách từ A và B đến trục của (P) là một đại lợng không đổi.

 Giải

Parabol (P) có tiêu điểm F(1, 0)

Đờng thẳng (d): ax + by + c = 0 đi qua F(1, 0) có dạng:

ax

x

y 2

.Phơng trình tung độ giao điểm của (P) và (d) có dạng:

.

y

a b 4 y

y

B A

B A

.Khoảng cách từ A và B đến trục Ox theo thứ tự là:

h1 = yA, h2 = yB

Nhận xét tích

h1.h2 = yA.yB = 4