PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG song song hoặc trùng với d * Nếu đường thẳng d biết ; qua Mx ;y và nhiều điểm mà d đi qua d.. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn d cắt Ox
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 8: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG
song song hoặc trùng với (d)
* Nếu đường thẳng (d) biết
( ; )qua M(x ;y )
và nhiều điểm mà (d) đi qua
d Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn (d) cắt Ox, oy lần lượt tại hai điểm A(a;0) và B(0;b):
Trong trường hợp a=0 hoặc b=0 đường thẳng không có phương trình chính tắc
1.1.2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Cho (d1):a x b y c1 1 1 0
(d2): a x b y c2 2 2 0
Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm hệ phương trình:
Trang 2- Hệ (I) có 1 nghiệm (x0;y0) (d1)cắt (d2) tại điểm M(x0;y0)
- Hệ (I) vô số nghiệm (d1) trùng (d2)
- Hệ (I) vô nghiệm (d1)// (d2) ((d1) và (d2) không có điểm chung )
qua M x yd
Trang 3a) 2x y b) 3 0 x 2y c) 4 0 x d) 2 0 y 4 0
Bài 3: Cho điểm M(3;0) và đường thẳng d1: 2x y và 2 0 d x y2: Viết phương 3 0trình đường thẳng d qua M cắt d ,1 d lần lượt tại A, B sao cho MA MB2
Bài 4: Cho tam giác ABC, A(2;2), B(-1;6), C(-5;3)
a) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC
b) CMR tam giác ABC vuông cân
Bài 5: Cho tam giác ABC, M(2;1).N(5;3), P(3;-4) lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA của tam giác ABC
a) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC
b) Viết phương trình các đường trung trực
Bài 6: Cho A(1;2) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua d:x2y 1 0
Bài 7:Tam giác ABC, M(0;4) là trung điểm của BC, AB: 2x y 11 0,AC x: 4y 2 0 Tìm tọa độ của A, B, C
Bài 8: Cho d1: 2x3y 1 0;d2 : 4x y , gọi 5 0 A d Tìm tọa độ 1 d2 B d C d 1; để 2tam giác ABC có trọng tâm G(3;5)
Đáp số: (61 43; ); ( 5 55; )
1.3 Các bài toán liên quan đến góc và khoảng cách
1.3.1 Kiến thức liên quan
a Góc giữa hai đường thẳng:
*Định nghĩa: Hai đường thẳng (d1), (d2) cắt nhau tạo thành 4 góc Số đo nhỏ nhất của các góc đó
là góc giữa 2 đường thẳng (d1) và (d2) Kí hiệu (d1, d2)
Suy ra, góc giữa hai đường thẳng luôn bằng hoặc kề bù với góc giữa hai VTPT (hoặc góc giữa hai VTCP)
b Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng
Cho (d): ax+by+c=0 và điểm M x y Khi đó khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng ( ; )0 0(d):
0 0
ax +by +c( , )
d M d
a b
Trang 4Chú ý:
* Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) là:
- Là khoảng cách từ M đến M,là hình chiếu của M lên (d)
- Là khoảng cách ngắn nhất từ M đến 1 điểm bất kỳ thuộc (d)
* Cho (d): ax+by+c=0 và hai điểm M x y ,( ; )0 0 N x y Đặt t = ( ; )1 1 (ax +by +c)(ax +by +c) 0 0 1 1
- Nếu t < 0 thì M, N nằm về hai phía của (d)
- Nếu t>0 thì M, N nằm cùng một phía với (d)
Trang 53) Chuyển các phương trình sau về dạng tham số:
a) x+3y-4=0; b) 3x-y-5=0; c) x=3; d) y=-8
4) Chuyển các phương trình sau về dạng tổng quát
b) Viết phương trình các đường trung trực của tam giác ABC
6) Cho tam giác ABC có A( 2;6); (6;2); B C1; 3
a) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC
b) Viết phương trình các đường trung tuyến CM
c) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với CM
7) Cho M 1;2 , d : x-y-1=0; 1 d 3x-y+1=0 Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M cắt 2
1
d ;d lần lượt tại A, B sao cho MA=2MB 2
8) Cho M 1;1 d : x+y=0 ;1 d x-y+1=0 Viết phương trình đường thẳng đi(d) qua M cắt 2 d ;1 d 2lần lượt tại A, B sao cho 2MA=MB
9) Cho M 2;1 , d : x+y+1=0;1 d 2x+y-1=0 Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt 2 : d ;1 d 2lần lượt tại A, B sao cho MA=MB
Trang 610) M 2;2 , d :2x+9y-18=0;1 d 2x+y-1=0 Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt 2: d ;1 d 2lần lượt tại A, B sao cho MA=MB
11) Cho điểm A 2;3 tìm tọa độ điểm A đối xứng với A qua (d): ,
b) Với C tìm được ở trên, tìm D để ABCD là hình bình hành
15) ChoA(1;1);B4;3, (d): x-2y-1=0 Tìm C thuộc (d) để khoảng cách từ C đến AB bằng 6 16) Cho d : x+y+3=0;1 d : x-y-4=0;2 d : x-2y=0 Tìm M thuộc 3 d để khoảng cách từ M đến 3 d 1bằng 2 lần khoảng cách từ M đến d 2
20) Cho tam giác ABC cóA(1;0);B3; 1 , (d): x-2y-1=0 Tìm C(d) để SABC 6
21) Cho tam giác ABC có A(2; 4); B0; 2 , (d): 3x-y+1=0 Tìm C(d) để SABC 1
22) Cho d : x-2y-3=0; 1 d : x+y+1=0 Tìm M2 d để khoảng cách từ M đến 1 d bằng 2 1
223) Cho A(1;0);B2;4;C( 1;4); D 3;5 Tìm tập hợp điểm M để SMAB SMCD
24) Cho tam giác ABC có A(2; 1); B1; 2 , trọng tâm G thuộc đường thẳng d: x+y-2=0 Tìm C
Trang 7b) Cho tam giác ABC có A(1; 2); B2; 3 , SABC , trọng tâm G thuộc đường thẳng d: x-y-42=0 Tìm tọa độ C
c) Cho tam giác ABC có A(2; 5); B3;7, 69
2
ABC
S , trọng tâm G thuộc đường thẳng d: 3y+1=0 Tìm tọa độ C
5x-27) Cho tam giác ABC có A(2; 1); B3; 2 , trọng tâm G thuộc đường thẳng d: 2x+5y-
3=0,Cd :x+y+3=0 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC ,
28) Cho hình vuông đỉnh A(0;5) đường chéo y-2x=0 Tìm tọa độ tâm và các đỉnh còn lại
29) Cho tam giác ABC, M(-1;1) là trung điểm của BC, AB: x+y-2=0, AC: 2x+6y+3=0 Tìm tọa
độ của A, B, C
30) Cho d : 2x-y+1=0; 1 d : x+2y-7=0, viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ sao cho 2
d tạo với d ,1 d một tam giác cân tại giao điểm của 2 d và 1 d 2
31) Cho d : x-3y+5=0; 1 d : 3x-y-2=0, viết phương trình đường thẳng d đi qua P(2;-1) sao cho d 2tạo với d ,1 d một tam giác cân tại giao điểm của 2 d và 1 d 2
32) Cho d : 2x-3y+5=0; 1 d : x+3y-2=0, A là giao điểm của 2 d và 1 d Tìm B2 d , C1 d để tam 2giác ABC có trọng tâm G(2;1)
1.4 Các đường, điểm đặc biệt trong tam giác
1.4.1 Đường cao và trực tâm
Đs :Phương trình các cạnh AB: x-y=0, BC: 7x+5y-8=0, CA: x+3y-8=0 8
3
S
Trang 8Ví dụ 4: Cho tam giác ABC, AB: 5x-3y+2=0, các đường cao qua đỉnh A, B lần lượt là
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy
1) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC, với A(-1;2); B(5;7); C(4;-3)
2) Cho tam giác ABC có 3 đỉnh thuộc đồ thị hàm số y 1
x
(C) Chứng minh rằng trực tâm H thuộc (C)
3) Cho tam giác ABC phương trình các cạnh AB: x+y-3=0; BC: 3x-y-3=0; CA: 3x-2y-6=0 Tìm tọa độ trực tâm H
4) Cho tam giác ABC phương trình các cạnh BC: 7x+5y-8=0 Hai đường cao kẻ từ B và C lần lượt: 9x-3y-4=0 và x+y-2=0 Viết phương trình các cạnh còn lại của tam giác ABC
5) Cho tam giác ABC trực tâm H, AB: x+y-9=0; AH: x+2y-13=0; BH: 7x+5y-49=0
a) Tìm tọa độ trực tâm H Viết phương trình đường cao CH
Trang 98) Cho tam giác ABC, A 2;3 , các đường cao d : x+y-2=0; 1 d : 9x+3y+4=0 Viết phương trình 2các cạnh
9) Cho tam giác ABC, A 1;1 , các đường cao BH: -2x+y-8=0; CK: 2x+3y-6=0 Viết phương trình đường cao AH, tìm tọa độ B, C
10) Cho tam giác ABC, A2; 1 , các đường cao d : 2x-y+1=0; 1 d : x+3y+2=0 Viết phương 2trình đường trung tuyến AM
11) Cho tam giác ABC, B 2;5 , các đường cao: 2x+3y+7=0; d : x-11y+3=0 Viết phương trình 2các cạnh
12) Cho tam giác ABC, C 4; 5, các đường cao: 5x+3y-4=0; d : 3x+8y+13=0 Viết phương 2trình các cạnh
13) Cho phương trình hai cạnh của 1 tam giác là 5x-2y+6=0; 4x+7y-21=0 Viết phương trình cạnh thứ 3 biết trực tâm trùng với gốc tọa độ
14) Cho phương trình hai cạnh của 1 tam giác là 3x-y+24=0; 3x+4y-96=0 Viết phương trình cạnh thứ 3 biết trực tâm H(0;32
19) Cho tam giác ABC, A(1;2), B(2;7).Tìm tọa độ đỉnh C biết độ dài đường cao hạ từ A bằng 1,
và C thuộc đường thẳng y-3=0
20) Cho tam giác ABC, A(3;1), B(1;-5), trực tâm H(1;0) Tìm tọa độ C
21) Cho tam giác ABC, A : 2x3y14 0 , BC//( ); đường cao CH: x-2y-1=0 M(-3;0) là trung điểm của AB Tìm tọa độ của A, B,C
22) Cho tam giác ABC, trực tâm H(1;-1), E(-1;2) là trung điểm của AC, BC: 2x-y+1=0 Tìm tọa
Trang 10a Kiến thức: Cần sử dụng giả thiết của trung điểm M
l trung điêm cua BC
Trang 11Ví dụ 9 Cho tam giác ABC, M(-1;3) là trung điểm của AB, trung tuyến BN: x-3y+5=0; đường cao AH: 2x-y+5=0 Tìm tọa độ A, B, C
Đs: A(0;5); ( 2;1)B C( 2;1)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,
1) Cho tam giác ABC, A(1;3) và hai đường trung tuyến x-2y+1=0; y-1=0 Viết phương trình các cạnh của tam giác
2) Cho tam giác ABC, A(3;1) và hai đường trung tuyến 2x-y+1=0; x-1=0 Viết phương trình các cạnh
3) Cho tam giác ABC, A(1;3) và hai đường trung tuyến 2x-3y+6=0; 5x+2y-2=0 Viết phương trình các cạnh
4) Cho tam giác ABC,B(2;-7) đường cao AH:3x+y+11=0; đường trung tuyến CM: x+2y+7=0 Viết phương trình các cạnh
5) Cho tam giác ABC,C(3;5), đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ 1 đỉnh có phương trình: d : 5x+4y-1=0; 1 d : 8x+y-7=0 Viết phương trình các cạnh 2
6) Cho tam giác ABC,A(4;-3), đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ 2 đỉnh khác nhau có phương trình: d : x-2y+1=0; 1 d : x+y-5=0 Viết phương trình các cạnh 2
7) Cho tam giác ABC, B(2;-1), đường cao AH: x-2y+3=0, đường trung tuyến AM: x-1=0 Viết phương trình các cạnh
8) Cho tam giác ABC, B(3;5),đường cao AH: 2x-5y+3=0, đường trung tuyến CM: x+y-5=0 Viết phương trình các cạnh
9) Cho tam giác ABC, A(-1;-3), trọng tâm G(4;-2), trung trực đoạn AB là 3x+2y-4=0 Tìm tọa độ của B, C
10) Cho tam giác ABC, A(-1;2), trung tuyến CM: 5x+7y-20=0; đường cao BK: 5x-2y-4=0 Viết phương trình cạnh AC, CB
11) Cho tam giác ABC, C(-1;-2), trung tuyến AM: 5x+y-9=0; đường cao BK: x+3y-5=0 Tìm tọa
16) Cho tam giác ABC, A(4;6), phương trình đường cao và đường trung tuyến kẻ từ C có phương trình: 2x-y+13=0, 6x-13y+29=0 Tìm tọa độ của B, C
Trang 1217) Cho tam giác ABC, trọng tâm G(-2;-1), AB: 4x+y+15=0;AC:2x+5y+3=0 Tìm tọa độ của A,
B, C
18) Cho tam giác ABC, trọng tâm G(-2;0), AB: 4x+y+14=0; AC:2x+5y-2=0 Tìm tọa độ của A,
B, C
19) Cho tam giác ABC, trọng tâm G(0;1
3), AB: x-y+3=0;BC:3x-5y+9=0 Viết phương trình cạnh
1.4.3 Đường phân giác và tâm đường tròn nội tiếp tam giác
*Bài toán phụ: Cho tam giác ABC, BK là đường phân giác trong của góc ABC, A là điểm đối 1xứng với A qua BK Chứng minh rằng: A1BC
Xét ABI A BI C G C1 IBA IBA1
Mà IBA IBC gt IBA1 IBC A1BC
a Kĩ năng: Lấy đối xứng đỉnh của tam giác qua đường phân giác trong (ngoài)
b Ví dụ minh họa
Ví dụ 1 Cho tam giác ABC, phương trình cạnh AB: 2x+y-5=0; BC: x+2y+2=0; CA: y+9=0.Viết phương trình các đường phân giác trong của A, B và tìm tâm, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
2x-Đs:
Đường phân giác trong của góc B là l2 :x y 1 0
Đường phân giác trong của góc A là l4 :x 1 0
Trang 13Ví dụ 4 Cho tam giác ABC, A(-1;3), đường cao BH: y=x,đường phân giác trong CD có phương trình: x3y Viết phương trình cạnh BC 2 0
BC: 8x y 29 0 AC: 4x+3y-7=0 AB: 1(y-5)=0 y-5=0
Ví dụ 6 Cho tam giác ABC, C(-3;1), đường phân giác trong AD: x3y12 0 , đường cao AH:
Ví dụ 8 Cho tam giác ABC, đường phân giác trong AD: x y 0, đường cao CH:
2x y 3 0, AC qua M(0;-1) biết AB=2AM Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC
Đs
AB: x2y AC: 21 0 x y BC: 2x+5y+11=0 1 0
Hoặc AB: x2y 1 0 AC: 2x y 1 0 BC: 10x-11y+25=0
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,
1) Cho tam giác ABC, A(3;-3) và 2 đường phân giác trong kẻ từ B và C lần lượt có pt
3) Cho tam giác ABC, AB: 4x3y 1 0;AC: 3x4y 6 0;BC y: 0
a)Viết pt các đường phân giác trong của góc A và B
b) Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
4) Cho tam giác (2;0); (4;1); (1;2)A B C Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
5) Cho tam giác A( 6; 3); ( 4;3); (9;2) B C Viết pt các đường phân giác trong của góc A
6) Cho tam giác ABC, A(0;-1), 2 đường phân giác trong dB: 3 x 4y7;dC : 5x3y Viết 8
pt đường phân giác trong còn lại
Trang 147) Cho tam giác ABC, A(2;4), đường cao và đường phân giác trong kẻ từ 1 đỉnh lần lượt có pt:
3x4y 1 0;2x y 3 0.Viết pt các cạnh của tam giác ABC
8) Cho tam giác MNP, N(2;-1), đường cao MH: 3x4y27 0 , đường phân giác trong PD:
x y Viết pt các cạnh của tam giác MNP
9) Cho tam giác ABC, A(4;-1), 2 đường phân giác trong dB: 2x3y12 0; dC : 2x3y 0Viết pt các cạnh của tam giác ABC
10) Cho tam giác ABC, BC: 9x11y , 2 đường phân giác trong 5 0
d x y d x y Viết pt các cạnh AB, AC
11) Cho hình chiếu của C lên AB là H(-1;-1) Phân giác trong AD: x y 2 0, đường cao BH:
4x3y Tìm tọa độ C 1 0
12) Cho tam giác ABC, A(7;9),trung tuyến CM: 3x y 15 0 đường phân giác trong BD:
7 20 0
x y Viết pt các cạnh của tam giác ABC
13) Cho tam giác ABC, A(2;-3), phân giác trong và đương trung tuyến kẻ từ 2 đỉnh khác nhau lần lượt có pt d x1: 2y 1 0;dC : 3x y Viết pt các cạnh của tam giác ABC 2 0
14) Cho tam giác ABC, đường phân giác trong AD: x y , đường cao CH: 20 x y , đường 0thẳng AC qua M(1;0) sao cho AB=2AM Viết pt các cạnh của tam giác ABC
15) Cho tam giác ABC, A(1;2) đường cao kẻ từ B, h x yB: , phân giác trong kẻ từ C, 1 0
C
l x y Viết pt các cạnh của tam giác ABC
16) Cho tam giác ABC, A(1;2) đường trung tuyến, BM : 2x y 1 0, phân giác trong kẻ từ C,
l x y Viết pt các cạnh của tam giác ABC
18) Cho tam giác ABC, B(2;-1) đường cao kẻ từ A, hA: 3x4y27 0 ; phân giác ngoài của góc
C là :x2y Viết pt các cạnh của tam giác ABC 5 0
19) Lập pt các cạnh tam giác ABC biết đỉnh B(-1;-1) và pt phân giác ngoài góc B, đường trung tuyến xuất phát từ C lần lượt là: (d): x-3y+1=0 và (d'): 2x+y-4=0
20) Lập phương trình các cạnh tam giác ABC biết đỉnh A(-3;4), phương trình trung trực BC và phân giác ngoài góc B lần lượt là: (d): x+2y-4=0 và (d'): 2x+y-4=0
21) Lập phương trình các cạnh tam giác ABC biết: Đỉnh C(4;-3), phân giác trong góc A là (d): 2x-3y+6=0, phân giác ngoài góc B là (d'): 2x+3y+6=0
22) Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh A(-3;1), phương trình đường cao và phân giác ngoài xuất phát từ đỉnh B lần lượt là (d): x+3y+12=0 và (d'): x-6y+18=0
23) Cho tam giác ABC, A(4;2), B(1;2), tâm đường tròn nội tiếp tam giác I(2;3) Tìm tọa độ C 1.4.4 Hình học giải tích trong tam giác đặc biệt
Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có A(-1;3); B(1;1); (d): y 2x
Trang 15a) Tìm tọa độ C thuộc (d) để tam giác ABC cân tại A
b) Tìm tọa độ C thuộc (d) để tam giác ABC đều
b) không tồn tại điểm C để tam giác ABC đều
Ví dụ 2 Cạnh bên và cạnh đáy của 1 tam giác cân lượt là x2y 1 0;3x y 5 0 Viết phương trình cạnh còn lại của tam giác biết nó đi qua M(1;-3)
Ví dụ 7 Cho tam giác đều ABC biết A(2;6); BC: 3x3y 6 0. Viết phương trình các cạnh
AB, AC của tam giác
Đs: AB:y 6 0
AC: 3x y 2 3 6 0
Trang 16a) Tìm tọa độ A, B, C biết rằng chu vi tam giác bằng 9
b) Tìm M thuộc AB, N thuộc BC để MN đồng thời chia đôi chu vi và diện tích tam giác ABC 3) Cho tam giác ABC cân tại B, A(1;-1), C(3;5), B thuộc đường thẳng d: 2x-y=0 Viết pt cạnh
AB, BC
4) Cho tam giác ABC cân tại A, A(-1;4), B,C thuộc : x-y-4=0 Tìm tọa độ B,C biết SABC 185) Cho tam giác ABC cân, đáy BC: x-3y-1=0, cạnh bên AB: x-y-5=0, đường thẳng AC qua M(-4;1)
14) Cho 2 điểm A(1;2), M(-1;1), d : x-y+1=0;1 d : 2x+y-3=0 Tìm B2 d , C1 d để tam giác 2ABC vuông tại A và M là trung điểm của BC
15) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trọng tâm G(0;2
3), trung điểm của BC là điểm M(1; 1
2 ) Tìm tọa độ A, B, C 2
16) Cho tam giác ABC, A(0;3) Tìm BOx, Cd: y-4=0 để tam giác ABC vuông cân tại A