Hh10 cđiii phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát của đường thẳng a.. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng 1.. Tương tự tọa độ C là nghiệm của

M C L C Ụ Ụ

CHUYÊN Đ III PH Ề ƯƠ NG PHÁP TO Đ TRONG M T PH NG Ạ Ộ Ặ Ẳ 2

CH Đ 1: PH Ủ Ề ƯƠ NG TRÌNH T NG QUÁT C A Đ Ổ Ủ ƯỜ NG TH NG Ẳ 2

D ng 1: Vi t ph ạ ế ươ ng trình t ng quát c a đ ổ ủ ườ ng th ng ẳ 3

D ng 2: Xét v trí t ạ ị ươ ng đ i c a hai đ ố ủ ườ ng th ng ẳ 5

CH Đ 2: PH Ủ Ề ƯƠ NG TRÌNH THAM S C A Đ Ố Ủ ƯỜ NG TH NG Ẳ 8

D ng 1: Vi t ph ạ ế ươ ng trình tham s và chính t c c a đ ố ắ ủ ườ ng th ng ẳ 9

D ng 2: Xác đ nh t a đ đi m thu c đ ạ ị ọ ộ ể ộ ườ ng th ng ẳ 12

CH Đ 3: KHO NG CÁCH VÀ GÓC Ủ Ề Ả 17

D ng 1: Bài toán liên quan đ n kho ng cách t m t đi m t i m t đ ạ ế ả ừ ộ ể ớ ộ ườ ng th ng ẳ 18

D ng 2: Bài toán liên quan đ n góc gi a hai đ ạ ế ữ ườ ng th ng ẳ 21

CH Đ 4: Đ Ủ Ề ƯỜ NG TRÒN 24

D ng 1: Nh n d ng ph ạ ậ ạ ươ ng trình đ ườ ng tròn Tìm tâm và bán kính đ ườ ng tròn 24

D ng 2: Vi t ph ạ ế ươ ng trình đ ườ ng tròn 26

D ng 3: V trí t ạ ị ươ ng đ i c a đi m; đ ố ủ ể ườ ng th ng; đ ẳ ườ ng tròn v i đ ớ ườ ng tròn 29

D ng 4: Vi t ph ạ ế ươ ng trình ti p tuy n v i đ ế ế ớ ườ ng tròn 33

CH Đ 5: Đ Ủ Ề ƯỜ NG ELIP 36

D ng 1: Xác đ nh các y u t c a elip khi bi t ph ạ ị ế ố ủ ế ươ ng trình chính t c c a elip ắ ủ 36

D ng 2: Vi t ph ạ ế ươ ng trình chính t c c a đ ắ ủ ườ ng elip 37

D ng 3: Xác đ nh đi m n m trên đ ạ ị ể ằ ườ ng elip th a mãn đi u ki n cho tr ỏ ề ệ ướ 39 c CH Đ 6: Đ Ủ Ề ƯỜ NG HYPEBOL 42

D ng 1: Xác đ nh các y u t c a hypebol khi bi t ph ạ ị ế ố ủ ế ươ ng trình chính t c c a chúng ắ ủ 42

D ng 2: Vi t ph ạ ế ươ ng trình chính t c c a hypebol ắ ủ 43

D ng 3: Xác đ nh đi m n m trên hypebol th a mãn đi u ki n cho tr ạ ị ể ằ ỏ ề ệ ướ 45 c CH Đ 7: Đ Ủ Ề ƯỜ NG PARABOL 47

D ng 1: Xác đ nh các y u t c a parabol khi bi t ph ạ ị ế ố ủ ế ươ ng trình chính t c ắ 47

D ng 2: Vi t ph ạ ế ươ ng trình chính t c c a (E), (H), (P) ắ ủ 48

D ng 3: Xác đ nh đi m n m trên parabol th a mãn đi u ki n cho tr ạ ị ể ằ ỏ ề ệ ướ 48 c CH Đ 8: BA Đ Ủ Ề ƯỜ NG CÔNIC 50

D ng 1: Nh n d ng cônic và xác đ nh tiêu đi m, đ ạ ậ ạ ị ể ườ ng chu n c a các đ ẩ ủ ườ ng cônic 50

D ng 2: Vi t ph ạ ế ươ ng trình đ ườ ng cônic 51

D ng 3: S t ạ ự ươ ng giao g a các đ ữ ườ ng cônic và v i các đ ớ ườ ng khác 53

D ng 4: Các bài toán đ nh tính v ba đ ạ ị ề ườ ng cônic 58

CH Đ 9: NG D NG PH Ủ Ề Ứ Ụ ƯƠ NG PHÁP T A Đ VÀO CÁC BÀI TOÁN HÌNH H C PH NG Ọ Ộ Ọ Ẳ 61

D ng 1: Bài toán có gi thi t là hai đi m c đ nh ạ ả ế ể ố ị 61

D ng 2: Bài toán liên quan đ n tam giác ạ ế 62

D ng 3: Bài toán liên quan đ n t giác đ c bi t ạ ế ứ ặ ệ 65

D ng 4: Bài toán liên quan đ n đ ạ ế ườ ng tròn 67

CH Đ 10: NG D NG PH Ủ Ề Ứ Ụ ƯƠ NG PHÁP T A Đ VÀ VECT VÀO GI I TOÁN Đ I S Ọ Ộ Ơ Ả Ạ Ố 71

D ng 1: ng d ng trong gi i ph ạ Ứ ụ ả ươ ng trình, b t ph ấ ươ ng trình 72

D ng 2: ng d ng trong gi i h ph ạ Ứ ụ ả ệ ươ ng trình, h b t ph ệ ấ ươ ng trình 74

D ng 3: ng d ng trong ch ng minh b t đ ng th c và tìm giá tr l n nh t, nh nh t ạ Ứ ụ ứ ấ ẳ ứ ị ớ ấ ỏ ấ 75

H ƯỚ NG D N GI I VÀ ĐÁP S PH N BÀI T P LUY N T P Ẫ Ả Ố Ầ Ậ Ệ Ậ 79

CHUYÊN ĐỀ III PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG CHỦ ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát của đường thẳng 

a Định nghĩa : Cho đường thẳng D Vectơ n ¹ur 0r gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của D nếu giá của nur

vuông góc với D

Nhận xét :

- Nếu nur là VTPT của D thì kn k ¹ur( 0) cũng là VTPT của D

b Phương trình tổng quát của đường thẳng

Cho đường thẳng D đi qua M x y0( ; )0 0 và có VTPT nur=( ; )a b .

Khi đó ( ; )M x y Î D Û MMuuuuur0 ^ Ûnur MM nuuuuur ur0 = Û0 a x x( - 0)+b y y( - 0)=0

- Nếu đường thẳng D  :ax by c+ + = thì 0 nur=( ; )a b là VTPT của D

c) Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát

D song song hoặc trùng với trục Ox Û D :by c+ =0

D song song hoặc trùng với trục Oy Û D :ax c+ =0

D đi qua gốc tọa độ Û D :ax by+ = 0

D đi qua hai điểm A a( ) ( );0 ,B 0;b :x y 1

với (ab ¹ 0)

Phương trình đường thẳng có hệ số góc k là y =kx m+ với k =tana , a là góc hợp bởi tia Mt của D

ở phía trên trục Ox và tia Mx

2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d a x by c1: 1 + 1 + =1 0; :d a x by c2 2 + 2 + 2 =0

+ Nếu

b =b =c thì hai đường thẳng trùng nhau.

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng

1 Phương pháp giải

Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng D ta cần xác định

- Điểm A x y Î D( ; )0 0

- Một vectơ pháp tuyến n a bur( ); của D

Khi đó phương trình tổng quát của D là a x x( - 0)+b y y( - 0)= 0

Chú ý:

Đường thẳng D có phương trình tổng quát là ax by c+ + = 0,a2+b2 ¹ 0

nhận n a bur( ); làm vectơ pháptuyến

Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì VTPT đường thẳng này cũng là VTPT của đường thẳng kia.Phương trình đường thẳng D qua điểm M x y( 0; 0) có dạng

:a x x b y y 0

hoặc ta chia làm hai trường hợp

+ x =x0: nếu đường thẳng song song với trục Oy

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC biết A( ) ( )2;0 ,B 0;4 , (1;3)C

Viết phương trình tổng quát của

a) Vì AH ^BC nên BCuuur là vectơ pháp tuyến của AH

Ta có BCuuur(1; 1- ) suy ra đường cao AH đi qua A và nhận BCuuur là vectơ pháp tuyến có phương trình tổng

quát là 1.(x- 2)- 1.(y- 0)= hay 0 x y- - 2=0.

b) Đường trung trực của đoạn thẳng BC đi qua trung điểm BC và nhận vectơ BCuuur làm vectơ pháp tuyến

Gọi I là trung điểm BC khi đó

c) Phương trình tổng quát của đường thẳng AB có dạng 2 4 1

x+ =y

hay 2x y+ - 4=0

d) Cách 1: Đường thẳng AB có VTPT là nur( )2;1 do đó vì đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng

AB nên nhận nur( )2;1 làm VTPT do đó có phương trình tổng quát là 2.(x- 1)+1.(y- 3)= hay0

2x y+ - 5= 0.

Cách 2: Đường thẳng D song song với đường thẳng AB có dạng 2x y c+ + =0

Điểm C thuộc D suy ra 2.1 3+ + = Þc 0 c= - 5

Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình tổng quát là 2x y+ - 5= 0

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d x: - 2y+ =3 0 và điểm M -( 1;2) Viết phương trình tổng quát của đường

thẳng D biết:

a) D đi qua điểm M và có hệ số góc k =3

b) D đi qua M và vuông góc với đường thẳng d

c) D đối xứng với đường thẳng d qua M

c) Cách 1: Ta có 1 2.2 3- - + ¹ 0 do đó M Ï d vì vậy đường thẳng D đối xứng với đường thẳng d qua

M sẽ song song với đường thẳng d suy ra đường thẳng D có VTPT là n -ur(1; 2).

Ta có A( )1;2 Î d, gọi 'A đối xứng với A qua M khi đó ' A Î D

Ta có M là trung điểm của AA '

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng D là 1.(x+3) (- 2 y- 2)= hay 0 x- 2y+ =7 0.

Cách 2: Gọi A x y là điểm bất kỳ thuộc đường thẳng d, ( 0; 0) A x y là điểm đối xứng với A qua M ' ;( )

Khi đó M là trung điểm của AA suy ra '

Vậy phương trình tổng quát của D đối xứng với đường thẳng d qua M là x- 2y+ =7 0.

Ví dụ 3: Biết hai cạnh của một hình bình hành có phương trình x y- = và 0 x+3y- 8=0, tọa độ một

đỉnh của hình bình hành là (- 2;2) Viết phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành.

Lời giải:

Đặt tên hình bình hành là ABCD với A -( 2;2), do tọa độ điểm A không là nghiệm của hai phương trình

đường thẳng trên nên ta giả sử BC x y: - =0, CD x: +3y- 8= 0

Vì AB / /CD nên cạnh AB nhận nuuurCD( )1;3 làm VTPT do đó có phương trình là

Ví dụ 4: Cho điểm M( )1;4 Viết phương trình đường thẳng qua M lần lượt cắt hai tia Ox , tia Oy tại A và

B sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất

Suy ra S OAB nhỏ nhất khi a1=b4 và a1 4+ =b 1 do đó a =2;b=8

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 2 8 1

x+ =y

hay 4x y+ - 8= 0

3 Bài tập luyện tập

Bài 3.1: Cho điểm A -(1; 3) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng D đi qua A và

a) Vuông góc với trục tung

b) song song với đường thẳng d x: +2y+ =3 0

Bài 3.2: Cho tam giác ABC biết A( ) (2;1 ,B - 1;0 , (0;3)) C

a) Viết phương trình tổng quát của đường cao AH

b) Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng AB

c) Viết phương trình tổng quát đường thẳng BC

d) Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua A và song song với đường thẳng BC

Bài 3.3: Viết phương trình tổng quátcủa đường thẳng  trong mỗi trường hợp sau:

a)  đi qua điểm M( )2;5 và song song với đường thẳng d: 4x- 7y+ =3 0

b)  đi qua P(2; 5- ) và có hệ số góc k =11.

Bài 3.4: Cho M( )8;6 Viết phương trình đường thẳng qua M cắt chiều dương hai trục toạ độ tại A, B sao

+ Hệ (I) vô nghiệm suy ra d1/ /d2.

+ Hệ (I) vô số nghiệm suy ra d1 º d2

+ Hệ (I) có nghiệm duy nhất suy ra d1 và d2 cắt nhau và nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm

Chú ý: Với trường hợp a b c ¹2 2 2 0 khi đó

Lời giải:

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ ìïïíï 32x y x y-+ + =+ =23 00Û ìïïíïx y= -=01Þ A(- 1;0)

Ta xác định được hai điểm thuộc đường thẳng BC là M(- 1;1 ,) (N 1; 2- )

Đường cao kẻ từ đỉnh A vuông góc với BC nên nhận vectơ MNuuuur(2; 3- ) làm vectơ pháp tuyến nên có

- suy ra hai đường thẳng cắt nhau

Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng D1: (m- 3)x+2y m+ 2- 1 0= và 2

î î suy ra D1 cắt D2 tại gốc tọa độ

b) Với m = hoặc 0 m = theo câu a hai đường thẳng cắt nhau nên không thỏa mãn1

Với m ¹ 0 và m ¹ hai đường thẳng song song khi và chỉ khi1

2 2

-Vậy với m = thì hai đường thẳng song song với nhau.2

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC , tìm tọa độ các đỉnh của tam giác trong trường hợp sau

a) Biết A( )2;2 và hai đường cao có phương trình d1 :x y+ - 2=0; : 9d2 x- 3y+ =4 0 .

b) Biết A -(4; 1), phương trình đường cao kẻ từ B là D : 2x- 3y=0; phương trình trung tuyến đi quađỉnh C là D' : 2x+3y=0.

3 x- 2 +9 y- 2 = hay 0 3x+9y- 24=0; AC đi qua A và vuông góc với d1 nên nhận v -r( 1;1)

làm VTPT nên có phương trình là - 1.(x- 2)+1.(y- 2)= hay 0 x y- = 0

B là giao điểm của d1 và AB suy ra tọa độ của B là nghiệm của hệ

Tương tự tọa độ C là nghiệm của hệ

b) Viết phương trình đường thẳng D đi qua M và cắt D1 và D2 lần lượt tại A và B sao cho B là trung điểm

b) Tìm điều kiện giữa a và b để D1 và D2 cắt nhau tại điểm thuộc trục hoành.

Bài 3.8: Cho 2 đường thẳng D1:kx y k- + =0; D2: (1- k x2) +2ky- -1 k2= 0

Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng D1 luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi k

b) D1 luôn cắt D2 Xác định toạ độ giao điểm của chúng.

Bài 3.9: Cho hai đường thẳng D1:mx y- + -1 m=0; D2:- +x my+ =2 0

Biện luận theo m vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Bài 3.10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm A( ) (0;1 ,B 2; 1- )

và các đường thẳng

d m- x+ m- y+ - m= , d2: (2- m x) +(m- 1)y+3m- 5=0

a) Chứng minh d1 và d2 luôn cắt nhau

b) Gọi P là giao điểm của d1 và d2 Tìm m sao cho PA PB+ lớn nhất.

Bài 3.11: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng

'

, (với m là tham số thực) Chứng minh rằng với

mọi m RÎ thì hai đường thẳng đó luôn cắt nhau tại 1 điểm nằm trên một đường tròn cố định.

Bài 3.12: Tam giác ABC biết AB : 5x- 2y+ =6 0 và AC : 4x+7y- 21 0= và H(0;0) là trực tâmcủa tam giác Tìm tọa độ điểm A B, .

Bài 3.13: Cho điểm A( )2;1 và đường thẳng d: 3x y- + =3 0 Tìm hình chiếu của A lên d

Bài 3.14: Cho tam giác ABC biết A(- 4;6 ,) (B - 1;2)

và đường phân giác trong CK có phương trình là

3x+9y- 22=0 Tính toạ độ đỉnh C của tam giác.

CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Vectơ chỉ phương và phương trình tham số của đường thẳng 

a Định nghĩa vectơ chỉ phương

Cho đường thẳng D Vectơ u ¹r 0r gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng D nếu giá của nó

song song hoặc trùng với D

Nhận xét :

- Nếu ur là VTCP của D thì ku k ¹r( 0) cũng là VTCP của D

- VTPT và VTCP vuông góc với nhau Do vậy nếu D có VTCP u =( ; )a b

r

thì n = -( ; )b a

ur

là một VTPTcủa D

b Phương trình tham số của đường thẳng 

Cho đường thẳng D đi qua M x y0( ; )0 0 và ur =( ; )a b là VTCP

Khi đó M x y Î D( ; )

0 0

Hệ (1) gọi là phương trình tham số của đường thẳng D , t gọi là tham số

Nhận xét : Nếu D có phương trình tham số là (1) khi đó A Î D Û A x( 0+at y; 0+bt)

2 Phương trình chính tắc của đường thẳng.

Cho đường thẳng D đi qua M x y0( ; )0 0 và ur =( ; )a b (với a¹ 0,b¹ 0

) là vectơ chỉ phương thì phươngtrình

được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng D

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng

1 Phương pháp giải

Để viết phương trình tham số của đường thẳng D ta cần xác định

- Điểm A x y Î D( ; )0 0

- Một vectơ chỉ phương u a br( ); của D

Khi đó phương trình tham số của D là

0 0

Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng VTCP và VTPT

Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia vàngược lại

a) D đi qua A và nhận vectơ nur( )1;2 làm vectơ pháp tuyến

b) D đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng AB

c) D là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Lời giải:

a) Vì D nhận vectơ nur( )1;2 làm vectơ pháp tuyến nên VTCP của D là u -r( 2;1).

Vậy phương trình tham số của đường thẳng D là

1 2:ì = -ïïx y 3 t t

D íï = - +ïîb) Ta có AB -uuur( 3;6) mà D song song với đường thẳng AB nên nhận u -r( 1;2) làm VTCP

Vậy phương trình tham số của đường thẳng D là

Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát, tham số, chính tắc (nếu có) của đường thẳng  trong mỗi trường hợp

sau:

a)  đi qua điểm A( )3;0 và B( )1;3

b)  đi qua N( )3;4 và vuông góc với đường thẳng

1 3' :

ì = ïï

a) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác

b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm D, G với D là chân đường phân giác trong góc A và G là

trọng tâm của ABCD .

-b) M là trung điểm của BC nên 3; 1

1 2

ìïï = - +ïí

ïï = ïî

-c) Gọi D x y( ; )D D là chân đường phân giác hạ từ A của tam giác ABC

Gọi M x y là trung điểm của BC ( );

Vì G là trọng tâm nên AGuuur =2.GMuuur, AGuuur( )2;0 ,GM xuuur( - 1;y- 2)

a) D đi qua A và nhận vectơ ur( )1;2 làm vectơ chỉ phương

b) D đi qua A và nhận vectơ nur( )4;2 làm vectơ pháp tuyến

c) D đi qua C( )1;1 và song song với đường thẳng AB

d) D là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Bài 3.16: Viết phương trình tổng quát, tham số, chính tắc (nếu có) của đường thẳng  trong mỗi trường hợp

sau:

a)  đi qua điểm A( )3;0 và B -( 1;0)

b)  đi qua M( )1;2 và vuông góc với đường thẳng d x: - 3y- 1 0= .

c)  đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng

1 3' :ì = +ïïy x 2t t

b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua trung điểm AB và trọng tâm của tam giác ABC

Bài 3.18 Cho tam giác ABC biết A( ) (1;4 ,B 3; 1- )

và C(6; 2- ).

a) Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh AB

b) Viết phương trình đường cao AH

c) Viết phương trình đường trung tuyến của tam giác đó AM

d) Viết phương trình đường trung trực cạnh BC

e) Viết phương trình đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác và song song với trục hoành

f) Viết phương trình đường thẳng đi qua trung điểm BC và vuông góc với trục tung

g) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân đỉnh là gốc tọa độ.h) Đường thẳng qua C và chia tam giác thành hai phần , phần chứa điểm A có diện tích gấp đối phần chứađiểm B

Bài 3.19 Viết phương trình đường thẳng qua M( )3;2 và cắt tia Ox tại A, tia Oy tại B sao cho :

a) OA OB+ =12

b) Diện tích tam giác OAB bằng 12

Bài 3.20 Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình của AB : 2x y- + =5 0, đường thẳng AD qua gốc

tọa độ O , và tâm hình chữ nhật là I ( )4;5 Viết phương trình các cạnh còn lại của hình chữ nhật.

Bài 3.21 Cho hình bình hành hai cạnh có phương trình 3x y- - 2= 0 và x y+ - 2=0

Viết phương trình hai cạnh còn lại biết tâm hình bình hành là I ( )3;1

Bài 3.22 Cho tam giác ABC có trung điểm của AB là I ( )1;3 , trung điểm AC là J -( 3;1) Điểm A thuộc

Oy và đường BC qua gốc tọa độ O Tìm tọa độ điểm A , phương trình BC và đường cao vẽ từ B

Bài 3.23 Cho tam giác ABC biết M( ) ( ) (2;1 ,N 5;3 ,P 3; 4- )

lần lựợt là trung điểm của ba cạnh Viếtphương trình các cạnh của tam giác ABC

Dạng 2: Xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng

1 Phương pháp giải

Để xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng ta dựa vào nhận xét sau:

Điểm A thuộc đường thẳng

0 0

ì = +ïï

a) Tìm tọa độ điểm A thuộc D và cách gốc tọa độ một khoảng bằng bốn

b) Tìm điểm B thuộc D và cách đều hai điểm E( )5;0 , F (3; 2- )

c) Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M( )1;2 lên đường thẳng D

Lời giải:

a) Dễ thấy M(0; 3- ) thuộc đường thẳng D và ur( )4;3 là một vectơ chỉ phương của D nên có phươngtrình tham số là

-ê =êëVậy ta tìm được hai điểm là A1( )4;0 và 2

c) Gọi H là hình chiếu của M lên D khi đó H Î D nên H t(4 ; 3 3- + t)

Ta có ur( )4;3 là vectơ chỉ phương của D và vuông góc với HM tuuuur(4 - 1;3t- 5) nên

a) Xác định tọa độ điểm đối xứng với điểm A -( 1;0) qua đường thẳng D

b) Viết phương trình đường thẳng đối xứng với 'D qua D

Lời giải:

a) Gọi H là hình chiếu của A lên D khi đó H t(2 - 6;t)

Ta có ur( )2;1 là vectơ chỉ phương của D và vuông góc với AH tuuur(2 - 5;t) nên

íï = ïî

-Nhận xét: Để tìm tọa độ hình chiếu H của A lên D ta có thể làm cách khác như sau: ta có đường thẳng AH

nhận ur( )2;1 làm VTPT nên có phương trình là 2x y+ + =2 0 do đó tọa độ H là nghiệm của hệ

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông ở A Biết A(- 1;4 ,) (B 1; 4- )

, đường thẳng BC đi qua điểm 7;2

3

K æ ö÷çç ÷÷

çè ø.Tìm toạ độ đỉnh C

Vì A Î D nên tọa độ điểm A có dạng A a a +( ; 1)

Mặt khác ABCD là hình bình hành tương đương với DA DCuuur uuur,

không cùng phương và ABuuur =DCuuur

,

DA DCuuur uuur

không cùng phương khi và chỉ khi

31

a

a- ¹ + - Û a¹

Đường thẳng D là phân giác góc BAC· nhận vectơ u =r ( )1;1 làm vec tơ chỉ phương nên

2

a a

Cách 2: Ta có

74;

Chú ý: Bài toán có liên quan đến đường phân giác thì ta thường sử dụng nhận xét " D là đường phân giác của

góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau D1 và D2 khi đó điểm đối xứng với điểm M Î D1 qua D thuộc D2"

Ví dụ 5: Cho đường thẳng d x: - 2y- 2=0 và 2 điểm A( )0;1 và B( )3;4 Tìm tọa độ điểm M trên dsao cho MA+2MB

Bài 3.25: Cho hai đường thẳng d x y1: - =0 và d2 : 2x y+ - 1 0= Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông

ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.

Bài 3.26: Cho tam giác ABC có đỉnh A( )2;1 , đường cao qua đỉnh B có phương trình x- 3y- 7=0 vàđường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x y+ + =1 0 Xác định toạ độ các đỉnh B và C của tamgiác

Bài 3.27: Cho điểm A( )2;2 và các đường thẳng: d x y1: + - 2= 0,d x y2: + - 8=0

Tìm toạ độ các

điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A

Bài 3.28: Tam giác ABC biết A(2; 1- ) và phương trình hai đường phân giác trong của góc B và góc C lần

lượt là D :x- 2y+ = D1 0, ' : 2x- 3y+ =6 0

Xác định tọa độ B C,

Bài 3.29: Cho điểm A( )2;1 Trên trục Ox , lấy điểm B có hoành độ x ³ B 0, trên trục Oy, lấy điểm C có

tung độ y ³ C 0 sao cho tam giác ABC vuông tại A Tìm các điểm B, C sao cho diện tích tam giác ABC

lớn nhất

Bài 3.30: Cho tam giác ABC cân tại B, vớiA -(1; 1 ,C 3;5) ( )

Điểm B nằm trên đường thẳngd: 2x y- = 0 Viết phương trình các đường thẳng AB, BC

Bài 3.31: Cho đường thẳng D :x- 2y+ =3 0 và hai điểm A( )2;5 và B -( 4;5) Tìm tọa độ điểm M

trên D sao cho

D íï = - -ïî

Bài 3.34: Cho hình vuông tâm I ( )2;3 và AB x: - 2y- 1 0= Viết phương trình các cạnh còn lại và cácđường chéo

Bài 3.35: Cho tam giác ABC vuông tại A biết phương trình cạnh BC là: 3 x y- - 3= ; điểm A, B0thuộc trục hoành Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

ABC bằng 2

Bài 3.36: Cho tam giác ABC có C -( 2,0), đường phân giác trong góc A có phương trình là

5x+ -y 3=0 và thỏa mãn ABuuur =2OMuuur với M( )2;3 Tìm tọa độ điểm A, B

Bài 3.37: Cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và

AC có phương trình x y+ - 4=0 Tìm toạ độ các đỉnh B và C, biết điểm E -( 1;3) nằm trên đường cao

đi qua đỉnh C của tam giác đã cho

Bài 3.38: Cho hình thoi ABCD có A(1, 2); ( 3,3)- B

và giao điểm của hai đường chéo nằm trên đườngthẳng d x y: - + =2 0. Tìm toạ độ C và D

Bài 3.39: Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB x y: - + =1 0 và phương trìnhđường thẳng BD : 2x y+ - 1 0= ; đường thẳng AC đi qua M -( 1;1) Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ

nhật ABCD

Bài 3.40: Cho tam giác ABC có diện tích

32

S =

, tọa độ các đỉnh A(2; 3 ,- ) (B 3; 2- )

và trọng tâm G củatam giác nằm trên đường thẳng có phương trình 3x y- - 8= 0 Tìm tọa độ đỉnh C

Bài 3.41: Cho điểm M(1; 1)

Bài 3.42 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết đỉnh C -( 4;1); phương trình các đường

trung tuyến AA', đường phân giác BB' của tam giác đó lần lượt là 2x y- + =3 0, x y+ - 6 0=

Bài 3.43 Cho tam giác ABC có A(4; 1- ) và phương trình hai đường trung tuyến

Tính tọa độ B C,

Bài 3.44: Cho tam giácABC;phương trình các đường thẳng chứa đường cao và đường trung tuyến kẻ từ

đỉnh A lần lượt là x- 2y- 13=0 và 13x- 6y- 9=0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I -( 5; 1)

Bài 3.45 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết đỉnh A( )5;3 , trực tâm H( )3;2 và trungđiểm cạnh BC là 1;2

2

Mæ ö÷çç ÷÷

çè ø

Bài 3.46: Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết M( ) (1;4 ,N - 1;3)

là trung điểm của BC, CA

1 Khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng

a) Công thức tính khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng

Cho đường thẳng D :ax by c+ + = 0và điểm M x y Khi đó khoảng cách từ M đến ( 0; 0) ( )D được tính

2 Góc giữa hai đường thẳng

a) Định nghĩa: Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc Số đo nhỏ nhất của các góc đó được

gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b, hay đơn giản là góc giữa a và b Khi a song song hoặc

trùng với b, ta quy ước góc giữa chúng bằng 00

b) Công thức xác định góc giữa hai đường thẳng.

Góc xác định hai đường thẳng D1 và D2 có phương trình D1:a x by c1 + 1 + =1 0 và

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Bài toán liên quan đến khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng

a) Tính khoảng cách từ điểm A -( 1;3) đến đường thẳng D

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song D và V': 5x+3y+ =8 0

Tìm tọa độ điểm M nằm trên V3 sao cho khoảng cách từ M đến V1 bằng 2 lần khoảng cách từ M đến V2.

Đường thẳng D đi qua P có dạng a x( - 1)+b y( - 1)=0(a2+b2 ¹ 0) hay ax by a b+ - - =0

D cách đều A và B khi và chỉ khi

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn bài toán là D1: 4x y- - 3= 0 và D2: 2x- 3y+ =1 0

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có A(1; 2), (5;4), ( 2,0)- B C

- Hãy viết phương trình đường phân giác tronggóc A

Ta thấy (5 5.4 11)( 2 5.0 11)- - - - - >0 nên 2 điểm B,C nằm về cùng 1 phía đối với đường thẳng D1.

Vậy D2:5x y+ - 3=0 là phương trình đường phân giác trong cần tìm

Cách 2: Gọi D x y( ; ) là chân đường phân giác hạ từ A của tam giác ABC

Vậy đường phân giác trong góc A có phương trình là: 5x y+ - 3=0

Ví dụ 5: Cho điểm C  2;5 và đường thẳng :3x 4y 4 0 Tìm trên  hai điểm A B, đối xứng vớinhau qua

52;

B

B B B

t 

.Với

Bài 3.48: Cho hai đường thẳng d1: 2x- 3y+ =1 0;d2: 4- x+6y- 3=0

a) Chứng minh rằng d1/ /d2

b) Tính diện tích hình vuông có 4 đỉnh nằm trên 2 đường thẳng d1 và d2.

c) Viết phương trình đường thẳng D song song và cách đều d d1, 2

Bài 3.49: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm E(2; 1- ) và cách điểm F - -( 3; 1) một đoạn bằng 3.

Bài 3.50: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm I -( 2;3) và cách đều hai điểm(5; 1)

A - và B( )3;7 .

Bài 3.51: a) Cho hai điểm A( ) ( )2;2 ,B 5;1

Tìm điểm C trên đường thẳngD :x- 2y+ =8 0 sao cho

diện tích tam giác ABC bằng 17.

b) Cho tam giác ABC có A(2; 4 ,- ) (B 0; 2- )

và C nằm trên đường thẳng 3x y- + =1 0; diện tích tam

giác ABC bằng 1 (đơn vị diện tích) Hãy tìm toạ độ điểm C.

Bài 3.52: a) Cho hai đường thẳng d1: 2x- 3y+ =5 0; d2 : 3x+2y- 2= 0

Bài 3.53: Cho 2 điểm A( ) (2;1 ,B - 3;2)

và đường thẳng d: 4x+3y+ =5 0 Tìm điểm M cách đều A, B

đồng thời khoảng cách từ M đến d bằng 2.

Bài 3.54: Cho điểm A( )3;1 Xác định hai điểm B và C sao cho OABC là hình vuông và B nằm trong gócphần tư thứ nhất Viết phương trình 2 đường chéo của hình vuông đó

Bài 3.55: Cho hai điểm A( ) (1;1 ,B 4; 3- )

Tìm điểm C thuộc đường thẳng x– 2 – 1 0y = sao cho khoảngcách từ C đến đường thẳng AB bằng 6

Bài 3.56: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 4, hai đỉnh A(1; 2 ,- ) (B 2; 3- )

và trọng tâm G của tam

giác ABC nằm trên đường thẳng d x y: - - 2=0 Tìm toạ độ điểm C

Bài 3.57: Cho tam giác ABC có A( )0;1 và phương trình các đường cao BB' : 2x y- - 1 0= ,

CC x+ y- = Tính diện tích tam giác ABC

Bài 3.58: Cho các điểm A( ) (1;0 ,B - 2;4 ,) (C - 1;4 ,) ( )D 3;5

Tìm tập hợp điểm M sao cho diện tích hai

tam giác MAB và MCD bằng nhau.

Bài 3.59 Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4 Biết A( ) ( )1;0 ,B 0;2

và giao điểm I của hai

đường chéo nằm trên đường thẳng y = Tìm tọa độ đỉnh C và D.x

Bài 3.60 Cho các điểm A( ) ( ) ( )2;3 ,B 5;2 ,C 8;6

và một đường thẳng d x y: - + =5 0 Tìm trên d một

điểm D sao cho hình vuông MNPQ có các cạnh lần lượt đi qua các điểm A B C D, , ,

có diện tích lớn nhất  

Bài 3.61 Cho ba điểm A( ) (2;3 ,B 4; 1 ,- ) ( )C 4;5

Viết phương trình đường thẳng D đi qua A sao chotổng khoảng cách từ các điểm B và C đến đường thẳng D đạt giá trị lớn nhất

Bài 3.62 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy,cho tam giác ABC vuông tại C Biết A( )3;0 , đỉnh

C thuộc trục tung và có tung độ nhỏ hơn 1 , điểm B nằm trên đường thẳng D : 4x+3y - 12 0=

Tìm tọa

độ trọng tâm G của tam giác ABC, biết tam giác ABC có diện tích bằng 6

Dạng 2: Bài toán liên quan đến góc giữa hai đường thẳng

lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng D1 và D2 suy ra

Viết phương trình đường thẳng

D qua gốc toạ độ sao cho D tạo với D1 và tam giác cân có đỉnh là giao điểm và .

Lời giải:

Đường thẳng qua gốc toạ độ có dạng ax by+ =0 với

Bài 3.65 : Cho hình vuông có đỉnh A -( 4;5) và một đường chéo nằm trên đường thẳng có phương trình

7x y- + =8 0 Lập phương trình các cạnh và đường chéo thứ hai của hình vuông.

Bài 3.66: Cho ABCD cân đỉnh A Biết phương trình các đường thẳng AB, BC là

AB x y+ + = BC x- y- = .

Viết phương trình đường thẳng AC biết nó đi qua M( )1;1 .

Bài 3.67: Cho ABCD đều biết: A( )2;6 và BC : 3x- 3y+ = Viết phương trình các cạnh còn lại.6 0

Bài 3.68 Cho tam giác ABC có cả ba góc đều nhọn Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AC của tam

giác, biết tọa độ chân các đường cao hạ từ các đỉnh A B C, ,

tương ứng là

' 1; 2 , ' 2;2 , ' 1;2

-Bài 3.69: Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho các điểm A(1; 2), (4; 3).B

Tìm tọa độ điểm M sao cho

Phương trình đường tròn (C) tâm I a b , bán kính R là :( ); (x a- )2+ -(y b)2 =R2

Dạng khai triển của (C) là : x2+y2- 2ax- 2by c+ = 0 với c=a2+ -b2 R2

Phương trình x2+y2- 2ax- 2by c+ =0 với điều kiện a2+ -b2 c> 0, là phương trình đường tròntâm I a b bán kính ( ); R = a2+ -b2 c

2 Phương trình tiếp tuyến 

Cho đường tròn (C) : (x a- )2+ -(y b)2 =R2

Tiếp tuyến D của (C) tại điểm M x y là  đường thẳng đi qua M và vuông góc với IM( 0 ; 0)

nên phương trình : D : (x0- a x a)( - ) (+ y0- a y a)( - )=R2

D  : ax by c+ + = 0 là tiếp tuyến của (C) Û d I( , )D = R

Đường tròn (C) : (x a- )2+ -(y b)2 =R2 có hai tiếp tuyến cùng phương với Oy là

a R

= ± Ngoài hai tiếp tuyến này các tiếp tuyến còn lại đều có dạng : y=kx m+

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Nhận dạng phương trình đường tròn Tìm tâm và bán kính đường tròn

1 Phương pháp giải

Cách 1: + Đưa phương trình về dạng: ( )C x: 2+ -y2 2ax- 2by c+ =0 (1)

+ Xét dấu biểu thức P =a2+ -b2 c

Nếu P > thì (1) là phương trình đường tròn 0 ( )C có tâm I a b và bán kính ( ); R = a2+ -b2 c

Nếu P £ thì (1) không phải là phương trình đường tròn.0

Cách 2: Đưa phương trình về dạng: (x a- )2+ -(y b)2 =P (2)

Nếu P > thì (2) là phương trình đường tròn có tâm 0 I a b và bán kính R( ); = P

Nếu P £ thì (2) không phải là phương trình đường tròn.0

Ví dụ 2: Cho phương trình x2+y2- 2mx- 4(m- 2)y+ -6 m= (1)0

a) Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn.

b) Nếu (1) là phương trình đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kính theo m

Ví dụ 3: Cho phương trình đường cong ( )C m : x2+y2+(m+2)x- (m+4)y m+ + = (2)1 0

a) Chứng minh rằng (2) là phương trình một đường tròn

b) Tìm tập hợp tâm các đường tròn khi m thay đổi

c) Chứng minh rằng khi m thay đổi họ các đường tròn ( )C m luôn đi qua hai điểm cố định.

I

I

m x

m y

ïï = ïï

ïïî suy ra x I +y I - 1 0=

Vậy tập hợp tâm các đường tròn là đường thẳng D :x y+ - 1 0=

c) Gọi M x y là điểm cố định mà họ ( 0; 0) ( )C m luôn đi qua.

12

x y

ïï

íï =ïîVậy có hai điểm cố định mà họ ( )C m luôn đi qua với mọi m là M -1( 1;0) và M2( )1;2

Bài 3.72: Cho phương trình : x2+y2+6mx- 2(m- 1)y+11m2+2m- 4=0

a) Tìm điều kiện của m để pt trên là pt đường tròn.

b) Tìm quỹ tích tâm đường tròn

Bài 3.73: Cho phương trình ( )C m : x2+y2+2(m- 1)x- 2(m- 3)y+ =2 0.

a) Tìm m để ( )C m là phương trình của một đường tròn.

b) Tìm m để ( )C m là đường tròn tâm I -(1; 3). Viết phương trình đường tròn này.

c) Tìm mđể( )C m làđường tròn có bán kính R =5 2.Viết phương trình đường tròn đó

Bài 3.74: Cho A(- 1;0 ,) ( )B 2;4

và C( )4;1 Chứng minh rằng tập hợp các điểm M thoả mãn

3MA +MB =2MC là một đường tròn (C) Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của (C).

Dạng 2: Viết phương trình đường tròn

1 Phương pháp giải

Cách 1: + Tìm toạ độ tâm I a b của đường tròn (C)( );

+ Tìm bán kính R của đường tròn (C)

+ Viết phương trình của (C) theo dạng (x a- )2+ -(y b)2 =R2.

Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x2+y2- 2ax- 2by c+ =0 (Hoặc

x +y + ax+ by c+ = ).

+ Từ điều kiện của đề bài thành lập hệ phương trình với ba ẩn là a, b, c.

+ Giải hệ để tìm a, b, c từ đó tìm được phương trình đường tròn (C).

Chú ý:

* A Î ( )C Û IA =R

* ( )C tiếp xúc với đường thẳng D tại A Û IA =d I( ;D =) R

* ( )C tiếp xúc với hai đường thẳng D1 và D Û2 d I( ;D =1) d I( ;D =2) R

2 Các ví dụ

Ví dụ 1 : Viết phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau:

a) Có tâmI (1; 5- ) và đi qua O( )0;0

b) Nhận AB làm đường kính với A( ) ( )1;1 ,B 7;5

.c) Đi qua ba điểm: M(- 2;4 ,) ( ) (N 5;5 ,P 6; 2- )

c) Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng là: x2+y2- 2ax- 2by c+ = 0

Do đường tròn đi qua ba điểm M N P, ,

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: x2+y2- 4x- 2y- 20=0

Nhận xét: Đối với ý c) ta có thể làm theo cách sau

Gọi I x y và R là tâm và bán kính đường tròn cần tìm ( );

a) (C) có tâm I -( 1;2) và tiếp xúc với đường thẳng D :x- 2y+ =7 0

b) (C) đi qua A(2; 1- ) và tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox và Oy

c) (C) có tâm nằm trên đường thẳng d x: - 6y- 10=0 và tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình

Vậy có hai đường tròn thoả mãn đầu bài là: ( ) (2 )2

x- + y+ = và (x- 5) (2+ y+5)2 =25c) Vì đường tròn cần tìm có tâm K nằm trên đường thẳng d nên gọi K a(6 +10;a)

Mặt khác đường tròn tiếp xúc với d d1, 2

nên khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng này bằng nhau vàbằng bán kính R suy ra

-ê =êë

Ví dụ 3: Cho hai điểm A( )8;0 và B( )0;6 .

a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB

b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB

d2

C B

OA OB AB

Dễ thấy đường tròn cần tìm có tâm thuộc góc phần tư thứ nhất và tiếp xúc với hai trục tọa độ nên

tâm của đường tròn có tọa độ là ( )2;2

Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là: ( ) (2 )2

d tại A, cắt d2 tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B Viết

phương trình của (C), biết tam giác ABC có diện tích bằng

3

2 và điểm A cóhoành độ dương

Lời giải: (hình 3.1)

Vì A dÎ 1 Þ A a( ;- 3 ,a a) >0; ,B C Î d2 Þ B b( ; 3 ,b C c) ( ; 3c)

Suy ra AB b auuur( - ; 3(a b+ ) ),AC c auuur( - ; 3(c a+ ) )

Tam giác ABC vuông tại B do đó AC là đường kính của đường tròn C.

b) (C) ngoại tiếp ABCD với A(4;4), (1; 5)B - và C -( 3;3).

c) (C) có tâm I(1;2)và tiếp xúc với đường thẳng D : 3x- 4y+ =7 0

Bài 3.76: (ĐH 2007A) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A( )0;2 ,

( 2; 2)

B - - và C(4; 2- ) Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB

và BC Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N

Bài 3.77: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC , hai cạnh AB AC,

theo thứ tự có phương trình

x y+ - = và 2x+6y- 3=0 Cạnh BC có trung điểm M -( 1;1)

Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài 3.78: Viết phương trình đường tròn (C) trong trường hợp sau:

a) Đi quaA -( 4;2) và tiếp xúc với hai trục toạ độ

b) Có tâm nằm trên đường thẳng x = và tiếp xúc với hai đường thẳng: 5

Bài 3.80: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A( ) ( )2;0 ,B 6;4

Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm Bbằng 5

Bài 3.81: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC tạo bởi ba đường thẳng

4x- 3y- 65 0, 7= x- 24y+55= 03x+4y- 5=0

Bài 3.82 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho 2 điểm A( ) ( )0;5 , B 2;3

.Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có bán kính R = 10

Bài 3.83: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A -( 1;1) và đường thẳng

d x y- + - = Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A, gốc toạ độ O và tiếp xúc với

đường thẳng d

Bài 3.84: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(- 1;7 ,) (B 4; 3- )

và C -( 4;1) Hãy viết phương trình

đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Bài 3.85: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M( )2;1 và đường thẳng D :x y- + =1 0 Viết

phương trình đường tròn đi qua M cắt D ở 2 điểm A, B phân biệt sao cho MABD vuông tại M và có diệntích bằng 2

(x- 1) + -(y 2) =2

Dạng 3: Vị trí tương đối của điểm; đường thẳng; đường tròn với đường tròn

1 Phương pháp giải

Vị trí tương đối của điểm M và đường tròn (C)

Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C) và tính IM

+ Nếu IM < suy ra M nằm trong đường trònR

+ Nếu IM = suy ra M thuộc đường trònR

+ Nếu IM > suy ra M nằm ngoài đường trònR

Vị trí tương đối giữa đường thẳng D và đường tròn (C)

( ; )

d I D

+ Nếu d I( ;D < suy ra D cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt ) R

+ Nếu d I( ;  D = suy ra D tiếp xúc với đường tròn) R

+ Nếu d I( ;D > suy ra D không cắt đường tròn) R

Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình tạo bởi phương trình đường thẳng D và đường tròn (C) bằng số giaođiểm của chúng Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ

Vị trí tương đối giữa đường tròn (C) và đường tròn (C')

Xác định tâm I, bán kính R của đường tròn (C) và tâm I', bán kính R' của đường tròn (C') và tính 'II ,

R +R R R

-+ Nếu 'II > +R R' suy ra hai đường tròn không cắt nhau và ở ngoài nhau

+ Nếu ' II = +R R' suy ra hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau

+ Nếu ' II < R R- ' suy ra hai đường tròn không cắt nhau và lồng vào nhau

+ Nếu ' II = R R- ' suy ra hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau

+ Nếu R R- ' <II '< +R R' suy ra hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình tạo bởi phương trình đường thẳng (C) và đường tròn (C') bằng số

giao điểm của chúng Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho đường thẳng D :x y- + =1 0 và đường tròn ( )C :x2+y2- 4x+2y- 4= 0

a) Chứng minh điểm M( )2;1 nằm trong đường tròn

b) Xét vị trí tương đối giữa D và ( )C

c) Viết phương trình đường thẳng 'D vuông góc với D và cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt sao chokhoảng cách của chúng là lớn nhất

+ nên D cắt ( )C tại hai điểm phân biệt.

c) Vì 'D vuông góc với D và cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt sao cho khoảng cách của chúng là lớnnhất nên 'D vuông góc với D và đi qua tâm I của đường tròn (C)

Do đó 'D nhận vectơ uuurD =( )1;1 làm vectơ pháp tuyến suy ra D' : 1(x- 2) (+1 y+1)= hay0

1 0

x y+ - =

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là D' :x y+ - 1 0=

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn ( )C :x2+y2- 2x- 6y- 15= và0

( )C' :x2+y2- 6x- 2y- 3=0

a) Chứng minh rằng hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B

c) Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B và O

Lời giải:

I

B H

Suy ra hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm có tọa độ là A -(1; 2) và B( )6;3

b) Đường thẳng đi qua hai điểm A, B nhận ABuuur( )5;5 làm vectơ chỉ phương suy ra phương trình đườngthẳng cần tìm là

c) Cách 1: Đường tròn cần tìm (C") có dạng x2+y2- 2ax- 2by c+ =0

(C") đi qua ba điểm A, B và O nên ta có hệ

72

Cách 2: Vì A, B là giao điểm của hai đường tròn (C) và (C') nên tọa độ đều thỏa mãn phương trình

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là x2+y2- 7x y- =0

Ví dụ 3: Cho đường tròn ( ) :C x2+y2- 2x+4y- 4=0 có tâm I và đường thẳng

a) Tìm m để đường thẳng D cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A, B

b) Tìm m để diện tích tam giác IAB là lớn nhất

3 Bài tập luyện tập

Bài 3.86: Cho d x: - 5y- 2=0 và (C) có tâm I -( 1;2), bán kính R = 13

a) Viết phương trình đường tròn (C)

b) Tìm toạ độ giao điểm của (C) và d

Bài 3.87: Biện luận số giao điểm của (C) và d trong đó:

x +y - x- y+ = Viết phương trình đường tròn (C1) tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy đồng

thời tiếp xúc ngoài với đường tròn (C)

Bài 3.90: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn (C) và đường thẳng d lần lượt có phương

trình: (C): x2+y2- 2x- 2y+ =1 0, d x y: - + =3 0 Tìm toạ độ điểm M nằm trên d sao cho đường

tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc ngoài với đường tròn (C)

Bài 3.91: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2+y2 =1 Đường tròn (C) tâm

( )2;2

I cắt (C) tại các điểm A, B sao cho AB = 2 Viết phương trình đường thẳng AB.

Bài 3.92: Cho hai đường tròn: ( )C :x2+y2 = và 1 ( )C m :x2+y2- 2(m+1)x+4my- 5=0

Xác định m để ( )C tiếp xúc với (C) m

Bài 3.93 Trong mặt phẳng Oxy, Viết phương trình đường thẳng qua điểm O và cắt đường tròn (C):

x +y - x+ y- = tại hai điểm A, B sao cho O là trung điểm của AB.

Bài 3.94 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn ( )C :x2+y2+2x- 4y- 20= và điểm 0 A( )3;0 .Viết phương trình đường thẳng D đi qua A và cắt đường tròn (C) theo một dây cung MN sao cho

Bài 3.96 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường tròn: ( ) :C x2+y2- 4x- 6y= 0 và

( ') :C x +y +4x =0 Một đường thẳng D đi qua giao điểm của (C) và (C') lần lượt cắt lại (C) và (C')

tại M và N Viết phương trình đường thẳng D khi MN đạt giá trị lớn nhất

Bài 3.100: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) :C x2+y2- 4x+2y- 15= 0. Gọi I là tâm

đường tròn ( ).C Đường thẳng D đi qua M -(1; 3)

cắt ( )C tại hai điểm A và B Viết phương trình đường thẳng D biết tam giác IAB có diện tích bằng 8 và cạnh AB là cạnh lớn nhất

Bài 3.101: Cho tam giác ABC có trực tâm H Biết đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC là

x +y - x- y+ = , H thuộc đường thẳng D : 3x y- - 4=0, trung điểm AB là M( )2;3 Xácđịnh toạ độ các đỉnh của tam giác  

Bài 3.102: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A( )1;0 và các đường tròn ( )C :x2+y2 = và2

( )C' :x2+y2 = Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt nằm trên các đường tròn (C) và (C') để tam giác5

ABC có diện tích lớn nhất.

Bài 3.103: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng D :x y+ - 2= 0 và đường tròn

( )C :x2+y2- 2x+2y- 7= Chứng minh rằng D cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B và tìm toạ độ0

điểm C trên (C) sao cho tam giác ABC có diện tích bằng (3+ 2 7)

Bài 3.104: Trong mặt phẳng Oxy , gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với

( ) ( )2;1 , 4;0 , (3; 2 1)

A B C - và đường thẳng d: 4x y+ - 4=0 Tìm trên d điểm M sao cho tiếp tuyến

của (C) qua M tiếp xúc với (C) tại N sao cho diện tích tam giác NAB lớn nhất.

Bài 3.105: Trong mặt phẳng hệ trục tọa độ Oxy cho đường tròn ( )C :x2+y2- 2x- 3= Gọi B,C là0giao điểm của đường thẳng D :x y+ - 3=0 với đường tròn (C) Hãy tìm điểm A trên đường tròn (C) sao

cho tam giác ABC có chu vi lớn nhất.

Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn

1 Phương pháp giải

Cho đường tròn (C) tâm I a b , bán kính R ( );

Nếu biết tiếp điểm là M x y thì tiếp tuyến đó đi qua M và nhận vectơ ( 0; 0) IM xuuur( 0- a y; 0- b) làm vectơ

pháp tuyến nên có phương trình là (x0- a x x)( - 0) (+ y0- b y y)( - 0)= 0

Nếu không biết tiếp điểm thì dùng điều kiện: Đường thẳng D tiếp xúc đường tròn (C) khi và chỉ khi

( ; )

d I D = để xác định tiếp tuyến.R

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho đường tròn (C) có phương trình x2+y2- 6x+2y+ =6 0 và điểm hai điểm(1; 1 ;) ( )1;3

a) Chứng minh rằng điểm A thuộc đường tròn, điểm B nằm ngoài đường tròn

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ B

Lời giải:

Đường tròn (C) có tâm I (3; 1- ) bán kính R = 32+ -1 6= 2

a) Ta có: IA = =2 R IB; =2 5>R suy ra điểm A thuộc đường tròn và điểm B nằm ngoài đường tròn

b) Tiếp tuyến của (C) tại điểm A nhận IA =uur ( )2;0 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là

+ Nếu b = , chọn 0 a = suy ra phương trình tiếp tuyến là 1 x = 1

+ Nếu 3b=4a, chọn a =3,b= 4 suy ra phương trình tiếp tuyến là 3x+4y- 15=0

Vậy qua A kẻ được hai tiếp tuyến với (C) có phương trình là x = và 1 3x+4y- 15=0

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến D của đường tròn ( )C :x2+y2- 4x+4y- 1 0= trong trườnga) Đường thẳng D vuông góc với đường thẳng D' : 2x+3y+ =4 0

b) Đường thẳng D hợp với trục hoành một góc 450

Vậy có hai tiếp tuyến là : 3D - x+2y+10 3 13± =0

b) Giả sử phương trình đường thẳng D :ax by c+ + =0,a2+b2 ¹ 0

Đường thẳng D là tiếp tuyến với đường tròn (C) khi và chỉ khi

, chọn a=1,b= - 1,c=(3 2 4- )Þ D :x y- +3 2 4- =0Với c= - (3 2 4+ )a

, chọn a=1,b= - 1,c= - (3 2 4+ )Þ D :x y- - 3 2 4- = 0Vậy có bốn đường thẳng thỏa mãn là D1,2 :x y+ ±3 2=0, D3:x y- +3 2 4- =0 và

Gọi tiếp tuyến chung của hai đường tròn có phương trình D :ax by c+ + =0 với a2+b2 ¹ 0

D là tiếp tuyến chung của ( )C và 1 ( )C2

1 2

ê =êëTH1: Nếu a =2bchọn a=2,b=1 thay vào (*) ta được c = - ±2 3 5 nên ta có 2 tiếp tuyến là

b) d đi qua A(3;6)

c) d song song với đường thẳng D : 3x- 4y- 2008=0

d) d vuông góc với đường thẳng D' : 2x- 3y- 4=0

Bài 3.107: Cho đường tròn ( )C :x2+y2+2x- 4y- 4= và điểm 0 A( )2;5 .Viết phương trình tiếptuyến kẻ từ A tới đường tròn Giả sử tiếp tuyến này tiếp xúc với đường tròn tại hai điểm M, N Hãy tính độdài MN

Bài 3.108: Cho ( )C :x2+y2- 2x+2y- 3= Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cắt0

tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho ABCD có diện tích bằng 4.

Bài 3.109: Tìm toạ độ giao điểm của hai đường tròn: ( ) 2 2

C x +y - x- y+ = ,

( ) 2 2

C x +y - x- y+ = và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn ấy

Bài 3.110Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x y: - + =1 0 và đường tròn

( )C :x2+y2+2x- 4y = Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d mà qua đó ta kẻ được hai đường0thẳng tiếp xúc với (C) tại A và B sao cho AMB =· 600

Bài 3.111Cho ( )C m :x2+y2+2mx- 2(m- 1)y+ = 1 0

a) Tìm m để ( )C là đường tròn m

b) Tìm m để ( )C tiếp xúc với đường thẳng : m D x y+ + +1 2 2=0

c) Tìm m để từ điểm A( )7;0 có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với ( )C vuông góc với nhau m

d) Tìm m để từ điểm A( )7;0 có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với ( )C và tạo với nhau góc 60 m 0

Bài 3.112Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn:

( ) :C x +y - 10x=0, ( ) :C x +y +4x- 2y- 20 0=

a) Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của ( ), ( )C1 C2

và có tâm nằm trên đường thẳng

x +y - x+ y+ = , d x y: + - 1 0= Xác định toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp

đường tròn (C), biết A nằm trên d

Bài 3.114Trong mặt phẳng toạ độ cho đường tròn ( )C :x2+y2- 2x- 6y+ = và điểm 6 0 M -( 3;1).Gọi T T1, 2

là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) Viết phương trình đường thẳng T T1 2

Bài 3.115 Cho đường tròn (C) có phương trình: ( )2 2

x- +y =Tìm trên Oy điểm M mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) và 2 tiếp tuyến đó tạo thành góc 600

CHỦ ĐỀ 5: ĐƯỜNG ELIP

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1)Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F F1, 2

với F F1 2 =2c c( >0) và hằng số a> Elip(E) là tập hợpccác điểm M thỏa mãn MF1+MF2 =2a

Các điểm F F1, 2

là tiêu điểm của (E) Khoảng cách F F1 2 =2c là tiêu cự của (E) MF MF1, 2

được gọi là bánkính qua tiêu

File word: leminhducspvl@gmail.com Phone, Zalo: 0946 513 000

2) Phương trình chính tắc của elip:

3) Hình dạng và tính chất của elip:

Elip có phương trình (1) nhận các trục tọa độ là trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng

+ Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1(-c;0), tiêu điểm phải F c2( );0

+ Các đỉnh : A1(- a;0 ,) ( )A a2 ;0 ,B1(0;-b B), 2( )0;b

+ Trục lớn : A A1 2 =2a, nằm trên trục Ox; trục nhỏ :B B1 2 =2b, nằm trên trục Oy

+ Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng x= ±a y, = ±b

gọi là hình chữ nhật cơ sở.

c e

-B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Xác định các yếu tố của elip khi biết phương trình chính tắc của elip

1 Phương pháp giải

Từ phương trình chính tắc ta xác định các đại lượng a b,

và b2 =a2- c2 ta tìm được c elip từ đó ta suy rađược các yếu tố cần tìm

32

c e a

= =

b) Ta có

Tâm sai của (E) là

215

c e a

Để viết phương trình chính tắc của elip ta làm như sau:

+ Gọi phương trình chính tắc elip là x22 y22 1(a b 0)

Ví dụ 1 Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:

a) (E) có độ dài trục lớn là 6 và tâm sai

23

e =

b) (E)có tọa độ một đỉnh là (0; 5)

và đi qua điểm

4 10; 15

Mæçç - ö÷÷÷

c) (E) có tiêu điểm thứ nhất (- 3;0)

và đi qua điểm

e) (E) có tâm sai bằng

5

3 và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20

Lời giải: Phương trình chính tắc của (E) có dạng: x22 y22 1(a b 0)

a +b = > >

a) (E) có độ dài trục lớn là 6 suy ra 2a = Û6 a= , Tâm sai 3

23