Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Viết phương trỡnh đường trũn cú tõm thuộc đường thẳng ∆, đi qua điểm A và tiếp xỳc với đường thẳng ∆’.. Viết phương trỡnh đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 và cắt đường t

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

 HỆ TỌA ĐỘ TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM :

1 Hệ tọa độ: Hai trục tọa độ x’Ox và y’Oy vuông góc nhau tạo nên hệ trục tọa độ Đêcac Oxy: O là

gốc tọa độ; x’Ox là trục hoành và y’Oy là trục tung.Trong đó: →i = (1; 0) và →j= (0;1) là các vectơ đơn

vị trên các trục.Ta có:→i =→j=1 và→i →j=0

2 Tọa độ của vectơ :→u= (x ; y) ⇔ →u = x.→i + y.→j

3 Tọa độ của điểm :OM→ = (x ; y) ⇔ M(x ; y)

x: hoành độ và y: tung độ của điểm M

4 Các kết quả: Trong hệ tọa độ Oxy cho A(xA; yA), B(xB; yB) và các vectơ →

a=(a1; a2) và →

b= (b1 ; b2)

Ta có:

a) →a± →

b= ( a1 ± b1; a2 ± b2)

b) →a= (ka1 ; ka2) (k là số thực)

c) Tích vô hướng: →

a.→

b= a1 b1 + a2 b2.

Hệ quả:

1 | a  | = 2

2

2

1 a

2

2 1

2 2

2 1

2 2 1 1

b b a a

b a b a )

b

,

a

cos(

+ +

+

=





3 →

a⊥ →b⇔ a1 b1 + a2 b2 = 0

d) →

a=→

b⇔







=

=

2 2

1 1 b a

b a

e) →

a,→

b cùng phương ⇔















=

−

=

=

⇔

=

∈

0 b a b a b b

a a

a

b a

b a k b : R k

1 2 2 1 2 1

2 1

2 2 1 1

f) Tọa độ của vectơ:→

AB=(xB - xA;yB - yA)

A B 2 A

B - x ) (y - y ) (x

| AB |

h) Điểm M chia AB theo tỉ số k ( k≠1) ⇔ →

MA= k →

MB Khi đó tọa độ của M tính bởi:

k 1

kx x

M

−

−

= và y yA1 kyk B

−

=

M là trung điểm AB ta có:x xA2xB

M

+

= và y yA 2yB

M

+

=

5 Kiến thức về tam giác: Cho A(xA;yA),B(xB; yB) và C(xC; yC)

a) Trọïng tâm của tam giác (giao các đường trung tuyến):

G là trọng tâm ∆ ABC:x xA x3B xC

G = + + ; y yA y3B yC

G= + +

b) Trực tâm của tam giác (giao các đường cao):









⊥

⊥

⇔

→

→

CA BH

BC AH tâm

trực

là

H









=

=

⇔ → →

→

→

0 CA BH

0 BC AH

c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ( giao của các trung trực):

I(a;b) là tâm của (ABC) ⇔ AI = BI = CI = R (bán kính của (ABC)) Giải hệ AI2=BI2 và BI2=CI2 ⇒ Tọa độ của I

d) Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác (giao các phân giác trong của các góc của tam giác):

Tâm K của đường tròn nội tiếp ∆ ABC tìm được khi thực hiện hai lần công thức điểm chia đoạn theo

tỉ số k:

AC

AB DC

DB

=

−

=

→

→

nên D chia BC theo tỉ số k1 ⇒Tọa độ của D

BD

BA KD

KA =− =

→

→

nên K chia AD theo tỉ số k2 ⇒ Tọa độ của K

e) Diện tích tam giác:

• S= ah a

2

1

= bh b

2

1

= ch c

2 1

• S= absinC

2

1

= acsinB 2

1

= bcsinA 2

1

• S=abc4R = pr = p ( p − a )( p − b )( p − c )

• S= AB2 AC2 ( AB AC ) 2

2

− =21 det(AB→ ,AC→ ) , trong đó: det( →

AB, →

AC) =

2 1

2 1

b b

a a

=a1b2−a2b1 với →

AB=(a1; a2) và →

AC= (b1 ; b2)

1)Định nghĩa: Cho các vectơ →

u và →

nkhác vectơ →

0

• →

u là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ khi →

u nằm trên 1 đường thẳng song song hoặc trùng với

∆ Mọi vectơ chỉ phương của ∆ đều có dạng k.→

u ( k ≠ 0)

• →

n là 1 vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ khi →

n nằm trên 1 đường thẳng vuông góc với ∆ Mọi vectơ pháp tuyến của ∆ đều có dạng k.→

n ( k ≠ 0)

• Một đường thẳng ∆ hoàn toàn xác định khi biết M0∈∆ và 1 vectơ chỉ phương→

u hoặc 1 vectơ pháp tuyến →

n của ∆

2) Phương trình tổng quát của đường thẳng:

a) Định lý: Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ có dạng: Ax+By+C = 0 với A2+B2≠ 0

Chú ý: ∆ có vectơ pháp tuyến →

n= (A;B) và có vectơ chỉ phương →

u= (B; - A) hoặc →

u= (- B; A)

b) Hệ quả: Phương trình đường thẳng ∆ đi qua M0(x0 ; y0) và có vectơ pháp tuyến →

n= (A;B) là:

A(x-x0) + B(y-y0) = 0 với A2+B2≠ 0

3) Phương trình tham số - chính tắc của đường thẳng:

a) Phương trình tham số của đường thẳng: Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua M0(x0 ;

y0) và có vectơ chỉ phương →

u=(a; b) là:







 +

=

+

=

bt y y

at x x 0

0 với a2+b2 ≠ 0, t∈R

b) Phương trình chính tắc của đường thẳng: Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua M0(x0 ;

y0) và có vectơ chỉ phương →

u=(a; b) là: x−ax0 = y−by0 (a2+b2 ≠ 0)

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG

CHÙM ĐƯỜNG THẲNG :

1) Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Cho 2 đường thẳng ∆1:A1x+B1y+C1 = 0 (1) và

∆2:A2x+B2y+C2=0 (2) ( 2

1 2

1 B

A + ≠0 và 2

2 2

2 B

A + ≠ 0) Giải hệ gồm (1) và (2) ta có kết quả sau:

• Hệ có duy nhất nghiệm ⇔A1B2−A2B1≠0⇔∆1và ∆2 cắt nhau

• Hệ vô nghiệm ⇔A1B2−A2B1=0 và B1C2−B2C1≠0⇔∆1 //ø ∆2

• Hệ có vô số nghiệm ⇔A1B2−A2B1=B1C2 −B2C1=C1A2−C2A1= 0⇔∆1≡∆2

2)

Chùm đường thẳng : Hai hoặc nhiều đường thẳng cùng đi qua một điểm I, tạo nên chùm đường

thẳng có tâm I Nếu ∆1:A1x+B1y+C1=0 và ∆2:A2x+B2y+C2=0 cắt nhau tại I (A1B2 ≠A2B1) thì phương trình của chùm đường thẳng tâm I là:

m(A1x+B1y+C1 )+ n(A2x+B2y+C2) = 0 (với m2+n2≠ 0)

 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG − KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG :

1.

Góc giữa hai đường thẳng:

Cho 2 đường thẳng ∆1:A1x+B1y+C1=0 và ∆2:A2x+B2y+C2 =0 Nếu gọi ϕ (00≤ϕ≤ 900) là góc giữa ∆1 và ∆2 thì:

2 2

2 2

2 1

2 1

2 1 2 1

B A B A

B B A A cos

+ +

+

= ϕ

Hệ quả: ∆1⊥∆2⇔ A1A2 + B1B2 = 0

2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

a) Công thức: Khoảng cách từ M(x0;y0) đến ∆:Ax+By+C=0 là:

2 2

0 0 B A

C By Ax ) , M

(

d

+

+ +

=

∆ (A2+B2≠0)

b) Hệ quả: Nếu ∆1 : A1x+B1y+C1=0 và ∆2 : A2x+B2y+C2 = 0 cắt nhau tại I (A1B2 ≠A2B1) thì phương trình các phân giác tạo bởi (∆1) và (∆2) là: 2

2

2 2

2 2 2 2

1

2 1

1 1 1

B A

C y B x A B

A

C y B x A

+

+ +

±

= +

+ +

 ĐƯỜNG TRÒN :

1.Phương trình của đường tròn:

a) Phương trình đường tròn (C) tâm I(a;b) bán kính R có dạng:

(x−a)2+(y−b)2=R2 b) Phương trình đường tròn tâm O bán kính R :

x2+y2 = R2

c) Phương trình x2+y2+2Ax+2By+C = 0 với A2+B2−C>0 là phương trình của một đường tròn (C) có tâm I(−A;−B) và bán kính R= A 2 + B 2 − C

2.Phương tích của một điểm đối với một đường tròn:

Cho (C) : F(x,y) = x2+y2+2Ax+2By+C = 0 Phương tích của một điểm M(x0 ; y0) đối với (C) là:

P M/(C)= F(x0,y0) =x y 2 2Ax0 2By0 C

0 2

3.Trục đẳng phương của hai đường tròn khác tâm:

a) Tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với 2 đường tròn khác tâm (C1) và (C2) là một đường thẳng d vuông góc với đường thẳng nối 2 tâm I1 và I2 của (C1) và (C2) và gọi là trục đẳng phương của (C1) và (C2)

b) Cho hai đường tròn: (C1):F1(x,y)=x2+y2+2A1x+2B1y+C1=0 và

(C2):F2(x,y)=x2+y2+2A2x+2B2y+C2=0 khác tâm, phương trình của trục đẳng phương của (C1) và(C2) là:

F1(x,y)= F2(x,y)⇔ 2(A1− A2)x+2(B1− B2)y+C1− C2 = 0

4 Tiếp tuyến của 1 đường tròn :

Cho (C):F(x;y)=(x−a)2+(y−b)2−R2=0 và điểm M(x0;y0), để viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua

M ta tìm phương tích của M đối với (C):

 Nếu P M/(C) < 0 thì M nằm trong (C), qua M không kẻ được tiếp tuyến nào với (C)

 Nếu P M/(C) = 0 thì M thuộc (C), qua M kẻ được một tiếp tuyến với (C) và tiếp tuyến này đi qua M có vectơ pháp tuyến →

IM= (x0 - a; y0 - b)

 Nếu P M/(C) > 0 thì M nằm ngoài (C), qua M ta kẻ được 2 tiếp tuyến với (C), phương trình các tiếp tuyến này thực hiện như sau:

 Gọi ∆ là đường thẳng qua M và có vectơ pháp tuyến →

n=(A;B)⇒∆: A(x - x0)+B(y - y0) = 0 (1) với

A2+B2≠0

 Tiếp xúc (C)⇔ d(I,∆)= 2 2

B A

C Bb Aa

+

+ +

=R với C= -(Ax0+By0) Bình phương 2 vế, chọn hai cặp A, B thỏa phương trình này và thay vào (1) để có hai phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua M

 ElÍP :

1)Định nghĩa : Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho MF 1 +MF 2 =2a (2a không đổi và a> c> 0) là một đường elíp

 F1,F2: cố định là hai tiêu điểm và F1F2=2c là tiêu cự của elíp

 MF1, MF2: là các bán kính qua tiêu

2) Phương trình chính tắc của elíp: 1

b

y a

x

2

2 2

2

= + với b2 = a2 - c2

3) Tính chất và hình dạng của elíp::

1

b

y

a

x

2

2

2

2

=

(a> b > 0)

• Trục đối xứng Ox (chứa trục lớn); Oy (chứa trục bé).Tâm đối xứng O

•Đỉnh: A1(−a;0), A2(a;0), B1(0;−b) và B2(0; b) Độ dài trục lớn là 2a và độ dài trục bé là 2b

• Tiêu điểm: F1(−c; 0), F2( c; 0)

• Nội tiếp trong hình chữ nhật cơ sở PQRS có kích thước 2a và 2b với

b2 = a2 c 2.

• Tâm sai:

a

b

a a

c

e= = 2 − 2 < 1

• Hai đường chuẩn: x=±ea = ±ac2

• M(x;y)∈(E): MF1 = a+ ex và MF2 = a−ex

4) Tiếp tuyến của elíp (E): 1

b

y a

x

2

2 2

2

= + :

 Tại M0(x0;y0)∈(E) có phương trình: 1

b

y y a

x x

2

0 2

 Đi qua M(x1; y1) là ∆:A(x−x1)+B(y−y1)=0 với điều kiện:

∆ tiếp xúc (E)⇔A2a2+B2b2 =C2 A2+B2≠0,C=−(Ax1+By1)≠0

 HYPEBOL :(Nâng cao )

1.Định nghĩa : Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho MF 1−MF 2=2a (2a không đổi và c > a> 0) là một Hypebol.

 F1, F2 : cố định là 2 tiêu điểm và F1F2=2c là tiêu cự

 MF1, MF2: là các bán kính qua tiêu

2.Phương trình chính tắc của hypebol: 1

b

y a

x

2

2 2

2

=

− b2 = c2 - a2

3) Tính chất và hình dạng của hypebol (H):

 Trục đối xứng Ox (trục thực) Oy (trục ảo) Tâm đối xứng O

 Đỉnh:A1(−a;0),A2(a;0).Độ dài trục thực:2a và độ dài trục ảo:2b

 Tiêu điểm F1(−c; 0), F2( c; 0)

 Hai tiệm cận: y= ±abx

b

y

a

x

2

2 − =

 Hình chữ nhật cơ sở PQRS có kích thước 2a, 2b với b2= c2 − a2

.

 Tâm sai:

a

b a a

c

e= = 2+ 2 > 1

 Hai đường chuẩn: x=±ea = ±ac2

 Độ dài các bán kính qua tiêu của M(x;y)∈(H):

* MF1= ex + a và MF2= ex−a khi x > 0

* MF1= −ex−a và MF2=−ex+ a khi x < 0

4) Tiếp tuyến của hypebol (H): 1

b

y a

x

2

2 2

2

=

−

 Tại M0(x0; y0) ∈(H) có phương trình: 1

b

y

y a

x x

2

0 2

 Đi qua M(x1; y1) là ∆: A(x−x1)+B(y−y1) = 0 với điều kiện:

∆ tiếp xúc (H) ⇔ A2a2 − B2b2 = C2 A2+B2≠0,C=−(Ax1+By1)≠0

PARABOL : (Nâng cao)

1) Định nghĩa:

Parabol là tập hợp các điểm M của mặt phẳng cách đều 1 đường thẳng ∆ cố định và 1 điểm F cố định không thuộc ∆.

∆: đường chuẩn; F: tiêu điểm và d(F, ∆) = p > 0 là tham số tiêu

2) Phương trình chính tắc của Parabol: y2 =2px

3) Hình dạng của Parabol (P) :

2px

y

2 =

• Trục Ox, đỉnh O.Tiêu điểm F(2p; 0)

• Đường chuẩn ∆: x = − 2p

• M(x;y)∈(P): MF = x+2pvới x ≥ 0

4) Tiếp tuyến của parabol (P): y 2 =2px:

• Tại M0(x0; y0) ∈(P):y2=2px có phương trình: y0y = p(x0+x)

• Đi qua M(x1; y1) là ∆: A(x−x1)+B(y−y1) = 0 với điều kiện: ∆ tiếp xúc (P) ⇔ pB2 = 2AC A2+B2≠0 và C=−(Ax1+By1)≠0

BÀI TẬP VỀ HÌNH HỌC PHẲNG Oxy

1 Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A 1;0 , B 2;4 ,C 1;4 ,D 3;5( ) (− ) (− ) ( ) và đường thẳng

d : 3x y 5 0− − = Tìm điểm M trên d sao cho hai tam giác MAB, MCD cĩ diện tích bằng nhau

2 Cho hỡnh tam giỏc ABC cú diện tớch bằng 2 Biết A(1;0), B(0;2) và trung điểm I của AC nằm trờn

đường thẳng y = x Tỡm toạ độ đỉnh C

3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(1;1),B(−2;5), đỉnh C nằm trên đờng thẳng

0

4=

−

x , và trọng tâm G của tam giác nằm trên đờng thẳng 2x−3y+6=0 Tính diện tích tam giác

ABC.

4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(2;−1),B(1;−2), trọng tâm G của tam giác nằm trên đờng thẳng x+y−2=0 Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng 13,5

5 Trong mặt phẳng oxy cho ∆ABC cú A(2;1) Đường cao qua đỉnh B cú phương trỡnh x- 3y - 7 = 0 Đường trung tuyến qua đỉnh C cú phương trỡnh x + y +1 = 0 Xỏc định tọa độ B và C Tớnh diện tớch

ABC

6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giỏc ABC biết A(5; 2) Phương trỡnh đường trung trực

cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0 Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của tam

giỏc ABC

7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng∆:x+3y+ =8 0, ' :3∆ x−4y+ =10 0và điểm

A(-2 ; 1) Viết phương trỡnh đường trũn cú tõm thuộc đường thẳng ∆, đi qua điểm A và tiếp xỳc với

đường thẳng ∆’

8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường trũn hai đường trũn

( ) :C x + – 2 – 2 1 0,y x y + = ( ') :C x2+ y2+4 – 5 0x = cựng đi qua M(1; 0) Viết phương trỡnh

đường thẳng qua M cắt hai đường trũn ( ), ( ') C C lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB.

9 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hóy viết phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc ABC biết trực tõm

(1;0)

H , chõn đường cao hạ từ đỉnh B là (0; 2) K , trung điểm cạnh AB là M(3;1).

10 Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường trũn cú phương trỡnh ( ) 2 2

C x +y − y− = và

( ) 2 2

C x +y − x+ y+ = Lập phương trỡnh tiếp tuyến chung của ( )C và 1 ( )C2

11 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hỡnh chữ nhật ABCD cú phương trỡnh đường thẳng AB: x – 2y + 1

= 0, phương trỡnh đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1) Tỡm toạ độ cỏc đỉnh của hỡnh chữ nhật

12 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giỏc ABC, cú điểm A(2; 3), trọng tõm G(2; 0) Hai đỉnh B và C

lần lượt nằm trờn hai đường thẳng d1: x + y + 5 = 0 và d2: x + 2y – 7 = 0 Viết phương trỡnh đường trũn

cú tõm C và tiếp xỳc với đường thẳng BG

13 Tam giỏc cõn ABC cú đỏy BC nằm trờn đường thẳng : 2x – 5y + 1 = 0, cạnh bờn AB nằm trờn đường

thẳng : 12x – y – 23 = 0 Viết phương trỡnh đường thẳng AC biết rằng nú đi qua điểm (3;1)

14 Viết phương trỡnh tiếp tuyến chung của hai đường trũn :

(C1) : (x - 5)2 + (y + 12)2 = 225 và (C2) : (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 25

15 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường trũn (C) : x2+y2+2x 8y 8 0− − = Viết phương trỡnh đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 và cắt đường trũn theo một dõy cung cú độ dài bằng 6

16 Viết phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc ABC biết B(2; -1), đường cao và đường phõn giỏc trong qua

đỉnh A, C lần lượt là : (d1) : 3x – 4y + 27 = 0 và (d2) : x + 2y– 5=0

17 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcỏc vuụng gúc Oxy , xột tam giỏc ABC vuụng tại A, phương trỡnh

đường thẳng BC là : 3 x – y - 3 = 0, cỏc đỉnh A và B thuộc trục hoành và bỏn kớnh đường trũn nội tiếptam giỏc ABC bằng 2 Tỡm tọa độ trọng tõm G của tam giỏc ABC

18 Trong mp Oxy cho hai ủieồm A(5 ; 0) vaứ B(4 ; 3 2)

a Laọp phửụng trỡnh ủửụứng troứn nhaọn AB laứm ủửụứng kớnh Tỡm toùa ủoọ caực giao ủieồm cuỷa ủửụứng troứn vaứ truùc hoaứnh

b Laọp phửụng trỡnh chớnh taộc cuỷa ủửụứng elip (E) ủi qua hai ủieồm A vaứ B

19 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho đường trũn (C) :x2 +y2 − 4x− 2y− 1 = 0và đường thẳng d :

0

1 =

+

+y

x Tỡm những điểm M thuộc đường thẳng d sao cho từ điểm M kẻ được đến (C) hai tiếp tuyến hợp với nhau gúc 900

20 .Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho elip (E) : x2 + 4y2 − 4 = 0.Tỡm những điểm N trờn elip (E) sao cho : F NˆF = 60 0( F , F là hai tiờu điểm của elip (E) )

21 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(1;1) và đường thẳng ∆ : 2x + 3y + 4 = 0

Tỡm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng ∆ sao cho đường thẳng AB và ∆ hợp với nhau gúc 450

22 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường trũn 2 2

( ) :C x +y =1, đường thẳng ( ) :d x y m+ + =0 Tỡm

m để ( ) C cắt ( ) d tại A và B sao cho diện tớch tam giỏc ABO lớn nhṍt.

23 Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho cho hai đường thẳng d1:2x− y+5=0;d2: 3x +6y –7= 0 Lập

phương trỡnh đường thẳng đi qua điểm P( 2; -1) sao cho đường thẳng đú cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo

ra một tam giỏc cõn cú đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2

24 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hỡnh chữ nhật ABCD cú cạnh AB: x -2y -1 =0, đường chộo

BD: x- 7y +14 = 0 và đường chộo AC đi qua điểm M(2;1) Tỡm toạ độ cỏc đỉnh của hỡnh chữ nhật

25 Trong mp (Oxy) cho đường thẳng (∆) cú phương trỡnh: x – 2y – 2 = 0 và hai điểm A (-1;2);

B (3;4) Tỡm điểm M∈(∆) sao cho 2MA2 + MB2 cú giỏ trị nhỏ nhṍt

26 Cho đường trũn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 và điểm M (2;4) Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua

M cắt đường trũn tại 2 điểm A và B, sao cho M là trung điểm của AB

27 Viết phương trỡnh cỏc tiếp tuyến của e lớp (E):

1

16 9

x + y = , biết tiếp tuyến đi qua điểmA(4;3)

28 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trũn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = 0 cú tõm I và đường thẳng ∆: mx + 4y = 0 Tỡm m biết đường thẳng ∆ cắt đường trũn (C) tại hai điểm phõn biệt A,B thỏa món diện tớch tam giỏc IAB bằng 12

29 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC cú phương trỡnh cạnh AB: x - y - 2 = 0,

phương trỡnh cạnh AC: x + 2y - 5 = 0 Biết trọng tõm của tam giỏc G(3; 2) Viết phương trỡnh cạnh BC

30 Viết phương trỡnh đường trũn đi qua hai điểm A(2; 5), B(4;1) và tiếp xỳc với đường thẳng cú phương

trỡnh 3x – y + 9 = 0

31 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giỏc ABC cú trọng tõm G(−2, 0) biết phương trỡnh cỏc cạnh AB, AC theo thứ tự là 4x + y + 14 = 0; x+ y−2=0 Tỡm tọa độ cỏc đỉnh A, B, C

32 Cho đường trũn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 Viết phương trỡnh đường trũn (C') tõm M(5, 1) biết (C') cắt (C) tại cỏc điểm A, B sao cho AB= 3

33 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng tròn (C) có phơng trình (x-1)2 + (y+2)2 = 9 và đờng thẳng d: x + y + m = 0 Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông

34 Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn cuỷa (E) : 1

18

y 32

x2 2

= + , bieỏt tieỏp tuyeỏn ủi qua A(6 ; 3 2 )

35 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = 0 và (d2): 4x + 3y - 12 = 0 Tỡm toạ độ tõm và bỏn kớnh đường trũn nội tiếp tam giỏc cú 3 cạnh nằm trờn (d1), (d2), trục Oy

36 Cho điểm A(-1 ;0), B(1 ;2) và đường thẳng (d): x - y - 1 = 0 Lập phương trỡnh đường trũn đi qua 2

điểm A, B và tiếp xỳc với đường thẳng (d)

37 Trong mặt phẳng toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng : 3∆ x−4y+ =4 0 Tỡm trờn ∆ hai điểm A và B đối xứng nhau qua I(2;5/2) sao cho diện tớch tam giỏc ABC bằng15

38 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(2; - 3), B(3; - 2), có diện tích bằng 3

2 và trọng tâm thuộc đờng thẳng ∆: 3x - y - 8 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C

39 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hỡnh chữ nhật ABCD cú tõm 1

( ;0) 2

I Đường thẳng AB cú phương trỡnh: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành độ điểm A õm Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của hỡnh chữ nhật đú

40 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giỏc ABC với A(1; -2), đường cao CH x y: − + =1 0, phõn giỏc trong

BN x y+ + = .Tỡm toạ độ cỏc đỉnh B,C và tớnh diện tớch tam giỏc ABC

41 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hỡnh chữ nhật ABCD cú diện tớch bằng 12, tõm I là giao

điểm của đường thẳng d1 :x−y−3=0 và d2 :x+y−6=0 Trung điểm của một cạnh là giao điểm của

d1 với trục Ox Tỡm toạ độ cỏc đỉnh của hỡnh chữ nhật.

42 Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng ∆cú phương trỡnh x+2y-3=0 và hai điểm A(1;0),B(3;-4) Hóy tỡm trờn đường thẳng ∆ một điểm M sao cho : MAuuur+3MBuuur là nhỏ nhṍt

43 Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường tròn : ( ) 2 2

C x +y = và ( ) ( )2 2

C x− +y = cắt nhau tại A(2;3).Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt ( ) ( )C1 , C theo hai dây cung có độ dài bằng2 nhau

44 Trong mặt phẳng Oxy , lập phương trình đường thẳng qua M(2;1) và tạo với các trục tọa độ một tam

giác có diện tích bằng 4

45 Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M( 3;1

2) Viết phương trình chính tắc của (E) đi qua điểm M và nhận F1(− 3;0) làm tiêu điểm

46 Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC biết A(3;0), đường cao từ đỉnh B có phương trình

x+y+1=0 trung tuyến từ đỉnh C có phương trình : 2x-y-2=0 Viết phường trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

47 Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC biết A(1;-1) ,B(2;1), diện tích bằng 11

2 và trọng tâm G thuộc đường thẳng d : 3x+y-4=0 Tìm tọa độ đỉnh C ?

48 Trong mặt phẳng Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao hai đường thẳng :

d x y− − = d x y+ − = Trung điểm một cạnh là giao điểm của d với trục Ox Tìm tọa độ các1 đỉnh của hình chữ nhật

49 Trong mặt phẳng Oxy , cho hình vuông có đỉnh (-4;8) và một đường chéo có phương trình :

7x-y+8=0 Viết phương trình chính tắc các cạnh hình vuông

50 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng : d1 : 2x + y – 3 = 0, d2 : 3x + 4y + 5 = 0 và

d3 : 4x + 3y + 2 = 0

a Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d1 và tiếp xúc với d2 và d3

b Tìm tọa độ điểm M thuộc d1 và điểm N thuộc d2 sao cho OM + 4ON = 0

51 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm E(-1;0) và đường tròn (C): x2 + y2 – 8x – 4y – 16 = 0 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm E cắt ( C ) theo dây cung MN có độ dài ngắn nhất

52 Cho tam giác ABC cân tại A, biết phương trình đường thẳng AB, BC lần lượt là: x + 2y – 5 = 0 và

3x – y + 7 = 0 Viết phương trình đường thẳng AC, biết rằng AC đi qua điểm F(1; - 3)

53 Trong mặt phẳng Oxy cho elíp (E) có tiêu điểm thứ nhất là (- 3 ; 0) và đi qua điểm M ( 1;

5

33

4 ). Hãy xác định tọa độ các đỉnh của (E)

54 Trong mặt phẳng Oxy, hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC vuông cân tại A Biết rằng

cạnh huyền nằm trên đường thẳng d: x + 7y – 31 = 0, điểm N(7;7) thuộc đường thẳng AC, điểm M(2;-3) thuộc AB và nằm ngoài đoạn AB

55 Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường thẳng d1: 2x + y + 5 = 0, d2: 3x + 2y – 1 = 0 và điểm G(1;3) Tìm tọa độ các điểm B thuộc d1 và C thuộc d2 sao cho tam giác ABC nhận điểm G làm trọng tâm Biết A

là giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2

56.Trong mặt phẳng Oxy: Cho hai điểm A(2 ; 1), B( - 1 ; - 3) và hai đường thẳng d1: x + y + 3 = 0;

d2 : x – 5y – 16 = 0 Tìm tọa độ các điểm C,D lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

57 Trong mặt phẳng tọa độ độ Oxy, cho tam giác ABC có C(1;2), hai đường cao xuất phát từ A và B lần

lượt có phương trình là x + y = 0 và 2x – y + 1 = 0 Tính diện tích tam giác ABC

58 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm F ( - 4; 0), 1 F ( 4;0) và điểm A(0;3).2

a Lập phương trình chính tắc của elip (E) đi qua điểm A và có hai tiêu điểm F , 1 F 2

b Tìm tọa độ của điểm M thuộc (E) sao cho MF = 3M1 F21

59 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 2y + 6 = 0 và điểm P(1;3)

a.Viết phương trình các tiếp tuyến PE, PF của đường tròn (C), với E, F là các tiếp điểm

b.Tính diện tích tam giác PEF

60 Trong mpOxy, cho 2 đường thẳng d1: 2x + y − 1 = 0, d2: 2x − y + 2 = 0 Viết pt đường tròn (C) có tâm nằm trên trục Ox đồng thời tiếp xúc với d1 và d2

61 Trong mpOxy, cho 2 đường thẳng d1: 2x − 3y + 1 = 0, d2: 4x + y − 5 = 0 Gọi A là giao điểm của d1

và d2 Tìm điểm B trên d1 và điểm C trên d2 sao cho ∆ABC có trọng tâm G(3; 5)

62 Cho đường trịn (C): x2 + y2 − 2x − 4y + 3 = 0 Lập pt đường trịn (C’) đối xứng với (C) qua đường thẳng ∆: x − 2 = 0

63 Trong mpOxy, cho ∆ABC cĩ trục tâm H 13 13;

5 5

 , pt các đường thẳng AB và AC lần lượt là: 4x − y − 3 = 0, x + y − 7 = 0 Viết pt đường thẳng chứa cạnh BC

64 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + y − 3 = 0 và 2 điểm A(1; 1), B(−3; 4) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 1

65 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ∆ABC cĩ đỉnh A(4; 3), đường cao BH và trung tuyến CM cĩ

pt lần lượt là: 3x − y + 11 = 0, x + y − 1 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh B, C

66 Cho tam giác ABC cĩ diện tích S=

2

3 , hai đỉnh A(2;-3), B(3;-2) và trọng tâm G của tam giác thuộc đt 3x-y-8=0 Tìm tọa độ đỉnh C

67 Cho ∆ABC có M(–1 ; 1) là trung điểm cạnh BC, hai cạnh còn lại có pt là (AC): x + y – 2 = 0, (AB) : 2x + 6y + 3 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của ∆ABC và viết phương trình cạnh BC

68 Viết phương trình đường tròn (C ) có bán kính R = 2 tiếp xúc với trục hoành và có tâm I nằm trên

đường thẳng (d) : x + y – 3 = 0

69.Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình : x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0

a Viết phương trình đường thẳng đi qua M(2 ; 4) cắt đường tròn (C) tại 2 điểm A, B sao cho M là trung điểm đoạn AB

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến ấy song song với đường thẳng có phương trình : 2x + 2y – 7 = 0

c Chứng tỏ đường tròn (C) và đường tròn (C ’) : x2 + y2 – 4x – 6y + 4 = 0 tiếp xúc nhau Viết phương trình tiếp tuyến chung của chúng tại tiếp điểm

70 Trong mặt phẳng Oxy cho (E) có phương trình : 1

4

y 9

x2 2

=

a Xác định tọa độ các tiêu điểm, độ dài các trục của (E)

b Chứng minh OM2 + MF1.MF2 là một số không đổi với F1, F2 là hai tiêu điểm của (E) và M ∈ (E)

c Tìm các điểm M thuộc (E) thỏa MF1 = 2.MF2 với F1, F2 là hai tiêu điểm của (E)

d Tìm các điểm M ∈ (E) nhìn hai tiêu điểm của (E) dưới một góc vuông

71 Trong mặt phẳng Oxy cho (E) có phương trình : 1

4

y 9

x2 2

=

a Xác định tọa độ các tiêu điểm, độ dài các trục của (E)

b Tìm các điểm M thuộc (E) thỏa MF1 = 2.MF2 với F1, F2 là hai tiêu điểm của (E)

c Chứng minh rằng với mọi điểm M thuộc (E) ta đều có 2 ≤ OM ≤ 3

d Tìm các điểm M thuộc (E) nhìn đoạn F1F2 dưới một góc 60°

72 Lập ph trình các cạnh của ∆ ABC, biết đỉnh A(1 ; 3) và hai đường trung tuyến xuất phát từ B và

C có ph.trình là: x– 2y +1= 0 và y –1= 0

73 Trong mặt phẳng Oxy cho Elip (E) : 9x2 + 25y2 = 225

a Viết phương trình chính tắc và xác định các tiêu điểm, tâm sai của (E)

b Một đường tròn (T) có tâm I(0 ; 1) và đi qua điểm A(4 ; 2) Viết phương trình đường tròn và chứng tỏ (T) đi qua hai tiêu điểm của (E)

c Gọi A, B là 2 điểm thuộc (E) sao cho OA ⊥ OB

74 Cho ∆ABC có đỉnh A(2 ; –1) và hai đường phân giác trong của góc B, góc C có phương trình lần lượt là (dB) : x – 2y + 1 = 0 và (dC) : x + y + 3 = 0 Lập phương trình cạnh BC

75 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết đỉnh C(4 ; –1), đường cao và đường trung

tuyến kẻ từ một đỉnh có phương trình tương ứng là (d1): 2x – 3y + 12 =0 và (d2) : 2x + 3y = 0

76 Trong mp Oxy cho đường thẳng d có phương trình: 2x – y + 5 = 0 ,ø điểm I(3; 1).

a) Viết phương trình đường tròn tâm I và tiếp xúc với d

b) Tìm tọa độ tiếp điểm của đường tròn đó với d

77 Trong mặt phẳng Oxy cho (E) : 4x2 + y2 = 4

a Tính độ dài trục lớn, trục nhỏ, tọa độ hai tiêu điểm, tâm sai của (E).

b Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = x + m cắt (E) tại 2 điểm phân biệt M, N khi m thay đổi Tìm tập hợp các trung điểm của MN

78 Trên mặt phẳng Oxy cho elip có phương trình : x2 + 4y2 = 4

a Tìm tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm và tâm sai của elip

b Đường thẳng qua một tiêu điểm của elip và song song với trục Oy cắt elip tại hai điểm M và N Tính độ dài đoạn thẳng MN

c Tìm giá trị của k để đường thẳng y = x + k cắt elip đã cho