7 phuong phap toa do trong mat phang 1

vectơ chỉ phơng của đờng thẳng Định nghĩa 1: Một vectơ a khác 0 gọi là vectơ chỉ phơng viết tắt vtcp của đờng thẳng d nếu giá của a song song hoặc trùng với d... Vị trí tơng đối của h

chơng 3  phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng

A Kiến thức cần nhớ

I Đờng thẳng

1 vectơ chỉ phơng của đờng thẳng

Định nghĩa 1: Một vectơ a khác 0 gọi là vectơ chỉ phơng (viết tắt vtcp) của đờng

thẳng (d) nếu giá của a song song hoặc trùng với (d).

Nhận xét:

 Nếu a là vtcp của đờng thẳng (d) thì mọi vectơ ka với k  0 đều là vtpt của (d)

 Nếu a(a1; a2) là vtcp của đờng thẳng (d) thì với a1  0 ta gọi k = 2

1

a

a là hệ sốgóc của đờng thẳng (d)

 Một đờng thẳng đợc hoàn toàn xác định khi biết một vtcp của nó và một điểm

1

a + 2 2

a > 0 đợc gọi là phơng trình tham số của



2

y ya

4 vectơ pháp tuyến của đờng thẳng

Định nghĩa 2: Một vectơ n khác 0 gọi là vectơ pháp tuyến (viết tắt vtpt) của đờng

thẳng (d) nếu giá của n vuông góc với (d).

Nhận xét:

 Nếu n là vtpt của đờng thẳng (d) thì mọi vectơ kn với k  0 đều là vtpt của (d)

 Một đờng thẳng đợc hoàn toàn xác định khi biết một vtpt của nó và một điểm

là đờng thẳng có vtpt n(0; B) do đó nó vuông góc với

Oy, cắt Oy tại điểm có tung độ C

là đờng thẳng có vtpt n(A; 0) do đó nó vuông góc với

Ox, cắt Ox tại điểm có hoành độ C

A

Lu ý: Bản thân trục Oy có phơng trình x = 0.

3 Nếu C = 0, ta đợc (d): Ax + By = 0

là đờng thẳng có vtpt n(A; B) và đi qua gốc toạ độ O

4 Nếu A2 + B2 = 1, thì (4) đợc gọi là phơng trình pháp dạng của đờng thẳng.

Lu ý: Để đa phơng trình tổng quát của đờng thẳng



C /

y

O(d)

x

6 Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng

Cho hai đờng thẳng (d1) và (d2) có phơng trình

Phơng trình (3) đợc gọi là phơng trình của chùm đờng thẳng, điểm I gọi là tâm của chùm

Ta thờng dùng phơng trình của chùm đờng thẳng để giải các bài toán dạng: " Viết phơng trình đờng thẳng đi qua giao điểm của hai đờng thẳng đã cho và thoả mãn thêm điều kiện K " mà không cần tìm toạ độ giao điểm đó.

7 góc giữa hai đờng thẳng

8 khoảng cách từ một điểm đến một đờng thẳng

Định lý 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(xM, yM) và đờng thẳng (d) có phơng trình

Khi đó phơng trình hai đờng phân giác (1) và (2) của các góc tạo bởi (d1) và (d2)là:

Chú ý: Nếu (d1) và (d2) không vuông góc với nhau thì (d1) tạo với (d2) hai góc

nhọn và hai góc tù, khi đó ta có thể xác đinh phơng trình đờng phângiác của góc nhọn hoặc góc tù nhờ kết quả trong bảng sau:

Phơng trình đờng phângiác của góc tù tạo bởi(d1), (d2) ứng với

2 phơng trình tổng quát của đờng tròn

Định lý 2: Trong mặt phẳng Oxy, đờng cong (C) có phơng trình

(C): x2 + y22ax2by + c = 0, với a2 + b2c  0 (2)

là phơng trình của đờng tròn tâm I(a, b) và bán kính R = a2 b2 c



3 Phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn

Định lý 3: Trong mặt phẳng Oxy, phơng trình tiếp tuyến (d) tại điểm M(x0; y0) của ờng tròn (C):

1 Phơng trình (5) đợc gọi là phơng trình phân đôi toạ độ theo quy tắc

(xa)2 = (xa).(xa) thay bằng (xa).(x0a)

(yb) = (yb)(yb) thay bằng (yb)(y0b).

2 Nếu (C) có phơng trình tổng quát:

(C): x2 + y22ax2by + c = 0, với a2 + b2c  0thì tiếp tuyến (d) có phơng trình:

(d): x.x0 + y.y0a(x + x0)b(y + y0) + c = 0

dựa theo quy tắc:

x2 = x.x thay bằng x.x0

y2 = y.y thay bằng y.y0.2ax = a(x + x) thay bằng a(x + x0)

2by = b(y + y) thay bằng a(y + y0)

3 Trong trờng hợp tổng quát, đờng thẳng (d) tiếp xúc (là tiếp tuyến) với đờng tròn(C) có tâm I và bán kính R khi và chỉ khi:

Từ giá trị về dấu của pM/(O) ta xác định đợc vị trí của điểm M đối với (C)

 Nếu pM/(C) > 0  M ở ngoài đờng tròn (C)

 Nếu pM/(C) = 0  M ở trên đờng tròn (C)

 Nếu pM/(C) < 0  M ở trong đờng tròn (C)

5 Trục đẳng phơng của hai đờng tròn

Cho hai đờng tròn không đồng tâm (C1) và (C2) có phơng trình:

(C1): x2 + y22a1x2b1y + c1 = 0, với 2 1

1 2

1 b c

(C2): x2 + y22a2x2b2y + c2 = 0, với 2 2

2 2

Định lý 1: Trong mặt phẳng Oxy, Elíp (E) có hai tiêu điểm

F1(c; 0), F2(c; 0) và có tổng hai bán kính qua tiêu ứng với

điểm tuỳ ý M(x; y)(E) là 2a (a > c) có phơng trình:

xx

y

b

2 phơng trình tham số của elíp

y

cos tb

Phơng trình (*) đợc gọi là phơng trình tham số dạng lợng giác của Elíp (E)

Ta biết rằng, nếu đặt z = tan t

1 zb(1 z )y

ta xét các tính chất hình học của (E) bằng cách xét

các tính chất đại số tơng ứng của phơng trình trên

a Phơng trình của (E) có bậc chẵn đối với x và y nên:

 Nếu điểm M(x; y)(E) thì các điểm M1(x; y), M2(x; y) và M3(x;

y) cũng thuộc (E)

 (E) nhận các trục tọa độ là trục đối xứng và gốc O làm tâm đối xứng.

b (E) cắt các trục toạ độ tại bốn điểm:

 (E)  Ox = {A1, A2} có toạ độ là A1(a; 0), A2(a; 0) và đoạn thẳng A1A2 gọi

là trục lớn của (E) có độ dài bằng 2a.

 (E)  Oy = {B1, B2} có toạ độ là B1(0; b); B2(0; b) và đoạn thẳng B1B2 gọi là

trục nhỏ của (E) có độ dài bằng 2b.

 Bốn điểm A1, A2, B1, B2 gọi là bốn đỉnh của Elíp (E)

Lu ý: Hai tiêu điểm của Elíp (E) luôn ở trên trục lớn.

c. Hình chữ nhật cơ sở: hình chữ nhật có các đỉnh là giao điểm của các đờng thẳng x =

 a và các đờng thẳng y = b đợc gọi là hình chữ nhật cơ sở của (E) Vậy Elíp(E) nằm trong hình chữ nhật có tâm đối xứng O, có các kích thớc là 2a, 2b

d. Từ M(x; y)  (E) ta đợc:

O

My

xx

y F

4 Tâm sai của elíp

Tâm sai của Elíp là số thực e bằng tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của Elíp.

 Đối với Elíp (E):

Định lý 1: Trong mặt phẳng Oxy, Hypebol (H) có hai tiêu điểm F1(c; 0), F2(c; 0)

và có hiệu hai bán kính qua tiêu ứng với điểm tuỳ ý M(x; y)  (H) là 2a (a > c) cóphơng trình:

các tính chất đại số tơng ứng của phơng trình trên

c Phơng trình của (H) có bậc chẵn đối với x và y nên:

Q y

x O

A1F

 Nếu điểm M(x; y)  (H) thì các điểm M1(x; y), M2(x; y) và M3(x; y) cũng

thuộc (H)

 (H) nhận các trục tọa độ là trục đối xứng và gốc O làm tâm đối xứng.

d (H) cắt các trục toạ độ tại hai điểm:

 (H)  Ox = {A1, A2} có toạ độ là A1(a; 0), A2(a; 0) và đoạn thẳng A1A2 gọi

là trụ c thực của (H) có độ dài bằng 2a.

 (H) không cắt Oy, đặt B1(0; b); B2(0; b) và đoạn thẳng B1B2 gọi là trục ảo của

(H) có độ dài bằng 2b

 Vậy trục thực của Hyperbol là trục đối xứng cắt Hyperbol, trục ảo là trục đối

xứng không cắt Hyperbol

 Bốn điểm A1, A2, B1, B2 gọi là bốn đỉnh của Hypebol (H)

Lu ý: Hai tiêu điểm của Hypebol (H) luôn ở trên trục thực.

e. Hình chữ nhật cơ sở: hình chữ nhật có các đỉnh là giao điểm của các đờng thẳng x =

a và các đờng thẳng y =  b đợc gọi là hình chữ nhật cơ sở của (H)

Nh vậy Hyperbol (H) là tập hợp của hai tập con không giao nhau

- Tập con của (H) chứa những điểm M(x; y) thoả mãn x  a gọi là nhánh

bên phải của Hyperbol.

- Tập con của (H) chứa những điểm M(x; y) thoả mãn x a gọi là nhánh

bên trái của Hyperbol.

- Hai nhánh này đối xứng nhau qua trục ảo và cả hai đều nhận trục thực làm

-Xác định vị trí các điểm A1(a; 0) ;A2(a; 0), B1(0; b), B2(0; b) trên hệ toạ độ

-Dựng các đờng thẳng x = a và y = b cắt nhau tại P, Q, R, S

-Hình chữ nhật PQRS có kích thớc 2a, 2b gọi là hình chữ nhật cơ sở của

Hyperbol

-Kẻ hai đờng tiệm cận là hai đơng chéo của hình chữ nhật cơ sở

-Dựa trên hai đỉnh A1, A2 và hai đờng tiệm cận để vẽ Hyperbol

y

x O

Chú ý: Hai Hyperbol liên hợp:

- Có chung các đợng tiệm cận và hình chữ nhật cơ sở

- Có các tiêu điểm và đỉnh khác nhau

Trục thực của Hyperbol này là trục ảo của Hyperbol kia và ngợc lại

7 Tâm sai của Hypebol

Tâm sai của Hypebol là số thực e bằng tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục thực của

phía với Fi đối với trục đối xứng còn lại và cách tâm của Elíp (Hyperbol) một đoạn a

e

với e là tâm sai và a là độ dài nửa trục lớn (trục thực)

a Với Elíp (E) có phơng trình (E):

Đờng chuẩn của cả ba đờng Conic đều có tình chất chung sau đây:

Định lý 1: Điều kiện cần và đủ để một điểm nằm trên đờng Conic là khoảng cách từ

điểm đó tới tiêu điểm và đến đờng chuẩn tơng ứng bằng tâm sai e của đờng Conic

đó

Định nghĩa 2: Đờng Côníc (C) là tập hợp điểm có tỷ số các khoảng cách từ đó đến

một điểm cố định và đến một đờng thẳng cố định không đi qua điểm

y

x O

Câu hỏi 1: Chứng minh rằng họ đờng thẳng (dm) luôn đi qua một điểm cố định.

Câu hỏi 2: Tìm các điểm mà họ (dm) không đi qua

Khi đó:

a Với câu hỏi 1, ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Giả sử M(x0, y0) là điểm cố định của họ (dm), khi đó:

Ax0 + By0 + C = 0 m

Bớc 2: Nhóm theo bậc của m rồi cho các hệ số bằng 0  (x0, y0)

Bớc 3: Kết luận

b Với câu hỏi 2, ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Giả sử M(x, y) là điểm mà họ (dm) không đi qua, khi đó:

Thí dụ 2 Cho phơng trình mx + (m2)ym = 0.

Vậy với mọi m phơng trình đã cho là phơng trình của một đờng thẳng

b Giả sử M(x0, y0) là điểm cố định mà họ (dm) luôn đi qua

Vậy họ (dm) luôn đi qua điểm cố định M(1; 0)

Thí dụ 3 Tìm tập hợp các điểm của mặt phẳng không thuộc bất cứ đờng thẳng

nào của họ đờng thẳng (dm): (m + 1)xy + m2m = 0

Vậy, tập hợp các điểm M(x; y) thoả mãn x2  6x + 4y + 1 < 0 không thuộc bất cứ

đờng thẳng nào của họ (dm)

Dạng toán 2: Lập phơng trình đờng thẳng

) y , x ( M Qua

2 2 2

1 1

1 2

1

xx

xx



 =

1 2

1

yy

yy





x

 = 1

 Đờng thẳng (d) đi qua điểm M0(x0, y0) luôn có dạng:

(d): A(xx0) + B(yy0) = 0, với A2 + B2 > 0

2 Đờng thẳng đi qua một điểm và biết vtcp:

(d): 

) a , a ( a vtcp

) y , x ( M Qua

2 1

0 0 0

t a x x

2 0 1 0

) y , x ( M Qua 0 0 0

) y , x ( M

Thí dụ 1 Lập phơng trình tham số của đờng thẳng (d) trong mỗi trờng hợp sau:

a (d) đi qua điểm M(2, 1) và có vtcp a(3, 4)

b (d) đi qua điểm M(2, 3) và có vtpt n(5, 1)

) 1 , 2 ( M Qua

t 3 2 x

) 3 , 2 ( M Qua

 (d): 





 ) 5 , 1 ( a vtcp

) 3 , 2 ( M Qua

3

y

t 2

x

, t  R.

Thí dụ 2 Lập phơng trình tổng quát của đờng thẳng (d) trong mỗi trờng hợp sau:

a (d) đi qua điểm M(5, 8) và có hệ số góc k= 3.

b (d) đi qua hai điểm A(2, 1) và B(4, 5).

c (d) đi qua điểm M(4, 0) và điểm N(0, 1).

hsg

) 8 , 5 ( M Qua

 (d): y = 3(x + 5)  8  (d): 3x + y + 23 = 0

b Ta có:

(d): 

 4 , 5 ) (

B Qua

) 1 , 2 ( A Qua

 (d):

24

2x

1y

) 0 , 4 ( M Qua

Chú ý: Với câu b) chúng ta cũng có thể tìm đợc phơng trình tổng quát của đờng

thẳng (d) bằng việc sử dụng phơng trình tham số hoặc từ vtcp AB(6, 4) suy ra vtpt n(2, 3) của đờng thẳng (d)

Thí dụ 3 Cho ABC, biết A(1, 4), B(3, 1), C(6, 2).

a Lập phơng trình tổng quát các đờng thẳng AB, BC, CA.

b Lập phơng trình tổng quát của đờng cao AH và trung tuyến AM.

 Giải

a Ta lần lợt có:

(AB): 

 1 ) , 3 ( B Qua

) 4 , 1 ( A Qua

 (AB):

13

1x





=

41

4y







 (AB): 5x + 2y  13 = 0.Tơng tự, ta nhân đợc (BC): x  y  4=0 và (CA): 2x+5y  22=0

b Ta lần lợt có:

(AH): 

 BC AH

A Qua

 (AH): 



) 1 , 1 ( n vtpt

) 4 , 1 ( A Qua

 (AH): x  1 + y  4 = 0  (AH): x + y  5 = 0

(AM): 

BC diểm trung là M Qua A Qua

 (AM): Qua A(1,4)

1x





=

421

4y

 (AB): x 3

3



= y 42

1

y ( 3x 4y 2)5

Giả sử ba phơng trình trên của các cạnh AB, BC, AC

a Phơng trình đờng phân giác trong của góc A: Trớc tiên:

 Tọa độ của B là nghiệm của hệ phơng trình:

Gọi (dA) là đờng phân giác trong của góc A của ABC

Khi đó, điểm M(x, y)(dA)

M và B cùng phía với (AC)

M và C cùng phía với (AB)

Đó chính là phơng trình tổng quát của đờng thẳng (dA)

Tơng tự: Với phơng trình dờng phân giác trong của góc B,C. 

Thí dụ 7 Cho điểm M(2; 1) Đờng thẳng (d) luôn đi qua M cắt Ox, Oy theo thứ tự

tại A(a; 0), B(0; b) với a, b > 0 Lập phơng trình đờng thẳng (d) sao cho:

a Diện tích OAB nhỏ nhất b OA + OB nhỏ nhất.

Dạng toán 3: Xét vị trí tơng đối của hai đờng thẳng

2

1

C

C  (d1) // (d2)

2

1

C

C  (d1)  (d2)

Các trờng hợp khác thì bằng việc xét hệ phơng trình tạo bởi hai đờng thẳng (d1) và(d2), khi đó số nghiệm của hệ phơng trình cho phép kết luận về vị trí tơng đối của hai

t 5 x

t 5 6 x

, t  R.

 Giải

a Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Xét hệ phơng trình tạo bởi phơng trình của (d1) và (d2), ta có :

0 1 y 10 x

)}

t 2 x

t 3 1 x

,t1, t2  R.

a Xác định giao điểm của (d1) và (d2)

b Tính cosin góc nhọn tạo bởi (d1) và (d2)

2 1

t 6 3 t

3

t 3 1 t

1 t 2 1

Vậy (d1) cắt (d2) tại A(2, 3)

b Gọi a1, a2 theo thứ tự là vtcp của (d1) và (d2), ta có a1(2, 3), a2(1, 2)

Khi đó, cosin góc nhọn  tạo bởi (d1) và (d2) đợc cho bởi:

cos =

|a

|

|a

|

|a.a

|

2 1

2 1

| 2 3 1 2

8



Chú ý: Việc xét vị trí tơng đối của hai đờng thẳng có phơng trình tổng quát sẽ

gợi ý cho chúng ta giải bài toán:

" Hãy biện luận giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

1 1

1

C y

B x A

C y

B x A

.Xác định các giá trị của D, Dx, Dy

x = D

Dx

và y =

D

Dy

b Nếu D = Dx = Dy = 0 

2 1 2 1 2

1

C

CB

BA

0 D 0 D

y 

2 1 2 1 2

1

C

CB

BA

A



Khi đó thì (d1) // (d2) do đó đặt t = A1x + B1y + C1, ta đợc:

F = t2 + (kt + m)2 = (k2 + 1)t2 + 2mkt + m2 

a4



Vậy minF =

a4



, đạt đợc khi t = 

1k



 và y = 3

2a



  (d1) cắt (d2) do đó minF = 0

 Nếu D = 0  2a4 = 0  a = 2

Với a = 2, suy ra Dx = 3  0, hệ vô nghiệm

Khi đó (d1) // (d2) do đó F = (2x + y2)2 + (4x + 2y1)2



 và y = 3

2a





 Với a = 2, minF = 9

2, đạt đợc khi x, y thoả mãn 4x + 2y1 = 0.

Dạng toán 4: Điểm và đờng thẳng

Phơng pháp thực hiện

Để tìm điểm M thuộc đờng thẳng (d) thoả mãn điều kiện K, ta lựa chọn một tronghai hớng sau:

Hớng 1: Tận dụng phơng trình đờng thẳng (d) cho trớc.

Cách 1: Nếu đờng thẳng (d) cho dới dạng tham số :

t a x x

2 0 1

Bớc 1: Lấy điểm M  (d), suy ra M(x0 + a1t, y0 + a2t)

Bớc 2: Dựa vào điều kiện K xác định t

Cách 2: Nếu đờng thẳng (d) cho dới dạng tổng quát:

t 2 2 x

) thoả mãn điều kiện đầu bài

Thí dụ 2 Cho đờng thẳng (d) có phơng trình:

(d): x2y + 15 = 0

Tìm trên đờng thẳng điểm M(xM, yM) sao cho 2

M 2

Vậy, ta đợc ( 2

M 2

15 t 2 x

, t  R.

Điểm M  (d), suy ra M(2t15, t)

Khi đó:

2 M 2

M y

x  = (2t15)2 + t2 = 5t260t + 225 = 5(t6)2 + 45  45

M 2

2 M 2

M 



M 2

M y

x   45

Vậy (xM yM)Min = 45 đạt đợc khi:

Khi đó:

MA + MB = 5(M1A1 + M1B1)

Vì M1 chạy trên trục hoành và A1, B1 nằm về hai phía của Ox nên

(MA + MB)min  ( M1A1 + M1B1)min  M1 = (A1B1)  Ox

Khi đó:

|MAMB| = 5|M2A2M2B2|

Vì M2 chạy trên trục hoành và A2, B2 nằm về một phía của Ox nên

|MAMB|max  |M2A2M2B2|max  M2 = (A2B2)  Ox

Bớc 1: Chuyển phơng trình ban đầu về dạng:

(C): x2 + y22ax2by + c = 0(1)

Bớc 2: Để (1) là phơng trình đờng tròn điều kiện là:

a2 + b2c  0

Bớc 3: Khi đó (C) có thuộc tính:

Tâm I(a;b)Bkính R a b c

c Tìm đờng tròn có bán kính nhỏ nhất trong họ (Cm)

d Tìm các điểm cố định mà mọi đờng tròn của họ (Cm) đều đi qua.

e Chứng minh rằng (Cm) luôn cắt Oy tại 2 điểm phân biệt.

Vậy, tâm Im của họ (Cm) thuộc đờng thẳng (d): xy + 1 = 0

c Ta có:

R2 = 2m2 + 2  2

Vậy Rmin = 2, đạt đợc khi m = 0

Vậy trong họ (Cm) đờng tròn (C0) có bán kính nhỏ nhất bằng 2

d Giả sử M(x0, y0) là điểm cố định của họ (Cm), ta đợc:

e Xét hệ phơng trình tạo bởi (Cm) và Oy:

Thí dụ 3 Cho họ đờng cong có phơng trình:

b Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Với m1 và m2 bất kỳ (m1 m2), xét hệ phơng trình tạo bởi (Cm1), (

| I I

R R I I

2 1 2 1

2 1 2 1

Bớc 3: Kết luận: các đờng tròn của họ (Cm) luôn tiếp xúc với nhau tại một điểm

cố định M(x0; y0) là nghiệm kép của (*)

Cách 2: Thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Tìm điểm cố định M(x0, y0) mà mọi đờng tròn của họ (Cm) luôn đi qua

Bớc 2: Nhận xét rằng: tâm Im của họ (Cm) luôn thuộc đờng thẳng (d) cố định đi qua