Chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng nguyễn bá hoàng file word

Một số kiến thức về vecto và tọa độ:  Giá của một vecto là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vecto đó.. Phương trình tham số của đường thẳng: Đường thẳng d có vecto chỉ phươn

Phương pháp tọa độ

trong mặt phẳng

Lời mở đầu.

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là một phần kiến thức quan trọng thường xuyên là câu hỏi dùng đểphân loại học sinh khá, giỏi trong đề thi Đây là một chủ đề đã có rất nhiều bài viết, tuy nhiên tác giả vẫn quyếtđịnh viết chủ đề này như một món quà tặng cho các em học sinh lớp 10

Các bài trong tài liệu được phân bài theo chương trình sách giáo khoa hiện hành rất thuận tiện cho bạn đọc

và đặc biệt là các em học sinh đang học phần này tham khảo! Trong tài liệu tác giả có đưa ra các ví dụ minh họa

ở các mức độ khác nhau kèm với đó là các bài tập đề nghị có hướng dẫn giải một số bài tập khó; đồng thời tácgiả đưa ra 50 bài tập trắc nghiệm không đáp án để bạn đọc làm quen với các bài tập trắc nghiệm!

Mặc dù trong quá trình biên soạn tác giả đã rất cố gắng để bài viết của mình được hoàn thiện nhất Tuynhiên chắc chắn rằng đâu đó sẽ có những câu, những từ làm bạn đọc thấy không hợp lý Tác giả rất mong nhậnđược góp ý từ phía bạn đọc để bài viết được hoàn thiện hơn

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài 1 Viết phương trình đường thẳng

I Nội dung kiến thức.

1 Một số kiến thức về vecto và tọa độ:

 Giá của một vecto là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vecto đó

2 Vecto chỉ phương của đường thẳng: Vecto ur được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng d nếu nó có

giá song song hoặc trùng với đường thẳng d.

3 Vecto pháp tuyến của đường thẳng: Vecto nr được gọi là vecto pháp tuyến của đường thẳng d nếu nó có giá vuông góc với đường thẳng d.

4 Phương trình tham số của đường thẳng: Đường thẳng d có vecto chỉ phương ur a b; và đi qua điểm

6 Phương trình tổng quát của đường thẳng:

 Đường thẳng d có vecto pháp tuyến nr a b; và đi qua điểm M x y thì có phương trình tổng quát 0; 0là: a x x  0 b y y 0  0

8 Phương trình đường thẳng theo hệ số góc:

 Đường thẳng d có hệ số góc k và đi qua điểm M x y thì có phương trình theo hệ số góc là: 0; 0

y k x x   , chú ý rằng những đường thẳng song song với trục tung không viết được phươngy

trình theo hệ số góc

 Góc giữa đường thẳng d và trục Ox: Đường thẳng d cắt trục

Ox tại M, Mt là tia nằm phía trên trục Ox thì xMt là góc

giữa đường thẳng d và trục Ox và ta cần lưu ý rằng tan  k

 Đường thẳng d nếu có hệ số góc là k thì nó có vecto chỉ

phương là ur  1;k và vecto pháp tuyến là vrk; 1 

 Cho đường thẳng d có hệ số góc là k và đường thẳng d' có

hệ số góc là 'k nếu:

 d  thì 'd' k k   1

 d/ / 'd thì k k '

9 Lưu ý: Khi đề bài yêu cầu viết phương trình đường thẳng mà không nói gì ta viết phương trình tổng quát.

10 Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng : 0

 Hệ (I) có một nghiệm thì d và ' d cắt nhau.

 Hệ (I) vô nghiệm thì d và d' song song với nhau

 Hệ (I) có vô số nghiệm thì d và d' trùng nhau.

II Ví dụ minh họa.

Ví dụ 1 Cho hai điểm M1; 2 ,  N 2;3

a Tìm vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến của đường thẳng MN;

b Viết phương trình chính tắc, tham số của đường thẳng MN.

b Do đường thẳng MN đi qua M1; 2 và có vecto chỉ phương uuuurMN  3;1 nên ta có:

a Viết phương trình tổng quát của Δ;

b Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M 2;3 và song song với Δ;

c Viết phương trình tổng quát của đường thẳng l đi qua điểm N 4; 2 và vuông góc với Δ.

Phương trình chính tắc của đường thẳng d là: 2 3

x  y



c Đường thẳng l vuông góc với Δ nên có vecto pháp tuyến là nurl 2; 1 

Phương trình tổng quát của đường thẳng l là:

2 x 4 1 y 2 0� 2x y  6 0

Ví dụ 3 Cho tam giác ABC với A1; 2 ,    B 2;3 ,C 4;6

a Viết phương trình đường trung tuyến của tam giác kẻ từ B;

b Tìm tọa độ trực tâm của tam giác ABC.

b Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.

Ta có BCuuur 2;3 là vecto pháp tuyến của đường thẳng AH nên đường thẳng AH có phương trình là:

B

B B B

x

x

B y

A A

A y

Ví dụ 5 Cho đường thẳng d có hệ số góc bằng 3 và A 1; 2 nằm trên d.

a Lập phương trình tham số của đường thẳng d;

b Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d.

Lời giải

a Đường thẳng d có hệ số góc bằng 3 nên có vecto chỉ phương là 1; 3 

Đường thẳng d đi qua điểm A 1; 2 và có vecto chỉ phương là 1; 3 nên có phương trình tham số là:1

b Đường thẳng d có hệ số góc bằng 3 nên có vecto pháp tuyến là  3;1

Đường thẳng d đi qua điểm A 1; 2 và có vecto pháp tuyến là  3;1 nên có phương trình tổng quát là:

Ví dụ 7 Cho đường thẳng d cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A, B Biết rằng A 1;0 và BAO �45 Hãy viết phương

Suy ra hệ số góc của đường thẳng d là: ktan135� 1 Đường

thẳng d có hệ số góc k   và đi qua 1 A 1;0 nên có phương trình là:

Trường hợp 2: BAO� 45�

Suy ra hệ số góc của đường thẳng d là: k tan 45� 1

Đường thẳng d có hệ số góc k 1 và đi qua A 1; 2 nên có phương

Gọi  là góc giữa đường thẳng d và trục Ox.

2

OB BAO

Ví dụ 9 Hãy lập phương trình đường thẳng qua M 2;1 và cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho diện tích

tam giác OAB bằng 4.

Do đó phương trình đường thẳng d là:

1 2 x 2 2 2 y 4 0�1 2 x 2 2 2 y 4 0

Ví dụ 10 Cho hai điểm M 3;1 và I2; 2 Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt trục Ox, Oy lần

lượt tại A và B sao cho tam giác IAB cân tại I.

Ví dụ 11 Cho đường thẳng :d y2x , viết phương trình đường thẳng '1 d đi qua điểm B là điểm đối xứng

của điểm A0; 5 qua đường thẳng d và song song với đường thẳng  y   3x 2

52

1 Cho tam giác ABC trong mặt phẳng tọa độ Oxy với A  2;3 ,B 1;4 ,  C 3;6

a Viết phương trình tổng quát đường trung tuyến kẻ từ C;

b Tìm tọa độ của điểm H là chân đường cao kẻ từ A.

2 Hãy xác định đường thẳng đi qua điểm A 1; 2 , cắt trục hoành tại B, cắt trục tung tại C sao cho

6 Cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A  0;2 ,B 1;3 ,  C 4;1 Đường thẳng d cắt trục Ox, Oy lần

lượt tại M, N sao cho OM 4ON Hãy viết phương trình đường thẳng d biết rằng nó đi qua trọng tâm

G của tam giác ABC.

7 A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng d với trục Ox và Oy Biết rằng ABO �60 và đường

8 Cho đường thẳng : 2d x y    Hãy lập phương trình đường thẳng AO biết rằng O là gốc tọa độ và4 0

A là hình chiếu của điểm B 1; 2 lên đường thẳng d.

9 Cho tam giác ABC có tọa độ đỉnh là A    1; 2 ,B 3; 2 ,C 2; 3 

a Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB;

b Viết phương trình đường trung tuyến đi qua đỉnh C;

c Viết phương trình đường cao ứng với cạnh BC;

d Viết phương trình đường trung bình của tam giác ABC cắt các cạnh AB và AC.

10 Cho hai điểm M0; 2 và  I 1; 4 Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt trục Ox, Oy lần

lượt tại A và B sao cho tam giác IAB cân tại I.

11 Hai cạnh AB, AC của tam giác ABC có phương trình lần lượt là 3 x2y  và 1 0 x y   Đường1 0

trung tuyến ứng với cạnh AB có phương trình là 2 x y    Viết phương trình của cạnh BC.1 0

12 Một cạnh của tam giác có phương trình x2y  Hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh còn lại7 0

có phương trình x y   và 25 0 x y   Hãy viết phương trình hai cạnh còn lại của tam giác.11 0

13 Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:

a 2x5y  và 33 0  x 7y  ;8 0

b. x3y  và 5 0

3 6122

16 Cho tam giác ABC có A2;3 và hai đường trung tuyến qua điểm B và điểm C lần lượt là

2x y   , 1 0 x y   Hãy viết phương trình ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác.4 0

17 Lập phương trình đường thẳng d đi qua P 6; 4 và tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tíchbằng 2

18 Lập phương trình đường thẳng d đi qua Q 2;3 và cắt tia Ox, Oy tại hai điểm M (có hoành độ dương),

N (có tung độ dương) sao cho OM ON nhỏ nhất

19 Cho hai đường thẳng d1: 2x y  2 0,d x y2:    và điểm 3 0 M 3;0 Viết phương trình đường

thẳng Δ qua M, cắt d và 1 d lần lượt tại A và B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB.2

20 Cho điểm M 3;1 Viết phương trình đường thẳng d đi qua M cắt các tia Ox và Oy lần lượt tại A (có

hoành độ dương) và B (có tung độ dương) sao cho OA3OB nhỏ nhất

21 Cho hai đường thẳng d x1: 2y 2 0,d2: 2x3y   Đường thẳng d đi qua giao điểm của 17 0 d và1 2

d cắt hai tia Ox và Oy lần lượt tại A và B Viết phương trình đường thẳng d sao cho 12 12

OA OB nhỏnhất

22 Cho điểm M 2;4 Viết phương trình đường thẳng qua M cắt trục Ox tại A (có hoành độ dương), cắt

trục Oy tại B (có tung độ dương) sao cho:

a OA OB đạt giá trị nhỏ nhất;

b Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất.

Bài 2 Khoảng cách và góc

I Nội dung kiến thức.

1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Khoảng cách từ điểm M x y đến đường thẳng 0; 0

2 Phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau: Cho đường hai

đường thẳng cắt nhau d a x b y c1: 1  1  1 0,d a x b y c2: 2  2   , khi đó phương trình hai đường phân2 0

giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng d và 1 d là: 2 1 21 2 1 2 22 2 2

4 Góc giữa hai đường thẳng:

 Cho hai đường thẳng d a x b y c1: 1  1  1 0,d a x b y c2: 2  2   , khi đó góc giữa hai đường2 0

5 Lưu ý: Bạn đọc cần phân biệt rõ các khái niệm góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳng và các góc

tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau

II Ví dụ minh họa.

Ví dụ 1 Cho đường thẳng : 2d x3y  và điểm 1 0 A1;3

a Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d.

b Tìm phương trình đường thẳng d' đi qua A và cách điểm B 2;5 khoảng cách bằng 3.

Trường hợp 1: đường thẳng cần tìm đi qua M và song song với AB.

Khi đó uuurAB 6; 2 là vecto chỉ phương của đường thẳng d suy ra

vecto pháp tuyến của đường thẳng d là: 1; 3 

Phương trình đường thẳng cần tìm là:

1 x 2 3 x 5 0� x3y 13 0

Trường hợp 2: Đường thẳng cần tìm đi qua M và đi qua trung điểm

D của đoạn thẳng AB.

Ta có D 2;3 nên MDuuuur0; 2  suy ra vecto pháp tuyến của đường thẳng d là:  1;0

Phương trình đường thẳng cần tìm là: 1x 2 0 y 5 0� x 2 0

Cách 2:

Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là ax by c   (1).0

Do M 2;5 � nên ta có: d 2a  5b c 0�c  2a 5b Thay c  2a 5b vào (1) ta có phương trình đường

Trường hợp 1: Nếu a3b chọn b1�a3 thay vào (2) ta có: a b 2a 1 2.3 5

Thay vào (1) ta được phương trình đường thẳng d là: 3 x y   5 0

Trường hợp 2: Nếu 3a  chọn b a1�b 3 thay vào (2) ta có: a b 2a  3 2.1  5

Thay vào (1) ta được phương trình đường thẳng d là: x3y  5 0

Ví dụ 4 Cho đường thẳng :d x2y  và điểm 4 0 M 1; 2 .

a Tìm số đo góc giữa đường thẳng d và đường thẳng ' : d x3y  6 0

b Tìm phương trình đường thẳng qua M hợp với d một góc bằng 60°.

Lời giải

a Viết phương trình đường phân giác trong góc A;

b Chứng minh rằng điểm O nằm trong tam giác ABC.

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình: 3 5 4 0 2; 2

Suy ra B và C ở cùng phía đối với đường thẳng có phương trình (1),

do vậy phương trình đường phân giác trong góc A là: 3 x y   2 0

b Thay lần lượt tọa độ của O vào vế trái phương trình của các đường

thẳng AB, BC, CA ta được: 4, 4, 12

Thay lần lượt tọa độ của C, A, B vào vế trái của các đường thẳng AB, BC, CA ta được: 8,32, 32 Như

vậy O và A nằm cùng phía so với đường thẳng BC, O và B nằm cùng phía so với đường thẳng AC, O và

C nằm cùng phía so với đường thẳng AB nên O nằm trong tam giác ABC.

Ví dụ 7 Hãy viết phương trình tham số của đường thẳng 'd đi qua điểm A1; 2 và tạo với đường thẳng

Gọi ur  a b; là vecto chỉ phương của đường thẳng d'

Do đường thẳng d' tạo với đường thẳng d góc 60° nên:

24 (Khối A năm 2006) Cho các đường thẳng d x y1:   3 0,d x y2:   4 0,d x3: 2y Tìm tọa độ0

điểm M nằm trên đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến 3 d bằng hai lần khoảng cách từ M đến1 2

d

25 (ĐH DL Công Nghệ năm 1999) Tìm phương trình đường thẳng qua M2;3 và cách đều hai điểm

 1;0 ,  2;1

26 Cho hai đường thẳng d1: 2x y  1 0,d x2: 2y   Lập phương trình đường thẳng d đi qua gốc7 0

tọa độ sao cho d tạo với d d một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của 1, 2 d và 1 d 2

27 Viết phương trình đường thẳng đi qua A 1;1 và cách B 3;6 một khoảng bằng 2.

28 Cho đường thẳng d có phương trình 8 x6y  Viết phương trình đường thẳng 5 0 d' song song với d

và cách d' một khoảng bằng 5

29 (ĐH Tây Nguyên khối D năm 2000) Hãy lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm

 2;3

I  và cách đều hai điểm A5; 1 và  B 3; 4 .

30 Cho điểm P 3;0 và hai đường thẳng d1: 2x y  2 0,d x y2:    Gọi d là đường thẳng qua P3 0

và cắt d d lần lượt tại A, B sao cho PA PB1, 2  Viết phương trình đường thẳng d.

31 (Dự bị khối A năm 2004) Cho điểm A 0; 2 và đường thẳng :d x2y   Tìm tọa độ các điểm B,2 0

C trên đường thẳng d sao cho tam giác ABC vuông tại B và AB2BC

32 (Khối B năm 2004) Cho A  1;1 ,B 4; 3 Tìm điểm C thuộc đường thẳng : d x2y  sao cho1 0

khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.

33 Cho các đường thẳng d1: 2x y  2 0,d2: 2x4y  7 0

a Viết phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d và 1 d 2

b Viết phương trình đường thẳng qua P 3;1 và cùng d d tạo thành một tam giác cân tại đỉnh là1, 2giao điểm của d và 1 d 2

34 Cho đường thẳng : 2d x3y  và hai điểm 5 0 M3;m N  , 6;2 với m là tham số Tìm giá trị của M

để hai điểm M và N nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là d.

35 Cho đường thẳng : 3d x4y  và các điểm 6 0 A1; 2 ,   B 2;3 ,C   Hãy cho biết đường3; 4

thẳng d cắt những cạnh nào của tam giác ABC.

36 Hãy tính diện tích tam giác OBC biết rằng B4; 3 ,  C 12;5 và O là gốc tọa độ.

37 Cho tam giác ABC có đỉnh 4 7;

điểm của đường thẳng d và đường tròn  C là số nghiệm của hệ phương trình:

 Nếu hệ (*) có một nghiệm thì đường thẳng d và đường tròn (C) tiếp xúc với nhau.

 Nếu hệ (*) có hai nghiệm thì đường thẳng d và đường tròn (C) cắt nhau.

 Cho đường tròn (C) tâm I a b , bán kính R và đường thẳng : ; d Ax By C   Ta cũng có thể xét0

vị trí tương đối giữa đường thẳng d và đường tròn (C) như sau:

 Nếu d I d ,  thì đường thẳng d và đường tròn (C) không có điểm chung R

 Nếu d I d ,  thì đường thẳng d và đường tròn (C) tiếp xúc với nhau R

 Nếu d I d ,  thì đường thẳng d và đường tròn (C) cắt nhau R

3 Vị trí tương đối giữa hai đường tròn.

Cho hai đường tròn:  C x: 2y22ax2by c  và 0  C' :x2y22 'a x2 'b y c  Ta xét hệ' 0phương trình sau:

 Nếu hệ (*) vô nghiệm thì  C và  C không có điểm chung.'

 Nếu hệ (*) có một nghiệm thì  C và  C tiếp xúc với nhau.'

 Nếu hệ (*) có hai nghiệm thì  C và  C cắt nhau.'

4 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn.

Tiếp tuyến tại điểm M x y 0; 0  �C của đường tròn tâm I a b có phương trình: ;

x0a x x   0  y0b y y   0 0

II Ví dụ minh họa.

Ví dụ 1 Viết phương trình đường tròn đường kính AB với A7; 3 ,   B 1;7

Lời giải Cách 1:

Suy ra: uuuur uuuurAM BM 0�x7 x  1 y 3  y 7 0

Ví dụ 2 Viết phương trình của đường tròn trong các trường hợp sau:

a Có tâm là điểm I 2;3 và đi qua M 3;6 ;

b Đi qua ba điểm A 1; 2 ,    B 1;3 ,C 2;1 ;

c Có tâm là điểm I3; 2 và tiếp xúc với đường thẳng 6 x8y  17 0

Lời giải

a Bán kính của đường tròn là:   2 2

R IM      Suy ra đường tròn tâm I 2;3 đi qua M 3;6 có phương trình là:   2 2