05 huong dan giai

HƯỚNG DẪN GIẢI.số... đồ thị hàm không có tiệm cận ngang... Từ tập xác định của hàm số suy ra đồ thị hàm không có tiệm cận đứng.. Ta có thể xem tiệm cận ngang như là trường hợp đặc biệt c

HƯỚNG DẪN GIẢI.

số

Bài 1:

1 x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm ( khi x � 2và khi x�2)

y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (khi x� � và khi x  � �)

đồ thị hàm không có tiệm cận xiên

2 x  1

3

  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm ( khi x 1

3





� và khi x 1

3





2

y

3

  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm (khi x� � và khi x  � �)

đồ thị hàm không có tiệm cận xiên

Bài 2:

1 x = 5 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm (khi x�5 và khi x�5)

đồ thị hàm không có tiệm cận ngang

y = x+1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm (khi x� � và khi x � �).

2 x 1

3

  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm (khi x 1

3





� và khi x 1

3





đồ thị hàm không có tiệm cận ngang

y = 2x 20

3  9 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm (khi x� � và khi x � �)

Bài 3:

1 x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm (khi x�2 và khi x�2)

x = - 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm (khi x�2 và khi x�2).

y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm (khi x� � và khi x � �)

đồ thị không có tiệm cận xiên

2 y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm (khi x� � và khi x � �)

đồ thị không có tiệm cận xiên

Bài 4:

1 x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm (khi x�1 và khi x�1)

đồ thị hàm không có tiệm cận ngang

y = 2 x 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm (khi x� � và khi x � �).

2 x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm (khi x�0 và khi x�0)

x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm (khi x�2 và khi x�2)

đồ thị hàm không có tiệm cận ngang

y = x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm (khi x� � và khi x � �).

Bài 5:

1 x = - 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm (khi x�2 và khi x�2)

x =2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm (khi x�2 và khi x�2)

đồ thị hàm không có tiệm cận ngang

y = 2x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm (khi x� � và khi x � �)

2 y 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm (khi x� � và khi x � �).

đồ thị hàm không có tiệm cận xiên

Bài 6:

1 D ( �;1] [2;U �)

Từ tập xác định của hàm số suy ra đồ thị hàm không có tiệm cận đứng

Ta có thể xem tiệm cận ngang như là trường hợp đặc biệt của tiệm cận xiên khi a = 0 ,do đó ta chỉ cần tiệm cận xiên của đồ thị hàm ,nếu đường tiệm cận có dạng y = b thì đó là tiệm cận ngang

      � � �  � � �  

2

2

và

  ���    �� � ���    �� �

2

5

2

���    �� � ��    ��

Vậy đường thẳng y = 2x 5

2

 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm (khi x� �  )

2

2

2

x x

� � � �

 ���   �� �

x

2

2

x

2

x x Vậy đồ thị hàm số có đường thẳng y = 11

2 là đường tiệm cận ngang (khi x



� �)

Cách khác.Trong bài toán này ta áp dụng cách biến đổi sau để tìm tiệm

cận xiên của đồ thị hàm

Với a > 0 ,ta có ax2 bx c a x b ax2 bx c a x b

Đặt (x) ax2 bx c a x b

2a

      thì ta chứng minh được rằng xlim (x) 0��� 

Ta có x2 3x 2 x 3 x2 3x 2 x 3

Đặt (x) x2 3x 2 x 3

2

      ,ta có:

x

2

1

���

Suy ra y x 4 x 3 (x)

2

     

Khi x� � thì y =  x 4 x 3 (x) 2x 5 (x)

        

Vì

5 lim [y (2x )] lim (x) 0

2

� �    � �  nên đường thẳng y = 2x 5

2

 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm (khi x� � )

Khi x � �thì y =  x 4 x 3 (x) 11 (x)

       

Vì

11

lim (y ) lim (x) 0

2

� �   � �  nên đường thẳng y = 11

2 là tiệm cận ngang của

đồ thị hàm ( khi x� �) 

2 Ta có x2  4 x x2  4 x

Đặt (x) x2  ,ta có 4 x

2 2 2

2

2

4

x

 

x

2

1

4

x

���

Suy ra y 3x  x2 4 3x x  (x)

Khi x � � thì y = 3x x   (x) 4x  (x)

Vì xlim (y 4x)� �  xlim (x) 0� �   nên đường thẳng y = 4x là tiệm cận xiên của

đồ thị hàm (khi x� � )

Khi x � �thì y = 3x x   (x) 2x  (x)

Vì xlim (y 2x)� �  xlim (x) 0� �   nên đường thẳng y = 2x là tiệm cận xiên của

đồ thị hàm ( khi x� �) 

Đồ thị hàm không có tiệm cận ngang

3 *x x

2

2x lim y lim

3

x 1 x

���  ���



� �  � �  � � 

  , suy ra đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm

� �  � �  � �  

   , suy ra đường thẳng y = - 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm

���  ��� 

 , suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên

Vấn đề 2 Một số dạng toán khác.

Bài 1:

0

4x 1

3 x



TCĐ của (C) : x – 3 = 0 �d(M ,TCD) x 03



�

0 0

13 d(M ,TCD).d(M,TCN) x 3 13

�

 (đpcm).

2

0

13

 Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 13khi và chỉ khi M( 3 13; 13 4) hoặc M( 3 13; 13 4)

Bài 2:

Ta có y = mx 3 m2 1

x 1



 

 , suy ra (C) có tiệm cận xiên (d) � m 0� Khi đó phương trình của (d) : y = mx+3

1 A(1;4) (d)� �4 m 3  �m 1 (thõa mãn điều kiện m 0)�

2 Giao điểm của (d) với hai trục tọa độ là M(0;3) và M( 3;0)

m

Diện tích tam giác vuông OMN: S = 1OM.ON 13 3 9

2 2 m 2 m Theo giả thiết : S 6 � 2 m9 9� m 12�m� (thỏa mãn điều kiện m12 0)

�

2

3

Bài 3: y = (m 1)x2 (2m 1)x 2

x 1

2 (m 1)x m

x 1

 ,suy ra (C) có hai đường tiệm cận x = - 1 (d1), y = (m+1)x+m (d2)

0

2



0

d(M ,(d )).d(M ,(d )) x 1 (m 1)x m (m 1)x m

�

2

2

(m 1) 1

2 Giao điểm của hai đường tiệm cận là I(-1; -1) Vì tọa độ I thỏa mãn

phương trình (P) nên I (P).�

3 (C) có tiệm cận xiên � �۹m 1 0 m 1

Đường tròn ( ) có tâm là gốc tọa độ O , bán kính R = 1

2 ,suy ra Tiệm cận xiên tiếp xúc đường tròn

2

m

( ) d(O;TCX)

3

�

1)



�

Bài 4:

1 Gọi M(x ;y ) (C)0 0 �

M cách đều hai trục tọa độ 0 0 0

0

3x 1



�



� 0 2

0



0



Vậy có bốn điểm cần tìm: M1,2 5 21 5; 21 ,M3,4 1 5 1; 5

m

2 Gọi M(x ;y ) (C)0 0 � Tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là:

0

0 0 0

0

3x 1



 Với x0 1 d 1

 �  nên với x0 1 d 1

Ta xét

2

1

x x 1 1 3x 2x 1 (3x 1)(x 1)

0

0 0 1

x : x

3

  Suy ra d 1 x : x0 0 1

3 Ta có A 2 a;3 5 , B 2 b;3 5

� � � � (với a,b 0 ) là hai điểm nằm về hai nhánh của (C)

2

2 2

Đẳng thức xảy ra khi

2 2

a b

25 1

a b

�

� 

�

�

4 Ta có M m;3m 1 (C)

m 2



�

2

3m 1

d(M , )



 Suy ra d(M , ) 12 3m2 17m 2 12 m 2

5

2

2

26

m 1;m

11

3

�

Vậy M (1; 2),M1 2 16 15; ,M3 2;7 ,M4 11;6

Bài 6:

1 Với m  hàm số đã cho suy biến thành đường thẳng y 2x 42   nên không có tiệm cận Do vậy, m� hàm số đã cho có tiệm cận xiên là2

y 2x 3m 2  

Giả sử tiệm cận xiên cắt trục hoành tại A 3m 2;0

2



� � và cắt trục tung tại

B 0;3m 2 SAOB tức OA.OB 84  hay  2 2

3

  �  hoặc m  2

2 Tiệm cận xiên là  t : 2mx y m 1 0, m 0    �

d O;t



2

13m 34m 16 0  �m 2 hoặc m 8

13



Bài 8: m 0,� S 2 1 2 2 m 1

m m

Bài 7:

1 Với m 0 hàm số đã cho có điểm cực đại, cực tiểu và tiệm cận xiên có phương trình: x 2y 6 0   Góc giữa tiệm cận xiên và  dm là 45 , ta có0 0

2

m 2

cos45





  hay m 3 3m 1     tức m 0   hoặc 3 m 1

3

 ( không thỏa m 0 )

3 Với m 0 hàm số đã cho có điểm cực đại, cực tiểu và tiệm cận xiên có phương trình: mx y 1 m 0 m 0     � , tiệm cận đứng có phương trình

x 1 0  Tiệm cận xiên và tiệm cận đứng cùng với Ox tạo thàng một tam giác vuông có một góc là 60 khi và chỉ khi tiệm cận xiên hợp với Ox góc0 0

60

� hoặc �300 Ta tìm được m 3 hoặc m 3

3

 thỏa

Bài 8: m 0� ,  d :mx y 2m 1 0   

Theo bài toán, ta có d I;d   2 tức có phương trình 7m26m 1 0 