Tài liệu Các bài toán khảo sát hàm số 20.05 (Bài tập và hướng dẫn giải) pptx

Viết phương trình tiếp tuyến với C, biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của 2 đường tiệm cận.. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M C , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo t

BTVN NGÀY 20-05

Câu I: Cho hàm số 1

2 1

x y x

 



 (C)

I.1 Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M(2 ; 3) đến (C)

I.2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của 2

đường tiệm cận

I.3 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M C , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 1

I.4 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M C , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác cân

Câu II : Cho hàm số m 1x m

y

x m

 



  Cm

II.1 CMR đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định II.2 Tiếp tuyến tại MC m cắt 2 tiệm cận tại A, B CMR M là trung điểm của AB

II.3 Cho điểm M x , y  0 0 C3 Tiếp tuyến của C3tại Mcắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và B Chứng minh diện tích tam giác AIB không đổi, I là giao của 2 tiệm cận Tìm M để chu vi tam giác AIB nhỏ nhất

……….Hết………

BT Viên môn Toán hocmai.vn

Trịnh Hào Quang

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

HDG CÁC BTVN

 BTVN NGÀY 20-05

Câu I: Cho hàm số 1

2 1

x y x

 



 (C)

I.1 Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M(2 ; 3) đến (C)

I.2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của 2

đường tiệm cận

I.3 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M C , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 1

I.4 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M C , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác cân

HDG

Tập xác định: \ 1

2

D R  

  Ta có:

 2

3

x





Bài 1:

Vì đường thẳng x = 2 không là tiếp tuyến của (C), nên phương trình đường thẳng đi qua

M (2; 3) có hệ số góc k có dạng: y k x   23 tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ:

1

2 3

2 1 3

2 1

x

k x x

k x

 



 



 





có nghiệm

Thế k từ pt thứ hai vào pt đầu ta được:

   

2 2

x

Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua M đến (C)

Bài 2:

Hàm số có: TCĐ: 1

2

x  ; TCN: 1

2

2 2

   

Vì đường thẳng 1

2

x  không là tiếp tuyến của (C), nên phương trình đường thẳng đi qua

1 1

;

2 2

I   

 có hệ số góc k có dạng: 1 1

y k x   

  tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ:

 2

3

x

k x x

k x





có nghiệm

Thế k từ pt thứ hai vào pt đầu ta được:

Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua I đến (C)

Bài 3:

0

;

x

  Tiếp tuyến tại M có dạng:

 0

:

Giả sử A d  Ox;B d Oy suy ra: 0 0  0

0

;0 ; 0;

3

x



OAB

OAB

3 0 6 0 6 6

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là: 3 4 6

20

40 12 6

20

40 12 6



Bài 4:

Tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến là 1

k  Gọi M x y 0; 0   C là tiếp điểm

- Nếu

2

x



Với 0 1 3 0 1 3

x    y    tiếp tuyến là: y  x 1 3

Với 0 1 3 0 1 3

x    y    tiếp tuyến là: yx 1 3

- Nếu

2 0 2

0

3

x



Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là: yx  1 3 và y  x 1 3

Câu II : Cho hàm số m 1x m

y

x m

 



  Cm

II.1 CMR đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định II.2 Tiếp tuyến tại MC m cắt 2 tiệm cận tại A, B CMR M là trung điểm của AB

II.3 Cho điểm M x , y  0 0 C3 Tiếp tuyến của C3tại Mcắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và B Chứng minh diện tích tam giác AIB không đổi, I là giao của 2 tiệm cận Tìm M để chu vi tam giác AIB nhỏ nhất

HDG

Bài 1:

Gọi M x y 0; 0 là điểm cố định của hàm số 0   0

0

1

;



 0 0   0 0 0

Với M0; 1  , tiếp tuyến tại M là: yy' 0 x 1  x 1

Vậy đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định y x1 tại M0; 1  

Bài 2:

Ta có:

2

1 m

y m

x m

 TCĐ: x m và TCN: y m  1

Gọi  

2

a

  Tiếp tuyến tại M có dạng:

2

Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d với TCN, TCĐ tương ứng nên:

2

2

A a m m B m m

a

Nhận thấy 2

2

 







 



M là trung điểm của AB (đpcm)

Bài 3:

Điểm  3

3

Phương trình tiếp tuyến của M có dạng: :y 92 x 2 18 272

Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d với TCN, TCĐ tương ứng nên:

2 3;2 ; 3; 2 18

a

   

Vì I là giao điểm của 2 tiệm cận nên I3;2

+ IAB vuông tại I nên: 1 1 2 18 18

IAB



+ Chu vi tam giác IAB là:

2 2

 

 

2 2

2 2 2 4 12 2.2.18 12 6 2

 

 

Dấu = xảy ra 2  18  3



     M6;5 hoặc M0; 1  

 BTVN NGÀY 22-05

Cho hàm số

y

x m

  



 Tìm tham số m để hàm số có:

Câu 1 Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung.

Câu 2 Hai điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O lập thành tam giác vuông tại O

Câu 3 Hai điểm cực trị cùng với điểm M(0; 2) thẳng hàng.

Câu 4 Khoảng cách hai điểm cực trị bằng m 10

Câu 5 Cực trị và tính khoảng cách từ điểm cực tiểu đến TCX.

Câu 6 Cực trị và thỏa mãn: y CD y CT  2 3

HDG:

Tập xác định: D R m \ 

Ta có:

Bài 1:

Hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung  y’ = 0 có 2 nghiệm trái dấu

     có 2 nghiệm trái dấu cùng khác m

( ) 0

m

m

g m





Vậy m   1;1

Bài 2:

2

1 ' 0

1

x x m y

x x m

  



  

  



Do đó hàm số luôn đạt cực trị tại x x1; 2 Ta có: y1 y x 1 4m 2;y2 y x 2 4m2

Gọi 2 điểm cực trị là A m 1; 4m 2 ; B m 1;4m2

OAB

 vuông tại O  OA OB  OA OB   0

2

85

17 5 0

17

Vậy 85

17

m  là giá trị cần tìm

Bài 3:

Ta có: MA              m 1; 4m 2 ;               MBm 1;4m

A, M, B thẳng hàng  MA MB  ||  4m m  1  m1 4  m 2

1

6 2

3

Đáp số: 1

3

m 

Bài 4:

Ta có: AB m 10  4 4  2 m 10  m 2

Bài 5:

Mọi giá trị m thì hàm số luôn có cực trị

Vì lim  3  lim 1 0 3

x m

           

 là TCX của hàm số

Hàm số đạt cực tiểu tại x = m – 1 Khoảng cách từ điểm cực tiểu đến TCX là:

Bài 6:

Ta có:

3 4

2 3 8 2 3

3 4

CD CT

m

y

m











 





Đáp số: ; 3 3;

m     

Câu 1 : Cho hàm số 1

x y x



Tìm m để (C) cắt đường thẳng  dm : y mx   2 m  1 tại 2 điểm phân biệt A, B:

a Thuộc 2 nhánh của đồ thị (C)

b Tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau

c Thỏa mãn điều kiện 4OA OB   . 5

HDG:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

2 1

x

 

2

x 

 C cắt d m tại 2 điểm phân biệt A, B f x  0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1

2



2

0

0

17 2 9 0

6

0

m

m

m



 



       







 

     

  



(*)

a Hai điểm A, B thuộc 2 nhánh của đồ thị

f x

  có 2 nghiệm phân biệt x x mà 1; 2 1 1 2

2

x   x

0

0

6

m

m





        

 

b Hệ số góc của tiếp tuyến tại A B lần lượt là:

  2 2

A B

k k

  nên hai tiếp tuyên tại A, B không thể vuông góc với nhau Vậy không tồn tại m thảo mãn bài toán

c Gọi x x1 ; 2 là 2 nghiệm của f(x) Giả sử A x mx 1; 12m 1 ; B x mx 2; 2 2m 1

Theo viet ta có:

1 2

5 1

2 2

m

x x

m m

x x

m





 









Có: 4 5 5 0

4

OA OB                                              OA OB 

   

   

   

2 2

2 2

3 2

2

5

4

5

4

5

4 3

4 3

4

     



Đáp số: 1; 3

2 4

m  

Câu 2 : Cho hàm số

2 3 3

2 1

y

x

  



 (1)

a Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại A và B sao cho AB=2

b. Tìm m để đường thẳng d:y m x   2 3 và đường cong (1) cắt nhau tại A, B phân biệt sao cho M(2; 3) làm trung điểm của AB

HDG

a Xét phương trình hoành độ giao điểm:

2

2

3 3

2 1

x x

x

  

Để hàm số (1) cắt đường thẳng y = m tại 2 điểm phân biệt f x   0 có 2

nghiệm phân biệt khác 1    

 

1

2

m









(*)

Với điều kiện (*), gọi x x1; 2 là nghiệm của f x   0 Theo viet có:

1 2

3 2

3 2

  





 



Tọa độ A, B là: A x m B x m 1 ; ;  2 ;  Ta có:

AB2   2 x1  x22   2 x1 x22 4x x1 2  2

2

Đáp số: 1 6

2

b Xét phương trình hoành độ giao điểm:

2

2

x

Để hàm số (1) cắt đường thẳng y m x   2 3 tại 2 điểm phân biệt f x  0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1

     

 

2

7 2 7 2

2 1 0

7 2 7

9 1 2 4 2 1 4 3 0

2

1 0

1 2

m m

f

m





 

 

 

 Với điều kiện trên, gọi x x1; 2 là nghiệm của f x   0  

3 1 2

m

m





Gọi 2 giao điểm là A x m x 1 ;  1  2 3 ; B x m x 2 ;  2  2 3

Điểm M2;3d là trung điểm của AB 1 2 4 3 1 2  4 7

m

m





Vậy 7

2

m 

Câu 3 :

Cho hàm số m 1x m

y

x m

 



  Cm Dựa vào đồ thị hàm số, tùy theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình:

1 log 3

x

m x



 



2 1 0 3

x

m x



  



HDG

Số nghiệm của phương trình f x  g m là số giao điểm của đường cong

 

yf x và đường thẳng y g m   song song với trục hoành Ox khi vẽ lên hệ trục tọa độ Oxy

a Vẽ đồ thị hàm số  : 2 3

3

x

x





 như sau:

- Giữ nguyên phần đồ thị nằm trên trục hoành Ox của  C3 - kí hiệu là   Ct

- Lấy đối xứng phần đồ thị dưới trục hoành Ox qua Ox – kí hiệu  '

t C

  C   Ct'  Ct

   (Các bạn tự vẽ hình)

2

m  phương trình vô nghiệm

1;2

2

m  

  phương trình có nghiệm duy nhất

1; 2 2; 

2

m  

  phương trình có 2 nghiệm phân biệt

b Vẽ đồ thị hàm số  ' : 2 3

3

x

C y

x





 như sau:

- Giữ nguyên nhánh phải của C3- kí hiệu là  C p

- Lấy  '

p

C đối xứng nhánh trái của C3 qua trục hoành Ox

   (Các bạn tự vẽ hình)

2

m  phương trình vô nghiệm

1 3

   phương trình có nghiệm duy nhất

3

2

m  phương trình có 2 nghiệm phân biệt

 BTVN NGÀY 25-05

Câu 1 : Cho hàm số

2 3 3

2 1

y

x

  



 (1)

a Tìm trên đồ thị 2 điểm A, B thuộc 2 nhánh sao cho AB min

b Tính diện tích tam giác tạo bởi tiệm cận xiên và các trục tọa độ.

HDG

a. Ta có:

1

x x

Gọi 1; 1 1

A  





  thuộc nhánh trái, 1; 1 1



  thuộc nhánh phải của đồ thị hàm số với    0 

2 2

4

 

       

 

2 2

5 1 2 2 2 5



5 5

 

 















Vậy

thì ABmin  2 2 5

b Hàm số có TCX: : 1 1

2

Gọi A  Ox  A2;0; B  Oy B 0;1 

2

OAB

S  OA OB (đvdt)

Câu 2 : Cho hàm số 1

2 1

x y x

 



 (C)

a Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ đạt GTNN

b Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận đạt GTNN

c Tìm 2 điểm A; B thuộc 2 nhánh của đồ thị hàm số sao cho AB min

HDG

0

x

  Tổng khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ là:

0

0

d x

x

Với 0 0 1 1 1

2 2

Dấu = xảy ra khi 0 0

0

;

x

Vậy 3 1; 3 1

M   

  thì dmin  3 1 

b Khoảng cách tứ M đến TCN, TCĐ làn lượt là: d1 x0 ; 2

0

3 4

d

x



 1 2 0 0

      , dấu = xảy ra khi 0 3

2

x 

Kết luận: 3 1; 3 1

M   

  hoặc 3 1; 3 1

M    

  là các điểm cần tìm

c Gọi 1 3; 1

2 4 2

A a

a

  thuộc nhánh trái, 1 3; 1

2 4 2

B b

b

  thuộc nhánh phải của đồ thị hàm số (C), với a  0 b Ta có:

     

2 2

2

2

b a



3 4

2

ab ab





Dấu bằng xảy ra

 

2 2

3 2

3

2

b a

b







Vậy hai điểm cần tìm là: 3 1; 3 1

A    

B   

  thì ABmin  6

……….Hết………

BT Viên môn Toán hocmai.vn

Trịnh Hào Quang