02 1 huong dan giai

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Bài toán 01: TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH.. Bài toán 02: TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ CỦA HÀM SỐ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, CHỨA CĂN THỨC...

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Dạng 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Bài toán 01: TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH.

Bài 1: Hàm số đạt cực đại tại điểm x 0= với giá trị cực đại của hàm số là y(0)= −1 và hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 2= với giá trị cực tiểu của hàm

số là y(2) 3=

Bài 2:

1 Hàm số đạt cực tiểu tại x= − 2 ,yCT=y 2( )− = −9; hàm số đạt cực đại tại

( )

CĐ

9

x 1, y y 1

2

2 Ta có: y' 3x= 2+6x 3 3(x 1)+ = + 2≥ ∀ ⇒0 x Hàm số không có cực trị

3 Hàm số đạt cực đại tại x 1;y 1( ) 29

6

= = và đạt cực tiểu tại x 2;y 2( ) 14

3

Bài 3:

1 Cách 1 (dùng định lý 2, xét dấu y’)

Hàm số đạt cực đại tại các điểm x= ±1 với giá trị cực đại của hàm số là y( 1) 2± = và hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0= với giá trị cực tiểu của hàm

số là y(0) 1=

Cách 2 (dùng định lý 3 ).

y''= −12x + = −4 4(3x −1)

( )

y'' 1± = − <8 0 suy ra x= ±1 là điểm cực đại của hàm số và yCĐ=2

( )

y'' 0 = >4 0 suy ra x 0= là điểm cực đại của hàm số và yCT=1

2 Hàm đạt cực đại tại x= −2 với giá trị cực đại của hàm số là y( 2) 25− = , hàm số không có cực tiểu

Nhận xét Trong bài toán này, vì y'(1) 0

y''(1) 0

 do đó định lý 3 không khẳng

định được điểm x 2= có phải là điểm cực trị của hàm số hay không

3 Điểm cực đại của hàm số là x= −1, yCĐ 15

4

=

Nhận xét Trong bài toán này, vì y'(2) 0

y''(2) 0

 do đó định lý 3 không khẳng

định được điểm x 2= có phải là điểm cực trị của hàm số hay không

4 Hàm đạt cực đại tại x= −2 ,y 2( )− =25, hàm số không có cực tiểu

Bài toán 02: TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ CỦA HÀM SỐ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, CHỨA CĂN THỨC.

Bài 1:

1 Ta có y 1 (x 1)2 y' x 12

(x 1)

−

− Hàm số đạt cực tiểu tại x 1,y= CÑ=1.

2 Hàm số đạt điểm cực đại tại điểm x 0,y 0= ( ) =0, hàm số đạt điểm cực tiểu tại điểm x 1,y 1= ( )= −2

Bài 2:

1

−

− + − −

− +

=

− +

2

2 2

x 2

x 4x 6 (x 2)

x 4x 6 y'

x 4x 6

2

0, x

x 4x 6(x 4x 6)

2

2

1 2x x 1 (x 20)

4x(x 1) (x 20) 3x 4x 20

2 x 1 y'

+ − +

+

2

3x 4x 20 0

 > −



+ − =



Bài 3:

1 Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 2, y 2( ) =2 và đạt cực tiểu tại điểm

( )

x= − 2, y − 2 = −2

− −

x 0

x 2 4(x 3) x

 ≥



− =

 và hàm số không có đạo hàm tại x= ± 3.

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 2, y(2) 3= = , hàm số không có cực đại

Bài 4:

1 Hàm số đạt điểm cực đại tại điểm x 0,y 0= ( ) =0, hàm số đạt điểm cực tiểu tại điểm x 1,y 1= ( )= −2

2 Hàm số có điểm cực đại tại x 0= , y 0( ) =3 3

Bài 5:

1 Ta có:

2 x x 1 2 x x 1

2

= − + − + + ÷

  − + −

, x (1;3)

− + − + + ÷− + − +

x (1;3) x (1;3)

9

4

Vậy hàm số đạt cực đại tại x 9,

4

= yC 15 15

16

=

Đ

Bài toán 03: TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.

Bài 1:

1 Ta có : y' 4cos2x y' 0 cos2x 0 x k ,k

π π

8 khi k 2n

8 khi k 2n 1

 π π   π 

= − ⇒  + ÷= −  + π = ÷ = +

Vậy hàm số đạt cực đại tại các điểm x n , y n 1

= + π  + π = −÷

  và đạt cực đại

tại x (2n 1 , y) (2n 1) 5

= + +  + + ÷= −

2 sin6x cos6x

= ÷ + ÷ = + ÷ −

2

3 x 3 1 cosx 5 3cosx

x 2k 3

x (2k 1) 8

 = π

= − ⇒ = ⇔ = ⇔ = + π ∈¢

y'' cosx,y''(2k ) cos(2k ) 0

= − π = − π = − <

Suy ra hàm số đạt cực đại tại các điểm x 2k ,k= π ∈¢,yCĐ =1

y''[(2k 1) ] cos 0

+ π = − π = >

Bài 2:

1 Ta có : y' sinx sinx cosx cosx 1 3sin x2

2 sinx 2 sinx

−

Trên khoảng 0;

2

 

 ÷

 

π

2

x

1

sin x

3

0;

2

 ∈ 

  



π

Tồn tại góc β sao cho sin 1

3

β = , khi đó ( )* ⇔ = βx

Với sin 1

3

β = thì cos 6

3

β = và ( ) 4 12

3

y β = cos sin β β = Suy ra hàm số đạt cực đại tại ( ) 4 12

3

x= β,y β = với sin 1

3

β =

2 y cos x sin x 3sin2x = 3 + 3 + = (cosx sinx 1 cosx.sinx+ ) ( − ) + 3sin2xVì

( ) ( )

1 cosx.sinx − = 2 2cosx.sinx − = 2 sin2x − > 0

Nên y = cosx sinx+ ( 1 cosx.sinx 3sin2x − ) +

Đặt t cosx sinx cosx.sinx t 12 ,0 t 2

2

Khi đó ( ) 1 3 3 2 3 3

y f t = = − t + t + t − ,0 t ≤ ≤ 2

y' t t+ = 2 t− > ∀ ∈ 

có cực trị

Bài toán 04: TÌM ĐIỂM LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA SỐ HÀM SỐ Bài 2:

Cách 1: AM NB

AM AN

 =





=



uuuur uuur

Cách 2: ( )d cần tìm đi qua trung điểm AB và vuông góc AB

Dạng 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ Bài toán 01: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ HOẶC KHÔNG CÓ CỰC TRỊ.

Bài 1:

1 Ta có: y' 3mx= 2+6mx m 1− + Hàm số có đạo hàm tại mọi điểm nên x 0

là điểm cực trị của hàm số thì đạo hàm tại đó phải bằng 0

Vậy hàm số có cực trị khi và chỉ khi y' 0= phải có nghiệm và y' đổi dấu qua nghiệm đó

* Nếu m 0= ⇒y' 1 0 x= > ∀ ∈ ⇒¡ hàm số không có cự trị

* Nếu m 0≠ Khi đó y' là một tam thức bậc hai nên y' 0= có nghiệm và đổi dấu khi qua các nghiệm ⇔y' 0= có hai nghiệm phân biệt hay m 0<

hoặc m 1

4

>

2 Ta có y' 4mx= 3−2 m 1 x( − ) và y' 0= ⇔ =x 0 hoặc 2mx2+m 1 0 *− = ( )

Hàm số chỉ có một cực trị khi phương trình y' 0= có một nghiệm duy nhất

và y' đổi dấu khi x đi qua nghiệm đó Khi đó phương trình

( )

2

2mx +m 1 0 *− = vô nghiệm hay có nghiệm kép x 0=

m 0

m 0

' 2m m 1 0

 =

 ≠

< ∨ ≥ ≥

 ∆ = − − ≤

Bài 2: y′=2x3−2mx 2x(x= 2−m) và y′= ⇔ =0 x 0 hoặc x2=m

Đồ thị của hàm số đã cho có cực tiểu mà không có cực đại ⇔ phương trình

′=

y 0 có 1 nghiệm ⇔ m 0≤

Bài 3:

1 Hàm số có cực trị ⇔y' 0= có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ =' m2−4m 5 0+ >

đúng với mọi m Vậy hàm số luôn có cực trị với mọi m

2 • Với m 0= ta có y= − + −x2 x 1, ta thấy hàm số đạt cực đại tại x 1

2

= Suy ra m 0= thỏa yêu cầu bài toán

• m 0≠ , ta có: y' 0= ⇔mx2−2x 1 2m 0+ − = (*)

Hàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1

m

2

' 1 m(1 2m) 0

1

1 2m 0 m

∆ = − − >



− + − ≠

3 Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ phương trình x2+2mx m+ 2−2m 3 0+ = có hai nghiệm phân biệt khác m− ' 2m 3 0 m 3

∆ = − >

⇔− + ≠ ⇔ >

4 + Nếu m 0= thì y x= 2− ⇒2 hàm số có một cực trị

+ Nếu m 0≠ hàm số xác định x 1

m

∀ ≠ Hàm số có cực trị khi phương trình

2

mx −2x m 0+ = có hai nghiệm phân biệt khác 1

m

2

1 m 1 1

m

 − >



⇔ ⇔ − < <

− ≠

Bài 4: f'(x) x= 2+2x 3a ; g'(x) x+ = 2− +x a Ta cần tìm a sao cho g′(x) có 2

nghiệm phân biệt x1<x2 và f ′(x) có 2 nghiệm phân biệt x3<x4 sao cho

( ) ( ) ( ) ( )

1 a

1 3a 0 ; 1 4a 0

4



∆ = − > ∆ = − >

 < < < ′ ′ < 



Ta có: f x f x′( ) ( )1 ′ 2 < ⇔0 g x′( )1 +3x1+2a g x   ′( )2 +3x2+2a< ⇔0

(3x1+2a 3x) ( 2+2a) <0 ( ) 2 ( )

4

⇔ + + + = + < ⇔ − < <

Bài 6:

1 Điều kiện cần :

2 2 2

2 2

2

b 0

b a b

0

a 2ab b a b 0 (a b)

 ≠

 −

a

2

b 4

a 2b 0

 + =  + =  + = 

2

 = −  + + + = −  + + = −  =

Kiểm lại : Khi a 1,b= = −3,c 0 ,d 2= = thỏa mãn bài toán

Bài toán 02: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ TẠI ĐIỂM Bài 1:

1 y' 0= ⇔ =x m hoặc x m 2,= + y m( ) =m và y m 2( + ) =m 4−

Gọi A m;m , B m 2;m 4 , suy ra ( ) ( + − ) AB= 4 16 2 5 = hằng số.+ =

2 M( 2; 3 m) , − − + N(0;m 1) với mọi m+ ⇒MN= (0 2+ ) (2+ m 1 3 m+ + − ) = 20

3 A(m;2m3+3m2+1),B(m 1;2m+ 3+3m )2 ⇒AB= 2

Bài 2:

1 Hàm số đạt cực tiểu tại x 2= là

y'(2) 0= ⇒ +4 4(2m 1) m 9 0− + − = ⇒m 1=

Kiểm lại Ta có y'' 2x 2(2m 1)= + − .Khi m 1= thì y'' 2x 2,= + suy ra

( )

y'' 2 = >6 0

2 Hàm số đạt cực tiểu tại x 1= ⇒y'(1) 0= ⇔6m 6 0− = ⇔m 1=

Khi đó y''(1) 10m 4 6 0= − = > ⇒ hàm số đạt cực tiểu tại x 1=

3 Ta có: y x x m1 y' 1 1 2

(x m)

1 y'' (x m)

= +

Cách 1: Vì hàm số có đạo hàm tại mọi điểm x≠ −m nên để hàm đạt cực tiểu tại x 1= thì trước hết y'(1) 1 1 2 0 m 0;m 2

(1 m)

* m 0= ⇒y''(1) 1 0= > ⇒ =x 1 là điểm cực tiểu⇒m 0= thỏa yêu cầu bài toán

* m= − ⇒2 y'(1)= − < ⇒ =1 0 x 1 là điểm cực đại ⇒m= −2 không thỏa yêu cầu bài toán

Cách 2: Bài toán khẳng định được y''(1) 0≠ nên ta có thể trình bày:

Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 y'(1) 0

y''(1) 0

= ⇔  >

 ⇒m 0=

4 Hàm số đạt cực đại tại x 1 y'( 1) 0 1 m 32 0

(m 1)

−

= − ⇒ − = ⇔ + =

−

2

⇔ − − = ⇔ = − =

• m= − ⇒1 y''( 1)− = − < ⇒ = −1 0 x 1 là điểm cực đại

• m 2= ⇒y''( 1) 2 0− = > ⇒ = −x 1 là điểm cực tiểu

Bài 3:

1 d = − + =  −  +

2

2 4 ⇒mind= 3 ⇔ m = 1

2.

2 Yêu cầu bài toán + + −

⇔ 2m m 1 2 = 5⇔ 3m 1 5− =

3

3 Gọi A ,B là các điểm cực trị ta có : A(1 m; 2 2m ); − − − 3 B(1 m; 2 2m )+ − + 3

.Điểm O cách đều hai điểm A ,B ⇔ OA OB= ⇔ 3= ⇔ = ±1 ( ≠ )

Bài 4: Đường thẳng ( )d qua 2 cực trị có phương trình

2 m 9 x 3y 4 m 3 0

( )

 −  + −

d A , d

4m 72m 333

2

m 3

d A , d

Bình phương hai vế, rút gọn ta được: 249m2−1302m 1053 0 + =

Bài 5: g x( ) =x2−2x m+ 2−3m 3 Hàm số có cực đại , cực tiểu khi phương +

trình g x( )=0,x 1 có hai nghiệm phân biệt ≠ x ,x khác 11 2

( )

∆ >



⇔ ⇔ < <

≠



' 0

1 m 2

= ⇔



y' 0

=

1 2

y y  −  − ≥ −

2

5 m

5 5 5⇒miny y1 2= −4 khi m=7

Bài 6: Ta có: y' m= + 12⇒

x đồ thị hàm số có hai cực trị ⇔m 0<

 