03 huong dan giai

Hàm số không có giá trị nhỏ nhất khi x 0.

Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 1:

3 x x 4x 3 khi x 4x 3 0 x 5x 6 khi x 1,x 3

Với x (� � ;1) (3;U � ), y' 2x – 5 hay  y' 2 x – 2 1  

Ta thấy: y' 0 với  x (� � ;1 và y' 0 với x (3;� �)

Với x (1;3), y'�   2x 3 và y' 0�x3�(1;3)

2 Tại x 1:  y'(1 )  2(1) 3 1,y'(1 ) 2(1) 5      3 � y'(1) không tồn tại

Tại x 3:  y'(3 ) 2(3) 5 1,    y'(3 )  2(3) 3  3 � y'(3) không tồn tại

2

Từ bảng biến thiên trên suy ra �  �

miny 0 , maxy không tồn tại

 �

�

2 2

4 x x 1 khi x [1;2]

y

4 x 1 x khi x [ 2;1]

2

x (1;2) x (1;2)

x (1;2) x (1;2)

2

x ( 2;1) , y' 1

��



�

  

x ( 2;1)

x ( 2;1)

Tại x 1:y'(1 )    1 1 , y'(1 )   1  �1 y'(1)

Tại x 2 , x 2 thì y' không xác định

Từ bảng biến thiên trên suy ra

�

x D

x D

maxy 2 2 1 , miny 1

Bài 2:

 

2 Ta có :      �  �  

2

2

� �

0 x 2

4 x x maxy y( 2) 2 2; miny y( 2)     2

3 Hàm số xác định ��2x x2�0 �0 x 2

2

Tại hai điểm x 0 ,x 2 thì y’ không tồn tại.

y' 0,x (0;2)

2x x x 1





�x 2 2

2

     ��� ��� 

x D

x D

maxf(x) 3 2 , minf(x) 2

4 x 0;3min y�� � 12, max yx 0;3�� � 3 13

Bài 3:

1

�

�

x

maxy , miny

2.

Chú ý: Với bài toán trên ta có thể giải bằng phương pháp miền giá trị như

sau:

2

2 2

20x 10x 3

3x 2x 1

* y20�(1)

3 có nghiệm

* Nếu � �y 20 (1)

3 có nghiệm�  ' 2y219y 35 0 ۣ � �ۣ 5 y 7

Bài 4:

y'

2 x x 1 2 x x 1.Bình phương hai vế ta có phương trình hệ quả (2x 1) [(2x 1) 2  2 3] (2x 1) [(2x 1) 2  23]

�(2x 1)2 (2x 1)2�x 0 thay vào (1) ta thấy 1 1 vô lý

Vậy phương trình y' 0 vô nghiệm hay y' không đổi dấu trên �, mà

y'(0) 1 0 y' 0 x .

2 Xét trên miền   2 x 5, ta có :     �� ��

2



� �

2

2

3 x

x



�

�

�

�  � � ��� �  

�

2

2

3

2 3

Chú ý: Vì  ( x2 4x 21) ( x   2 3x 10) x 11 0    �y 0

�y2 (x 3)(7 x) (x 2)(5 x) 2r(x 3)(7 x)(x 2)(5 x)

 (x 3)(5 x)   (x 2)(7 x)  2 �2 2

Bài 5:

1 *y(0) 3 , y(4)  23, y(3) 21

* y liên tục trên [0;4] và có đạo hàm trên (0;4)

2 Đặt t x ,x 2 ���1;1�� �� �� t � �0;1

Hàm số đã cho viết lại   3  3

f t t 4 1 t ,t �� �� � 0;1

f' t 3t 12 1 t  3 3t  8t 4

  t 2,f 2 4

t 2

�

�

và f 0  4,f 1 1 

3 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng 0;�

y

Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên khoảng 0;� khi hàm số 

  2

f x  9x   đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng 1 x 0;� Ta có:

  9x2

9x 1

 với mọi x�0;� 

Ta tìm nghiệm của phương trình f' x trên khoảng   0;� 

9x 1 9x





�

 

3

Hàm số không có giá trị nhỏ nhất khi x 0

Bài 5:

2

2

x 1 y' x 2x 3 (x 3)

x 2x 3

    �  ����   �� �   � 

2

2 2

x ( 3;1) x ( 3;1) 2x 6x

x 0,x 3 2x 6x 0

x 2x 3

2 Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có:

45 20x 5(9 4x ) (2 1 )[3 (2x) ] 2.3 1.2x 6 2x

Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có:

45 20x 5(9 4x ) (2 1 )[3 (2x) ] 2.3 1.2x 6 2x

Suy ra y 6 2x�   2x 3 Áp dụng bất đẳng thức  a b�a b ,ta có

6 2x 2x 3 6 2x 3 2x 6 2x 3 2x 9 suy ra �y 9

�



�

(6 2x)(3 2x) 0

3

4

Dạng 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT LIÊN QUAN

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bài 1:

1 Ta có: y� 1 2cos2x với mọi x ;

2 2

 



� � Ta tìm nghiệm của phương trình y' trên khoảng ;

2 2

 



1 2cos2x 0 x

6

2 2

6



�

 

� ��� ���������� ��� � ���

2 Đặt t=sinx,x�� �� �� �� �0; t � �0;1

Hàm số đã cho viết lại: y = 2t 4t = f t3  

3

Xét f t  2t 4t3

3

  liên tục trên đoạn 0;1� �

Ta có : f' t   2 4t2, với mọi t� 0;1 Ta tìm nghiệm của phương trình y' trên khoảng  0;1 f' t  0,t  0;1 2 4t 2 0 t 1

�

�

   

f = , f 0 = 0 , f 1 =

2

� �

� �

� �

x [0; ] t [0;1]



� �

 

x [0; ]min y min f =f 0 = 0 khi t = 0t [0;1] sinx 0 x 0 x



Bài 2:

1





2

2 2 2

3

1 4sin 2x 4 3sin 2x

y

1 sin 2x

2

Đặt t sin 2x, 0 t 1 Khi đó: 2 � �   



4 t

2 t với � �0 t 1,

Ta có

� �

2 g'(t) 0 maxy maxg(t) 3, miny 2

2 Đặt  

 2

2x

1 x �y sint cos2t 1    2sin t sint 22  

Đặt u sint�sin1 u sin1� � �y 2u2 u 2

Ta cóy' 4u 1 �y' 0 �u1

miny 2sin 1 sin1 2; maxy

8 .

Bài 3: Đặt t cotx



2

   



�

(sin x 2sin x 1)(cos x 2cos x 1)

g(x)

(sin x 1)(cos x 1)

sin xcos x 8sin xcos x 2 u 8u 2

sin xcos x 2sin xcos x 2 u 2u 2 , trong đó

u sin xcos x; 0 u

4

� �

2

4 (u 2u 2)

� hàm số h(u) luôn tăng trên � �� �

� �

1 0;

4 nên �� �� �

� �

� �

 � �

� �

1

u 0;

4

max h(u) h

4 25

� �

�� �

� �

1

u 0;

4

min h(t) h(0) 1

Vậy maxg(x) 1; ming(x) 1

Bài 4:

1 Đặt sinx t t 0;1

2 � �� �� � ta có hàm số f t  2 1 t 1 2  6t, t�� �� �, ta 0;1

x 0;



�� �� �  

x 0;

5 10 maxy

4



�� �� �

2 y sin x cos x 2 sin x sin x 3 4  2   4  2  Đặt t sin x,0 t 1 2 � �

Xét hàm số f t  t2  liên tục trên đoạn 0;1t 3 � �

 

t 0;1

11 3

�� �� �

   maxy maxf tt 0;1   3

�� �� �

3 Ta có : f' x  1 2cos2x, x

2



      f' x  0 x , ,5

6 6 6

  

 �  

4 Đặt t sinx f t  2t 1 , t 1; 1

t t 1



 

  2t 1

f t

t t 1





  liên tục trên đoạn ��1; 1��

  t 1;1  

minf x min f t 0 khi sinx 1 x k2 , k

2



�� �� �



  t 1;1  

maxf x max f t 1 khi sinx 0 x k , k



�� �� �

5 Vì sinx cosx sin x cos x 1, x� 2  2   ��

sin x cosx cos x sinx

y





 2 2 

y sinxcosx 1 sinxcosx sin xcos x  

2 3



Xét hàm số :   1 3 1 2 1



   liên tục trên đoạn 0;1� �

y 2cos x 2cos x 1

4

   Đặt t cos x,0 t 1 2 � �

Khi đó   6 3 2 

4

    với mọi t�� �� �0;1

Bài toán trở thành: tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số g t trên   đoạn 0;1� �� � Ta có:   2 3

g' t 6t

2

  với mọi t� 0;1 .Ta tìm nghiệm của phương trình g' t trên khoảng    0;1 và g' t  0,t  0;1 t 1

2

5

maxy

4

 khi x   và miny 1

4

 khi x

4





7 Đặt t sinx cosx 2cos x 2 t 2

4



Khi đó   1 2 3

    với mọi t��� 2; 2��

Bài toán trở thành: tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số g t trên   đoạn �� 2; 2�� Ta có:   3 2 3

g' t t

   với mọi t� 2; 2.

8 miny 41 ,maxy 1

8

9 Hàm số đã cho xác định khi 1 sinx 0

1 cosx 0



�

 

2

y 0 �y sinx cosx 2 2 sinx cosx sinxcosx 1 *     

Đặt t sinx cosx 2sin x , 2 t 2 sinxcosx t2 1

Khi đó  * viết lại   1 2 

f t t 2 2 t 2t 1 t 2 2 t 1

2

1 2 t 2 2,khi 2 t 1

f t

1 2 t 2 2,khi 1 t 2

�

 �

�