01 1 huong dan giai

ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số Bài toán 01: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH.. Hàm số y nghịch biến trên mỗi khoảng −∞;1 và 1;+∞ hay

ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của

hàm số

Bài toán 01: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH

Bài 1:

1 Hàm số y đồng biến trên mỗi khoảng (−∞;1) và (1;+∞) ( hay hàm số y nghịch biến trên mỗi khoảng xác định )

2 Hàm số y nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞;1) và (1;+∞) ( hay hàm số

y nghịch biến trên mỗi khoảng xác định )

3 Hàm số y nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞;1) và (1;+∞) ( hay hàm số

y nghịch biến trên mỗi khoảng xác định )

2

−∞ 

 ÷

 và

1

; 2

 +∞

 ÷

 ( hay hàm số y

đồng biến trên mỗi khoảng xác định )

Bài 2:

1 Hàm số y đồng biến trên mỗi khoảng: (−∞ −; 2) và (0;+∞), nghịch biến trên các khoảng: ( 2; 1)− − và ( 1;0)−

2 Hàm số y đồng biến trên mỗi khoảng: (−∞ −; 2) và (0;+∞), nghịch biến trên các khoảng: ( 2; 1)− − và ( 1;0)−

3 Hàm số đồng biến trên (−∞;0) và (2;+∞) Hàm số nghịch biến trên (0;1)

và (1;2)

4 Hàm số đồng biến trên các khoảng (− −5; 2) và (−2;1), nghịch biến trên các khoảng (−∞ −; 5)và (1;+∞)

Bài 3: Hàm số y đồng biến trên mỗi khoảng (−∞;0) và (2;+∞), nghịch biến trên khoảng (0;2)

2 Hàm số y đồng biến trên mỗi khoảng (−∞;1)và (2;+∞), nghịch biến trên khoảng (1;2)

2

−∞ 

 

  và

1

; 2

  +∞÷



 

Từ đó suy ra hàm số đồng biến trên ¡

4 Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;1) và (3;+ ∞), nghịch biến trên

( )1;3

5 Trên khoảng(−4;2): y' 0> ⇒y đồng biến trên khoảng (−4;2),

Trên mỗi khoảng (−∞ −; 4 , 2;) ( +∞): y' 0< ⇒y nghịch biến trên các khoảng

(−∞ −; 4 ,) (2;+∞)

Bài 4:

1 Hàm số đồng biến trên (−∞ −; 1) và (0;1); nghịch biến trên ( 1;0)− và (1;+∞)

2 Hàm số đồng biến trên ( 2;− +∞), nghịch biến trên (−∞ −; 2)

3 Hàm số y đồng biến trên khoảng (−∞;0), nghịch biến trên (0;+∞)

4 Hàm số y đồng biến trên khoảng (−∞ −; 1), nghịch biến trên khoảng ( 1;− +∞)

Bài 4: y' 6(x= 8−x5+x2− +x 1)

Xét các trường hợp sau

x (∈ −∞;0], khi đó x8≥0 , x5≤0 , x2≥,x 0≤ ⇒y' 0 x (> ∀ ∈ −∞;0]

x (0;1]∈ , khi đó x2≥x , 1 x 0 , x5 − ≥ 8> ⇒0 y' 0 x (0;1]> ∀ ∈

x (1;∈ +∞), khi đó x8>x , x5 2> ⇒x y' 0 x (1;> ∀ ∈ +∞)

Vậy x R ,y' 0∀ ∈ > ,suy ra hàm số đồng biến trên ¡

Bài toán 02: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CHỨA GIÁ TRỊ

TUYỆT ĐỐI,, CHỨA CĂN THỨC.

Bài 1:

1 Hàm số đồng biến trên (2;+∞); nghịch biến trên (−∞;0)

3

− −

  và ( 2;+∞) , nghịch biến trên 2

;0

3

−

 .

3 Hàm số y đồng biến trên khoảng (0;2), nghịch biến trên (−∞;0) và (2;3)

−

 , nghịch biến trên mỗi khoảng

2

1;

2

− −

  và

2

;1 2

 

 ÷

 ÷

 .

Bài 2:

2

Vậy, hàm số y đồng biến trên 0;1 2

2

+

  và nghịch biến trên

2

2

+

 .

2 Hàm số y giảm trên các khoảng 3; 9

4

− − 

 , ( )2;3 và tăng trên khoảng 9

;2

4

− 

 ÷

 .

3 Hàm số y đồng biến trên khoảng (5;+∞)và nghịch biến trên (−∞ −; 4)

4

2

2 2

3 x 2

3x 3

3x 3

 ≥ −





Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞ −; 1) , nghịch biến trên khoảng (− +∞1; )

Bài 3

(x 1) x 1

+ + với mọi x∈¡ Vậy hàm số y đồng biến trên

¡

3

−∞ 

 ÷

  y' 0> ⇒y đồng biến trên khoảng

1

; 3

−∞ 

 ÷

 ;

Trên khoảng 1; :

3

 +∞

 ÷

  y' 0< ⇒y nghịch biến trên khoảng

1

; 3

 +∞

 ÷

 .

Bài 4:

1 Hàm số đồng biến trên ( 1;− +∞), nghịch biến trên (−∞ −; 1)

2 Hàm số đồng biến trên ( 3; 1)− − và (1;+∞); nghịch biến trên (−∞ −; 3) và ( 1;1)−

Bài 5:

1 TXĐ: D=¡

Cách 1: Ta có: y= (x2−2x 3)− 2

2

2(x 1)(x 2x 3) y'

(x 2x 3)

− − −

⇒ =

− − .

Vậy, hàm số y đồng biến trên mỗi khoảng ( 1;1)− và (3;+∞), nghịch biến trên (−∞ −; 1) và (1;3)

Cách 2:

2 2

2

x 2x 3 khi x 1 x 3

y x 2x 3

x 2x 3 khi 1 x 3

 − − ≤ − ∨ ≥



= − − = 

− + + − < <



Hàm số đã cho xác định trên ¡

2x 2 khi x 1 x 3

y'

2x 2 khi 1 x 3

 − < − ∨ >

= − + − < <

 .Hàm số không có đạo hàm tại x= −1 và x 3= .

Vậy, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng(−1;1) và (3;+∞) , nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞ −; 1) và ( )1;3

2 TXĐ: D=¡

Ta có:

x 4x 3 4x 3 x 6 khi x 1 x 3

y

x 4x 3 4x 3 x 8x khi 1 x 3

 − + + + = + ≤ ∨ ≥



= 

− + − + + = − + ≤ ≤



Khi x (∈ −∞;1) (3;U +∞)thì : y' 2x= ⇒y' 0= ⇔ = ∈ −∞x 0 ( ;1) (3;U +∞)

Khi x (1;3)∈ thì : y'= − + ⇒2x 8 y' 0= ⇔ = ∉x 4 (1;3)

Tại x = 1 ,ta có: f'(1 ) 6

f'(1 ) 2

+

−

 =





=

 Vì f'(1 ) f'(1 )

+ ≠ − nên f’(1) không tồn tại

Tại x = 3 ,ta có : f'(3 ) 6 f'(3)

f'(3 ) 2

+

−

 =



=

Vậy, hàm số y đồng biến trên khoảng (0;+∞) và nghịch biến trên khoảng (−∞;0)

Bài toán 03: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ KHÁC

Bài :

1 Hàm số y đồng biến trên các khoảng (− −2; 1 ,) 1; 1

2

− − 

  và nghịch biến

trên các khoảng (−∞ −; 2 ,) 1;1 ,

2

− 

 ÷

  (1;+∞)

2 Trên khoảng 1 1; :

2 3

− 

 ÷

  y' 0> ⇒y đồng biến trên khoảng

1 1

;

2 3

− 

 ÷

 ;

Trên khoảng ; 1

2

−∞ − 

  và

1

3

 +∞

 ÷

  y' 0< ⇒y nghịch biến trên các khoảng

1

;

2

−∞ − 

  và

1

; 3

 +∞

 ÷

 .

3 Trên khoảng ( )0;2 : y' 0> ⇒y đồng biến trên khoảng ( )0;2 ;

Trên khoảng (−∞;0) và (2;+∞): y' 0< ⇒y nghịch biến trên các khoảng

(−∞;0) và (2;+∞)

Bài toán 04: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.

Bài 1:

1 Hàm số đã cho xác định trên đoạn 0; π 

Ta có: y' 2cosx 1 2sinx= ( − ) Ta cần tìm nghiệm của phương trình y' 0= trên

sinx 2



= ⇔ ∈ π  ⇔ = = =

=



Dựa vào bảng biến thiên suy ra : hàm số đồng biến trên các khoảng 0;

6

 π 

 ÷

 

và ;5

2 6

 π π 

 ÷

 , nghịch biến trên các khoảng 6 2;

 π π 

 ÷

  và

5

; 6

 π π

 ÷

 .

2 2

 π π −

 ÷

 .

Ta có: y' 2cos2x 2sinx 2 2 1 2sin x= + − = ( − 2 )+2sinx 2−

y'= −2sinx 2sinx 1−

Trên khoảng ;

2 2

 π π −

 ÷

2 2 2sinx 2sinx 1 0

 ∈ − π π 

  ÷

⇔  



x 0 x 6

 =



⇔ = π



Hàm số giảm trên các khoảng ;0

2

 π −

 ÷

 , 6 2;

 π π 

 ÷

  và tăng trên khoảng 0;6

 π 

 ÷

 .

Bài 2

1 Ta có: y' 2cos2x 2 2(cos2x 1) 0 x= − = − ≤ ∀ ∈¡

Và y' 0 x k , k

π π

= ⇔ = + ∈¢

Vì y' 0= tại vô hạn điểm nên ta chưa thể kết luận hàm số nghịch biến trên

¡

Ta sẽ chứng minh hàm số luôn nghịch biến trên ¡ bằng định nghĩa.

Với ∀x ,x1 2∈¡ , x1<x2, khi đó luôn tồn tại khoảng (a;b) chứa x ,x1 2

Do y' 0= tại hữu hạn điểm trên khoảng (a;b) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b)⇒y(x ) y(x )1 > 2 ⇒ hàm số nghịch biến trên ¡

6

 π 

= + + =  − ÷+ ≥

  .Hàm số đồng biến trên ¡

3 Ta có: y' 2 mcosx= +

* Nếu 2 m 2− < < ⇒y' 0 x> ∀ ∈ ⇒¡ hàm số đồng biến trên ¡

* Nếu m= ± ⇒ ±2 2 2cosx 0 x≥ ∀ ∈¡ và y' 0= tại vô hạn điểm, do đó ta chưa

kết luận được hàm số tăng trên ¡ Ta chứng minh được hàm số đồng biến trên ¡

* Với m 2> , khi đó y' nhận cả giá trị âm lẫn dương trên ¡ nên hàm số không thể đồng biến trên ¡ Vậy | m| 2≤ là những giá trị cần tìm

4 Ta có: y'= −4sin2x m+

Hàm số đồng biến trên ¡ ⇔y' 0≥ ⇔m 4sin2x x≥ ∀ ∈¡ , tìm được m 4≥

Bài 3 Ta có y' m cosx 1cos2x 1cos3x

y' 0, x

⇔ ≥ ∀ ∈

3 2

⇔ ≥ − − + = ∀ ∈ − với t cosx,t= ∈ −[ 1,1]

Bài toán trở thành tìm m để tồn tại m xmax g t[ 1,1] ( )

∈ −

( ) = − 2− = − ( + ⇒) ( )= ⇔ = −1 =

g' t 4t 2t 2t 2t 1 g' t 0 t ,t 0

2 Lập bảng biến thiên ta thấy xmax g t[ 1,1] ( ) ( )g 1 5 m 5

∈ − = − = ⇒ ≥

Dạng 2:

Xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn điệu tập

xác định

Bài toán 01:

TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH Bài 1:

Cách 1: Hàm số đã cho đồng biến trên ¡ ⇔y' 0≥ , x∀ ∈¡ nghĩa là ta luôn

có: ∆ =' a2− ≤4 0 ⇔ − ≤ ≤2 a 2

Cách 2 : Tham khảo cách giải sau, bạn đọc đúc kết gì qua 2 lời giải

Bảng xét dấu '∆

'

∆ + 0 − 0 + + Nếu 2 a 2− < < thì y' 0> với mọi x∈¡ Hàm số y đồng biến trên ¡

+ Nếu a 2= thì ( )2

y'= x 2+ , ta có : y' 0= ⇔ = −x 2,y' 0,x> ≠ −2 Hàm số y đồng biến trên mỗi nửa khoảng (−∞ − ; 2 và − +∞ 2; ) nên hàm số y đồng

biến trên ¡

+ Tương tự nếu a= −2 Hàm số y đồng biến trên ¡

+ Nếu a< −2 hoặc a 2> thì y' 0= có hai nghiệm phân biệt x ,x Giả sử1 2

1 2

x <x Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng (x ;x ,đồng biến trên mỗi 1 2)

khoảng (−∞;x1) và (x ;2 +∞) Do đó a< −2 hoặc a 2> không thoả mãn yêu cầu bài toán

Bài 2:

1 − <3 m 1<

2 + m 1 y' 0,x 1

2

≤ ⇒ < ≠ , hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞;1) ,

(1;+∞)

+ m 1

2

> khi đó phương trình y' 0= có hai nghiệm x1< <1 x2⇒hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (x ;1 và 1 ) (1;x , trường hợp này không thỏa 2)

Bài 3:

1 Vì đạo hàm không thể triệt tiêu tại vô hạn điểm nên

Hàm số đồng biến trên ¡ ⇔y' 0 x≥ ∀ ∈¡

2

(m 2)x 2(m 2)x 3m 1 0 x

⇔ + − + − + ≥ ∀ ∈¡ (1)

TH 1: Nếu m= −2 khi đó (1) luôn đúng với mọi x⇒m= −2 thỏa bài toán

TH 2: Nếu m≠ −2 khi đó (1)  = + >

⇔ ∆ = + + ≤



a m 2 0 ' (m 2)(4m 1) 0

1

2 m

4

⇔ − < ≤ −

2 • m 1= ⇒y'= − < ∀ ∈3 0 x ¡ hàm số nghịch biến trên ¡

• m 1≠

Hàm số nghịch biến trên m 1 0 2

(m 1) (2m 3)(m 1) 0

 − <



⇔ 

∆ = − − − − ≤



¡

m 1

m 1

m 2 0

 <

⇔− + ≥ ⇔ < Vậy m 1≤

3 Hàm số y đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi ⇔y' 0, x≥ ∀ ∈¡

+ Xét m2− = ⇔1 0 m= ±1

3

4

= ⇒ = + ⇒ ≥ ⇔ ≥ − ⇒ =

m

m 1= ⇒y' 3 0 x= > ∀ ∈ ⇒m= −1

+ Xét m2− ≠ ⇔1 0 m≠ ±1

+ Nếu m< − ∨1 m 2> thì y' 0> với mọi x∈¡ Hàm số y đồng biến trên ¡

+ Nếu m 2= thì ( )2

y' 3 x 1= + , ta có : y' 0= ⇔ = −x 1,y' 0,x> ≠ −1 Hàm số y đồng biến trên mỗi nửa khoảng (−∞ − ; 1 và − +∞ 1; )nên hàm số y đồng

biến trên ¡

+ Nếu 1 m 2,m 1− < < ≠ thì y' 0= có hai nghiệm phân biệt x ,x Giả sử1 2

1 2

x <x Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng (x ;x ,đồng biến trên mỗi 1 2)

khoảng (−∞;x1) và (x ;2 +∞) Do đó 1 m 2,m 1− < < ≠ không thoả mãn yêu cầu bài toán

Do đó hàm số y đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi m< − ∨1 m 2≥

4 Hàm số đồng biến trên D⇔ ∀ ∈x D ,y' 0≥ ⇔ ∀ ∈x D , x 2− + x 4− ≥ −m (1) Xét hàm f(x)= x 2− + x 4− Khi đó (1) ⇔ ∀ ∈x D ,f(x)≥ −m

Lập bảng biến thiên của f(x) trên [4;+∞) f'(x) 1 1 0 x (4; )

= + > ∀ ∈ +∞

Lại có f(x) liên tục trên [4;+∞),do đó f(x) đồng biến trên [ 4;+∞),suy ra

x [4;min f(x) f(4)) 2

∈ +∞ = = Vậy hàm số đã cho đồng biến trên D ⇔m≥ − 2

5 x∀ ∈¡ ,y' 0≥ ⇔ −1 m 0≥ ⇔ − ≤1 m 1.≤

Bài 4: Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi

1

y' 0, x

2

≤ ∀ ≠ tức −6x2+6x 4 m 0+ − ≤ , x 1

2

∀ ≠ ⇒ m 11

2

≥

Dạng 3: Xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn

điệu trên khoảng xác định

Bài toán 01: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN KHOẢNG K=( −∞ α ; ) , ( β +∞ ; ) ,( −∞ α ; , β +∞ ; ).

Bài 1:

1 Hàm số nghịch biến trên (2; )+∞ ⇔hàm số xác định trên (2; )+∞ và

x (2; ),y' 0

2

 ≤

 ∉ +∞ 

⇔ ⇔ ⇔ − < ≤

− + < > −

y' 0, x ;1

 < ∀ ∈ −∞



− ∉ −∞



2

 − <



⇔ 

− ∉ −∞



− < <

⇔− ≥ 2 m 2⇔ − <2 m≤ −1

m 1

3 Ta có: f(x) 0≥ ⇔m 2x≤ 2−4x 3+ Đặt g(x) 2x= 2−4x 3+ ⇒g'(x) 4x 4= −

Hàm số cho đồng biến trên (−∞ −; 1)⇔y' 0, x (≥ ∀ ∈ −∞ − ⇔; 1) m≤(−∞ −min g(x); 1]

4 Đặt t x 1= − ,khi đó : f(x) 0≤ trở thành:

g(t)= − −t 2(1 2m)t m− − +4m 1 0− ≤

Hàm số cho nghịch biến trên (−∞;1) y' 0, x ( ;1) 2m 1

g(t) 0, t 0

 >

⇔ ≤ ∀ ∈ −∞ ⇔  ≤ ∀ <

 ( )∗

Với m 1

2

> thì ( )∗

' 0 ' 0

S 0

P 0

∆ =

∆ >



⇔  >



 ≥



m 0

m 0 4m 2 0

 =

 ≠



⇔  − >





 − + ≥



m 0

 =

⇔ 

≥ +



5 x2+6x 9 m+ − 2≥0, ∀ ∈ +∞x (1; ) ( vì ( )2

x 3+ >0, x 1∀ > ) hay ( )2 2

x 3+ ≥m với

x 1;

∀ ∈ +∞ Xét ( ) ( )2

g x = x 3+ trên khoảng (1;+∞) và g' x( ) (=2 x 3+ ) với

x 1> ⇒ + >x 3 4 tức g' x( )> >8 0 với ∀ ∈ +∞x (1; ) g x đồng biến trên khoảng( ) (1;+∞) và ( )

x 1

lim g x 16

+

→ = xlim g x( )

Khi đó 2 ( )2

m ≤ x 3+ , ∀ ∈ +∞x (1; ) ⇔m2≤16 hay 4 m 4− ≤ ≤

6 Hàm nghịch biến trên nửa khoảng  +∞1; ) ⇔f x( )=mx2+4mx 14 0+ ≤ ,

) ( )

x 1;

∀ ∈  +∞ ∗

Cách 1: Dùng tam thức bậc hai

• Nếu m 0= khi đó ( )∗ không thỏa mãn

• Nếu m 0≠ Khi đó f x có ( ) ∆ =4m2−14m

• Nếu 0 m 7

2

< < thì f x( )> ∀ ∈0 x ¡ , nếu f x có hai nghiệm ( ) x ,x thì 1 2

f(x) 0≤ ⇔ ∈x (x ;x1 2) nên ( )∗ không thỏa mãn

• Nếu m 0< hoặc m 7

2

> Khi đó f x( )=0 có hai nghiệm

Vì m 0< hoặc m 7

2

> ⇒x1<x2⇒f x( )≤ ⇔ ≤0 x x hoặc 1 x x≥ 2

2

f(x) 0 x≤ ∀ ∈  +∞ ⇔1; x ≤ ⇔ −1 3m≥ 4m −14m ⇔m≤ −14

5 .

Cách 2: ( ) m 214 g x x( ) 1; ) m min g xx 1 ( )

−

∗ ⇔ ≤ = ∀ ∈  +∞ ⇔ ≤

+

Ta cóming xx 1 ( ) ( )g 1 14 m 14

Bài 2:

  ≥ ⇔ ≥

 ÷

2 Ta có: y′=3x2+6x m− y′ có ∆ =′ 3(m 3)+

+ Nếu m≤ −3 thì ∆ ≤′ 0 ⇒ y′ ≥ ∀0, x ⇒ hàm số đồng biến trên ¡ ⇒ m≤ −3 thoả + Nếu m> −3 thì ∆ >′ 0 ⇒ phương trình y′ =0 có 2 nghiệm phân biệt x ,x 1 2

1 2

(x <x ) Khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;x ),(x ;1 2 +∞)

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;0) ⇔0 x≤ 1<x2 ⇔

0

P 0

S 0

′

∆ >

 ≥



 >



⇔

m 0

2 0

 > −

− ≥



− >



3 ∀ ∈ +∞x (1; ),x2−2mx 1 2m 0+ − ≥ ⇔ ∀ ∈x (1:+∞),x2+ ≥1 2m(x 1)+

x (1; ), 2m (dox 1 0khi x 1)

x 1

+

⇔ ∀ ∈ +∞ ≥ + > >

+

Xét hàm số f x( ) x2 1

x 1

+

= + , x (1;∈ +∞)

2 2

x 2x 1

(x 1)

+ −

= >

+ với mọi x (1;∈ +∞).

x [1; )

1

x (1; ),f(x) 2m min f(x) 2m f(1) 2m 1 2m m

2

∈ +∞

∀ ∈ +∞ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤

4 f(x) 3x= 2−2(m 1)x (2m+ − 2−3m 2) 0 x [2;+ ≥ ∀ ∈ +∞)

Vì x1<x2 nên f(x) 0≥ ⇔ ≤x x1 hoặc x x≥ 2

Do đó f(x) 0 x [2;≥ ∀ ∈ +∞ ⇔) x2≤ ⇔ ∆ ≤ −2 ' 5 m

2 m

2

5 y' 0, x≥ ∀ ∈(2;+∞ ⇔) mx2+4 m 1 x m 1 0, x( − ) + − ≥ ∀ ∈(2;+∞)

2

4x 1

x 4x 1

+

⇔ + + ≥ + ∀ ∈ +∞ ⇔ ≥ ∀ ∈ +∞

+ +

Xét hàm số g x( ) 24x 1 ,x (2; )

x 4x 1

+

+ +

2x 2x 1

x 4x 1

⇒ = < ∀ ∈ +∞ ⇒

x 2

9 lim g x , lim g x 0

13

13

≥

6 f x( )=3x2−2 m 1 x( + ) −(2m2−3m 2+ ) ≥0, x∀ ∈  +∞2; )

Vì tam thức f x có ( ) ∆ =' 7m2−7m 7 0 , m+ > ∀ ∈¡ nên f x có hai nghiệm :( )

+ − ∆ + + ∆

= = Vì x1<x2 nên f x( )⇔ ≤x x hoặc 1 x x≥ 2

Do đó f x( )≥ ∀ ∈  +∞ ⇔0 x 2; ) x2≤ ⇔ ∆ ≤ −2 ' 5 m⇔ − ≤2 m≤3

2

Bài 3:

1 Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;m), (m 1;+ +∞), hàm số đồng biến trên (2;+∞ ⇔) m 1 2+ ≤ ⇔ m 1≤

2 Hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+∞)⇔y' 0≤ và x1<x2≤2

( ) ( )

( 11 ) ( 22 )

' 0

' 0

x 2 x 2 0

∆ ≤

∆ >



⇔  − + − <





 − − ≥



3

m 2 2

− ≤ ≤



⇔ 

 > −



3

m 2 2

⇒ − ≤ ≤

3 Đặt t x – 2= ta được: y′ =g(t) (m= 2−1)t2+(4m2+2m 6)t 4m− + 2+4m 10−

Hàm số cho nghịch biến trong khoảng (−∞;2) ⇔g(t) 0, t 0≤ ∀ <

TH1: a 0

0

 <

∆ ≤

2 2

 − <





− − ≤

 TH2:

a 0 0

S 0

P 0

 <

∆ >



 >



 ≥



⇔

2 2 2

2m 3

0

m 1

 − <



 − − >



 + − ≤



− − >

 +

4 Xét hàm số g x( ) x2 2x

4x 1

− +

= + liên tục trên khoảng ( )0;1

Ta có: ( )

2 2

4x 2x 2 g' x

4x 1

− − +

=

+ , ∀ ∈x ( )0;1 : g' x( )=0 x 1

2

⇔ = , g 1 1

  =

 ÷

  .

Hơn nữa ( )

x 0

lim g x 0,

+

x 1

1 lim g x

5

−

→ = Dựa vào bảng biến thiên suy ra m 0≤

5 y'= −3x2−6x m 0, x 0+ ≤ ∀ > ⇔m 3x≤ 2+6x f x= ( )

Ta có f' x( ) =6x 6 0, x 0+ > ∀ > và f 0( )=0 Từ đó ta được : m 0≤

6 Cách 1: y' 0, x≥ ∀ ∈(1;+∞) ⇔g x( )=6x2−4x≥ −m,x 1>

g' x =12x 4 0, x 1− > ∀ > ⇔g x đồng biến trên khoảng (1;+∞)

x

x 1 x 1

lim g x lim 6x 4x 2, lim g x

Dựa vào bảng biến thiên suy ra 2≥ − ⇔m m≥ −2

3

∆ = − ≤ ⇔ ≥ hoặc f x( )=0 có hai nghiệm thỏa mãn x1≤x2<1 *( ) Đặt t x 1= − ⇒ = +x t 1, khi đó g t( ) (=f t 1+ )

Điều kiện ( )* ⇔g t( ) =6t2+ + +8t 2 m có hai nghiệm không dương, tức là

'

g

g

g

0

∆ ≥

 ≤



 ≥



( )

b

⇔

Bài toán 02: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN KHOẢNG XÁC ĐỊNH ( ) α β ; , α β ; .