HUONG DAN ON TAP CHUONG III HH ELIP

HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG III – HÌNH 10 CHUẨNIII.. Kiến thức cần nhớ: 1.. Phương pháp và bài tập mẫu: 1.

HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG III – HÌNH 10 (CHUẨN)

III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP: Kí hiệu: (E)

A Kiến thức cần nhớ:

1 Nếu M �(E) thì F1M + F2M = 2a

2 Phương trình chính tắc (PTCT) của (E):

1

a b  (a > b) a) a2 = b2 + c2 b) Tiêu điểm: F1(-c; 0), F2(c; 0)

c) * Đỉnh trục lớn: A1(-a; 0), A2(a; 0) * Đỉnh trục nhỏ: B1(0; -b), B2(0; b)

d) * Độ dài trục lớn: A1A2 = 2a * Độ dài trục nhỏ: B1B2 = 2b

e) Tiêu cự: F1F2 = 2c

g) PT cạnh hình chữ nhật cơ sở: x = �a, y = �b

B Phương pháp và bài tập mẫu:

1 Xác định các thành phần của elip khi biết PTCT của (E):

1

a  b  B1: Tìm a, b và c = a2b2

B2: Liệt kê các thành phần của elip

Bài 1: Cho PTCT của (E):

1

25 16  Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh và tiêu điểm của (E)

Giải: Ta có:

2 2

a 25

b 16



�

� 

a 5

b 4



�

� 

� suy ra: c =

a b  25 16  9 3 a) Độ dài trục lớn: A1A2 = 2a = 2.5 = 10, Độ dài trục nhỏ: B1B2 = 2b = 2.4 = 8

b) Tiêu điểm: F1(-3; 0), F2(3; 0)

c) Đỉnh trục lớn: A1(-5; 0), A2(5; 0), Đỉnh trục nhỏ: B1(0; -4), B2(0; 4)

d) Tiêu cự: F1F2 = 2c = 2.3 = 6

Bài 2: Cho elip (E): 4x2 + 9y2 = 36 Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh và tiêu điểm của (E)

Giải: Từ (E): 4x2 + 9y2 = 36 �

1

9  4  (chia 2 vế cho 36)

Ta có:

2

2



�

� 

a 3

b 2



�

� 

� suy ra: c =

a b  9 4  5 a) Độ dài trục lớn: A1A2 = 2a = 2.3 = 6, Độ dài trục nhỏ: B1B2 = 2b = 2.2 = 4

b) Tiêu điểm: F1(- 5; 0), F2( 5; 0)

c) Đỉnh trục lớn: A1(-3; 0), A2(3; 0), Đỉnh trục nhỏ: B1(0; -2), B2(0; 2)

d) Tiêu cự: F1F2 = 2c = 2 5

2 Lập PTCT của elip

B1: Tìm a và b (hoặc a2 và b2)

Vdct liên quan: c2 = a2 – b2 �

 

�

�  

� Chú ý: a > b > 0 B2: Thay a, b (hoặc a2 và b2) vào PTCT của (E):

1

a  b 

Bài 2: Lập PTCT của (E), biết:

a) Độ dài 2 trục lớn và nhỏ lần lượt là 10 và 8

b) Độ dài trục lớn bằng 12 và tiêu cự bằng 6

c) Có 1 tiêu điểm F1(- 2; 0) và đi qua điểm M( 2; 1)

d) Đi qua điểm A 5

(2; ) 3

 và tỉ số c

a bằng

2

3 e) Độ dài trục lớn bằng 26 và tỉ số c

a bằng

5 13 f) Độ dài trục lớn bằng 12 và đi qua M( 2 5;2 )

Giải: a) Ta có: 2a = 10 �a = 5 và 2b = 8 �b = 4

Vậy: PTCT của (E) là:

1

25 16  b) Ta có: 2a = 12 �a = 6 và 2c = 6 �c = 3 Suy ra: b2 = a2 – c2 = 62 – 32 = 36 – 9 = 27 Vậy: PTCT của (E) là:

1

36 27  c) Từ tiêu điểm F1(- 2; 0)�c = 2 Gọi PTCT của (E) có dạng:

1

a  b 

Ta có: M( 2; 1)�(E), nên: 2 2

1

a b  mà a2 = b2 + c2 = b2 + 2 Suy ra: 22 12

1

b 2 b 

 � 2b2 + b2 + 2 = b2(b2 + 2) � b4 – b2 – 2 = 0 �

2 2

b 1(loa�i)

 

�

� 

�

�a2 = 2 + 2 = 4 Vậy: PTCT của (E) là:

1

4  2  d) Gọi PTCT của (E) có dạng:

1

a  b  Ta có: A(2; 5)

3

 �(E), nên:

25

a  b 

Từ tỉ số c 2

a 3 �c = 2a

3 mà b

2 = a2 – c2 = a2 – 4 2

a

9 =

2

5 a 9

Suy ra: 2

2

25

1 5

9

  � 4.5 2

a

9 +

25

9 a

2 = a2.5 2

a

9 �

4

5 a

9 – 5a

2 = 0 �

2 2

a 0(loa�i)



�

� 

�

�b2 = 5 2

a

9 =

5 9 5

9  Vậy: PTCT của (E) là: x2 y2 1

9  5  e) Ta có: 2a = 26 �a = 13 và tỉ số c 5

a 13 �c = 5a 5.13 5

13 13  Suy ra: b2 = a2 – c2 = 132 – 52 = 169 – 25 = 144 Vậy: PTCT của (E) là:

1

169 144  f) Ta có: 2a = 12 �a = 6

Gọi PTCT của (E) có dạng:

1

a b  Ta có: M( 2 5;2 )�(E), nên: 20 42 2

1

a  b 

� 20 42 1

36 b  � 20b2 + 144 = 36b2 � 16b2

= 144 � b2 = 9 Vậy: PTCT của (E) là:

1

36 9 

Bài 3: Lập PTCT của (E), biết:

a) Đi qua 2 điểm E(0; 1) và F 3

1;

2

� � b) Đi qua 2 điểm M 9

4;

5

� �

� �

� � và N

12 3;

5

Giải: a) Gọi PTCT của (E) có dạng:

1

a  b 

Ta có: E(0; 1) và F 3

1;

2

� ��(E), ta có hệ:

1

3

�  

�

�

�

�

�

�

2

1 1 b

� 

�

�

� 

�

�

2 2

b 1



�

� 

�

Vậy: PTCT của (E) là:

1

4  1  b) Gọi PTCT của (E) có dạng:

1

a  b 

Ta có: M 9

4;

5

� �

� �

� � và N

12 3;

5

� ��(E), ta có hệ: 2 2

81

16 25 1

144

�

�

�

�

�

�

�

2

2

a 25

� 

�

�

� 

�

�

2 2

a 25



�

� 

�

Vậy: PTCT của (E) là:

1

25 9 

Bài 4: Cho (E): 9x2 + 25y2 = 225 Tìm điểm M�(E) sao cho M nhìn F1F2 dưới một góc vuông

Giải: Ta có: 9x2 + 25y2 = 225 �

1

25 9  Suy ra:

2

2

a 25



�

� 

a 5

b 3



�

� 

� �c = a2b2  25 9  16 4

M nhìn F1F2 dưới một góc vuông �M�đường tròn (C) tâm O và bán kính bằng c = 4

�PT đường (C) là: x2 + y2 = 16

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:

9x 25y 225

�

�  

2

2

175 x

16 81 y

16

� 

�

�

� 

�

�

5 7 x

4 9 y 4

�

 �

�

�

�  �

� Vậy: 1,2 5 7 9

4 4

�

� � và 3,4

5 7 9

�

Bài 5: Viết PTCT của (E) đi qua điểm M 3 4

;

5 5

� � và điểm M nhìn 2 tiêu điểm dưới 1 góc vuông

Giải: Điểm M nhìn 2 tiêu điểm dưới 1 góc vuông � c = OM � c2 = OM2

� c2 =

�  � �  �

� � � � Gọi PTCT của (E) có dạng:

1

a  b 

Ta có: M 3 4

;

5 5

� ��(E), nên:

9 16

a  b  mà a2 = b2 + c2 = b2 + 5

Suy ra:

b 5 b 



b (b 5) b (b 5)

� b4 – 16 = 0 �

2 2

b 4(loa�i)



�

�  

2 = b2 + 5 = 4 + 5 = 9 Vậy: PTCT của (E) là:

1

9  4 

C Bài tập tự luyện:

Bài 1: Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh và tiêu điểm của (E),

biết:

a) (E):

1

144 4  b) (E): x2 y2 1

100 36  c) (E): x2 + 5y2 = 5 d) 16x2 + 25y2 – 400 = 0

Bài 2: Lập PTCT của (E), biết:

a) Độ dài 2 trục lớn và nhỏ lần lượt là 20 và 8

b) Độ dài trục lớn bằng 14 và tiêu cự bằng 10

c) Có 1 tiêu điểm F1(-3; 0) và đi qua điểm M(-2; 2)

d) Đi qua điểm A( 2;12) và tỉ số c

a bằng

1

2 e) Tiêu cự bằng 6 và tỉ số c

a bằng

3 5 f) Độ dài trục lớn bằng 4 5 và đi qua M( 15; 1 )

Bài 3: Lập PTCT của (E), biết:

a) Đi qua 2 điểm E(0; 3) và F 12

3;

5

� � b) Đi qua 2 điểm M4; 3 và N2 2;3

c) Đi qua 2 điểm A(2; 1) và B 1

5;

2

� � d) Đi qua 2 điểm E(3; 0) và F 3

;2 2

Bài 4: Cho (E):

1

9  5  Tìm điểm M�(E) sao cho MF1 = 2MF2

Bài 5: Cho (E): 7x2 + 16y2 = 112 Tìm điểm M�(E) sao cho M nhìn F1F2 dưới một góc vuông

Bài 6: Viết PTCT của (E) đi qua điểm M 5 12

;

� � và điểm M nhìn 2 tiêu điểm dưới 1 góc vuông