HUONG DAN ON TAP CHUONG III DAI SO 11 NAM 12 13

Cách cho một dãy số: a Cho bằng công thức của số hạng tổng quát b Cho bằng phương pháp mô tả c Cho bằng phương pháp truy hồi 4... Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó... Tìm số hạng

HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG III ĐẠI SỐ 11 (2012 – 2013)

I PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC:

* Bước 1: Kiểm tra mệnh đề P(n) đúng với n = 1

* Bước 2: Giả sử mệnh đề P(n) đúng với mọi n = k 1 (xem đây là giả thiết để c/m bước 3)

* Bước 3: Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với n = k + 1

Vậy: P(n) đúng với mọi n   (đpcm)*

Phương pháp chứng minh trên gọi là phương pháp quy nạp toán học

1 Bài tập mẫu:

Bài 1: Chứng minh rằng với n   , ta có: 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n* 2 (1)

Giải: + B1: Khi n = 1, ta có: VT = 1, VP = 12 = 1 VT = VP  (1) đúng

+ B2: Giả sử (1) đúng khi n = k 1, tức là: Sk = 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k2

+ B3: Chứng minh rằng (1) đúng khi n = k + 1, tức là:

Sk + 1 = 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = (k + 1)2 = k2 + 2k + 1

Thật vậy: Sk + 1 = 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + [2(k + 1) – 1]

= Sk + [2(k + 1) – 1] = k2 + 2k + 1 (1) đúng khi n = k + 1

Vậy: (1) đúng với n   (đpcm)*

Bài 2: Chứng minh rằng với n   thì 2 + 5 + 8 + … + (3n – 1) = * n(3n 1)2 (1)

Giải: + Khi n = 1, ta có: VT = 2, VP = 1(3.1 1) 2

2



+ Giả sử (1) đúng khi n = k 1, tức là: Sk = 2 + 5 + 8 + … + (3k – 1) = k(3k 1)

2

 + Chứng minh rằng (1) đúng khi n = k + 1, tức là:

Sk + 1 = 2 + 5 + 8 + … + (3k – 1) + [3(k + 1) – 1)] =

2

 Thật vậy: Sk + 1 = 2 + 5 + 8 + … + (3k – 1) + [3(k + 1) – 1)]

= Sk + [3(k + 1) – 1)] = k(3k 1)

2

 + (3 k + 2) =

2

2

Vậy: (1) đúng với n   (đpcm)*

Bài 3: Chứng minh rằng với n   thì n* 3 – n chia hết cho 3 (1)

Giải: Gọi An = n 3 – n

+ Khi n = 1: A1 = 13 – 1 = 03  (1) đúng

+ Giải sử (1) đúng khi n = k 1, tức là: Ak = k3 – k3

+ Chứng minh rằng (1) đúng khi n = k + 1, tức là: Ak + 1 = (k + 1)3 – (k + 1)3

Thật vậy: Ak + 1 = (k + 1)3 – (k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 – k – 1 = k3 + 3k2 + 2k

= (k3 – k) + (3k2 + 3k) = Ak + 3k(k + 1)

Mà Ak3 và 3k(k + 1)3 nên: Ak + 1 = (k + 1)3 – (k + 1)3  (1) đúng khi n = k + 1

Vậy: (1) đúng với n   (đpcm)*

Bài 4: Chứng minh rằng với n   thì 4.6* n + 5n – 4 chia hết cho 5 (1)

Giải: Gọi An = 4.6 n + 5n – 4

+ Khi n = 1: A1 = 4.61 + 51 – 4 = 255 (1) đúng

+ Giả sử (1) đúng khi n = k 1, tức là: Ak = 4.6k + 5k – 45

+ Chứng minh rằng (1) đúng khi n = k + 1, tức là: Ak + 1 = 4.6k + 1 + 5k + 1 – 45

Thật vậy: Ak + 1 = 4.6k + 1 + 5k + 1 – 4 = 4.6k.6 + 5k.5 – 4 = 24.6k + 5k.5 – 4

= (4.6k + 5k – 4) + (20.6k + 4.5k) = Ak + 5(4.6k + 4.5k – 1)

Mà: Ak5 và 5(4.6k + 4.5k – 1)5 nên: Ak + 1 = 4.6k + 1 + 5k + 1 – 45  (1) đúng khi n = k + 1

Vậy: (1) đúng với n   (đpcm)*

Bài 5: Cho tổng Sn = 1 1 1 1

1.3 3.5 5.7   (2n 1)(2n 1)  a) Tính S1, S2, S3, S4

b) Hãy dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Giải: a) 1

S

1.3 3

  2

S

3 3.5 15 5

3

S

5 3.7 35 7

S

7 7.9 63 9

2n 1 (1)

3, VP =

1

2k 1 + Chứng minh rằng (1) đúng khi n = k + 1, tức là:

2(k 1) 1 2k 3



1.3 3.5 5.7   (2k 1)(2k 1) [2(k 1) 1][2(k 1) 1]      

[2(k 1) 1][2(k 1) 1]    = k

(2k 1)(2k 3) 

=

2

(2k 1)(2k 3) (2k 1)(2k 3) 2k 3

Vậy: (1) đúng với n   (đpcm)*

2 Bài tập tự luyện

Bài 1: Chứng minh rằng với n   thì: a) 1 + 2 + 3 + … + n = * n(n 1)2 b)

n



6

d) 3 + 9 + 27 + … + 3n = 1 (3 3)n 1

2



 e) 12 + 32 + 52 + … + (2n – 1)2 =

2 n(4n 1) 3

 f) 13 + 23 + 33 + … + n3 =

n (n 1) 4

 g) 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n + 1) = n(n 1)(n 2)

3

h)



Bài 2: Chứng minh rằng với n   thì: a) n* 3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3

b) 4n + 15n – 1 chia hết cho 9 c) n3 + 11n chia hết cho 6 d) 11n + 1 + 122n – 1 chia hết cho 133 e) 2n3 – 3n2 + n chia hết cho 6

f) 13n – 1 chia hết cho 6 g) 3n3 + 15n chia hết cho 9

Bài 3: Cho tổng Sn = 1 1 1 1

1.5 5.9 9.13   (4n 3)(4n 1)  ĐS: S n =



n 4n 1

a) Tính S1, S2, S3, S4

b) Hãy dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Bài 4: Cho tổng Sn = 1 1 1 1

1.2 2.3 3.4   n(n 1) ĐS: S n =



n

n 1

a) Tính S1, S2, S3, S4 b) Hãy dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp

2

II DÃY SỐ:

1 Dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), Ký hiệu: un = u(n) hoặc (un) với n  *

Viết dưới dạng khai triển: u1, u2, u3, …, un, …

Trong đó u1 là số hạng đầu; un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số

2 Dãy số hữu hạn: Hàm số u xác định trên tập M = 1,2,3,4, ,m với  m  *

Viết dưới dạng khai triển: u1, u2, u3, …, um Trong đó: u1 là số hạng đầu; um là số hạng cuối

3 Cách cho một dãy số:

a) Cho bằng công thức của số hạng tổng quát b) Cho bằng phương pháp mô tả

c) Cho bằng phương pháp truy hồi

4 Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn:

a) Dãy số (un) gọi là dãy số tăng nếu un + 1 > un hoặc un + 1 – un > 0 với n  *

b) Dãy số (un) gọi là dãy số giảm nếu un + 1 < un hoặc un + 1 – un < 0 với n  *

c) Dãy số (un) gọi là bị chặn trên nếu  một số M: un M,   n *

d) Dãy số (un) gọi là bị chặn dưới nếu  một số m: un m,   n *

e) Dãy số (un) gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là: m unM,   n *

Bài tập mẫu:

Bài 1: Viết 5 số hạng đầu của dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức:

a)

n

3n ( 1)

u

 



  b) un 2n 12

n



 c)

n

3 n u

2



Giải: a) 5 số hạng đầu là: 2; 1; 8 13 2; ;

5 13 15 3 b) 5 số hạng đầu là: 3;

5

4;

7

9;

9

16;

11 25 c) 5 số hạng đầu là: 3

2;

9 2

27 3

81

8 ;

243 5 32

Bài 2: Cho dãy số 1

u 1







a) Viết 5 số hạng đầu của dãy số b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un = n2 (1)

Giải: a) 5 số hạng đầu là: 1, 4, 9, 16, 25

b) + Khi n = 1, ta có: u1 = 12 = 1 (1) đúng

+ Giả sử (1) đúng khi n = k 1, tức là: uk = k2

+ Chứng minh rằng (1) đúng khi n = k + 1, tức là: uk + 1 = (k + 1)2

Thật vậy: uk + 1 = uk + 2k + 1 = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2  (1) đúng khi n = k + 1

Vậy: (1) đúng khi n  *

Bài 3: Cho dãy số (un) với un = 2n 1

2n 1



 a) Tìm 6 số hạng đầu của dãy số b) Tìm xem 31

Giải: a) 6 số hạng đầu là: 3; 5

3;

7

5;

9

7;

11

9 ;

13 11

2n 1 29





29 là số hạng thứ 15

Bài 4: Cho dãy số (un) xác định như sau:

1

n 1

n

1

u











 





với n 1

a) Viết 6 số hạng đầu của dãy số b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp un = n 1

n

 (1) c) Tìm số hạng thứ 101 của dãy số

Giải: a) 6 số hạng đầu của dãy số là: 2; 3

2;

4

3;

5

4;

6

5;

7 6

1



+ Giả sử (1) đúng khi n = k 1, tức là: uk = k 1

k





Thật vậy: uk + 1 = 2 –

k

1

u = 2 – k 1k = k 2k 1  (1) đúng khi n = k + 1 Vậy: (1) đúng khi n  *





* Phương pháp xét tính tăng, giảm của dãy số (u n )

1) Cách 1: + Lập hiệu H = un + 1 – un và xét dấu biểu thức này

+ Nếu H > 0,   thì dãy số (un * n) tăng + Nếu H < 0,   thì dãy số (un * n) giảm

2) Cách 2: + Lập tỷ số T = n 1

n

u

u (với ĐK un > 0,    )n * + Nếu T > 1,   thì dãy số (un * n) tăng + Nếu T < 1,    thì dãy số (un * n) giảm

Bài 5: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un) sau:

a) un = 2n – 1 b) un = nn

3 c)

n

2 1 u

2 1





 d) n

n 1 u

n 2





n

n 1

 



Giải: a) Cách 1: Xét hiệu H = un + 1 – un = 2(n + 1) – 1 – (2n – 1) = 2n + 2 – 1 – 2n + 1 = 2 > 0 Suy ra: H > 0  un + 1 > un Vậy: Dãy số (un) là dãy số tăng

Cách 2: Vì un > 0,    : Xét tỷ số: T = n * n 1

n

2n 1



 > 1,     T > 1  un * n + 1 > un Vậy: Dãy số (un) là dãy số tăng

b) Cách 1: Xét hiệu H = un + 1 – un = n 1 nn 1 n n 1 3n2n 1 2n 12n 1

Do – 2n + 1 < 0 và 32n + 1 > 0,    n * 2n 1

2n 1

< 0 ,     H < 0  un * n + 1 < un

Vậy: Dãy số (un) là dãy số giảm

Cách 2: Vì un > 0,    : Xét tỷ số: T = n *

n

n 1

n 1 n

3n



< 1,     T < 1  un * n + 1 < un Vậy: Dãy số (un) là dãy số giảm

c) Cách 1: Xét hiệu H = un + 1 – un =

=



Do 2n + 1 > 0 và (2n + 1 + 1)(2n + 1) > 0,    n *





 H > 0  un + 1 > un Vậy: Dãy số (un) là dãy số tăng

Cách 2: Vì un > 0,    : Xét tỷ số: T = n *

n 1

n



4

Do



   ,     T > 1  un + 1 > un Vậy: Dãy số (un) là dãy số tăngn *

n 1 2 n 3



Do n + 2 > 0 và n + 3 > 0,     H > 0  un + 1 > un Vậy: Dãy số (un) là dãy số tăngn *

Cách 2: Vì un > 0,    : Xét tỷ số: T = n *

2

n 1

2 n

Do

2

2

  > 1,     T > 1  un + 1 > un Vậy: Dãy số (un) là dãy số tăngn *

e) un ( 1) n n

n 1

 

2

3; u3 =

3 4

5 Nhận thấy: u1 < u2; u2 > u3; u3 < u4 Vậy: Dãy số (un) không tăng cũng không giảm

* Phương pháp xét tính bị chặn của dãy số (u n )

+ Nếu CM được: un M,    (1) hoặc un * n m,    (2) hoặc m un * nM,    (3)n * + Nếu (1) xảy ra thì dãy số (un) bị chặn trên bởi M

+ Nếu (2) xảy ra thì dãy số (un) bị chặn dưới bởi n + Nếu (3) xảy ra thì dãy số (un) bị chặn

Bài tập mẫu

Bài 1: Xét tính bị chặn của dãy số (un), biết:

a) un =

2

2

 

2n 1 u





 c)

3 n

2n 1 u

n 1





 d)

n n

n ( 1) u

2n 1

 





Giải: a) Ta có: un =

2 2

 

 > 0,     dãy số (un * n) bị chặn dưới

Ta lại có: un =

2

 dãy số (un) bị chặn trên Vậy: Dãy số (un) bị chặn

2n 1



Vậy: Dãy số (un) bị chặn

c) Ta có:

3 n

2n 1

n 1



Ta lại có: Dãy (un) không có số M nào mà

3 n

2n 1

n 1



d) Ta có:

n n

n ( 1)

2n 1

 

Ta lại có:

n n

u

Vậy: Dãy số (un) bị chặn

Bài tập tự luyện

Bài 1: Viết năm số hạng đầu của dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức:

n

u

2 1



 b)

n

2 1 u

2 1





 c)

n n

1

n

n u

n 1





Bài 2: Cho dãy số (un), biết: 1







a) Viết năm số hạng đầu của dãy số b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un = 3n – 4

c) Tìm số hạng thứ 200 của dãy số (596) d) Tìm xem 245 là số hạng thứ mấy của dãy số (83)

Bài 3: Cho dãy số (un) định bởi: n 2

2n u

n 1



 a) Viết năm số hạng đầu của dãy số b) Số 9

Bài 4: Cho dãy số (un), biết: n

n 1 u

n(n 1)







325 ) b) Số

3

Bài 5: Cho dãy số (un) xác định như sau: 1

u 1







a) Viết 6 số hạng đầu của dãy số b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un = 2n – 1

c) Tìm xem 1023 là số hạng thứ mấy của dãy số (10)

Bài 6: Cho dãy số (un), biết: 1







a) Viết năm số hạng đầu của dãy số b) Chứng minh un = 2n – 1 + 1 bằng phương pháp quy nạp

b) Tìm xem 257 là số hạng thứ mấy của dãy số (9)

Bài 7: Cho dãy số (un), biết:

5

u 1,u

2 1









với n 3

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số b) CM bằng phương pháp quy nạp:

n 1

u

2









Bài 8: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un) sau:

a) un = 2n2 – 5 (tăng) b) n

2 n u

n 1





 (giảm) c)

2

n 1 u

n 1





d)

2

u

n 1

 



 (giảm) e)

n

2 1 u

2



 (giảm)

d) un 2n ( 1)  n (không tăng, không giảm)

Bài 9: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un) sau: a) n

1

n

  (giảm) b) n

n 1 u

n 1





 (tăng) c) n

2n 1 u

5n 2





 (giảm)

d) un  ( 1) (2 1)n n  (không tăng, không giảm) e)

n

3 n u

2

 (tăng)

Bài 10: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un) sau:.

a) un = 101 – 2n (giảm) b) un = 3 n – 7 (tăng) c) n 2

2n 1 u

n



Bài 11: Xét tính bị chặn của dãy số (un) sau:

1

u

(n 2)



9 ,   n * ; bị chặn) b)

2

4n 1 u





 (  0 u n 1,   n * ; bị chặn)

c)

2

n

n 1

u

n



 (u n 2 ,    n * ; bị chặn dưới) f) n 2

n 2 u

n 1





2 ,  

*

n ; bị chặn)

d) n

n

u

n 1



 (  1 u 1 n 

2 ,   n * ; bị chặn) e)

n n

2n ( 1) u

2n 1

 



 ( 1 u 1 n 

3 ,   n * ; bị chặn)

6

III CẤP SỐ CỘNG

1 Nếu (u n ) là CSC (u n ) có công sai d thì un 1 un d với n  *

Đặc biệt: Khi d = 0 thì CSC là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau)

2 Số hạng tổng quát: un u (n 1)d1  với n 2 trong đó u1 là số hạng đầu, d là công sai

3 Các số hạng của cấp số cộng: k 1 k 1

k

u

2

4 Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: a) n 1 n

n

2

n

2

Bài tập mẫu

Bài 1: Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng ? Tìm số hạng đầu và công sai của

nó ? (nếu có) a) un  9 5n b) n

5 3n u

4



 c) un 2 1n  d) 1

u 1







 



Phương pháp: Xét hiệu H = un 1  un; a) Nếu H là hằng số thì dãy số là cấp số cộng

b) Nếu H = f(n) thì dãy số không phải là cấp số cộng

Giải: a) Xét hiệu: un + 1 – un = 9 – 5(n + 1) – (9 – 5n) = 9 – 5n – 5 – 9 + 5n = – 5

Vậy : Dãy số un = 9 – 5n là một cấp số cộng Số hạng đầu là: u1 = 9 – 5 = 4 ; công sai là: d = – 5

5 3n u

4



2; công sai là: d =

3 4



c) Xét hiệu: un + 1 – un = 2n 1  1 2 1 2n n 1  2n

     Vậy: Dãy số un 2 1n  không phải là 1 cấp số cộng

d) Ta có: u1 = 1, u2 = 0, u3 = 1, u4 = 0,

u 1







 

Bài 2: Cho 1 cấp số cộng (un) có số hạng tổng quát: un 7n 3

a) Tìm số hạng đầu và công sai của CSC b) Tìm u2012

c) Tính tổng 100 số hạng đầu d) Số 1208 là số hạng thứ mấy của CSC

Giải: a) Số hạng đầu: u1 = 4; công sai: d = 7 b) u2012 = 14081

d) Ta có: 7n – 3 = 1208  n = 173 Vậy: Số 1208 là số hạng thứ 173 của CSC

Bài 3: Cho cấp số cộng (un), biết u1 = 5 ; d = 3 và Sn = 34275

a) Tìm công thức số hạng tổng của cấp số cộng b) Tìm u99 c) Số 1502 là số hạng thứ bao nhiêu ? d) Tìm n

Giải: a) un = u1 + (n – 1)d = 5 + (n – 1).3 = 2 + 3n

b) * Cách 1: u99 = 5 + (99 – 1).3 = 299 * Cách 2: u99 = 2 + 3.99 = 299

c) * Cách 1: un = u1 + (n – 1)d  1502 = 5 + (n – 1).3  3n = 1500  n = 500

* Cách 2: un = 2 + 3n  1502 = 2 + 3n  3n = 1500  n = 500

d) Ta có : Sn = n [2u (n 1)d]1 

 3n2 + 7n – 68550 = 0 







 



n 150 457

3

Vậy: n = 150

Bài 4: Cho cấp số cộng (un) có u20 = – 52 và u51 = – 145 Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

Giải: Ta có: u20 = u1 + 19d; u51 = u1 + 50d

Khi đó, ta có hệ:   



1 1









 1

Suy ra: un = u1 + (n – 1)d = 5 + (n – 1).( –3) = 8 – 3n

Bài 5: Cho cấp số cộng (un) có u18 – u3 = 75 Tìm công sai d

Giải: Áp dụng công thức: um = uk + (m – k)d

Khi đó : u18 = u3 + (18 – 3).d  u18 – u3 = 15d  15d = 75  d = 5

Bài 6: Cho cấp số cộng (un) có u4 + u12 = 90 Tìm S15

Giải: Ta có: u4 + u12 = u1 + 3d + u1 + 11d = 2u1 + 14d = 90

Suy ra : S15 = 15(2u 14d)1 15.90 675

Bài 7: Xác định số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng (un), biết:



u u 22 b)









u u 184 c)









6

Giải: a)   









u u 5d 18







1 1

2u 5d 18









 



1

17 u 3 4 d 3





3 8







u 8d u 3d 15







5d 15 (u 2d)(u 7d) 184

d 3







d 3







d 3

c)  



6







1

u 5d 8

 







1



1

2









 1















1

14 d 5

Bài tập tự luyện

Bài 1: Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng ? Tìm số hạng đầu và công sai của

nó ? (nếu có)

a) un = 5 – 2n (CSC) b) un = n 1

2 (CSC) c) un = 3 (không là CSC) d) un n =



7 3n

2 (CSC)

Bài 2: Cho 1 cấp số cộng (un) có số hạng tổng quát: un  5 4n

a) Tìm số hạng đầu và công sai của CSC (u 1 = 1; d = – 4) b) Tìm u2013 (–8047)

c) Tính tổng 200 số hạng đầu (–79400) d) Số – 8019 là số hạng thứ mấy của CSC (2006)

Bài 3: Cho cấp số cộng (un), biết u1 = –7 ; d = 2 và Sn = 7040

a) Tìm công thức số hạng tổng của cấp số cộng (u n = 2n – 9) b) Tìm u1973 (3937)

c) Số 4013 là số hạng thứ bao nhiêu ? (2011) d) Tìm n (88)

Bài 4: Cho cấp số cộng (un) có u30 = 83 và u80 = 233 Tìm số hạng tổng quát của CSC đó (3n – 7)

Bài 5: Cho cấp số cộng (un) có u20 – u5 = – 15 Tìm công sai d (d = –1)

Bài 6: Cho cấp số cộng (un) có u2 + u22 = 60 Tìm S23 (690)

Bài 7: Xác định số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng (un), biết:











u u 75 c)

















7 13

ĐS: a) u 161









 b) u1 3

d 2









d 2









 c) u1 21/ 5

d 3









d 3









 d) u1 7

d 5/ 2











8

IV CẤP SỐ NHÂN

1 Nếu (u n ) là cấp số nhân với công bội q, ta có: un + 1 = un.q với n  *

Đặc biệt: a) Khi q = 0: CSN có dạng: u1, 0, 0, , 0,

b) Khi q = 1: CSN có dạng: u1, u1, u1, , u1,

c) Khi u1 = 0 thì công bội q: CSN có dạng: 0, 0, 0, , 0,

2 Số hạng tổng quát: un u q1 n 1

3 Các số hạng của cấp số nhân: u2k u uk 1 k 1 với k 2 hay uk  u uk 1 k 1

4 Tổng n số hạng đầu của CSN:

n 1 n

u (1 q ) S

1 q





Bài tập mẫu

Bài 1: Cho cấp số nhân (un) với u1 = 3; q = 1

2

 a) Tìm công thức của số hạng tổng quát b) Tìm u12 c) Hỏi 3

Giải: a) Ta có: un = u1.q n – 1 = 3

n 1 1 2





  b) u12 = 3

11 1 2



2048



256 = 3.

n 1 1 2







n 1 1 2





n 1 1 2





8 1 2



256 là số hạng thứ chín

Bài 2: Cho cấp số nhân (un), biết u1 = 2, u3 = 18.

a) Tìm công bội b) Tính tổng 10 số hạng đầu tiên

Giải: a) Ta có: u3 = 18  u1.q 2 = 18  2.q2 = 18  q2 = 9  q3

b) * Với q = 3: S10 =

10 2(1 3 ) 59048

1 3





10

1 ( 3)

 



 

Bài 3: Cho dãy số (un) với un = 2 2n + 1

a) Chứng minh dãy số (un) là cấp số nhân Tìm số hạng đầu u1 và công bội q

b) Tính S14 c) Hỏi số 2048 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân

Giải: a) Xét tỷ số:

2(n 1) 1 2n 3

2n 3 2n 1 2

n 1

n

  



Vậy: Dãy số (un) với un = 22n + 1 là cấp số nhân Số hạng đầu: u1 = 23 = 8 và công bội q = 4

b) Ta có: S6 =

6 8(1 4 ) 10920

1 4





 c) Ta có: un = 22n + 1  2048 = 22n + 1  211 = 22n + 1  2n + 1 = 11  n = 5

Vậy: Số 2048 là số hạng thứ 5 của cấp số nhân

Bài 4: Cho cấp số nhân (un) có 1 5





b) Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu sẽ bằng 3069 ? c) Số 12288 là số hạng thứ mấy ?

Giải: a) 1 5









4

5









4 1 4 1

u (1 q )q 102 (2)





 Thay (1) va (2), ta được: 51.q = 102  q = 2 Suy ra: u1.17 = 51  u1 = 3

b) Ta có: Sn =

n 3.(1 2 ) 3069

1 2





Vậy: Tổng của 10 số hạng đầu sẽ bằng 3069

c) Ta có: un = u1.qn – 1  12288 = 3.2n – 1 2n – 1 = 4096  2n – 1 = 212  n – 1 = 12  n = 13 Vậy: Số 12288 là số hạng thứ 13

Bài 5: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết:

a)

5

6

32

u

9

64

u

27











b) 4 2











Giải: a)

5

6

32 u

9 64 u

27













4 1

4 1

32

9 64

27











2 3



Suy ra: u1

4 2 3











3









2 1

2 1

u q.q(q 1) 144 (2)





 Thay (1) vào (2), ta được: 72q = 144  q = 2 Suy ra: u1.2.3 = 72  u1 = 12









3









2 1

2 1

u q.q(1 q ) 810 (2)





 Thay (1) va (2), ta được: 270q = 810  q = 3 Suy ra: u1.3.10 = 270  9

Bài tập tự luyện

Bài 1: Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số nhân ? Tìm số hạng đầu và công bội của

nó ? (nếu có) a) un = ( 5)2n 1

 (CSN) b) un = ( 1) 3n 3n 1

 (CSN)

Bài 2: Cho cấp số nhân (un) với u1 = 1

3

1

3

  ).3 n – 1 ) b) Tìm u9 (–2187)

c) Hỏi –59049 là số hạng thứ mấy? (n = 12)

Bài 3: Cho cấp số nhân (un), biết u1 = -3, u6 = 3

32



a) Tìm công bội (1

2 ) b) Tính tổng 10 số hạng đầu tiên (

3069 512

Bài 4: Cho dãy số (un) với un =

2n 1

( 2)

2



a) Chứng minh dãy số (un) là cấp số nhân Tìm số hạng đầu u1 và công bội q (u1 = –3 ; q = 9

2

16

 ) c) Hỏi số 2187

Bài 5: Cho cấp số nhân (un) có 2 5





a) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (u 1 = 2; q = –3)

b) Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu sẽ bằng – 29524 ? (10) c) Số 1458 là số hạng thứ mấy ? (7)

Bài 6: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết:

7



















ĐS: a) u 1 = 6; q = 2 b) u 1 = -1; q = 3 c) u1 2 ; q = 3 d) u 1 =  200

3 ; q =

1 2

10