HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG II – HÌNH 10 CHUẨNI.
Trang 1HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG II – HÌNH 10 (CHUẨN)
I Kiến thức cần nhớ:
cos
2 cot cos
sin
3 sin2 cos2 1
4 sin = sin(1800 – ) cos = – cos(1800 – )
tan = – tan(1800 – ) cot = – cot(1800 – )
5 Tích vô hướng: a.b a b cos(a,b) 6 a.b 0 a b
7 (a b) 2 a22a.b b (a b)(a b) a 2 b2
(AB CD) 2 AB 2AB.CD CD2 2
8 Biểu thức tọa độ tích vô hướng: a.b a b a b 1 1 2 2 với a (a ;a ) 1 2 , b (b ;b ) 1 2
9 a b a b a b1 1 2 2 0 10 a a12a22
11 Góc giữa hai vectơ a và b: 2 1 12 2 22 2
cos
12 Cho 2 điểm A(xA; yA), B(xB; yB)
a) AB (x B x ;yA B y )A
b) AB AB (xB x )A 2 (yB y )A 2
13 Định lí côsin: a2 = b2 + c2 – 2bccosA
b2 = a2 + c2 – 2accosB c2 = a2 + b2 – 2abcosC
Suy ra hệ quả:
cosA
2bc
cosB
2ac
cosC
2ab
sin A sinB sinC (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác)
15 Đường trung tuyến:
2
a
m
2 b
m
2 c
m
16 Diện tích tam giác:
a) Diện tích tam giác vuông: S 1ab
2
(a, b là hai cạnh góc vuông) b) Tam giác bất kì: * S 1absinC 1acsin B 1bcsin A
* S abc
4R
* S pr (p = a b c
2
là nửa chu vi, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác)
* S p(p a)(p b)(p c) (công thức Hê-rông) * S 1 AB AC (AB.AC)2 2 2
2
II Bài tập mẫu:
Bài 1: Tính: A = 3sin1350 + cos600 + 4cos1500
Giải: A = 3sin(1800 – 450) + cos600 + 4cos(1800 – 300) = 3sin450 + cos600 – 4cos300
= 3 2
2 +
1
2 – 4.
3
2 2
Bài 2: Chứng minh rằng với 00 x 1800, ta có: (sinx + cosx)2 = 1 + 2sinxcosx
Giải: Ta có: VT = (sinx + cosx)2 = sin2x + 2sinxcosx + cos2x = 1 + 2sinxcosx = VP (đpcm)
Bài 3: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có: sinA = sin(B + C)
Giải: Ta có: A + B + C = 1800 A = 1800 – (B + C)
Khi đó: sinA = sin(1800 – (B + C)) = sin(B + C) (đpcm)
Trang 2Bài 4: Cho gĩc x, với cosx = 2
3 Tính giá trị của biểu thức: P = 5sin2x + 2cos2x
Giải: Ta cĩ: sin2x + cos2x = 1 sin2x = 1 – cos2x = 1 – 4
9 =
5 9 Vậy: P = 5.5
9 + 2
4
9 =
33 9
Bài 5: Tính gĩc giữa hai vectơ a và b, biết:
a) a (1; 2),b ( 1; 3) b) a (3; 4), b (4;3) c) a (2;5), b (3; 7)
Giải: a) Ta cĩ: cos(a,b) = a.b
a b
2 50
b) cos(a,b) = a.b
a b
625
c) cos(a,b) = a.b
a b
2
29 2
Bài 6: Cho tam giác đều ABC cĩ cạnh bằng a và chiều cao AH Tính:
a) AB.AC b) AC.CB c) AH.BC
Ghi nhớ: Đường cao tam giác đều h = (cạnh) 3
2
Giải: a) AB.AC AB.AC.cosA a.a.cos600 1a2
2
2
2
Bài 7: Cho tam giác vuơngABC tại C cĩ AC = 9, CB = 5 Tính AB.AC
Giải: AB.AC AB.ACcosA
Mà: cosA = AC
AB
AB
Bài 8: Cho tam giác ABC với A(2; 4), B(1; 2), C(6; 2)
a) Chứng minh tam giác ABC vuơng tại A
b) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC
c) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục 0x sao cho DA = DB
Giải: a) AB ( 1; 2)
, AC (4; 2)
, BC (5;0)
* AB.AC1.4 ( ).( 2) 4 4 0
Vậy: ABC vuơng tại A b) * Chu vi ABC là: C = AB + BC + AC
+ AB = ( 1) 2 ( 2)2 5; BC = 5202 25 5 ; AC = 42 ( 2)2 20 2 5
Vậy: C = 5 5 2 5 5 3 5
* Diện tích ABC là: S 1AB.AC 1 5.2 5 5
c) Tọa độ điểm D0x D(x; 0) DA (2 x;4)
, DB (1 x;2)
Mà: DA = DB DA2 = DB2 (2 – x)2 + 42 = (1 – x)2 + 22 4 – 4x + x2 + 16 = 1 – 2x + x2 + 4
B
A
5
9 C
B
A
Trang 3 -2x = -15 x = 15
2 Suy ra: D(
15
2 ; 0)
Bài 9: Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8, BC = 11
a) Tính AB.AC và chứng tỏ rằng tam giác ABC có góc A tù
b) Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 2 và gọi N là trung điểm của cạnh AC Tính AM.AN
Giải: a) * Ta có: BC2 = BC 2= (AC AB) 2 AC2 2AC.AB AB 2
AB.AC
2
Suy ra: Góc A tù
b) Ta có: AM 1AB
3
2
Bài 10: Cho hai điểm A(-3; 2), B(4; 3)
a) Tìm tọa độ điểm M trên trục 0x sao cho tam giác MAB vuông tại M
b) Tìm tọa độ điểm N trên trục 0y sao cho NA = NB (hoặc để NAB cân tại N)
c) Tính chu vi của tam giác OAB
Giải: a) Điểm M0x M(x; 0) MA ( 3 x;2)
, MB (4 x;3)
(–3 – x)(4 – x) + 2.3 = 0 –12 + 3x – 4x + x2 + 6 = 0
x2 – x – 6 = 0 x 3
Vậy: M1(3; 0), M2(-2; 0) b) Điểm N0y N(0; y) NA ( 3;2 y)
, NB (4;3 y)
Mà: NA = NB NA2 = NB2 (-3)2 + (2 – y)2 = 42 + (3 – y)2 9 + 4 – 4y + y2 = 16 + 9 – 6y + y2
2y = 12 y = 6 Vậy: N(0; 6)
c) Chu vi OAB là: C = OA + OB + AB
* OA = ( 3 0) (2 0) 2 2 13, OB = (4 0) 2(3 0) 2 25 5
AB = (4 ( 3)) 2 (3 2) 2 50 2 5 Vậy: C = 13 5 2 5
Bài 11: Cho tam giác ABC có A(-1; 1), B(3; 1), C(2; 4)
a) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC
b) Tìm tọa độ điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Giải: a) Gọi H (x; y) là trực tâm tam giác ABC CH.AB 0
BH.AC 0
* CH (x 2;y 4)
, AB (4;0)
, BH (x 3;y 1)
, AC (3;3)
BH.AC 0
3(x 3) 3(y 1) 0
x y 4
y 2
b) Gọi I(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC AI BI
AI CI
6x 6y 18
y 2
Vậy: I(1; 2)
N M
2
11
8 6
C B
A
Trang 4* Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tính B = 4cos1200 – 2cos300 + 3sin1500 – tan1350
Bài 2: Chứng minh rằng với 00 x 1800, ta có:
a) (sinx – cosx)2 = 1 – 2sinxcosx b) sin4x + cos4x = 1 – 2sin2xcos2x
Bài 3: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có: cosA = –cos(B + C)
Bài 4: Cho góc x, với sinx = 1
4 Tính giá trị của biểu thức: Q =
2
3sin3x – 5cos2x
Bài 5: Tính góc giữa hai vectơ a và b, biết:
a) a (2; 3),b (6;4) b) a (3;2),b (5; 1) c) a ( 2; 2 3),b (3; 3)
Bài 6: Cho tam giác đều ABC cạnh a, có trọng tâm G và chiều cao BH Tính:
a) AB.CA b) GA.GB c) AB.BC d) AB.CG e) BH.AC
Bài 7: Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a Tính các tích vô hướng:
a) AB.AC b) AC.CB
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, có A 60 0, AB = a, BC = 2a, AC = a 3 Tính:
a) AB.AC b) CA.CB c) AC.CB
Bài 9: Cho tam giác ABC có A(4; 6), B(1; 4), C(7; 3
2) a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A
b) Tính chu vi của tam giác ABC và diện tích tam giác ABC
Bài 10: Cho hai điểm A(1; 3), B(4; 2)
a) Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục 0x sao cho DA = DB
b) Tính chu vi tam giác OAB
c) Chứng tỏ OA vuông góc với AB suy ra tam giác OAB vuông tại O Tính diện tích tam giác OAB
Bài 11: Cho 3 điểm A(-1; -1), B(3; 1), C(6; 0)
a) Chứng minh 3 điểm A, B, C không thẳng hàng
b) Tính góc B của tam giác ABC
c) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABDC là hình bình hành
Bài 12: Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, CA = 8
a) Tính AB.AC rồi suy ra giá trị của góc A b) Tính CA.CB
c) Trên cạnh AC lấy điểm P sao cho BC = 3CP và gọi Q là trung điểm của AC Tính CP.CQ
Bài 13: Cho 2 điểm A(2; 3), B(1; 1)
a) Tìm C(5; yC) sao cho tam giác ABC vuông tại B
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình chữ nhật
c) Tìm cosin góc tạo bởi hai đường chéo
Bài 14: Cho tam giác ABC có A(1; 1), B(3; 3), C(2; 0)
a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A
b) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC
c) Tím tọa độ điểm M thuộc 0x để góc AMB bé nhất
(HD: AMB bé nhất AMB = 0 A, M, B thẳng hàng)
Bài 15: Cho tam giác ABC có A(-1; 1), B(1; 3), C(1; -1) Chứng minh tam giác ABC vuông cân tại A Bài 16: Cho hai điểm A(5; -2), B(-1; 4)
a) Tìm tọa độ điểm M trên trục 0y sao cho tam giác MAB vuông tại M
b) Tìm tọa độ điểm K trên trục 0x sao cho KAB cân tại K
Bài 17: Cho tam giác ABC có A(-4; 1), B(2; 4), C(2; -2)
a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC
c) Tìm tọa độ điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC