HUONG DAN ON TAP CHUONG IV DAI SO 11 NAM 12 13

Bài tập tự luyện... Xét tính liên tục của hàm số trên R.. Xét tính liên tục của hàm số trên R.

Trang 1

HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG IV ĐẠI SỐ 11 (2012 – 2013)

I GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ:

1 Lý thuyết: * Giới hạn hữu hạn:

a) lim(un + vn) = limun + limvn b) lim(un – vn) = limun – limvn

c) lim(un.vn) = limun.limvn d) n n

u lim u lim

v  lim v (nếu limvn �0) e) Nếu un� , n0  và limun = a thì a 0� và lim un  a f) limkun = klimun

Đặc biệt: a) lim1 0

n b) lim 1k 0

n  với k nguyên dương c) Nếu un = c (c là hằng số) thì limunlimc c d) limqn = 0 nếu q 1

u

1 q

 với q 1

* Giới hạn vô cực:

a) Nếu limun = a và limvn = �� thì n

n

u

v  b) Nếu limun = a > 0, limvn = 0 và vn > 0,  thì n n

n

u lim

v  �

c) Nếu limun = � và limvn = a > 0 thì limun.vn = �

Đặc biệt: a) limnk = � với k nguyên dương b) limqn = � nếu q >1

2 Bài tập mẫu:

Bài 1: Tính các giới hạn sau:

lim

2n 7



 b)

2 2

lim

2n 1

 

  c)

3

2n 5n 3 lim



Giải: a)

b)

2

c)

3

a)

5

(2 3n) (n 1)

lim

1 4n

n(2n 1)(3n 2) lim

(7 2n)

 c)

2 2

lim (2n 1)(3 n) (n 2)

 

Giải: a)

5

1

Trang 2

c)

5

a)

2

lim

   b)

2

3 3

lim

 

 c)

2

1 4n lim

1 2n





Giải: a)

2

1



b)

3 3

3

2

a) lim2n 5n

n.3



b)

n n

lim 3.4 1



 c)

n n n

lim

 

  d)

n n

n 1 n 1

( 2) 3 lim

( 2)  3 

� � b)

n n

n

1

3

� �



 � �� c)

n

n n n

n

1

� � � � 

� � � �

� � � � d)

n n

n

n 1 n 1

n 1

2

( 2)

1





� �





� �

a) lim( n2 2n n 2)  b) lim( n2 n n2  c) 2) lim( n3 3 n2 n)

Giải: a)

2

[ n 2n (n 2)][ n 2n (n 2)] lim( n 2n n 2) lim[ n 2n (n 2)] lim

n 2n (n 2)

=



Trang 3

b)

2



c)

3 2

3

3 2 2 3 3 2 2 3

=

2

3

Ghi nhớ: Nhân với lượng liên hợp của:

a) A B� nhân với lượng liên hợp là: A Bm Khi đó: ( A B� )( A Bm ) = A – B2

b) A� B nhân với lượng liên hợp là: Am B Khi đó: ( A� B)( Am B) = A2 – B

c) b) A � B nhân với lượng liên hợp là: Am B Khi đó: ( A� B)( Am B) = A– B d) 3 A B� nhân với lượng liên hợp là: 3 A2 mB A B3  2

Khi đó: (3 A B� )(3 A2 mB A B3  2) = A � B3

e) A�3 B nhân với lượng liên hợp là: A2mA B3 3 B2

Khi đó: (A�3 B)(A2 mA B3 3 B2 ) = A3 � B f) 3 A�3 B nhân với lượng liên hợp là: 3 A2 m3 AB3 B2

Khi đó: (3 A�3 B)(3 A2 m3 AB3 B2 ) = A � B

n 2  n 1 b)

2

lim

3n 2

 c)

2

lim



n 2 n 1

  

b)

=

2 2

2

1

n (1 )

3.1 3



c)

=

3

Trang 4

=

2

lim(n 2n 3n 5) b) 4 3

lim( 3n 2n  c) 1) 2

lim( n n n 1)

4

n n

2

a)

2

3

lim

 b)

3

2

lim

 c)

3

lim

 

Giải: a)

3

b)

3

2

3

c)

5

3

5

Bài 9: Tính tổng:

a) S = 1 12 13 1n

2 2 2   2  b) S = 1 + 0,9 + (0,9)2 + (0,9)3 + + (0,9)n – 1 +

Giải: a) Ta có: u1 = 1

2, q =

1

2

 b) Ta có: S = 1 +



� � � �  � � 

9 10 9 1 10

 = 1 + 9 = 10

Bài 10: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số, biết:

a) 0,7777 b) 5, 212121 c) 0,32111

Giải: a) 0,7777 = 7 72 73

10 10 10  =

7 7 10

1 10





b) 5, 212121 = 5 21 212 213

21

100

1 100



Trang 5

c) 0,32111 = 32 13 14

100 10 10  =

1

10



3 Bài tập tự luyện

a) lim6n 1

3n 2



 (2) b)

2

lim

 

 (

3

2 ) c)

2

lim

  (0) d)

3

lim

e) lim 3 2n 12



  (0) f)

2 2

lim

 

2

3 ) g)

4 4

lim



  (

1

2) Bài 2: Tính các giới hạn sau:

a)

4 2

n lim

(n 1)(2 n)(n  1) (1) b)

(3 5n) (n 2) lim

  (10) c)

2 2

2n(3 n ) lim

(1 n)( 2n 5)



1

2 ) Bài 3: Tính các giới hạn sau:

a) lim n4 22n 3

1

2 ) b) 2

n n 2 lim



  (0) c)

lim

n 12

a) lim2 5nn

3n.4



(0) b)

n

3 2.5 lim

7 3.5



2

3 ) c)

n n 1

4.3 7 lim



 (7) d)

n n 1

n

lim

1 5



 (-5) e)

n 1 n 2

lim

  

 (0) f)

n n 1

lim

2 (3  5)

 (

1

3 ) Bài 5: Tính các giới hạn sau:

lim( n   (n n) 1

2

 ) b) 2

lim( n   ( �) c) n n) 2

lim( n    (n 3 n) 1

2

 )

lim( n n   (2) e) n 2) 2

lim( 4n 3n 1 2n)  ( 3

4

 )

f) lim n 5( 2n 3   2n 1) ( 2 ) g) 3 3 2

lim( n 2n   (1 n) 2

3)

n 1  n 2 (1) b)

lim

n 1

 ( 2 1  ) c)

2

lim

1 2

 )

d)

2

lim

  (1) e)

2

lim

16

3 )

a) lim(n32n2  (�) b) n 1) lim( n 2 5n 2) ( �) c) lim(n43n3  ( �)n 2)

a) lim n2 2

n 1

� � ( �) b)

3 2

lim

 ( �) c)

2

lim 2n n

Bài 9: Tính tổng:

a) S = 1 1 12 13 1n

2 b) S = -1 +

n



11



c) S = 2 + 0,3 + (0,3)2 + (0,3)3 + + (0,3)n + ĐS: 7

3

Bài 10: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số, biết:

a) 7, 282828 ĐS: 721

99 b) 0,3333 ĐS:

1

3 c) 1,020202 ĐS:

101

99

5

Trang 6

II GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ:

1 Lý thuyết: * Giới hạn hữu hạn tại 1 điểm:

a) xlim[f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x)x0 x x0 x x0

xlim[f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x)x x x x x

c) xlim[f (x).g(x)] lim f (x) lim g(x)x0 x x0 x x0

0

x x

lim f (x)

f (x) lim g(x) lim g(x)

�

0

xlim g(x) 0x

e) Nếu f(x) 0� :

xlim f (x)x x xlim f (x)

�  � f)

xlim f (x)x xlim f (x)x

* Giới hạn một bên: xlim f (x) Lx0

xlim f (x)x x xlim f (x) L

* Giới hạn hữu hạn tại vô cực: (cách giải tương tự như dãy số)

* Giới hạn vô cực: a) xlim f (x)� �  � b) xlim [ f (x)]



* Đặc biệt: a) xlim x� � k  � với k nguyên dương

b) xlim x� � k  � nếu k là số lẻ c) k

xlim x



� �  � nếu k là số chẵn

Chú ý: a) xlim x xx0 0

�  b) xlim c cx0

�  , c là hằng số c) xlim c c��  , c là hằng số d) k

x

c

x

* Quy tắc tìm giới hạn:

0

xlim f (x) Lx

0

xlim g(x)x

� xlim[f (x).g(x)]x0

0

xlim g(x)x

g(x) x x 0

f (x) lim g(x)

�

L > 0

0

2 Bài tập mẫu:

Bài 1: Cho các hàm số: a) f(x) =

2

3 x

 Tìm lim f (x)x 3� b) f(x) = 5x3 – 2x + 7 Tìm xlim f (x)�2 c) f(x) = 23x 1



  Tìm xlim f (x)3



�

Giải: a)

lim f (x) lim

3

b) xlim f (x)�2 xlim (5x�2 32x 7) 5( 2)   3    2( 2) 7 29

lim f (x) lim

x 2

2x(x 3)

lim

�



 b)

2

1 x 2

lim 2x 3



�

 

 c) lim(3xx 4 2 2 x 5)

Giải: a) 2

x 2

lim

 b)

2

1 x 2

2x 3



 c) lim(3xx 4 2 2 x 5) 49

Bài 3: Tính các giới hạn sau: (Dạng 0

0)

a)

2

x 1

lim

x 1

�

 

 b)

2 2

x 2

lim

�

 

 c)

2

x 1

lim

�

  d)

3 2

x 2

8 x lim

�



Trang 7

Giải: a)

2

b)

2

c)

2

d)

2

0)

a) 1

x

2

lim

2x 1 x 1 x



�

 �  � b) x 1 3

lim

1 x 1 x

�

b)

x 1

x 2

1 x x

�

 

0)

a)

x 0

lim

x

�

b)

x 1

lim

x 1

�

 c) x 3 2

lim



�

 d)

x 2

x 2 2

lim

x 7 3

�

 

  e)

2

x 1

lim

�

Giải: a)

b)

4

c)

2

9

d)

=

6 5(x 1)(x )

7

Trang 8

=

2

x 1

6

5 lim

2

�





0): a)

3

x 0

lim

x

�

b)

3 2

x 2

lim

�

Giải: a)

*

2

= limx 0 3 2 13 13

3

x 0

lim

�

*

2

( 8x 11 3)[ (8x 11) 3 8x 11 9]

8x 11 3

  

1

2

3

lim

(x )[ (8x 11) 3 8x 11 9]

2

* limx 2 x 7 32 limx 2 ( x 7 3)( x 7 3)2 limx 2 2 x 7 9

x 2

lim

�

Bài 7: Tính các giới hạn sau: (Dạng �

�) a)

2

2 x

lim

5 x



� �

 

 b)

3

x

lim



� �

  c)

2

3 x

7 3x x lim



� �

 

Giải: a)

2

b)

3

Trang 9

c)

3

Bài 8: Tính các giới hạn sau: (Dạng �

�)

x

lim

x 5



� �

 b) x 2

2x 3 lim



� �



  c) x 2

x x 1 lim



� �



  d)

2

2 x

lim



� �

   Giải: a)

 

c)

2

d)

2

2 1



Bài 9: Tính các giới hạn sau: (Dạng  � �)

xlim (3x x x 1)



xlim (2x 3 4x 4x 3)



xlim (2x 3 4x 4x 3)



Giải: a)

2

=

2

c)

2

=

2

12

 

= x

2

12

x

2 2



� �



9

Trang 10

a) xlim (2x� � 35x23x 1) b) 4 2

xlim ( x 5x 1)



xlim ( 3x 2x 5)



2

a)

3

2

x

lim



� �

 b)

5 4 x

lim



� �



 c)

2 x

lim

(1 x)



� �



Giải: a)

3

2

b)

5

4

c)

6

2

a) 2

x

3

5x 7

lim

3x 2



� �

��



 b) x 1lim� 5 5x2x 1



 c)

2

x ( 3)

lim

x 3





�

 d) 1

x ( ) 2

5 7x lim

2x 1



�





Giải: a) 2

x

3

5x 7 lim

3x 2



� �

��

  �



(Vì 2

x 3



� �

��

x 3

lim (3x 2) 0

� �

��

 

3

b)

x 1

2x 1

lim

5 5x



(Vì x 1lim(2x 1) 2.1 1 3 0�       ,x 1lim(5 5x) 0

�   và x 1 5x 5 5 5x 0 �  �   ) c)

2

x ( 3)

lim

x 3





�

 (Vì x ( 3)�lim (x  22x 3) 9 6 3 18 0      ,x ( 3)lim (x 3) 0



�   và x 3�x 3 0  ) d) 1

x ( )

2

5 7x

lim

2x 1



�



(Vì 1

x ( ) 2

7 17



�

x ( ) 2

lim (2x 1) 0



�

 

2

3 Bài tập tự luyện

Trang 11

Bài 1: Cho hàm số f(x) =

2

5x 1

2

x 9

lim

5x 1

�

79 23

x 2

lim

5 2x

�

 (-3) b) x 2 2

4x( x 7) lim



�

 

9 2

 ) c) 1 3

x 3

lim (7x 3 2x )



�

27

a)

2

x 2

4 x

lim

x 2



�



 (4) b)

2

x 3

lim



�

1

3) c)

2

x 2

lim

�



  (4) d)

3

2

x 2

lim



�

 

13 2

a) limx 1 22 1

�

1 2

 ) b)

x 1

lim

x 1 x 2 x 2

�

4 3

 )

a)

x 0

1 2x 1

lim

2x

�

(1

2) b) x 2

lim

�

8

9) c) x 6

x 3 3 lim

x 6

�

 

1

6)

x 1

x 8 3

lim

�

 

1

24) e)

2

x 1

lim

�

  (2) f) x 0

lim

x

�

5 )

x 2

lim

�

7

54) b)

3 2

x 2

lim



�

7

30)

a)

2

2 x

lim

2 3x x



� �

 

  (-4) b)

5 x

lim



� �

 (0) c)

4 x

(x 1) (7x 2) lim

(2x 3)



� �

7

16)

a)

2

2 x

lim



� �

   (5) b)

2

2 x

lim



� �

   (

2 3

 ) c)

x

1 2 x x lim

x 2



� �



2) b)

2

xlim (3x x x 1)



a) xlim (x� � 4x2  (�) b) x 1) 3 2

xlim ( 2x 3x 5)



� �   (�) c) 2

xlim x 2x 5



a)

3

2 x

lim

4 x



� �

 ( �) b)

2

x

4 x lim

x 2



� �



 ( �) c)

2 2 x

(2x 1) (3x 5) lim



� �

a)

x 1

2x 7

lim

x 1



�



 ( �) b) x 4

2x 5 lim

x 4



�



 ( �) c) 1

x 2

3 8x lim

4x 2



� � 

��



 (�) d)

2

x ( 3)

lim

2x 6



�

 

III HÀM SỐ LIÊN TỤC:

1 Lý thuyết: * Hàm số liên tục tại 1 điểm:

Cho y = f(x) xác định trên khoảng K và x0�K

xlim f (x) f (x )x

�  thì f(x) liên tục tại x0

xlim f (x) f (x )x

� � thì f(x) không liên tục tại x0 hay f(x) gián đoạn tại điểm x0

* Định lý: Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất 1 điểm c sao cho

f(c) = 0

* Phương pháp: Xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm

11

Trang 12

a) Loại 1: Hàm số có dạng: � �

�

f (x), ne� u x x f(x)

f (x), ne� u x x

Bước 1: Tính f(x0) = f2(x0) Bước 2: Tính �  � 

x xlimf(x) limf (x) Lx x

Bước 3: + Nếu f2(x0) = L thì hàm số f(x) liên tục tại x0

+ Nếu f2(x0) �L thì hàm số f(x) không liên tục tại x0

�

f (x), ne� u x x f(x)

f (x), ne� u x x

x xlimf(x) limf (x) L + Tính x x �   �  

x xlimf(x) limf (x) L + Tính f(xx x 0) = f1(x0)

Bước 2: + Nếu f1(x0) = L1 thì hàm số liên tục bên phải tại x0

+ Nếu f1(x0) = L2 thì hàm số liên tục bên trái tại x0

+ Nếu L1 = L2 = f1(x0) thì hàm số liên tục tại x0

* Nếu cả 3 trường hợp trên không xảy ra thì hàm số không liên tục tại x 0

* Phương pháp: Chứng minh PT f(x) = 0 có nghiệm thuộc (a; b)

Bước 1: Chứng minh hàm số f(x) liên tục trên [a; b]

Bước 2: Tính f(a); f(b) và chứng minh f(a).f(b) < 0

Bước 3: Kết luận PT f(x) = 0 có nghiệm thuộc (a; b)

Chú ý: Nếu bài toán không cho khoảng (a; b) thì ta phải dự đoán khoảng này

2 Bài tập mẫu

Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau:

a)

3

x 8 ne�u x 2

12 ne�u x 2

�

� 

�

tại x0 = 2 b)

x 2 ne�u x 4

x 5 3 f(x)

3

ne�u x 4 2

�

�  

 �

�

tại x0 = 4

Giải: a) TXĐ: D = R Ta có: + f(2) = 12

+

2

Suy ra: f(2) = limf(x)x 2

� = 12 Vậy: Hàm số đã cho liên tục tại x0 = 2 b) TXĐ: D = R Ta có: + f(4) = 3

2 + limf(x) limx 4 x 4 x 2 limx 4 ( x 2)( x 2)( x 5 3) limx 4(x 4)( x 5 3)

=



x 4

x 5 3 6 3

lim

4 2

x 2 Suy ra: f(4) = limf(x)x 4� =

3

2 Vậy: Hàm số đã cho liên tục tại x0 = 4

2x 1 1 ne�u x 0

�

tại x0 = 0 b)

2

�

tại x0 = -8 Giải: a) TXĐ: D = R Ta có: + f(0) = 2

x 0

2

(x 1)( 2x 1 1)

�

Suy ra: f(0) �lim f (x)x 0� Vậy: Hàm số đã cho không liên tục tại x0 = 0

b) TXĐ: D = R Ta có: + f(-8) = -9

Trang 13

2

Suy ra: f(-8) =xlim f (x)�8 = -9 Vậy: Hàm số đã cho liên tục tại x0 = -8

khi x 3

6 2x

�

� 

�

tại x0 = 3 b)

2

x 5

khi x 5

(x 5) 3 khi x 5



�

tại x0 = 5

Giải: a) TXĐ: D = R Ta có: + f(3) = -2

+

2

+ x 3lim f (x)�  x 3lim(1 x)�     Suy ra: 2 x 3lim f (x) lim f (x) f (3) x 3 2

Vậy: Hàm số đã cho liên tục tại x0 = 3

b) TXĐ: D = R Ta có: + f(5) = 3

+

  + x 5lim f (x)�  x 5lim[(x 5)�   2  Suy ra: 3] 3 x 5lim

� f(x) =x 5lim�  f(x) = f(5) = 3 Vậy: Hàm số đã cho liên tục tại x0 = 5

Bài 4: a) Cho hàm số

2

khi x 1

�

Xét tính liên tục của hàm số trên R

b) Cho hàm số

2

khi x 1

�

Xét tính liên tục của hàm số trên R

Giải: a) TXĐ: D = R

* Với x �1: f(x) =

2

x 1



 là hàm số hữu tỷ nên liên tục trên từng khoảng thuộc tập xác định của

nó Vậy nó liên tục trên các khoảng (� và (1;;1)  �)

* Với x = 1: + f(1) = 5

+

2

Vậy: Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (� và (1;;1)  � nhưng gián đoạn tại x) 0 = 1

b) * Trên (1; �), ta có: f(x) =

2

x 1

 là hàm số hữu tỷ nên liên tục trên từng khoảng thuộc tập xác định của nó Vậy nó liên tục trên các khoảng (1; �)

* Trên (� ), ta có: f(x) = 5 – 8x là hàm số đa thức nên nó liên tục trên khoảng (;1 � );1

* Xét tại x0 = 1: + f(1) = 5 – 8.1 = -3

+

2

+ x 1lim(5 8x) 5 8.1 3

�      Suy ra: x 1limf(x) limf(x) f(1) x 1

�  �  .Vậy: Hàm số đã cho liên tục trên R

Bài 5: Tìm a để hàm số liên tục:

13

Trang 14

a)

1 x 1

ne�u x 0

�

 �

�

tại x0 = 0 b) x 22 2 ne�u x 1

f(x)

x (a 1)x 1 ne�u x 1

�

Giải: a) TXĐ: D = R Ta có: + f(0) = 2a

+ limf(x) limx 0 x 0 1 x 1 limx 0( 1 x 1)( 1 x 1) limx 0 1 x 1 limx 0 1 1

Hàm số liên tục tại x0 = 0 � f(0) = limf(x)x 0

2

 � a = 1

4

 b) TXĐ: D = R Ta có: + f(1) = 12 + (a2 – 1).1 – 1 = a2 – 1

+ limf(x) lim(x 2) 3x 1 x 1

�  �   Hàm số liên tục tại x0 = 1 � f(1) = limf(x)x 1

� � a2 – 1 = 3 � a = 2�

Bài 6: Tìm m để hàm số liên tục:

a)

3

x 1

ne�u x 1

�

� 

�

tại x0 = -1 b)

x 3 3x 1 ne�u x 1

�

tại x0 = 1

Giải: a) TXĐ: D = R Ta có: + f(-1) = m + 1 + m2

+

2

+ x ( 1)lim f(x) x ( 1)lim (mx 2 x m ) m 1 m2 2

Hàm số liên tục tại x0 = -1 � f(-1) =x ( 1)lim f(x) x ( 1)lim f(x)

�  � � m2 + m + 1 = 3 � m = 1; m = -2 b) TXĐ: D = R Ta có: + f(1) = 3m + 2

+

=

2

+ x 1limf(x) lim(3mx 2) 3m 2 x 1

Hàm số liên tục tại x0 = 1 � f(1) =x 1limf(x) limf(x) x 1

2

6



Bài 7: Chứng minh rằng phương trình: a) x4 + x3 – 3x2 + x + 1 = 0 có nghiệm thuộc (-1; 1)

b) x4 – 6x2 + 1 = 0 có 2 nghiệm thuộc (-1; 3) c) x3 – 7x – 5 = 0 có ít nhất hai nghiệm d) 2x5 – 7x2 + 3 = 0 có ít nhất 3 nghiệm nằm trong khoảng (-4; 3)

Giải: a) Đặt: f(x) = x4 + x3 – 3x2 + x + 1 Ta có: f(x) liên tục trên [-1; 1]

* f( 1) 3

f(1) 1

  

�

� Suy ra: f(-1).f(1) = -3 < 0 Vậy: PT f(x) = 0 có nghiệm thuộc (-1 ; 1)

b) Đặt: f(x) = x4 – 6x2 + 1 Ta có: f(x) liên tục trên [-1; 0] và [0; 3]

* f( 1) 4

f(0) 1

  

�

� Suy ra: f(-1).f(0) = -4 < 0 �PT f(x) = 0 có 1 nghiệm thuộc (-1; 0)

* f(0) 1



�

 

� Suy ra: f(0).f( 3) = -8 < 0 �PT f(x) = 0 có 1 nghiệm thuộc (0; 3)

Vậy: PT f(x) = 0 có 2 nghiệm thuộc (-1; 3)

c) Đặt: f(x) = x3 – 7x – 5 Ta có: f(x) liên tục [-1; 0] và [0; 3]

* f( 1) 1

f(0) 5

 

�

� Suy ra: f(-1).f(0) = -5 < 0 �PT f(x) = 0 có 1 nghiệm thuộc (-1; 0)

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	1,4 MB